第一篇：初中數(shù)學(xué)證明題解答

初中數(shù)學(xué)證明題解答

1.若x1,x2∈|-1，1

且x1*x2+x2*x3+……+xn*x1=0

求證：4|n

(x1,x2,x3,xn中的數(shù)字和n均下標(biāo))

2.在n平方(n≥4)的空白方格內(nèi)填入+1和-1，

每?jī)蓚�(gè)不同行且不同列的方格內(nèi)數(shù)字的和稱(chēng)為基本項(xiàng)。

求證：4|所有基本項(xiàng)的和

1.

y1=x1*x2,y2=x2*x3,……,yn=xn*x1

==>

y1,y2,..,yn∈{-1，1},

且y1+..+yn=0.

設(shè)y1,y2,..,yn有k個(gè)-1,則有n-k個(gè)1,所以

y1+..+yn=n-k+(-k)=n-2k=0

==>n=2k.

而y1*y2*..*yn=(-1)^k=^2=1

==>k=2u

==>n=4u.

2.

設(shè)添的數(shù)為x(i,j),1≤i,j≤n.

基本項(xiàng)=x(i,j)+x(u,v),i≠u(mài),j≠v.

這時(shí)=x(i,j)和x(u,v)組成兩個(gè)基本項(xiàng)

x(i,j)+x(u,v),x(u,v)+x(i,j),

和x(i,j)不同行且不同列的x(u,v)有(n-1)^2個(gè),

所以每個(gè)x(i,j)出現(xiàn)在2(n-1)^2個(gè)基本項(xiàng)中.

因此所有基本項(xiàng)的和=2(n-1)^2.

設(shè)x(i,j)有k個(gè)-1,則

所有基本項(xiàng)的和=2(n-1)^2=

=2(n-1)^2

顯然4|2(n-1)^2,

所以4|所有基本項(xiàng)的和.

命題：多項(xiàng)式f(x)滿足以下兩個(gè)條件：

(1)多項(xiàng)式f(x)除以x^4+x^2+1所得余式為x^3+2x^2+3x+4

(2)多項(xiàng)式f(x)除以x^4+x^2+1所得余式為x^3+x+2

證明：f(x)除以x^2+x+1所得的余式為x+3

x^4+x^2+1=(x^2+x+1)·(x^2-x+1)

x^3+2x^2+3x+4=(x^2+x+1)·(x+1)+x+3

x^3+x+2=(x^2+x+1)·(x-1)+x+3

====>f(x)除以x^2+x+1所得的余式為x+3

各數(shù)平方的和能被7整除.”“證明”也稱(chēng)“論證”，是根據(jù)已知真實(shí)白勺判斷來(lái)確某一判斷的直實(shí)性的思維形式.只有正確的證明，才能使一個(gè)真判斷的真實(shí)性、必然性得到確定.這是過(guò)去同學(xué)們較少涉足的新內(nèi)容、新形式.本刊的“有獎(jiǎng)問(wèn)題征解”中就有不少是證明題(證明題有代數(shù)證明題和幾何證明題等)，從來(lái)稿看，很多同學(xué)不會(huì)證明.譬如上題就是代數(shù)證明題，不少同學(xué)會(huì)取出一組或幾組連續(xù)的自然數(shù)，如o+1+2+3+4+5+6z一91—7×13，1+2+3+4+5+6+7z一140—7×2o后，便依此類(lèi)推，說(shuō)明原題是正確的，以為完成了證明.其實(shí)，這叫做“驗(yàn)證”，不叫做證明.你只能說(shuō)明所取的數(shù)組符合要求，而不能說(shuō)明其他的數(shù)組就一定符合要求，“驗(yàn)證”不具備一般性、必然性.這道題的正確做法是：證明設(shè)有一組數(shù)n、n+1、n+2、n+3、n+4、n+5、n+6(n為自然數(shù))，‘.‘+(n+1)+(n+2)2+(n+3)2+(n+4)2+(n+5)2+(n+6)2一n2+(n2+2n，4-1)+(n2+4n+4)+(n2+6n+9)+(n2+8n+16)+(n2+10n+25)+(n+12n+36)一7nz+42n+91—7(nz+6n+13)，.‘.n+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+4)2+(n+5)+(n+6)能被7整除.即對(duì)任意連續(xù)7個(gè)自然數(shù)，它們平方之和都能被7整除.(證畢)顯然，因?yàn)閚可取任意自然數(shù)，因此n，n+1，n+2，n+3，n+4，n+5，n+6便具有一般性，所得結(jié)論也因此具有然性.上面的證明要用到整式的乘法(或和的平方公式)去展開(kāi)括號(hào)，還要逆用乘法對(duì)加法的分配律進(jìn)行推理.一般來(lái)說(shuō)，代數(shù)證明的推理，常要借助計(jì)算來(lái)完成.證明中的假設(shè)，應(yīng)根據(jù)具體情況靈活處理，如上例露勤鴦中也可設(shè)這7個(gè)數(shù)是n一3、n一2、n一1、n、n+1、n+2、n+3(n為自然數(shù)，且n≥3).這時(shí)，它們的平方和就會(huì)簡(jiǎn)便得多.證明由論題.論據(jù)和論證方式組成.常用的論證方式有直接證明和間接證明、演繹證明和歸納證明.上例中的題目便是論題，證明中“‘.”’之后是論據(jù)，“.‘.”之后是結(jié)論，采用的論證方式是直接證明.以后還要學(xué)習(xí)幾何的證明，就會(huì)對(duì)證明題及其解法有更全面、更深入的了解.幾何題的證明則較多采用演繹證明.證明是對(duì)概念、判斷和推理的綜合運(yùn)用，是富有創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，在發(fā)現(xiàn)真理、確認(rèn)真理、宣傳真理上有重要的作用.當(dāng)你學(xué)習(xí)并掌握了“證明”的方法及其精髓以后，數(shù)學(xué)向你展示的美妙與精彩，將使你受到更大的激勵(lì)，享有更多成功的喜悅。

第二篇：初中數(shù)學(xué)的證明題

初中數(shù)學(xué)的證明題

在△abc中，ab=ac，d在ab上，e在ac的延長(zhǎng)線上，且bd=ce，線段de交bc于點(diǎn)f，說(shuō)明：df=ef。對(duì)不起啊我不知道怎么把畫(huà)的圖弄上來(lái)所以可能麻煩大家了謝謝

1.

過(guò)d作dh∥ac交bc與h�！遖b=ac，∴∠b=∠acb.∵dh∥ac，∴∠dhb=∠acb，∴∠b=∠dhb，∴db=dh.∵bd=ce，∴dh=ce.∵dh∥ac，∴∠hdf=∠fec.∵∠dfb=∠cfe，∴△dfh≌△efc，∴df=ef.

2.

證明:過(guò)e作eg∥ab交bc延長(zhǎng)線于g

則∠b=∠g

又ab=ac有∠b=∠acb

所以∠acb=∠g

因∠acb=∠gce

所以∠g=∠gce

所以eg=ec

因bd=ce

所以bd=eg

在△bdf和△gef中

∠b=∠g，bd=ge，∠bfd=∠gfe

則可視gef繞f旋轉(zhuǎn)1800得△bdf

故df=ef

3.

解:

過(guò)e點(diǎn)作em∥ab,交bc的延長(zhǎng)線于點(diǎn)m,

則∠b=∠bme,

因?yàn)閍b=ac,所以∠acb=∠bme

因?yàn)椤蟖cb=∠mce,所以∠mce=∠bme

所以ec=em,因?yàn)閎d=ec,所以bd=em

在△bdf和△mef中

∠b=∠bme

bd=em

∠bfd=∠mfe

所以△bdf以點(diǎn)f為旋轉(zhuǎn)中心,

旋轉(zhuǎn)180度后與△mef重合,

所以df=ef

4.

已知：a、b、c是正數(shù)，且a>b。

求證：b/a

要求至少用3種方法證明。

(1)

a>b>0;c>0

1)(a+c)/(b+c)-a/b=/=(ab+ac-ab-bc}/(b^2+bc)

=(ac-bc)/(b^2+bc)=c(a-b)/

a>b--->a-b>0;a>0;b>0;c>0--->b(b+c)>0

-->c(a-b)/>0--->(a+c)/(b+c)>a/b

2)a>b>0;c>0--->bc

---ab+bc

--->a(b+c)

--->a(b+c)/

--->a/b<(a+c)/(b+c)

3)a>b>0--->1/a<1/b;c>0

--->c/a

--->c/a+1

--->(c+a)/a<(c+b)/b

--->(a+c)/(b+c)>a/b

(2)

makeb/a=k<1

b=ka

b+c=ka+c

(b+c)/(a+c)=(ka+c)/(a+c)=(ka+kc-c)/(a+c)=k(a+c)/(a+c)-(k-1)c/(a+c)

=k+(1-k)c/(a+c)>k=b/a。

第三篇：高二數(shù)學(xué)----不等式的證明題及解答

不等式的證明訓(xùn)練題及解答

一、選擇題

(1)若logab為整數(shù),且loga1122>logablogba,那么下列四個(gè)結(jié)論①>b>a②logab+logba=0bb

③0<a<b<1④ab-1=0中正確的個(gè)數(shù)是（）(2)設(shè)x1和x2是方程x2+px+4=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則（）

x1|>2且|x2|>2x1+x2x1+x2|<4x1|=4且|x2|=1

+(3)若x,y∈r,且x≠y,則下列四個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)是（） 11

?)xy

(4)若x>0,y>0,且x?y≤ax?y成立,則a的最小值是（）

2

(5)已知a,b∈r,則下列各式中成立的是（）

22cos2sin2θ·lga+sinθ·lgb<lg(a+bθ·bθ=a+b

222θsin2θθ·lga+sinθ·lgb>lg(a+bcos·b>a+b

+(6)設(shè)a,b∈r,且ab-a-b≥1,則有（） ++b≥2(2+1) +b≤+b≥(2+1)2+b≤2(2+1) 二、填空題

22(7)已知x+y=1,則3x+4y2(8)設(shè)x=?y,則x+y(9)若11≤a≤5,則a+5a(10)a=1+111????與n(n∈n)2n

(11)實(shí)數(shù)x=x-y,則xy

三、解答證明題

2422(12)用分析法證明:3(1+a+a)≥(1+a+a)

(13)用分析法證明:ab+cd≤

a2?c2?(14)用分析法證明下列不等式:

(1)求證:?7?1?(2)求證:x?1?(3)求證:a,b,c∈r,求證:2(

+

x?2?x?3?x?4(x≥4)

a?ba?b?c?)?3(?abc) 23

(15)若a,b>0,2c>a+b,求證:(1)c>ab；（2）c-c2?ab<a<c+c2?ab(16)已知x,y∈r,且x+y>2,求證:

+

1?x1?y

與中至少有一個(gè)小于yx

(17)設(shè)a,b,c∈r,證明:a+ac+c+3b(a+b+c)≥ (18)已知1≤x+y≤2,求證:

22

122

≤x+xy+y≤2

n(n?1)(n?1)2

?an?(19)設(shè)an=?2?2?3???n(n?1) (n∈n),求證:對(duì)所有n(n22

*

∈n)2

(20)已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x+ax+b=0,有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α,β,證明: (1)如果|α|<2,|β|<2,那么2|α|<4+b且|b(2)如果2|α|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β不等式的證明訓(xùn)練題參考答案：

1．a(chǎn)2．b3．d4．b5．a(chǎn)6．a(chǎn)

*

7．58．-19．［2,

26

］10．a(chǎn)≥n11．(-≦,0)∪［4,+≦］ 5

22

12．證明:要證3(1+a+a)≥(1+a+a)

222222222

只需證3［(1+a)-a］≥(1+a+a),即證3(1+a+a)(1+a-a)≥(1+a+a) ≧1+a+a=(a+

123)+>0 24

只需證3(1+a-a)≥1+a+a，展開(kāi)得2-4a+2a≥0，即2(1-a)≥02422

故3(1+a+a)≥(1+a+a)13．證明:①當(dāng)ab+cd<0時(shí),ab+cd<a?c?b?d2222

②當(dāng)ab+cd≥0時(shí),欲證ab+cd≤a?c?b?d

2222

只需證(ab+cd)≤(a2?c2?b2?d2)

展開(kāi)得ab+2abcd+cd≤(a+c)(b+d)

2222222222222222

即ab+2abcd+cd≤ab+ad+bc+cd，即2abcd≤ad+bc

22222

只需證ad+bc-2abcd≥0，即(ad-bc)≥0

因?yàn)?ad-bc)≥0ab+cd≥0時(shí),ab+cd≤a2?c2?b2?d22

22222222

綜合①②可知:ab+cd≤a2?c2?b2?d214．證明:(1)欲證?7?1? 只需證(?)2?(1?)2

展開(kāi)得12+235>16+2,即2>4+2 只需證(2)>(4+2)，即4>這顯然成立

故?7?1?(2)欲證x?1?只需證x?1?即證(x?1?

x?2?x?3?x?4(x≥4) x?4?x?3?x?2(x≥4)

x?4)2?(x?3?x?2)2(x≥4)

展開(kāi)得2x-5+2x?1?x?4?2x?5?2x?3?x?2 即x?1)(x?4)?(x?3)(x?2)

只需證［x?1)(x?4)］<［(x?3)(x?2)］

即證x-5x+4<x-5x+6，即4<6這顯然成立 故

22

x?1?x?2?x?3?x?4(x≥4)(3)欲證2(

a?ba?b?c?ab)≤3(?abc) 23

只需證a+b-2ab≤a+b+c-3

即證c+2ab≥3

+

≧a,b,c∈r，?c+2ab=c+ab+ab≥3c?ab?ab?3

?c+2ab≥3abc15．證明:（1）≧ab≤(

a?b222

)<c，?ab<c2

（2）欲證c-c2?ab<a<c+c2?ab

只需證-c2?ab<a-c<c2?ab，即|a-c|<c2?ab，即a-2ac+c<c-ab

只需證a(a+b)<2ac

≧a>0,只要證a+b<2c(已知)16．證明:(反證法):假設(shè)

1?y1?x1?y1?x

與均不小于2,即≥2,≥2,?1+x≥2y,1+y≥2xyxy

兩式相加得:x+y≤2,與已知x+y>2矛盾, 故

1?x1?y

與中至少有一個(gè)小于yx

17．證明:目標(biāo)不等式左邊整理成關(guān)于a的二次式且令 f(a)=a2+(c+3b)a+c2+3b2+32222

判別式δ=(c(公文素材庫(kù)：www.seogis.comn與以ab為直徑的半圓相切于點(diǎn)c，∠a=28°．求∠acm的度數(shù)．

7．如圖，在rt△abc中，∠c=90°，ac=5，bc=12，⊙o的半徑為3．若點(diǎn)o沿ca移動(dòng)，當(dāng)oc等于多少時(shí)，⊙o與ab相切？

如圖，pa和pb分別與⊙o相切于a，b兩點(diǎn)，作直徑ac，并延長(zhǎng)交pb于點(diǎn)d．連結(jié)op，cb．

（1）求證：op∥cb；

（2）若pa＝12，db：dc＝2：1，求⊙o的半徑．

如圖，已知矩形abcd，以a為圓心，ad為半徑的圓交ac、ab于m、e，ce?的延長(zhǎng)線交⊙a(bǔ)于f，cm=2，ab=4．（1）求⊙a(bǔ)的半徑；（2）求ce的長(zhǎng)和△afc的面積．

如圖，bc是半圓o的直徑，ec是切線，c是切點(diǎn)，割線edb交半圓o于d，a是半圓o上一點(diǎn)，ad=dc，ec=3，bd=2.5

（1）求tan∠dce的值；（2）求ab的長(zhǎng)．

第五篇：初中數(shù)學(xué)幾何證明題

初中數(shù)學(xué)幾何證明題

分析已知、求證與圖形，探索證明的思路。

對(duì)于證明題，有三種思考方式：

(1)正向思維。對(duì)于一般簡(jiǎn)單的題目，我們正向思考，輕而易舉可以做出，這里就不詳細(xì)講述了。

(2)逆向思維。顧名思義，就是從相反的方向思考問(wèn)題。運(yùn)用逆向思維解題，能使學(xué)生從不同角度，不同方向思考問(wèn)題，探索解題方法，從而拓寬學(xué)生的解題思路。這種方法是推薦學(xué)生一定要掌握的。在初中數(shù)學(xué)中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現(xiàn)的更加明顯，數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科知識(shí)點(diǎn)很少，關(guān)鍵是怎樣運(yùn)用，對(duì)于初中幾何證明題，最好用的方法就是用逆向思維法。如果你已經(jīng)上初三了，幾何學(xué)的不好，做題沒(méi)有思路，那你一定要注意了：從現(xiàn)在開(kāi)始，總結(jié)做題方法。同學(xué)們認(rèn)真讀完一道題的題干后，不知道從何入手，建議你從結(jié)論出發(fā)。例如：可以有這樣的思考過(guò)程：要證明某兩條邊相等，那么結(jié)合圖形可以看出，只要證出某兩個(gè)三角形相等即可;要證三角形全等，結(jié)合所給的條件，看還缺少什么條件需要證明，證明這個(gè)條件又需要怎樣做輔助線，這樣思考下去……這樣我們就找到了解題的思路，然后把過(guò)程正著寫(xiě)出來(lái)就可以了。這是非常好用的方法，同學(xué)們一定要試一試。

(3)正逆結(jié)合。對(duì)于從結(jié)論很難分析出思路的題目，同學(xué)們可以結(jié)合結(jié)論和已知條件認(rèn)真的分析，初中數(shù)學(xué)中，一般所給的已知條件都是解題過(guò)程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，比如給我們?nèi)�角形某邊中點(diǎn)，我們就要想到是否要連出中位線，或者是否要用到中點(diǎn)倍長(zhǎng)法。給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰，或平移對(duì)角線，或補(bǔ)形等等。正逆結(jié)合，戰(zhàn)無(wú)不勝。

幾何證明題入門(mén)難，證明題難做，是許多初中生在學(xué)習(xí)中的共識(shí)，這里面有很多因素，有主觀的、也有客觀的，學(xué)習(xí)不得法，沒(méi)有適當(dāng)?shù)慕忸}思路則是其中的一個(gè)重要原因。掌握證明題的一般思路、探討證題過(guò)程中的數(shù)學(xué)思維、總結(jié)證題的基本規(guī)律是求解幾何證明題的關(guān)鍵。在這里結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)勛约旱囊恍┓椒ㄅc大家一起分享。

一要審題。很多學(xué)生在把一個(gè)題目讀完后，還沒(méi)有弄清楚題目講的是什么意思，題目讓你求證的是什么都不知道，這非常不可齲我們應(yīng)該逐個(gè)條件的讀，給的條件有什么用，在腦海中打個(gè)問(wèn)號(hào)，再對(duì)應(yīng)圖形來(lái)對(duì)號(hào)入座，結(jié)論從什么地方入手去尋找，也在圖中找到位置。

二要記。這里的記有兩層意思。第一層意思是要標(biāo)記，在讀題的時(shí)候每個(gè)條件，你要在所給的圖形中標(biāo)記出來(lái)。如給出對(duì)邊相等，就用邊相等的符號(hào)來(lái)表示。第二層意思是要牢記，題目給出的條件不僅要標(biāo)記，還要記在腦海中，做到不看題，就可以把題目復(fù)述出來(lái)。

三要引申。難度大一點(diǎn)的題目往往把一些條件隱藏起來(lái)，所以我們要會(huì)引申，那么這里的引申就需要平時(shí)的積累，平時(shí)在課堂上學(xué)的基本知識(shí)點(diǎn)掌握牢固，平時(shí)訓(xùn)練的一些特殊圖形要熟記，在審題與記的時(shí)候要想到由這些條件你還可以得到哪些結(jié)論(就像電腦一下，你一點(diǎn)擊開(kāi)始立刻彈出對(duì)應(yīng)的菜單)，然后在圖形旁邊標(biāo)注，雖然有些條件在證明時(shí)可能用不上，但是這樣長(zhǎng)期的積累，便于以后難題的學(xué)習(xí)。

四要分析綜合法。分析綜合法也就是要逆向推理，從題目要你證明的結(jié)論出發(fā)往回推理�？纯唇Y(jié)論是要證明角相等，還是邊相等，等等，如證明角相等的方法有(1.對(duì)頂角相等2.平行線里同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等3.余角、補(bǔ)角定理4.角平分線定義5.等腰三角形6.全等三角形的對(duì)應(yīng)角等等方法。然后結(jié)合題意選出其中的一種方法，然后再考慮用這種方法證明還缺少哪些條件，把題目轉(zhuǎn)換成證明其他的結(jié)論，通常缺少的條件會(huì)在第三步引申出的條件和題目中出現(xiàn)，這時(shí)再把這些條件綜合在一起，很條理的寫(xiě)出證明過(guò)程。

五要?dú)w納總結(jié)。很多同學(xué)把一個(gè)題做出來(lái)，長(zhǎng)長(zhǎng)的松了一口氣，接下來(lái)去做其他的，這個(gè)也是不可取的，應(yīng)該花上幾分鐘的時(shí)間，回過(guò)頭來(lái)找找所用的定理、公理、定義，重新審視這個(gè)題，總結(jié)這個(gè)題的解題思路，往后出現(xiàn)同樣類(lèi)型的題該怎樣入手。

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