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怎么證明兩條線平行

網(wǎng)站:公文素材庫(kù) | 時(shí)間:2019-05-22 10:31:01 | 移動(dòng)端:怎么證明兩條線平行

第一篇:怎么證明兩條線平行

怎么證明兩條線平行

假如不平行,就會(huì)有一個(gè)焦點(diǎn),那么這個(gè)焦點(diǎn)和兩個(gè)垂足會(huì)構(gòu)成一個(gè)三角形,這個(gè)三角形的內(nèi)角有2個(gè)90度,那么內(nèi)角和就比180度大了,所以是錯(cuò)的,所以……

設(shè)線段為ab,垂直于ab的兩條線為cd,ef,分別交ab于g,h點(diǎn)

假設(shè)cd,ef不平行,則他們會(huì)有交點(diǎn),設(shè)為o點(diǎn),

則圖中有三角形ogh出現(xiàn),又og和oh都垂直于ab,所以〈ogh=90度,〈ohg=90度,〈ogh+〈ohg+〈goh必定大于180度,而三角形內(nèi)角和卻是180度,于事實(shí)矛盾,所以垂直于同一條線段的兩條線相互平行.

假設(shè),垂直于直線l的兩條直線a,b相交于直線l外一點(diǎn)a。

直線a在直線l上的垂足為m,直線b在直線l上的垂足為n,則點(diǎn)a,m,n組成三角形。

因?yàn)橹本a,b垂直于直線l,所以,角amn與角anm為90度,

這與三角形定義相矛盾

所以,垂直于同一條線段的兩條線相互平行.

不妨設(shè):垂直于同一條線段的兩條線不平行,那么,這兩條直線必定有一個(gè)交點(diǎn)o,所以,這三條直線必定會(huì)組成一個(gè)三角形,那么角o必定是一個(gè)存在的角(即角o有實(shí)際度數(shù))那么根據(jù)在三角形中一個(gè)外角等于不相鄰的兩內(nèi)角的和,(因?yàn)閮蓷l直線垂直于同一條直線,所以)外角=90°,其中不相鄰的一個(gè)內(nèi)角也為90°,那么90°+角o(存在的角度)=90°,是不成立的,因此:垂直于同一條線段的兩條線相互平行

假設(shè)是ab和cd,不妨令ab

把他們放在平行的位置

連接ac和bd并延長(zhǎng)交于e

則在ab上任取1點(diǎn)f,連接ef和cd都有唯一的交點(diǎn)

反之,在cd上任取1點(diǎn)g,連接eg和ab都有唯一的交點(diǎn)

即兩線段上的點(diǎn)可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系

所以點(diǎn)數(shù)相同

用兩條直線將一個(gè)平行四邊形分成面積相等的4份有無(wú)數(shù)種分法。

最常用的兩種用尺規(guī)法分割的方法是:

(1)、連接兩條對(duì)角線。兩條對(duì)角線分割成的4部分就是面積相等的4部分。

(2)、找出四條邊的中點(diǎn),分別連接相對(duì)兩邊的中點(diǎn)。這兩條相交直線分割成的4部分就是面積相等的4部分。

以上兩種方法是用尺規(guī)法可以完成的,還有無(wú)數(shù)種分割法比較復(fù)雜,原理是這樣的:

連接兩條對(duì)角線后找到它們的交點(diǎn)o,過(guò)o作任意直線分平行四邊形為兩份。

不難發(fā)現(xiàn)這兩部分是面積、形狀完全相等的兩個(gè)梯形。

過(guò)o作其中一個(gè)梯形的中位線,那么梯形被分成面積不相等的兩份(注意,是不相等的兩份)。

假設(shè)中位線與梯形另一邊(即原平行四邊形的一邊)的交點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn),那么當(dāng)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)在向梯形較長(zhǎng)底邊運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,原本面積較大的部分面積逐漸減小,而原本面積較小的部分面積逐漸變大。當(dāng)運(yùn)動(dòng)到某一點(diǎn)的時(shí)候,存在兩部分面積相等的情況。

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,這個(gè)平行四邊形被分成了面積相等的4份。

但是,第二條直線的位置的確定,需要根據(jù)平行四邊形的實(shí)際情況和先作出的那條任意直線的情況不同而定,所以我還沒(méi)找出一個(gè)通用的公式。

第二篇:平行的證明

高中立體幾何證明平行的專(zhuān)題訓(xùn)練

立體幾何中證明線面平行或面面平行都可轉(zhuǎn)化為線線平行,而證明線線平行一般有以下的一些方法:

?1?通過(guò)平移;

?2?利用三角形中位線的性質(zhì);

?3?利用平行四邊形的性質(zhì);

?4?利用對(duì)應(yīng)線段成比例;

?5?利用面面平行,等等

一.通過(guò)“平移”再利用平行四邊形的性質(zhì)

1.如圖,四棱錐p-abcd的底面是平行四邊形,點(diǎn)e、f 分別為棱ab、pd的中點(diǎn).求證:af?平面pce

第1題圖

2、如圖,已知直角梯形abcd中,ab?cd,ab?bc,ab=1,bc=2,cd=1a作ae?cd,垂足為e,g、f分別為ad、ce的中點(diǎn),現(xiàn)將?ade沿ae折疊,使得de?ec.

?ⅰ?求證:bc?面cde;

?ⅱ?求證:fg?面bcd;

3.已知直三棱柱abc-a1b1c1中,d, e, f分別為aa1, cc1, ab的中點(diǎn),m為be

的中點(diǎn),ac?be.求證:

?ⅰ?c1d?bc;

?ⅱ?c1d?平面b1fm.

4、如圖所示,四棱錐pabcd底面是直角梯形,cd?2ab,e為pc的中點(diǎn),

證明:eb?面pad

二.利用三角形中位線的性質(zhì)

5、如圖,已知e、f、g、m分別是四面體的棱ad、cd、bd、bc的中點(diǎn),求證:am∥平面efg。

6.如圖,abcd是正方形,o是正方形的中心,e是pc的中點(diǎn)。求證:pa?平面bde

7.如圖,三棱柱abc—a1bc中,d為ac的中點(diǎn). 求證:ab1//面bdc1;11

8.如圖,平面abef?平面abcd,四邊形abef與abcd都是直角梯形,?bad??fab?90?,

11bc?ad,be?af,g,h分別為fa,fd的中點(diǎn)

?2?2

?ⅰ?證明:四邊形是平行四邊形;

?ⅱ?四點(diǎn)是否共面?為什么?

e

三.利用平行四邊形的性質(zhì)

9.正方體abcd a1b1c1d1中o為正方形abcd的中心,m為bb1的中點(diǎn), 求證:d1o//平面a1bc1;

a

10.在四棱錐p?abcd中,ab?cd,ab?dc,為.epd的中點(diǎn),求證:ae?平面pbc;

11.在如圖所示的幾何體中,四邊形abcd為平行四邊形,?acb?90?ea?平面abcdef//ab,fg//bc,eg//ac,ab?2ef

?1?若m是線段ad的中點(diǎn),求證:gm//平面abfe;

?2?若ac?bc?2ae,求二面角a-bf-c的大小。

四.利用對(duì)應(yīng)線段成比例

12.如圖:s是平行四邊形abcd平面外一點(diǎn),m、n分別是sa、bd上的點(diǎn),且ambn=,求證:mn//平面sdc smnd

13.如圖正方形abcd與abef交于ab,m,n分別為ac和bf上的點(diǎn)且am?fn求證:mn?平面bec

五。利用面面平行

14.如圖,三棱錐p?abc中,pb?底面abc,?bca?90,pb?bc?ca,e為pc的中點(diǎn),m為ab的中點(diǎn),點(diǎn)f在pa上,且af?2fp.

(1)求證:be?平面pac;

(2)求證:cm

//平面bef; ?

c

第三篇:平行證明

北師版 八上7單元測(cè)試

一、填空題

1、如圖1,直線ab、cd被直線ef所截①量得∠3=100°,∠4=100°,則ab與cd的關(guān)系是_______,根據(jù)是_____________

②量得∠1=80°,∠3=100°,則ab與cd的關(guān)系是_______,根據(jù)是________________

2、如圖2,be是ab的延長(zhǎng)線,量得∠cbe=∠a=∠c ①?gòu)摹蟘be=∠a,可以判定直線_______與直線_______平行,它的根據(jù)是___________

②從∠cbe=∠c,可以判定直線_______和直線_______平行,它的根據(jù)是___________

1圖2

圖3圖4

3、如圖3,∠α=125°,∠1=50°,則∠β的度數(shù)是_______.

4、如圖4,ad、be、cf為△abc的三條角平分線,則:∠1+∠2+∠3=________.

5、已知,如圖5,ab∥cd,bc∥de,那么∠b+∠

d=__________.

6、已知,如圖6,ab∥cd,若∠abe=130°,∠cde=152°,

則∠bed

=__________.

5圖6

7、在△abc中,若∠a∶∠b∶∠c=1∶2∶3,則∠a=____,

∠b=____, ∠c=____.

8、在△abc中,若∠a=65°,∠b=∠c,則∠b=_______.

9、命題“任意兩個(gè)直角都相等”的條件是_____,結(jié)論是

_____,它是____(真或假)命題.

10、如圖7,根據(jù)圖形及上下文的含義推理并填空:

(1)∵∠a=_______(已知)∴ac∥ed()

(2)∵∠2=_______(已知)

∴ac∥ed()

(3)∵∠a+_______=180°(已知)∴ab∥fd()

圖7圖8

二、選擇題

1.下列語(yǔ)言是命題的是 ()

a.畫(huà)兩條相等的線段 b.等于同一個(gè)角的兩個(gè)角相等嗎?

c.延長(zhǎng)線段ao到c使oc=oa d.兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.

2.如圖8,△abc中,∠b=55°,∠c=63°,de∥ab,則∠dec

等于a.63°b.62°c.55°d.118°

3.下列語(yǔ)句錯(cuò)誤的是()

a.同角的補(bǔ)角相等b.同位角相等c.同垂直于一條直線的

兩直線平行d.兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)

4、在△abc中,∠a=50°,∠b、∠c的平分線交于o點(diǎn),

則∠boc等于()a.65°b.115°c.80° d.50

5、兩條平行線被第三條直線所截,那么一組同旁?xún)?nèi)角的平分線

a.相互重合b.互相平行c.相互垂直d.無(wú)法確定相互關(guān)系

6、如圖9,ab∥cd,∠a=35°,∠c=80°,那么∠e等于()

a.35b.45°c.55°d.75°

三、判斷下列命題是真命題還是假命題.

()(1)若|a|=|b|,則a=b;()(2)若a=b,則a3=b3;

()(3)若x=a,則x2-(a+b)x+ab=0; (4)如果a2=ab,則a=b; ()(5) 若x>3,則x>2.

四、把下列命題寫(xiě)成“如果??,那么??”的形式,并指出條件和結(jié)論.

(1) 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等; (2)等角的補(bǔ)角相等;

(3)同圓或等圓的半徑相等;(4)自然數(shù)必為有理數(shù);

(5)同角的余角相等;(6)兩直線平行,同位角相等;

五、解答下列問(wèn)題

1、如圖,一個(gè)彎形管道abcd的拐角∠abc=120°,∠bcd=60°,這時(shí)說(shuō)管道ab∥cd對(duì)嗎?為什么?

2、如圖 ,已知∠1與∠2互補(bǔ),問(wèn)∠3和∠4互補(bǔ)嗎?為什么?

六、在橫線或括號(hào)中填上適當(dāng)?shù)姆?hào)和理由,完成下面的證明過(guò)

(1)如圖10 ,已知ef∥ab,∠a+∠aec+∠c=360°求證:ab∥cd

證明:∵ef∥ab(已知)∴∠a+_______=180°又∵∠a+∠aec+∠c=360°()∴∠c+∠cef=_______()

∴_______∥cd()∴ab∥cd()

(2)如圖11,已知∠ade=∠b,∠1=∠2,fg⊥ab,

求證:cd⊥ab

證明:∠ade=∠b()

∴de∥_______()

∠1=_______()

∵∠1=∠2(

∴∠2=∠3(

cd∥_______(

∠bgf=_______(

又∵fg⊥ab(

∴∠bgf=_______(

∴∠bdc=_______(

∴cd⊥ab(

圖10圖11 ))))))))

七、證明題

1.已知,如圖 ,ad⊥bc,ef⊥bc,∠4=∠c.

求證:∠1=∠2.

2、已知,如圖 ,∠ace是△abc的外角,∠abc與∠ace的角平分線bp、cp交于點(diǎn)p.。求證:∠p=1∠a.2

第四篇:平行四邊形的應(yīng)用證明

初二平行四邊形的應(yīng)用

1.如圖,□abcd中,ae、cf分別與直線db 相交于e和f,且ae//cf, 求證:ce//af.

c

a

2..如圖,□abcd中,bm垂直ac于m,dn垂直ac于n, 求證:四邊形bmdn是平行四邊形。

c

a

3.如圖,□abcd中,點(diǎn)m、n是對(duì)角線ac上的點(diǎn),且am=cn,de=bf,求證:四邊形mfne是平行四邊形。

e

c

a

4.如圖,ab、cd相交于點(diǎn)o,ac//db,ao=bo,e、f分別為oc、od的中點(diǎn),連接af、be,求證:af//be.

a

c

d

5.在四邊形abcd中,ab//cd,對(duì)角線ac、bd交于點(diǎn)o,ef過(guò)o交ab于e,交cd于f,且oe=of,求證,abcd是平行四邊形。

d

b

6.如圖,過(guò)□abcd對(duì)角線的交點(diǎn)o作直線ef交ad、bc分別于e、f,又g、h分別為ob、od的中點(diǎn), 求證:四邊形ehfg為平行四邊形。

ae

d

b

7.如圖,在□abcd中,e、f、g、h分別是四條邊上的點(diǎn),且滿足be=df,cg=ah,連接ef、gh。求證:ef與gh互相平分。

af

db

e

8.如圖,以△abc的三條邊為邊向bc的同一側(cè)作等邊△abp、等邊△acq,等邊△bcr,求證:四邊形paqr為平行四邊形。

p

q

9.如圖所示,平行四邊形abcd中,bc=2ab,af=ab=be,且點(diǎn)e、f在直線ab上,求?(推薦訪問(wèn)公文素材庫(kù):www.seogis.com)eof的度數(shù).c

f

a b

e

第五篇:證明平行的方法

證明平行的方法

高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮):

ⅰ.平行關(guān)系:

線線平行:1.在同一平面內(nèi)無(wú)公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行:1.直線與平面無(wú)公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行,一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行:1.兩個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

ⅱ.垂直關(guān)系:

線線垂直:1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個(gè)平面垂直,那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直:1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面,那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè),那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直:1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過(guò)另一平面的垂線,那么這兩個(gè)平面垂直。

2

方法1:

兩組對(duì)邊分別平行方法2:對(duì)角線互相平分方法3:一組對(duì)邊平行且相等樓上的:試問(wèn)

兩組對(duì)邊相等

3

證明兩直線平行1.垂直于同一直線的各直線平行。2.同位角相等,內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。3.平行四邊形的對(duì)邊平行。4.三角形的中位線平行于第三邊。5.梯形的中位線平行于兩底。6.平行于同一直線的兩直線平行。7.一條直線截三角形的兩邊(或延長(zhǎng)線)所得的線段對(duì)應(yīng)成比例,則這條直線平行于第三邊。證明兩條直線互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半,則這一邊所對(duì)的角是直角。3.在一個(gè)三角形中,若有兩個(gè)角互余,則第三個(gè)角是直角。4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。5.一條直線垂直于平行線中的一條,則必垂直于另一條。6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的對(duì)角線互相垂直。*10.在圓中平分弦(或弧)的直徑垂直于弦。*11.利用半圓上的圓周角是直角。

在空間中一定是平行四邊形嗎?

4

證明兩直線平行1.垂直于同一直線的各直線平行。2.同位角相等,內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。3.平行四邊形的對(duì)邊平行。4.三角形的中位線平行于第三邊。5.梯形的中位線平行于兩底。6.平行于同一直線的兩直線平行。7.一條直線截三角形的兩邊(或延長(zhǎng)線)所得的線段對(duì)應(yīng)成比例,則這條直線平行于第三邊。證明兩條直線互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半,則這一邊所對(duì)的角是直角。3.在一個(gè)三角形中,若有兩個(gè)角互余,則第三個(gè)角是直角。4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。5.一條直線垂直于平行線中的一條,則必垂直于另一條。6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的對(duì)角線互相垂直。*10.在圓中平分弦(或弧)的直徑垂直于弦。

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