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利用導數(shù)證明不等式(精選多篇)

網(wǎng)站:公文素材庫 | 時間:2019-05-22 10:49:46 | 移動端:利用導數(shù)證明不等式(精選多篇)

第一篇:利用導數(shù)證明不等式

利用導數(shù)證明不等式

沒分都沒人答埃。。覺得可以就給個好評!

最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊,然后將這個式子令為一個函數(shù)f(x).對這個函數(shù)求導,判斷這個函數(shù)這各個區(qū)間的單調(diào)性,然后證明其最大值(或者是最小值)大于0.這樣就能說明原不等式了成立了!

1.當x>1時,證明不等式x>ln(x+1)

設函數(shù)f(x)=x-ln(x+1)

求導,f(x)"=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1,+無窮大)上為增函數(shù)

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+1

2..證明:a-a^2>0其中0

f(a)=a-a^2

f"(a)=1-2a

當00;當1/2

因此,f(a)min=f(1/2)=1/4>0

即有當00

3.x>0,證明:不等式x-x^3/6

先證明sinx

因為當x=0時,sinx-x=0

如果當函數(shù)sinx-x在x>0是減函數(shù),那么它一定<在0點的值0,

求導數(shù)有sinx-x的導數(shù)是cosx-1

因為cosx-1≤0

所以sinx-x是減函數(shù),它在0點有最大值0,

知sinx

再證x-x³/6

對于函數(shù)x-x³/6-sinx

當x=0時,它的值為0

對它求導數(shù)得

1-x²/2-cosx如果它<0那么這個函數(shù)就是減函數(shù),它在0點的值是最大值了。

要證x²/2+cosx-1>0x>0

再次用到函數(shù)關系,令x=0時,x²/2+cosx-1值為0

再次對它求導數(shù)得x-sinx

根據(jù)剛才證明的當x>0sinx

x²/2-cosx-1是減函數(shù),在0點有最大值0

x²/2-cosx-1<0x>0

所以x-x³/6-sinx是減函數(shù),在0點有最大值0

得x-x³/6

利用函數(shù)導數(shù)單調(diào)性證明不等式x-x²>0,x∈(0,1)成立

令f(x)=x-x²x∈

則f"(x)=1-2x

當x∈時,f"(x)>0,f(x)單調(diào)遞增

當x∈時,f"(x)<0,f(x)單調(diào)遞減

故f(x)的最大值在x=1/2處取得,最小值在x=0或1處取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值為零

故當x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。

i、m、n為正整數(shù),且1

第二篇:利用導數(shù)證明不等式

克維教育(82974566)中考、高考培訓專家鑄就孩子輝煌的未來

函數(shù)與導數(shù)(三)

核心考點五、利用導數(shù)證明不等式

一、函數(shù)類不等式證明

函數(shù)類不等式證明的通法可概括為:證明不等式f(x)?g(x)(f(x)?g(x))的問題轉化為證明f(x)?g(x)?0(f(x)?g(x)?0),進而構造輔助函數(shù)h(x)?f(x)?g(x),然后利用導數(shù)證明函數(shù)h(x)的單調(diào)性或證明函數(shù)h(x)的最小值(最大值)大于或等于零(小于或等于零)。

例1、已知函數(shù)f(x)?lnx?ax2?(2?a)x

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)設a?0,證明:當0?x?111時,f(?x)?f(?x); aaa

(3)若函數(shù)f(x)的圖像與x軸交于a、b兩點,線段ab中點的橫坐標為x0,

證明:f`(x0)?0

【變式1】已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x,求證:恒有1?1?ln(x?1)?x成立。 x?1

x【變式2】(1)x?0,證明:e?1?x

x2

?ln(1?x)(2)x?0時,求證:x?2

二、常數(shù)類不等式證明

常數(shù)類不等式證明的通法可概括為:證明常數(shù)類不等式的問題等價轉化為證明不等式 f(a)?f(b)的問題,在根據(jù)a,b的不等式關系和函數(shù)f(x)的單調(diào)性證明不等式。 例2、已知m?n?e,,求證:n?m

例3、已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?

(1)求f(x)的極小值;

(2)若a,b?0,求證:lna?lnb?1?

mnx, 1?xb a

【變式3】已知f(x)?lnx,g(x)?127,直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的 x?mx?(m?0)22

圖像都相切,且與函數(shù)f(x)的圖像的切點的橫坐標為1.

(ⅰ)求直線l的方程及m的值;

(ⅱ)若h(x)?f(x?1)?g?(x)(其中g?(x)是g(x)的導函數(shù)),求函數(shù)h(x)的最大值; (ⅲ)當0?b?a時,求證:f(a?b)?f(2a)?b?a. 2a

【變式4】求證:

b?ab?lnba?b?aa(0?a?b)

1?x)?x?0(x??1) 【變式5】證明:ln(

ln22ln32lnn2(n?1)(2n?1)【引申】求證: 2?2???2?(n?2,n?n*) 23n2(n?1)

【變式6】當t?1時,證明:1??lnt?t?1 1t

x21(x?1),各項不為零的數(shù)列?an?滿足4sn?f()?1, 【引申】已知函數(shù)f(x)?an2(x?1)

1n?11(1)求證:??ln??; an?1nan

(2)設bn??1,tn為數(shù)列?bn?的前n項和,求證:t201*?1?ln201*?t201*。 an

第三篇:導數(shù)的應用——利用導數(shù)證明不等式

導 數(shù) 的 應 用-利用導數(shù)證明不等式

1、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;

2、利用導數(shù)求函數(shù)的極值、最值;

引言:導數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具.例如:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的最大(。┲怠⑶蠛瘮(shù)的值域等等.然而,不等式是歷年高考重點考查的內(nèi)容之一.尤其是在解答題中對其的考查,更是學生感到比較棘手的一個題.因而在解決一些不等式問題時,如能根據(jù)不等式的特點,恰當?shù)貥嬙旌瘮?shù),運用導數(shù)證明或判斷該函數(shù)的單調(diào)性, 出該函數(shù)的最值;由當該函數(shù)取最大(或最。┲禃r不等式都成立,可得該不等式恒成立,從而把證明不等式問題轉化為函數(shù)求最值問題.然后用函數(shù)單調(diào)性去解決不等式的一些相關問題,可使問題迎刃而解. 因此,很多時侯可以利用導數(shù)作為工具得出函數(shù)性質(zhì),從而解決不等式問題. 下面具體討論導數(shù)在解決與不等式有關的問題時的作用.

三、例題分析

1、利用導數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式

x2例1:當x>0時,求證:x?<ln(1+x) . 2

x2x2"證明:設f(x)= x?-ln(1+x)(x>0), 則f(x)=?. 21?x

"∵x>0,∴f(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上遞減,

x2所以x>0時,f(x)<f(0)=0,即x?-ln(1+x)<0成立. 2

小結:把不等式變形后構造函數(shù),然后用導數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性,達到證明不等式的目的.

隨堂練習:課本p32:b組第一題第3小題

2、利用導數(shù)解決不等式恒成立問題(掌握恒成立與最值的轉化技巧;構造函數(shù)證明不等式)

1例2.已知函數(shù)f(x)?aex?x2 2

(1)若f(x)在r上為增函數(shù),求a的取值范圍;

(2)若a=1,求證:x>0時,f(x)>1+x

解:(1)f′(x)= aex-x,

∵f(x)在r上為增函數(shù),∴f′(x)≥0對x∈r恒成立,

即a≥xe-x對x∈r恒成立

記g(x)=xe-x,則g′(x)=e-x-xe-x=(1-x)e-x,

當x>1時,g′(x)<0,當x<1時,g′(x)>0.

知g(x)在(-∞,1)上為增函數(shù),在(1,+ ∞)上為減函數(shù),

∴g(x)在x=1時,取得最大值,即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e,

即a的取值范圍是[1/e, + ∞)

1(2)記f(x)=f(x) -(1+x) =ex?x2?1?x(x?0) 2

則f′(x)=ex-1-x,

令h(x)= f′(x)=ex-1-x,則h′(x)=ex-1

當x>0時, h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上為增函數(shù),

又h(x)在x=0處連續(xù), ∴h(x)>h(0)=0

即f′(x)>0 ,∴f(x) 在(0,+ ∞)上為增函數(shù),又f(x)在x=0處連續(xù),∴f(x)>f(0)=0,即f(x)>1+x.

小結:當函數(shù)取最大(或最小)值時不等式都成立,可得該不等式恒成立,從而把不等式的恒成立問題可轉化為求函數(shù)最值問題.不等式恒成立問題,一般都會涉及到求參數(shù)范圍,往往把變量分離后可以轉化為m?f(x)(或m?f(x))恒成立,于是

,從而把不等式恒成立問題轉化為m大于f(x)的最大值(或m小于f(x)的最小值)

求函數(shù)的最值問題.因此,利用導數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法.

例3.(全國)已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x,g(x)?xlnx

(1)求函數(shù)f(x)的最大值;

a?b)?(b?a)ln2. 2

分析:對于(ii)絕大部分的學生都會望而生畏.學生的盲點也主要就在對所給函數(shù)用不上.如果能挖掘一下所給函數(shù)與所證不等式間的聯(lián)系,想一想大小關系又與函數(shù)的單調(diào)性密切相關,由此就可過渡到根據(jù)所要證的不等式構造恰當?shù)暮瘮?shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,借助單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,以期達到證明不等式的目的.證明如下: (2)設0?a?b,證明 :0?g(a)?g(b)?2g(

證明:對g(x)?xlnx求導,則g"(x)?lnx?1. 在g(a)?g(b)?2g(a?b)中以b為主變元構造函數(shù), 2

2設f(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x),則f"(x)?g"(x)?2[g(a?x)]"?lnx?lna?x. 22

當0?x?a時,f"(x)?0,因此f(x)在(0,a)內(nèi)為減函數(shù).

當x?a時,f"(x)?0,因此f(x)在(a,??)上為增函數(shù).

從而當x?a時, f(x) 有極小值f(a).

因為f(a)?0,b?a,所以f(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(

2a?b)?0. 2又設g(x)?f(x)?(x?a)ln2.則g"(x)?lnx?lna?x?ln2?lnx?ln(a?x).

當x?0時,g"(x)?0.因此g(x)在(0,??)上為減函數(shù).

因為g(a)?0,b?a,所以g(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2. 2

綜上結論得證。

對于看起來無法下手的一個不等式證明,對其巧妙地構造函數(shù)后,運用導數(shù)研

究了它的單調(diào)性后,通過利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,使得問題得以簡單解決.

四、課堂小結

1、利用導數(shù)證明不等式或解決不等式恒成立問題,關鍵是把不等式變形后構造恰當?shù)暮瘮?shù),然后用導數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性或求出最值,達到證明不等式的目的;

2、利用導數(shù)解決不等式恒成立問題,應特別注意區(qū)間端點是否取得到;

3、學會觀察不等式與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,學會變主元構造函數(shù)再利用導數(shù)證明不等式;

總之,無論是證明不等式,還是解不等式,我們都可以構造恰當?shù)暮瘮?shù),利用到函數(shù)的單調(diào)性或最值,借助導數(shù)工具來解決,這種解題方法也是轉化與化歸思想在中學數(shù)學中的重要體現(xiàn).

五、思維拓展

ax2

x?e(x?0); (201*聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)?e?x?1(x?0),g(x)?2x(1) 求證:當a?1時對于任意正實數(shù)x, f(x) 的圖象總不會在g(x)圖象的上方;

(2) 對于在(0,1)上任意的a值,問是否存在正實數(shù)x使得f(x)?g(x)成立?

如果存在,求出符合條件的x的一個取值;否則說明理由。

第四篇:導數(shù)的應用——利用導數(shù)證明不等式1

導 數(shù) 的 應 用

--------利用導數(shù)證明不等式

教學目標:1、進一步熟練并加深導數(shù)在函數(shù)中的應用并學會利用導數(shù)證明不等式

2、培養(yǎng)學生的分析問題、解決問題及知識的綜合運用能力; 教學重點:利用導數(shù)證明不等式

教學難點:利用導數(shù)證明不等式

教學過程:

一、復習回顧

1、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;

2、利用導數(shù)求函數(shù)的極值、最值;

二、新課引入

引言:導數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具.例如:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的最大(。┲、求函數(shù)的值域等等.然而,不等式是歷年高考重點考查的內(nèi)容之一.尤其是在解答題中對其的考查,更是學生感到比較棘手的一個題.因而在解決一些不等式問題時,如能根據(jù)不等式的特點,恰當?shù)貥嬙旌瘮?shù),運用導數(shù)證明或判斷該函數(shù)的單調(diào)性, 出該函數(shù)的最值;由當該函數(shù)取最大(或最。┲禃r不等式都成立,可得該不等式恒成立,從而把證明不等式問題轉化為函數(shù)求最值問題.然后用函數(shù)單調(diào)性去解決不等式的一些相關問題,可使問題迎刃而解. 因此,很多時侯可以利用導數(shù)作為工具得出函數(shù)性質(zhì),從而解決不等式問題. 下面具體討論導數(shù)在解決與不等式有關的問題時的作用.

三、新知探究

1、利用導數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式

x2例1:當x>0時,求證:x?<ln(1+x) . 2

x2x2"證明:設f(x)= x?-ln(1+x)(x>0), 則f(x)=?. 21?x

"∵x>0,∴f(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上遞減,

x2所以x>0時,f(x)<f(0)=0,即x?-ln(1+x)<0成立. 2

小結:把不等式變形后構造函數(shù),然后用導數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性,達到證明不等式的目的.

隨堂練習:課本p32:b組第一題第3小題

2、利用導數(shù)解決不等式恒成立問題(掌握恒成立與最值的轉化技巧;構造函數(shù)證明不等式)

1例2.已知函數(shù)f(x)?aex?x2 2

(1)若f(x)在r上為增函數(shù),求a的取值范圍;

(2)若a=1,求證:x>0時,f(x)>1+x

解:(1)f′(x)= aex-x,

∵f(x)在r上為增函數(shù),∴f′(x)≥0對x∈r恒成立,

即a≥xe-x對x∈r恒成立

記g(x)=xe-x,則g′(x)=e-x-xe-x=(1-x)e-x,

當x>1時,g′(x)<0,當x<1時,g′(x)>0.

知g(x)在(-∞,1)上為增函數(shù),在(1,+ ∞)上為減函數(shù),

∴g(x)在x=1時,取得最大值,即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e,

即a的取值范圍是[1/e, + ∞)

1(2)記f(x)=f(x) -(1+x) =ex?x2?1?x(x?0) 2

則f′(x)=ex-1-x,

令h(x)= f′(x)=ex-1-x,則h′(x)=ex-1

當x>0時, h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上為增函數(shù),

又h(x)在x=0處連續(xù), ∴h(x)>h(0)=0

即f′(x)>0 ,∴f(x) 在(0,+ ∞)上為增函數(shù),又f(x)在x=0處連續(xù),∴f(x)>f(0)=0,即f(x)>1+x.

小結:當函數(shù)取最大(或最小)值時不等式都成立,可得該不等式恒成立,從而把不等式的恒成立問題可轉化為求函數(shù)最值問題.不等式恒成立問題,一般都會涉及到求參數(shù)范圍,往往把變量分離后可以轉化為m?f(x)(或m?f(x))恒成立,于是

,從而把不等式恒成立問題轉化為m大于f(x)的最大值(或m小于f(x)的最小值)

求函數(shù)的最值問題.因此,利用導數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法.

例3.(201*年全國)已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x,g(x)?xlnx

(1)求函數(shù)f(x)的最大值;

a?b)?(b?a)ln2. 2

分析:對于(ii)絕大部分的學生都會望而生畏.學生的盲點也主要就在對所給函數(shù)用不上.如果能挖掘一下所給函數(shù)與所證不等式間的聯(lián)系,想一想大小關系又與函數(shù)的單調(diào)性密切相關,由此就可過渡到根據(jù)所要證的不等式構造恰當?shù)暮瘮?shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,借助單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,以期達到證明不等式的目的.證明如下: (2)設0?a?b,證明 :0?g(a)?g(b)?2g(

證明:對g(x)?xlnx求導,則g"(x)?lnx?1. 在g(a)?g(b)?2g(a?b)中以b為主變元構造函數(shù), 2

2設f(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x),則f"(x)?g"(x)?2[g(a?x)]"?lnx?lna?x. 22

當0?x?a時,f"(x)?0,因此f(x)在(0,a)內(nèi)為減函數(shù).

當x?a時,f"(x)?0,因此f(x)在(a,??)上為增函數(shù).

從而當x?a時, f(x) 有極小值f(a).

因為f(a)?0,b?a,所以f(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(

2a?b)?0. 2又設g(x)?f(x)?(x?a)ln2.則g"(x)?lnx?lna?x?ln2?lnx?ln(a?x).

當x?0時,g"(x)?0.因此g(x)在(0,??)上為減函數(shù).

因為g(a)?0,b?a,所以g(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2. 2

綜上結論得證。

對于看起來無法下手的一個不等式證明,對其巧妙地構造函數(shù)后,運用導數(shù)研究了它的單調(diào)性后,通過利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,使得問題得以簡單解決.

四、課堂小結

1、利用導數(shù)證明不等式或解決不等式恒成立問題,關鍵是把不等式變形后構造恰當?shù)暮瘮?shù),然后用導數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性或求出最值,達到證明不等式的目的;

2、利用導數(shù)解決不等式恒成立問題,應特別注意區(qū)間端點是否取得到;

3、學會觀察不等式與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,學會變主元構造函數(shù)再利用導數(shù)證明不等式;

總之,無論是證明不等式,還是解不等式,我們都可以構造恰當?shù)暮瘮?shù),利用到函數(shù)的單調(diào)性或最值,借助導數(shù)工具來解決,這種解題方法也是轉化與化歸思想在中學數(shù)學中的重要體現(xiàn).

五、思維拓展

ax2

x?e(x?0); (201*聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)?e?x?1(x?0),g(x)?2x(1) 求證:當a?1時對于任意正實數(shù)x, f(x) 的圖象總不會在g(x)圖象的上方;

(2) 對于在(0,1)上任意的a值,問是否存在正實數(shù)x使得f(x)?g(x)成立?

如果存在,求出符合條件的x的一個取值;否則說明理由。

第五篇:利用導數(shù)證明不等式的常見題型經(jīng)典

利用導數(shù)證明不等式的常見題型及解題技巧

技巧精髓

1、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合中的一個難點,也是近幾年高考的熱點。

2、解題技巧是構造輔助函數(shù),把不等式的證明轉化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值,從而證得不等式,而如何根據(jù)不等式的結構特征構造一個可導函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關鍵。

一、利用題目所給函數(shù)證明

【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x,求證:當x??1時,恒有

1?1?ln(x?1)?x x?1

分析:本題是雙邊不等式,其右邊直接從已知函數(shù)證明,左邊構造函數(shù)

1?1,從其導數(shù)入手即可證明。 x?1

1x【綠色通道】f?(x)??1??x?1x?1g(x)?ln(x?1)?

∴當?1?x?0時,f?(x)?0,即f(x)在x?(?1,0)上為增函數(shù)

當x?0時,f?(x)?0,即f(x)在x?(0,??)上為減函數(shù)

故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1,0),單調(diào)遞減區(qū)間(0,??)

于是函數(shù)f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0,因此,當x??1時,f(x)?f(0)?0,即ln(x?1)?x?0∴l(xiāng)n(x?1)?x (右面得證), 現(xiàn)證左面,令g(x)?ln(x?1)?11x1?? ?1, 則g?(x)?22x?1(x?1)x?1(x?1)

當x?(?1,0)時,g?(x)?0;當x?(0,??)時,g?(x)?0 ,

即g(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù),在x?(0,??)上為增函數(shù),

故函數(shù)g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0,

1?1?0 x?1

11∴l(xiāng)n(x?1)?1?,綜上可知,當x??1時,有?1?ln(x?1)?xx?1x?1

【警示啟迪】如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大(小)值,則有f(x)?f(a)(或f(x)?f(a)),

那么要證不等式,只要求函數(shù)的最大值不超過0就可得證. ∴當x??1時,g(x)?g(0)?0,即ln(x?1)?

2、直接作差構造函數(shù)證明

【例2】已知函數(shù)f(x)?

圖象的下方;

第 1 頁 共 4 頁 122x?lnx. 求證:在區(qū)間(1,??)上,函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?x3的23

分析:函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方?不等式f(x)?g(x)問題, 12212x?lnx?x3,只需證明在區(qū)間(1,??)上,恒有x2?lnx?x3成立,設2323

1f(x)?g(x)?f(x),x?(1,??),考慮到f(1)??0 6

要證不等式轉化變?yōu)椋寒攛?1時,f(x)?f(1),這只要證明: g(x)在區(qū)間(1,??)是增函數(shù)即可。

21【綠色通道】設f(x)?g(x)?f(x),即f(x)?x3?x2?lnx, 32即

1(x?1)(2x2?x?1)則f?(x)?2x?x?= xx2

(x?1)(2x2?x?1)當x?1時,f?(x)= x

從而f(x)在(1,??)上為增函數(shù),∴f(x)?f(1)?

∴當x?1時 g(x)?f(x)?0,即f(x)?g(x),

故在區(qū)間(1,??)上,函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?1?0 623x的圖象的下方。 3

【警示啟迪】本題首先根據(jù)題意構造出一個函數(shù)(可以移項,使右邊為零,將移項后的左式設為函數(shù)),

并利用導數(shù)判斷所設函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,證明要證的不等式。讀者也可以設f(x)?f(x)?g(x)做一做,深刻體會其中的思想方法。

3、換元后作差構造函數(shù)證明

111 都成立. ?nn2n3

1分析:本題是山東卷的第(ii)問,從所證結構出發(fā),只需令?x,則問題轉化為:當x?0時,恒n【例3】(201*年,山東卷)證明:對任意的正整數(shù)n,不等式ln(?1)?

有l(wèi)n(x?1)?x?x成立,現(xiàn)構造函數(shù)h(x)?x?x?ln(x?1),求導即可達到證明。

【綠色通道】令h(x)?x?x?ln(x?1), 322332

13x3?(x?1)2

?則h?(x)?3x?2x?在x?(0,??)上恒正, x?1x?12

所以函數(shù)h(x)在(0,??)上單調(diào)遞增,∴x?(0,??)時,恒有h(x)?h(0)?0,

即x?x?ln(x?1)?0,∴l(xiāng)n(x?1)?x?x

對任意正整數(shù)n,取x?32231111?(0,??),則有l(wèi)n(?1)?2?3 nnnn

【警示啟迪】我們知道,當f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則x?a時,有f(x)?f(a).如果f(a)=?(a),要證明當x?a時,f(x)??(x),那么,只要令f(x)=f(x)-?(x),就可以利用f(x)的單調(diào)增性來推導.也就是說,在f(x)可導的前提下,只要證明f"(x)?0即可.

4、從條件特征入手構造函數(shù)證明

【例4】若函數(shù)y=f(x)在r上可導且滿足不等(版權歸公文素材庫Wwww.seogis.com)式xf?(x)>-f(x)恒成立,且常數(shù)a,b滿足a>b,求

證:.a(chǎn)f(a)>bf(b)

【綠色通道】由已知 xf?(x)+f(x)>0 ∴構造函數(shù) f(x)?xf(x),

則f(x)? xf?(x)+f(x)>0, 從而f(x)在r上為增函數(shù)。 "

?a?b ∴f(a)?f(b) 即 af(a)>bf(b)

【警示啟迪】由條件移項后xf?(x)?f(x),容易想到是一個積的導數(shù),從而可以構造函數(shù)f(x)?xf(x),

求導即可完成證明。若題目中的條件改為xf?(x)?f(x),則移項后xf?(x)?f(x),要想到

是一個商的導數(shù)的分子,平時解題多注意總結。

【思維挑戰(zhàn)】

21、(201*年,安徽卷) 設a?0,f(x)?x?1?lnx?2alnx

求證:當x?1時,恒有x?lnx?2alnx?1,

2、(201*年,安徽卷)已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù) 2

f(x)?52122x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0,且b?a?3alna,22

求證:f(x)?g(x)

3、已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?

恒有l(wèi)na?lnb?1?x,求證:對任意的正數(shù)a、b, 1?xb. a

4、(201*年,陜西卷)f(x)是定義在(0,+∞)上的非負可導函數(shù),且滿足xf?(x)?f(x)≤0,對任意正數(shù)a、b,若a < b,則必有()

(a)af (b)≤bf (a) (c)af (a)≤f (b)

【答案咨詢】

1、提示:f?(x)?1?

∴(b)bf (a)≤af (b) (d)bf (b)≤f (a) 2lnx2a2lnx,當x?1,a?0時,不難證明??1 xxxf?(x)?0,即f(x)在(0,??)內(nèi)單調(diào)遞增,故當x?1時,

2f(x)?f(1)?0,∴當x?1時,恒有x?lnx?2alnx?1

3a21222、提示:設f(x)?g(x)?f(x)?x?2ax?3alnx?b則f?(x)?x?2a? x2

(x?a)(x?3a)= (x?0) ?a?0,∴ 當x?a時,f?(x)?0, x

故f(x)在(0,a)上為減函數(shù),在(a,??)上為增函數(shù),于是函數(shù)f(x) 在(0,??)上的最小值

是f(a)?f(a)?g(a)?0,故當x?0時,有f(x)?g(x)?0,即f(x)?g(x)

3、提示:函數(shù)f(x)的定義域為(?1,??),f?(x)?11x ??221?x(1?x)(1?x)

∴當?1?x?0時,f?(x)?0,即f(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù)

當x?0時,f?(x)?0,即f(x)在x?(0,??)上為增函數(shù)

因此在x?0時,f(x)取得極小值f(0)?0,而且是最小值 x1,即ln(1?x)?1? 1?x1?x

a1bab令1?x??0,則1??1?于是ln?1? bx?1aba

b因此lna?lnb?1? a于是f(x)?f(0)?0,從而ln(1?x)?

xf"(x)?f(x)f(x)f(x)4、提示:f(x)?,f?(x)?,故在(0,+∞)上是減函數(shù),由?0f(x)?2xxx

a?b 有f(a)f(b)?? af (b)≤bf (a)故選(a) ab

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