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向量法證明不等式(精選多篇)

網(wǎng)站:公文素材庫 | 時間:2019-05-22 10:41:50 | 移動端:向量法證明不等式(精選多篇)

第一篇:向量法證明不等式

向量法證明不等式

高中新教材引入平面向量和空間向量,將其延伸到歐氏空間上的n維向量,向量的加、減、數(shù)乘運算都沒有發(fā)生改變.若在歐式空間中規(guī)定一種涵蓋平面向量和空間向量上的數(shù)量積的運算,則高中階段的向量即為n=2,3時的情況.

設a,b是歐氏空間的兩向量,且a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn)(xi,yi∈r,i=1,…,n)

規(guī)定a·b=(x1,x2,…,xn)·(y1,y2,…,yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.

(注:a·b可記為(a,b),表示兩向量的內(nèi)積),有

由上,我們就可以利用向量模的和與和向量的模的不等式及數(shù)量積的不等式建立一系列n元不等式,進而構造n維向量來證明其他不等式.

一、利用向量模的和與和向量的模的不等式(即

例1設a,b,c∈r+,求證:(a+b+c)≤++≤.

證明:先證左邊,設m=(a,b),n=(b,c),p=(c,a),

則由

綜上,原不等式成立.

點評:利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式證明左邊,利用向量數(shù)量積建立不等式證明右邊.

作單位向量j⊥ac

j(ac+cb)=jab

jac+jcb=jab

jcb=jab

|cb|cos(π/2-∠c)=|ab|cos(π/2-∠a)

即|cb|sinc=|ab|sina

a/sina=c/sinc

其余邊同理

在三角形abc平面上做一單位向量i,i⊥bc,因為ba+ac+cb=0恒成立,兩邊乘以i得i*ba+i*ac=0①根據(jù)向量內(nèi)積定義,i*ba=c*cos(i,ab)=c*sinb,同理i*ac=bcos(i,ac)=b(-sinc)=-bsinc代入①得csinb-bsinc=0所以b/sinb=c/sinc類似地,做另外兩邊的單位垂直向量可證a/sina=b/sinb,所以a/sina=b/sinb=c/sinc

步驟1

記向量i,使i垂直于ac于c,△abc三邊ab,bc,ca為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)

=-asinc+csina=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.

在銳角△abc中,設bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足為點h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到a/sina=b/sinb

同理,在△abc中,

b/sinb=c/sinc

步驟3.

證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:

任意三角形abc,作abc的外接圓o.

作直徑bd交⊙o于d.連接da.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

類似可證其余兩個等式。

第二篇:用向量可以證明不等式

運用向量可以證明不等式

向量一章中有兩處涉及到不等式,其一,

?a?a+???b?a?b或-???b?a?b;其二,??a?b??a?b。前者的幾何意義是三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,后者是數(shù)量積的性質,這兩個結論用于證明不等式,可以使證明思路清晰明快,過程簡單明了之功效。

????

一、利用a-b?a?b證明不等式

例1

、函數(shù)f(x)?,a?b,求證:

f(a)?f(b)?a?b

解析:f(a)?f(b)?a?b

即??a?b

??

構造兩個向量 a?(1,a),b?(1,b),?可??以理解為兩個向量的模的差a?b,那么a?b表示向量???c?(0,a?b)的模,其中a?b?(1,a)?(1,b)?(0,a?b) 。 ????

因此,原不等式等價于證明a?b?a?b,其中a?b,向量 ??a和b不可能同向,不取等號。

????

二 利用a?b?ab證明不等式

2222例2 、已知實數(shù)mnxy滿足m?n?a,x?y?b

(a?b),求mx?ny得最大值

???解析:構造向量a?(m,n),b?(x,y),

則a?? ??a?b?mx?ny????,因為a?b?ab,所以mx?ny

?

?my

?nx取最大值。 ?例3、已知a?b?

1,解析: 構造向

量???a?b?1m?,n??

12?2 ???n?(1,1),m?,。 ???

。m?n?????因為m?n???

m?n

所以,

??????n??n?2。

第三篇:用向量法證明

用向量法證明

步驟1

記向量i,使i垂直于ac于c,△abc三邊ab,bc,ca為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)

=-asinc+csina=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.

在銳角△abc中,設bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足為點h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到a/sina=b/sinb

同理,在△abc中,

b/sinb=c/sinc

步驟3.

證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:

任意三角形abc,作abc的外接圓o.

作直徑bd交⊙o于d.連接da.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

類似可證其余兩個等式.希望對你有所幫助!

2

設向量ab=a,向量ac=b,向量am=c向量bm=d,延長am到d使am=dm,連接bd,cd,則abcd為平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

am^2=1/2(ab^2+ac^2)-bm^2

3

已知ef是梯形abcd的中位線,且ad//bc,用向量法證明梯形的中位線定理

過a做ag‖dc交ef于p點

由三角形中位線定理有:

向量ep=½向量bg

又∵ad‖pf‖gc且ag‖dc∴向量pf=向量ad=向量gc(平行四邊形性質)

∴向量pf=½(向量ad+向量gc)

∴向量ep+向量pf=½(向量bg+向量ad+向量gc)

∴向量ef=½(向量ad+向量bc)

∴ef‖ad‖bc且ef=(ad+bc)

得證

4

先假設兩條中線ad,be交與p點

連接cp,取ab中點f連接pf

pa+pc=2pe=bp

pb+pc=2pd=ap

pa+pb=2pf

三式相加

2pa+2pb+2pc=bp+ap+2pf

3pa+3pb+2pc=2pf

6pf+2pc=2pf

pc=-2pf

所以pc,pf共線,pf就是中線

所以abc的三條中線交于一點p

連接od,oe,of

oa+ob=2of

oc+ob=2od

oc+oc=2oe

三式相加

oa+ob+oc=od+oe+of

od=op+pd

oe=op+pe

of=op+pf

oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op+1/2ap+1/2bp+1/2cp

由第一問結論

2pa+2pb+2pc=bp+ap+cp

2pa+2pb+2pc=0

1/2ap+1/2bp+1/2cp

所以oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op

向量op=1/3(向量oa+向量ob+oc向量)

第四篇:構造法證明不等式

構造法證明不等式

由于證明不等式?jīng)]有固定的模式,證法靈活多樣,技巧性強,使得不等式證明成為中學數(shù)學的難點之一.下面通過數(shù)例介紹構造法在證明不等式中的應用.

一、構造一次函數(shù)法證明不等式

有些不等式可以和一次函數(shù)建立直接聯(lián)系,通過構造一次函數(shù)式,利用一次函數(shù)的有關特性,完成不等式的證明.

例1設0≤a、b、c≤2,求證:4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.

證明:視a為自變量,構造一次函數(shù)

=4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca=(bc-2b-2c+4)a+(b+c-2bc),

由0≤a≤2,知表示一條線段.又=b+c-2bc=(b-c)≥0,

=b+c-4b-4c+8=(b-2)+(c-2)≥0,

可見上述線段在橫軸及其上方,∴≥0,即4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.

二、構造二次函數(shù)法證明不等式

對一些不等式證明的題目,若能巧妙構造一元二次函數(shù),利用二次函數(shù)的有關特性,可以簡潔地完成不等式證明.

例2實數(shù)a、b、c滿足(a+c)(a+b+c)<0,求證:(b-c)>4a(a+b+c).

證明:由已知得a=0時,b≠c,否則與(a+c)(a+b+c)<0矛盾,

故a=0時,(b-c)>4a(a+b+c)成立.

當a≠0時,構造二次函數(shù)=ax+(b-c)x+(a+b+c),則有

=a+b+c,=2(a+c),而·=2(a+c)(a+b+c)<0,

∴存在m,當-1

第五篇:不等式的證明(一)(比較法)測試

不等式的證明(一)(比較法)

點擊要點

1.作差比較法證明不等式的步驟是:、、變形是手段,判斷差的符號才是目的.常用的變形方法有:配方法、通分法、因式分解法等.有時把差變形為常數(shù),有時變形為常數(shù)與幾個數(shù)平方和的形式,有時變形為幾個因式積的形式等.總之,變形到能即可.

2.商比法:若b>0,欲證a≥b,只需證

步驟:;;判斷商值與的大小關系.

指數(shù)不等式常用證明.有時要用到指數(shù)函數(shù)的性質.如若a>1,且x>0,則等. 學習策略

解答本節(jié)習題應把握以下幾個方面:(1)準確理解比較法的概念;(2)綜合應用作差比較法、作商比較法證明不等式;(3)要注意等價轉化的思想、化歸思想的應用;(4)本節(jié)知識易錯點是不能合理運用因式分解和正確使用指數(shù)函數(shù)的性質解題。

高考展望

本節(jié)知識在高考中以考查比較法證明不等式為主,考點有比較法證明不等式,經(jīng)常與一次函數(shù)、二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等知識結合考查,多以選擇題、填空題為主。

練好你的基本功!

1.已知a、b、c∈r,那么,下列命題正確的是()

ab??22 a.a(chǎn)>b?ac>bcb.cca>b

c.a(chǎn)3>b3且ab>0?1111???22abd.a(chǎn)>b且ab>0ab

2.設a、b∈r,下面的不等式成立的是()

a.a(chǎn)2+3ab>b2b.a(chǎn)b-a>b+ab

aa?1?bb?1d.a(chǎn)2+b2≥2(a-b-1) c.

3.在橫線上填寫恰當?shù)姆?>,≥,=,<,≤)

2x

2(1)若x∈r,且x≠1,那么,1?x.

(2)若0<a<1,那么(1-a)-a). 1413

(3)若a>0,a≠1,那么loga(1+a)_____loga(1+a).

(4)當x≥1時,那么x5+x4+x32+x+1.

4.設p=a2b2+5,q=2ab-a2-4a,若p>q,則實數(shù)a,b滿足的條件為________.

5.設a>0,b>0,則下面兩式的大小關系為2lg(1+ab)_____lg(1+a)+lg(1+b).提升你的能力!基礎鞏固題

1.設0<a<2,下列不等式成立的是()

1111?1?a2?1?a2?1?a2??1?a2?1?ab.1?a1?a a.1?a

c.1?a2?1111??1?a2?1?a2??1?a21?a1?a1?ad.1?a

2.若a<b<0,則下列不等式關系中不能成立的是()

11?a.a(chǎn)b

11?b.a(chǎn)?ba

c.|a|>|b|

d.a(chǎn)2>b2

3.若a>0,b>0,m>0,且a<b,則下列不等式中恒成立的是()

aa?maa?m??1?a.bb?mb.bb?(收藏好 范 文,請便下次訪問www.seogis.com)m

aa?ma?ma??11??b?mb c.bb?md.

4.設a、b∈r,用不等號連接下列兩個式子,a2+b2+ab+1_____a+b.

5.已知a>b>c,求證:a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2

綜合應用題

11?1.a(chǎn),b∈r,那么ab成立的一個充分非必要條件是()

a.a(chǎn)>bb.a(chǎn)b(a-b)<0c.0<a<bd.a(chǎn)<b

2.設0<a<b<1,則a+b,2ab,a2+b2,2ab中最大的值是()

ab a.a(chǎn)2+b2b.a(chǎn)+bc.2abd.2

3.已知a>b>0,則下列不等式成立的是()

a.a(chǎn)>b>2>abb.a(chǎn)>2>ab>b

a?ba?b

c.a(chǎn)>2>b>abd.a(chǎn)>ab>2>b

4.若x為正數(shù),且x3-x=2,則x與5的大小關系為_____.

a2b2

5. 設a>b>c,求證:a?b+b?c>a+2b+c.

6.已知a>b>c>0,求證:aabbcc>(abc)1(a?b?c)3

探索創(chuàng)新題

1x?1

1.11.設a>0,a≠1,x>0,比較2logax與loga2的大小,并證明你的結論.

2.12.甲、乙兩個糧油公司,同時在某地按同一批發(fā)價格購進糧食,他們各購糧兩次,已知每次批發(fā)價格互不相同,甲公司每次購糧為1萬千克,乙公司每次用1萬元購糧,試比較這兩種購糧方法,哪一種購糧方法購得的糧食平均批發(fā)價格較低,并證明你的結論.試試你的身手!1.

2.

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