第一篇：初一平行線證明題

初一平行線證明題

用反證法

a平面垂直與一條直線，

設平面和直線的交點為p

b平面垂直與一條直線，

設平面和直線的交點為q

假設a和b不平行，那么一定有交點。

設有交點r，那么

做三角形pqr

pr垂直pqqr垂直pq

沒有這樣的三角形。因為三角形的內(nèi)角和為180

所以a一定平行于b

證明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c證明:假使b、c不平行則b、c交于一點o又因為a‖b,a‖c所以過o有b、c兩條直線平行于a這就與平行公理矛盾所以假使不成立所以b‖c由同位角相等，兩直線平行，可推出：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。因為a‖b,a‖c,所以b‖c(平行公理的推論)

2

“兩直線平行，同位角相等.”是公理，是無法證明的，書上給的也只是說明而已，并沒有給出嚴格證明，而“兩直線平行，內(nèi)錯角相等“則是由上面的公理推導出來的，利用了對等角相等做了一個替換，上面兩位給出的都不是嚴格的證明。

一、怎樣證明兩直線平行證明兩直線平行的常用定理(性質(zhì))有:1.兩直線平行的判定定理:①同位角相等,兩直線平行;②內(nèi)錯角相等,兩直線平行;③同旁內(nèi)角互補,兩直線平行;④平行(或垂直)于同一直線的兩直線平行.2、三角形或梯形的中位線定理.3、如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.4、平行四邊形的性質(zhì)定理.5、若一直線上有兩點在另一直線的同旁).(a)藝l=匕3(b)/2=藝3(c)匕4二藝5(d)匕2+/4=18)分析:利用平行線判定定理可判斷答案選c認六一值!小人﹃夕叱的一試勺洲洲川jlze一b/(一、圖月一飛/匕一|求且它們到該直線的距離相等,則兩直線平行.例1(201*年南通市)已知:如圖l,下列條件中,不能判斷直線l,//l:的是(b).例2(201*年泉州市)如圖2,△注bc中,匕bac的平分線ad交bc于d,④o過點a,且和bc切于d,和ab、ac分別交b于e、f,設ef交ad于c,連結df.(l)求證:ef//bc

(1)根據(jù)定義。證明兩個平面沒有公共點。

由于兩個平面平行的定義是否定形式，所以直接判定兩個平面平行較困難，因此通常用反證法證明。

(2)根據(jù)判定定理。證明一個平面內(nèi)有兩條相交直線都與另一個平面平行。

(3)根據(jù)“垂直于同一條直線的兩個平面平行”，證明兩個平面都與同一條直線垂直。

2.兩個平行平面的判定定理與性質(zhì)定理不僅都與直線和平面的平行有邏輯關系，而且也和直線與直線的平行有密切聯(lián)系。就是說，一方面，平面與平面的平行要用線面、線線的平行來判定;另一方面，平面

與平面平行的性質(zhì)定理又可看作平行線的判定定理。這樣，在一定條件下，線線平行、線面平行、面面平行就可以互相轉化。

3.兩個平行平面有無數(shù)條公垂線，它們都是互相平行的直線。夾在兩個平行平面之間的公垂線段相等。

因此公垂線段的長度是唯一的，把這公垂線段的長度叫作兩個平行平面間的距離。顯然這個距離也等于其中一個平面上任意一點到另一個平面的垂線段的長度。

兩條異面直線的距離、平行于平面的直線和平面的距離、兩個平行平面間的距離，都歸結為兩點之間的距離。

1.兩個平面的位置關系，同平面內(nèi)兩條直線的位置關系相類似，可以從有無公共點來區(qū)分。因此，空間不重合的兩個平面的位置關系有：

(1)平行—沒有公共點;

(2)相交—有無數(shù)個公共點，且這些公共點的集合是一條直線。

注意：在作圖中，要表示兩個平面平行時，應把表示這兩個平面的平行四邊形畫成對應邊平行。

2.兩個平面平行的判定定理表述為：

4.兩個平面平行具有如下性質(zhì)：

(1)兩個平行平面中,一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面。

簡述為：“若面面平行,則線面平行”。

(2)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

簡述為：“若面面平行,則線線平行”。

(3)如果兩個平行平面中一個垂直于一條直線，那么另一個也與這條直線垂直。

(4)夾在兩個平行平面間的平行線段相等

2

用反證法

a平面垂直與一條直線，

設平面和直線的交點為p

b平面垂直與一條直線，

設平面和直線的交點為q

假設a和b不平行，那么一定有交點。

設有交點r，那么

做三角形pqr

pr垂直pqqr垂直pq

沒有這樣的三角形。因為三角形的內(nèi)角和為180

所以a一定平行于b

第二篇：平行線性質(zhì)證明題

1、如圖ef∥ad，∠1=∠2，∠bac=70 o，求∠agd。

證明：∵ef∥ad，（已知）

∴∠2=.（）

又∵∠1=∠2，（已知）

∴∠1=∠3.（等量代換）

∴ab∥（）

∴∠bac+=180 o .（∵∠bac=70 o

∴∠agd=.

6、如圖，a∥b，c∥d，∠1＝113°，求∠2、∠3的度數(shù)．

3、如下圖：∠3+∠4=180°，∠1=108°。求∠2的度數(shù)

4、已知：如圖，∠ade＝∠b，∠dec＝115°．求∠c的度數(shù)．

. ）

7、如圖，ab∥cd，∠1=45°，∠d=∠c，求∠d、∠c、∠b的度數(shù)．

5、如圖所示，已知∠b=∠c，ad∥bc，試說明：ad平分∠cae

2、如圖，ab∥cd， ac⊥bc，∠bac =65°，求∠bcd的度數(shù).

參考答案

一、簡答題

1、∠3（兩直線平行，同位角相等）；

dg(內(nèi)錯角相等，兩直線平行，)

∠dgc(兩直線平行,同旁內(nèi)角相等)

110度

2、解

: ------------------------------1分

------------------------------3分

--------------------------------------------------5分

------------------------------6分

3、圖為∠3+∠4=180°（已知）

所以ab∥cd（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）

因為ab∥cd

所以∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）

因為∠1=108°（已知）

所以∠2=108°（等量代換）

4、解：∵∠ade＝∠b

∴de∥bc

∴∠dec+∠c=180°

∴∠c=180°-∠dec =180°-115°=65°

5、∵ad∥bc，∴∠2=∠b，∠1=∠c。又∵∠b=∠c，∴∠1=∠2即ad平分∠cae

6、∠2＝113°．∠3＝67°．

∵ a∥b（已知）．

∴ ∠2＝∠1＝113°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）． ∵ c∥d（已知）．

∴ ∠4＝∠2＝113°（兩直線平行，同位角相等）． ∵ ∠3＋∠4＝180°（鄰補角定義），

∴ ∠3＝67°（等式性質(zhì)）．

7、∠d=∠c=45°，∠b=135°

第三篇：平行線的判定證明題

平行線的判定證明題

1)兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等;(2)兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等;(3)兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補。(1)兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行;(2)兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行;(3)兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角相等，那么這兩條直線平行。按這個判定，絕對沒錯。這兩種的第一條都沒有辦法判定，而后兩條就完全可以按照第一條來判定，最后的結果一定是對的。

2

平行線的性質(zhì)：(1)兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等;(2)兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等;(3)兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補。平行線的判定定理：(1)兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行;(2)兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行;(3)兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角相等，那么這兩條直線平行。

平行線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)永不相交的兩條直線叫做平行線。平行線的判定定理：(1)兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行;(2)兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行;(3)兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角相等，那么這兩條直線平行。

3

光學原理。

延長ge角cd于q

因為∠2=∠3，所以ab∥cd

由ab∥cd可得∠1=∠gqd

又∠1=∠4

所以∠4=∠gqd

所以gq∥fh即：ge∥fh

因為∠2=∠3

所以ab∥cd

所以角cfe=角feb

所以大角hfe=大角feg

所以hf∥ge

4

)要證明ab∥gd，只要證明∠1=∠bad即可，根據(jù)∠1=∠2，只要再證明∠2=∠bad即可證得;

(2)根據(jù)ab∥cd，∠1：∠2：∠3=1：2：3即可求得三個角的度數(shù)，再根據(jù)∠eba與∠abd互補，可求得∠eba的度數(shù)，即可作出判斷.解答：解：(1)證明：∵ad⊥bc，ef⊥bc(已知)

∴∠efb=∠adb=90°(垂直的定義)

∴ef∥ad(同位角相等，兩直線平行)(2分)

∴∠2=∠bad(兩直線平行，同位角相等)(3分)

∵∠1=∠2，(已知)

∴∠1=∠bad(等量代換)

∴ab∥dg.(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)(4分)

(2)判斷：ba平分∠ebf(1分)

證明：∵∠1：∠2：∠3=1：2：3

∴可設∠1=k，∠2=2k，∠3=3k(k>0)

∵ab∥cd

∴∠2+∠3=180°(2分)

∴2k+3k=180°

∴k=36°

∴∠1=36°，∠2=72°(4分)

∴∠abe=72°(平角定義)

∴∠2=∠abe

∴ba平分∠ebf(角平分線定義).(5分)

第四篇：平行線證明題

平行線證明題

直線ab和直線cd平行

因為,∠aef=∠efd.所以ab平行于cd

內(nèi)錯角相等，兩直線平行

em與fn平行因為em是∠aef的平分線,fn是∠efd的平分線,所以角mef=1/2角aef,角efn=1/2角efd

因為,∠aef=∠efd，所以角mef=角efn

所以em與fn平行，內(nèi)錯角相等，兩直線平行

2

第五章相交線與平行線試卷

一、填空題：

1、平面內(nèi)兩條直線的位置關系可能是或。

2、“兩直線平行，同位角相等”的題設是，結論是。

3、∠a和∠b是鄰補角，且∠a比∠b大200，則∠a=度，∠b=度。

4、如圖1，o是直線ab上的點，od是∠cob的平分線，若∠aoc=400，則∠bod=

0。

5、如圖2，如果ab‖cd，那么∠b+∠f+∠e+∠d=0。

6、如圖3，圖中abcd-是一個正方體，則圖中與bc所在的直線平行的直線有條。

7、如圖4，直線‖，且∠1=280，∠2=500，則∠acb=0。

8、如圖5，若a是直線de上一點，且bc‖de，則∠2+∠4+∠5=0。

9、在同一平面內(nèi)，如果直線‖，‖，則與的位置關系是。

10、如圖6，∠abc=1200，∠bcd=850，ab‖ed，則∠cde0。

二、選擇題：各小題只有唯一一個正確答案，請將正確答案的代號填在題后的括號內(nèi)

11、已知：如圖7，∠1=600，∠2=1200，∠3=700，則∠4的度數(shù)是()

a、700b、600c、500d、400

12、已知：如圖8，下列條件中，不能判斷直線‖的是()

a、∠1=∠3b、∠2=∠3c、∠4=∠5d、∠2+∠4=1800

13、如圖9，已知ab‖cd，hi‖fg，ef⊥cd于f，∠1=400，那么∠ehi=()

a、400b、450c、500d、550

14、一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則這兩個角()

a、相等b、相等或互補c、互補d、不能確定

15、下列語句中，是假命題的個數(shù)是()

①過點p作直線bc的垂線;②延長線段mn;③直線沒有延長線;④射線有延長線。

a、0個b、1個c、2個d、3個

16、兩條直線被第三條直線所截，則()

a、同位角相等b、內(nèi)錯角相等

c、同旁內(nèi)角互補d、以上結論都不對

17、如圖10，ab‖cd，則()

a、∠bad+∠bcd=1800b、∠abc+∠bad=1800

c、∠abc+∠bcd=1800d、∠abc+∠adc=1800

18、如圖11，∠abc=900，bd⊥ac，下列關系式中不一定成立的是()

a、ab>adb、ac>bcc、bd+cd>bcd、cd>bd

19、如圖12，下面給出四個判斷：①∠1和∠3是同位角;②∠1和∠5是同位角;③∠1和∠2是同旁內(nèi)角;④∠1和∠4是內(nèi)錯角。其中錯誤的是()

a、①②b、①②③c、②④d、③④

三、完成下面的證明推理過程，并在括號里填上根據(jù)

21、已知，如圖13，cd平分∠acb，de‖bc，∠aed=820。求∠edc的度數(shù)。

證明：∵de‖bc(已知)

∴∠acb=∠aed()

∠edc=∠dcb()

又∵cd平分∠acb(已知)

∴∠dcb=∠acb()

又∵∠aed=820(已知)

∴∠acb=820()

∴∠dcb==410()

∴∠edc=410()

22、如圖14，已知aob為直線，oc平分∠bod，eo⊥oc于o。試說明：oe平分∠aod。

解：∵aob是直線(已知)

∴∠boc+∠cod+∠doe+∠eoa=1800()

又∵eo⊥oc于o(已知)

∴∠cod+∠doe=900()

∴∠boc+∠eoa=900()

又∵oc平分∠bod(已知)

∴∠boc=∠cod()

∴∠doe=∠eoa()

∴oe平分∠aod()

四、解答題：

23、已知，如圖16，ab‖cd，gh是相交于直線ab、ef的直線，且∠1+∠2=1800。試說明：cd‖ef。

24、如圖18，已知ab‖cd，∠a=600，∠ecd=1200。求∠eca的度數(shù)。

五、探索題(第27、28題各4分，本大題共8分)

25、如圖19，已知ab‖de，∠abc=800，∠cde=1400。請你探索出一種(只須一種)添加輔助線求出∠bcd度數(shù)的方法，并求出∠bcd的度數(shù)。

26、閱讀下面的材料，并完成后面提出的問題。

(1)已知，如圖20，ab‖df，請你探究一下∠bcf與∠b、∠f的數(shù)量有何關系，并說明理由。

(2)在圖20中，當點c向左移動到圖21所示的位置時，∠bcf與∠b、∠f又有怎樣的數(shù)量關系呢?

(3)在圖20中，當點c向上移動到圖22所示的位置時，∠bcf與∠b、∠f又有怎樣的數(shù)量關系呢?

(4)在圖20中，當點c向下移動到圖23所示的位置時，∠bcf與∠b、∠f又有怎樣的數(shù)量關系呢?

分析與探究的過程如下：

在圖20中，過點c作ce‖ab

∵ce‖ab(作圖)

ab‖df(已知)

∴ab‖ec‖df(平行于同一條直線的兩條直線平行)

∴∠b+∠1=∠f+∠2=1800(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)

∴∠b+∠1+∠2+∠f=3600(等式的性質(zhì))

即∠bcf+∠b+∠f=3600

在圖21中，過點c作ce‖ab

∵ce‖ab(作圖)

ab‖df(已知)

∴ab‖ec‖df(平行于同一條直線的兩條直線平行)

∴∠b=∠1，∠f=∠2(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)

∴∠b+∠f=∠1+∠2(等式的性質(zhì))

即∠bcf=∠b+∠f

直接寫出第(3)小題的結論：(不須證明)。

由上面的探索過程可知，點c的位置不同，∠bcf與∠(更多內(nèi)容請訪問好范 文網(wǎng)www.seogis.comf∥ab

∴∠aem=∠a

又∵ab∥cd

∴ef∥cd

∴∠mfc=∠c

又∠aec=∠aem+∠mec

∴∠aec=∠a+∠c

證法二：延長ae交ab于f

∵ab∥cd

∴∠a=∠afc

又∠aec=∠c+∠afc

∴∠aec=∠a+∠c

證法三：延長ce交ab于f

(略，與證法二類似)

證法四：連接ac

∵ab∥cd

∴∠bac+∠acd=180°

即∠bae+∠eac+∠ace+∠ecd=180°

又∠eac+∠ace+∠aec=180°

∴∠aec=∠bae+∠ecd

※通過一題多證，加深了學生對平行線的特征的理解和運用。

例題2(一題多變)已知ab∥cd,

如果改變e點與ab、cd的位置關系，且∠e、∠a、∠c依然存在，有哪幾種情況?請畫出圖形，并證明

圖1中結論，∠aec+∠a+∠c=360°

證：過點e作ef∥ab

∵ab∥cd

∴ef∥cd

∴∠a+∠aef=180°,∠fec+∠c=180°

∴∠a+∠aef+∠fec+∠c=360°

即∠aec+∠a+∠c=360°

圖2中結論，∠aec=∠c-∠a

證：過點e作ef∥ab

∵ab∥cd

∴ef∥cd

∴∠fea+∠a=180°

∠fec+∠c=180°

∴∠fea-∠fec=∠c-∠a

即∠aec=∠c-∠a

圖3中結論，∠aec=∠a-∠c

證：過點e作ef∥ab

∵ab∥cd

∴ef∥cd

∴∠fea+∠a=180°

∠fec+∠c=180°

∴∠fec-∠fea=∠a-∠c

即∠aec=∠a-∠c

例題3(一題多變)將例1和例2的條件和結論對換，以上結論都成立重點練習平行線的性質(zhì)和判斷(證明過程略)

圖形條件結論∠aec=∠a+∠cab∥cd∠aec+∠a+∠c=360°ab∥cd∠aec=∠c-∠aab∥cd∠aec=∠a-∠cab∥cd拓展延伸

觀察以下二個圖形，這些拐角之間的關系有什么規(guī)律?

提示：分別過e1，e2，e3……en作ab的平行線即可證得

※結論：向左凸出的角的和=向左凸出的角的和

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