第一篇:常用均值不等式及證明證明
常用均值不等式及證明證明
這四種平均數(shù)滿足hn?gn?
an?qn
?、ana1、a2、
?r?,當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2??
?an時(shí)取“=”號(hào)
僅是上述不等式的特殊情形,即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上簡化,有一個(gè)簡單結(jié)論,中學(xué)常用
均值不等式的變形:
(1)對實(shí)數(shù)a,b,有a
2
22
?b2?2ab (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)), a,b?0?2ab
(4)對實(shí)數(shù)a,b,有
a?a-b??b?a-b?
a2?b2?
2ab?0
(5)對非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,有
(8)對實(shí)數(shù)a,b,c,有
a2?
b2?c2?ab?bc?ac
a?b?c?abc(10)對實(shí)數(shù)a,b,c,有
均值不等式的證明:
方法很多,數(shù)學(xué)歸納法(第一或反向歸納)、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序
不等式法、柯西不等式法等等
用數(shù)學(xué)歸納法證明,需要一個(gè)輔助結(jié)論。
引理:設(shè)a≥0,b≥0,則?a?b??an?na?n-1?b
n
注:引理的正確性較明顯,條件a≥0,b≥0可以弱化為a≥0
,a+b≥0 (用數(shù)學(xué)歸納法)。
當(dāng)n=2時(shí)易證;
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立,即
那么當(dāng)n=k+1時(shí),不妨設(shè)ak?1是則設(shè)
a1,a2,?,ak?1中最大者,
kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak
用歸納假設(shè)
下面介紹個(gè)好理解的方法琴生不等式法
琴生不等式:上凸函數(shù)f?x?,x1,x2,?,xn是函數(shù)f?x?在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意n個(gè)點(diǎn),
設(shè)f?x??lnx,f
?x?為上凸增函數(shù)所以,
在圓中用射影定理證明(半徑不小于半弦)
第二篇:均值不等式證明
均值不等式證明
一、
已知x,y為正實(shí)數(shù),且x+y=1求證
xy+1/xy≥17/4
1=x+y≥2√(xy)
得xy≤1/4
而xy+1/xy≥2
當(dāng)且僅當(dāng)xy=1/xy時(shí)取等
也就是xy=1時(shí)
畫出xy+1/xy圖像得
01時(shí),單調(diào)增
而xy≤1/4
∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4
得證
繼續(xù)追問:
拜托,用單調(diào)性誰不會(huì),讓你用均值定理來證
補(bǔ)充回答:
我真不明白我上面的方法為什么不是用均值不等式證的
法二:
證xy+1/xy≥17/4
即證4(xy)²-17xy+4≥0
即證(4xy-1)(xy-4)≥0
即證xy≥4,xy≤1/4
而x,y∈r+,x+y=1
顯然xy≥4不可能成立
∵1=x+y≥2√(xy)
∴xy≤1/4,得證
法三:
∵同理0
xy+1/xy-17/4
=(4x²y²-4-17xy)/4xy
=(1-4xy)(4-xy)/4xy
≥0
∴xy+1/xy≥17/4
試問怎樣叫“利用均值不等式證明”,是說只能用均值不等式不能穿插別的途徑?!
二、
已知a>b>c,求證:1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0
a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)
于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0
即:1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】
那么
1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)
≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】
≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0
三、
1、調(diào)和平均數(shù):hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、幾何平均數(shù):gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算術(shù)平均數(shù):an=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均數(shù):qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n這四種平均數(shù)滿足hn≤gn≤an≤qn的式子即為均值不等式。
概念:
1、調(diào)和平均數(shù):hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、幾何平均數(shù):gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算術(shù)平均數(shù):an=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均數(shù):qn=√
這四種平均數(shù)滿足hn≤gn≤an≤qn
a1、a2、…、an∈r+,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)勸=”號(hào)
均值不等式的一般形式:設(shè)函數(shù)d(r)=^(1/r)(當(dāng)r不等于0時(shí));
(a1a2...an)^(1/n)(當(dāng)r=0時(shí))(即d(0)=(a1a2...an)^(1/n))
則有:當(dāng)r注意到hn≤gn≤an≤qn僅是上述不等式的特殊情形,即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)
由以上簡化,有一個(gè)簡單結(jié)論,中學(xué)常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√
方法很多,數(shù)學(xué)歸納法(第一或反向歸納)、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
用數(shù)學(xué)歸納法證明,需要一個(gè)輔助結(jié)論。
引理:設(shè)a≥0,b≥0,則(a+b)^n≥a^n+na^(n-1)b。
注:引理的正確性較明顯,條件a≥0,b≥0可以弱化為a≥0,a+b≥0,有興趣的同學(xué)可以想想如何證明(用數(shù)學(xué)歸納法)。
原題等價(jià)于:((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。
當(dāng)n=2時(shí)易證;
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立,即
((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么當(dāng)n=k+1時(shí),不妨設(shè)a(k+1)是a1,a2,…,a(k+1)中最大者,則
ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。
設(shè)s=a1+a2+…+ak,
{/(k+1)}^(k+1)
={s/k+/}^(k+1)
≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k/k(k+1)用引理
=(s/k)^k*a(k+1)
≥a1a2…a(k+1)。用歸納假設(shè)
下面介紹個(gè)好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式:上凸函數(shù)f(x),x1,x2,...xn是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意n個(gè)點(diǎn),
則有:f≥1/n*
設(shè)f(x)=lnx,f(x)為上凸增函數(shù)
所以,ln≥1/n*=ln
即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)
在圓中用射影定理證明(半徑不小于半弦)。
第三篇:均值不等式的證明
均值不等式的證明
設(shè)a1,a2,a3...(更多精彩文章請關(guān)注好 范文網(wǎng)www.seogis.com)an是n個(gè)正實(shí)數(shù),求證(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an).要簡單的詳細(xì)過程,謝謝!!!!
你會(huì)用到均值不等式推廣的證明,估計(jì)是搞競賽的把
對n做反向數(shù)學(xué)歸納法
首先
歸納n=2^k的情況
k=1。。。
k成立k+1。。。
這些都很簡單的用a+b>=√(ab)可以證明得到
關(guān)鍵是下面的反向數(shù)學(xué)歸納法
如果n成立對n-1,
你令an=(n-1)次√(a1a2...a(n-1)
然后代到已經(jīng)成立的n的式子里,整理下就可以得到n-1也成立。
所以得證
n=2^k中k是什么范圍
k是正整數(shù)
第一步先去歸納2,4,8,16,32...這種2的k次方的數(shù)
一般的數(shù)學(xué)歸納法是知道n成立時(shí),去證明比n大的時(shí)候也成立。
而反向數(shù)學(xué)歸納法是在知道n成立的前提下,對比n小的數(shù)進(jìn)行歸納,
指“平方平均”大于“算術(shù)平均”大于“幾何平均”大于“調(diào)和平均”
我記得好像有兩種幾何證法,一種三角證法,一種代數(shù)證法。
請賜教!
sqrt{}≥(a1+a2+..an)/n≥n次根號(hào)(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)
證明:
1.sqrt(((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)/n)≥(a1+a2+..an)/n
兩邊平方,即證((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)≥(a1+a2+..an)^2/n
(1)如果你知道柯西不等式的一個(gè)變式,直接代入就可以了:
柯西不等式變式:
a1^2/b1+a2^2/b2+...an^2/bn≥(a1+a2+...an)^2/(b1+b2...+bn)
當(dāng)且僅當(dāng)a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等號(hào)成立
只要令b1=b2=...=bn=1,代入即可
(2)柯西不等式
(a1^2+a2^2+...an^2)*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+...anbn)^2
2.(a1+a2+..an)/n≥n次根號(hào)(a1a2a3..an)
(1)琴生不等式:若f(x)在定義域內(nèi)是凸函數(shù),則nf((x1+x2+...xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)
令f(x)=lgx顯然,lgx在定義域內(nèi)是凸函數(shù)
nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg≥
f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3...lgan=lga1*a2..an
也即lg≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2a...an)^(1/n)=lgn次根號(hào)(a1a2..an)
f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,所以(a1+a2+..an)/n≥n次根號(hào)(a1a2..an)
(2)原不等式即證:a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an
先證明a^n+b^n≥a^(n-1)b+b^(n-1)a做差(a-b)(a^(n-1)-b^(n-1))≥0
2*(a1^n+a2^n+...an^n)≥a1^(n-1)a2+a2^(n-1)a1+a2^(n-1)a3+a3^(n-1)a2...an^(n-1)a1+a1^a(n-1)an
=a2(a1^(n-1)+a3^(n-1))+a3(a2^(n-1)+a4^(n-1))...
≥a2a1^(n-2)a3+a2a3^(n-2)a1+...≥...≥2na1a2...an
即a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an
(3)數(shù)學(xué)歸納法:但要用到(1+x)^n>1+nx這個(gè)不等式,不予介紹
3.n次根號(hào)(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)
原不等式即證:n次根號(hào)(a1a2a3..an)*(1/a1+1/a2+..+1/an)≥n
左邊=n次根號(hào)+n次根號(hào)++n次根號(hào)+...n次根號(hào)
由2得和≥n*n次根號(hào)(它們的積)所以左邊≥n*n次根號(hào)(1)=n
所以(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)
證畢
特例:sqrt(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2≥sqrt(ab)≥2/1/a+1/b
證明:
1.sqrt(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2兩邊平方a^2+b^2≥(a+b)^2/4即證(a/2-b/2)^2≥0顯然成立
2.(a+b)/2≥sqrt(ab)移項(xiàng)即證(sqrt(a)-sqrt(b))≥0顯然成立
此不等式中a+b可以表示一條直徑的兩部分,(a+b)/2=rsqrt(ab)就是垂直于直徑的弦,而r≥弦的一半
3.sqrt(ab)≥2/1/a+1/b兩邊同時(shí)乘上1/a+1/b即證sqrt(ab)*(1/a+1/b)≥2
而sqrt(ab)*(1/a+1/b)=sqrt(a/b)+sqrt(b/a)≥2。
第四篇:均值不等式及證明
一、均值不等式 (一)概念:
第五篇:均值不等式的證明方法
柯西證明均值不等式的方法 by zhangyuong(數(shù)學(xué)之家)
本文主要介紹柯西對證明均值不等式的一種方法,這種方法極其重要。 一般的均值不等式我們通?紤]的是an?gn: 一些大家都知道的條件我就不寫了
x1?x2?...?xn
n
?
x1x2...xn
我曾經(jīng)在《幾個(gè)重要不等式的證明》中介紹過柯西的這個(gè)方法,現(xiàn)在再次提出:
二維已證,四維時(shí):
a?b?c?d?(a?b)?(c?d)?2ab?2cd?4八維時(shí):
(a?b?c?d)?(e?f?g?h)?4abcd?4efgh?8abcdefgh
abcd
?4abcd
這樣的步驟重復(fù)n次之后將會(huì)得到
x1?x2?...?x2n
2
n
?
2
n
x1x2...x2n
令x1?x1,...,xn?xn;xn?1?xn?2?...?x2?
n
x1?x2?...?xn
n
?a
由這個(gè)不等式有
a?
na?(2?n)a
2
nn
?
2
n
x1x2..xna
2?n
n
?(x1x2..xn)2a
n
1?
n2
n
即得到
x1?x2?...?xn
n
?
n
x1x2...xn
這個(gè)歸納法的證明是柯西首次使用的,而且極其重要,下面給出幾個(gè)競賽題的例子:
例1:
n
若0?ai?1(i?1,2,...,n)證明?
i?1
11?ai
?
n
1?(a1a2...an)n
例2:
n
若ri?1(i?1,2,...,n)證明?
i?1
1ri?1
?
n
1?(r1r2...rn)n
這2個(gè)例子是在量在不同范圍時(shí)候得到的結(jié)果,方法正是運(yùn)用柯西的歸納法:
給出例1的證明:
當(dāng)n?2時(shí)11?a1
?
11?a2
?
?(1?
?a1?a2)?2(1?a1)(1?a2)
設(shè)p?a1?a2,q?
?(1?q)(2?p)?2(1?p?q)
?p?2q?pq?2q?p(1?q)?2q(q?1)?p?2q,而這是2元均值不等式因此11?a1?
?
11?a22
n
?
11?a3
?
11?a4
??
此過程進(jìn)行下去
n
?
因此?
i?1
1?ai
1?(a1a2...a2n)2
n
令an?1?an?2?...?a2n?(a1a2...an)n?g
n
有?
i?1n
11?ai
11?ai
?(2?n)
n
11?g
?
n
n2?n
n
?
n
1?(gg
?
n1?g
n
)
n
1?g
即?
i?1
例3:
已知5n個(gè)實(shí)數(shù)ri,si,ti,ui,vi都?1(1?i?n),記r?t?
n
1n
n
?r,s
ii
?
1n
n
?s
i
i
1n
n
?t,u
ii
?
1n
n
?u
i
i
,v?
1n
n
?v,求證下述不等式成立:
ii
?
i?1
(
risitiuivi?1risitiuivi?1
)?(
rstuv?1rstuv?1
)
n
要證明這題,其實(shí)看樣子很像上面柯西的歸納使用的形式
其實(shí)由均值不等式,以及函數(shù)f(x)?ln因此
e?1e?1
x
x
是在r上單調(diào)遞減
rstuv?
?
(
rstuv?1rstuv?1
)?
n
我們要證明:
n
?(rstuv
i?1
iii
i
risitiuivi?1
i
?1
)?
證明以下引理:
n
?(x
i?1
xi?1
i
x2?1x2?1
n
?1
)?
n?2時(shí),?(令a?
x1?1x1?1
)(
)?2
?a(x1x2?1?x1?x2)?(x1?x2?1?x1x2)
?2a(x1x2?x1?x2?1)?a(x1x2?1?x1?x2)?(1?x1x2?x1?x2)?2a(x1x2?1?x1?x2)
?(a?1)(x1x2?1)?2a(x1x2?1)顯然成立
2?n
n
n
因
此?(
i?1
xi?1xi?1
n
)?(
g?1g?1
)
2?n
n
?(
gggg
n
n
n
n
?1?1
2?n2
n
),g?
n
?(
g?1g?1
n
)
因此?(
i?1
xi?1xi?1
n
)?
所以原題目也證畢了
這種歸納法威力十分強(qiáng)大,用同樣方法可以證明jensen:
f(x1)?f(x2)
?f(
x1?x2
),則四維:
f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)?2f(
x1?x2
)?2f(
x3?x4
)?4f(
x1?x2?x3?x4
)
一直進(jìn)行n次有
f(x1)?f(x2)?...?f(x2n)
n
?f(
x1?x2?...?x2n
n
),
令x1?x1,...,xn?xn;xn?1?xn?2?...?x2?
n
x1?x2?...?xn
n
n
?a
有
f(x1)?...?f(xn)?(2?n)f(a)
n
n
?f(
na?(2?n)a
n
)?f(a)
所以得到
f(x1)?f(x2)?...?f(xn)
n
?f(
x1?x2?...?xn
n
)
所以基本上用jensen證明的題目都可以用柯西的這個(gè)方法來證明
而且有些時(shí)候這種歸納法比jensen的限制更少
其實(shí)從上面的看到,對于形式相同的不等式,都可以運(yùn)用歸納法證明
這也是一般來說能夠運(yùn)用歸納法的最基本條件
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