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函數(shù)法證明不等式(精選多篇)

網(wǎng)站:公文素材庫 | 時(shí)間:2019-05-22 10:50:37 | 移動(dòng)端:函數(shù)法證明不等式(精選多篇)

第一篇:函數(shù)法證明不等式

函數(shù)法證明不等式

已知函數(shù)f(x)=x-sinx,數(shù)列{an}滿足0

<1>證明0

<2>證明an+1<(1/6)×(an)^3

它提示是構(gòu)造一個(gè)函數(shù)然后做差求導(dǎo),確定單調(diào)性?墒沁是一點(diǎn)思路都沒有,各位能不能給出具體一點(diǎn)的解答過程啊?

(1)f(x)=x-sinx,f"(x)=1-cosx

00,f(x)是增函數(shù),f(0)

因?yàn)?

且an+1=an-sinan

(2)求證不等式即(1/6)an^3-an+1=(1/6)an^3-an+sinan>0①

構(gòu)造函數(shù)g(x)=(1/6)x^3-x+sinx(0

g""(x)=x-sinx,由(1)知g""(x)>0,所以g"(x)單增,g"(x)>g"(0)=0

所以g(x)單增且g(x)>g(0)=0,故不等式①成立

因此an+1<(1/6)×(an)^3成立。

證畢!

構(gòu)造分式函數(shù),利用分式函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

【例1】證明不等式:≥(人教版教材p23t4)

證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x≥0)

則f(x)==1-在上單調(diào)遞增

∵f(|a|+|b|)=f(|a+b|)=且|a|+|b|≥|a+b|

∴f(|a|+|b|)≥f(|a+b|)即所證不等式正確。

點(diǎn)評(píng):本題還可以繼續(xù)推廣。如:求證:≥。利用分式函數(shù)的單調(diào)性可以證明的教材中的習(xí)題還有很多,如:

p14第14題:已知c>a>b>0,求證:

p19第9題:已知三角形三邊的長(zhǎng)是a,b,c,且m是正數(shù),求證:

p12例題2:已知a,b,m,都是正數(shù),且a二、利用分式函數(shù)的奇偶性證明不等式

【例2】證明不等式:(x≠0)

證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=

∵f(-x)=

=f(x)

∴f(x)是偶函數(shù),其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。

當(dāng)x>0時(shí),<0,f(x)<0;

當(dāng)x<0時(shí),-x>0,故f(x)=f(-x)<0

∴<0,即

三、構(gòu)造一次函數(shù),利用一次函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

【例3】已知|a|<1,|b|<1,|c|<1,求證:a+b+c證明:構(gòu)造函數(shù)f(c)=(1-ab)c+a+b-2

∵|a|<1,|b|<1

∴-10

∴f(c)的(-1,1)上是增函數(shù)

∵f(1)=1-ab+a+b-2=a+b–ab-1=a(1-b)-(1-b)=(1-b)(a-1)<0

∴f(1)<0,即(1-ab)c+a+b-2<0

∴a+b+c。

第二篇:構(gòu)造函數(shù)法證明不等式

構(gòu)造函數(shù)法證明不等式

河北省 趙春祥

不等式證明是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一.由于證明不等式?jīng)]有固定的模式,證法靈活多樣,技巧性強(qiáng),使其成為各種考試命題的熱點(diǎn)問題,函數(shù)法證明不等式就是其常見題型.即有些不等式可以和函數(shù)建立直接聯(lián)系,通過構(gòu)造函數(shù)式,利用函數(shù)的有關(guān)特性,完成不等式的證明.

一、構(gòu)造一元一次函數(shù)證明不等式

例1設(shè)0<x<1,0<y<1,0<z<1,求證:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

證明:構(gòu)造一次函數(shù)f(x)= x(1-y)+y(1-z)+z(1-x),整理,得

f(x)= (1-y-z)x+(y+z-yz) 其中0<x<1,

∵0<x<1,0<y<1,0<z<1,∴-1<1-y-z<1.

⑴當(dāng)0<1-y-z<1時(shí),f(x)在(0,1)上是增函數(shù),于是

f(x)<f(1)=1-yz<1;

⑵當(dāng)-1<1-y-z<0時(shí),f(x)在(0,1)上是減函數(shù),于是

f(x)<f(0)= y+z-yz = 1-(1-y)(1-z)<1;

⑶當(dāng)1-y-z = 0,即y+z = 1時(shí),f(x)= y+z-yz = 1-yz<1.

綜上,原不等式成立.

例2已知 | a |<1 ,| b |<1,| c |<1,求證:abc+2>a+b+c.

證明:構(gòu)造一次函數(shù)f(x)= (bc-1)x+2-b-c,這里, | b |<1,| c |<1,| x |<1,則bc <1. ∵f(?1)= 1-bc+2-b-c = (1-bc)+(1-b)+(1-c)>0,

f(1)= bc-1+2-b-c =(1-b)(1-c)>0,

∵-1<x<1,∴一次函數(shù)f(x)= (bc-1)x+2-b-c的圖象在x軸上方,這就是說,當(dāng)| a |<1 ,| b |<1,| c |<1時(shí),有(bc-1)a+2-b-c>0,

即abc+2>a+b+c.

二、構(gòu)造一元二次函數(shù)證明不等式

例3若 a、b、c∈r+ ,求證:a2+b2+c2≥ab+bc+ca .

證明構(gòu)造函數(shù)f(x)= x2-( b+c )x+b2+c2-bc .

因?yàn)?△= ( b+c )2-4( b2+c2-bc ) =-3( b-c )2≤0 ,

又因?yàn)槎雾?xiàng)的系數(shù)為正數(shù),所以x2-( b+c )x+b2+c2-bc≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立. 以a 替換 x 得:a2-( b+c )a+b2+c2-bc≥0, 即 a2+b2+c2≥ab+bc+ ca.

例4已知a、b、c、d、e是滿足a+b+c+d+e= 8,a2+b2+c2+d2+e2= 16的實(shí)數(shù),求證:0≤e≤

165

證明:構(gòu)造一元二次函數(shù)

f(x)= 4x

+2(a+b+c+d)+a2+b2+c2+d2= (x+a)2+(x+b)2+(x+c)2+(x+d)2≥0,

又∵二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù),

∴△= 4(a+b+c+d)2-16(a2+b2+c2+d2) = 4(8-e)2-16(16-e2)≤0, 解之得0≤e≤

165

故不等式成立.

三、構(gòu)造單調(diào)函數(shù)證明不等式 例5已知 a>0,b>0,求證 :證明: 構(gòu)造函數(shù)f(x)=

x1?x

a1?a

b1?b

x

a?b1?a?b

,易證f(x)=

1?x

= 1-

1?x

當(dāng)x>0 時(shí)單調(diào)遞增.

∵ a+b+ab>a+b>0 ,∴ f(a+b+ab)>f( a+b) . 故

a1?a

b1?b

=

a?b?2ab(1?a)(1?b)

a?b?ab1?a?b?ab)

14

=f(a+b+ab)>f( a+b) =

13n?2

13n?1

a?b1?a?b

例6對(duì)任意自然數(shù)n 求證: (1+1)(1+

14

)·…·(1+

13n?2

)>3n?1.

證明:構(gòu)造函數(shù)f(n)= (1+1)(1+

13n?1

)·…·(1+3

,

f(n?1)f(n)

(1?)33n?1

=

3n?4

=(3n?2)

(3n?1)(3n?4)

>1,

∵f(n)>0,∴f(n?1)>f(n),即f(n)是自然數(shù)集n上的單調(diào)遞增函數(shù),

∴(1+1)(1+

14

)·…·(1+

13n?2

)>33n?1.

第三篇:對(duì)構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的再研究

龍?jiān)雌诳W(wǎng) http://.cn

對(duì)構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的再研究

作者:時(shí)英雄

來源:《理科考試研究·高中》201*年第10期

某刊一文闡述了構(gòu)造法證明不等式的九個(gè)模型,筆者深受啟發(fā),對(duì)其中作者介紹的構(gòu)造函數(shù)模型進(jìn)行了挖掘,著重對(duì)構(gòu)造函數(shù)模型,利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決不等式問題進(jìn)行了再研究,以供大家參考。

第四篇:巧用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式

構(gòu)造函數(shù)法證明不等式

一、構(gòu)造分式函數(shù),利用分式函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

【例1】證明不等式:|a|?|b||a?b|

1?|a|?|b|≥1?|a?b|

證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=

x

1?x (x≥0)則f(x)=x1?x=1-1

1?x

在?0,???上單調(diào)遞增

∵f(|a| + |b|)=

|a|?|b|1?|a|?|b|f(|a + b|)=|a?b|

1?|a?b|

且|a| + |b|≥|a + b|

∴f(|a| + |b|)≥f(|a + b|)即所證不等式正確。

二、利用分式函數(shù)的奇偶性證明不等式

【例2】證明不等式:x1?2x<x

2(x≠0) 證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=x1?2

x

?x

2(x?0)∵f(-x)=-xx-x?2x1-2-x?2?2x?1?x2?x1?2x

[1-(1-2x

)]?x2?x1?2x?x2=f(x)

∴f(x)是偶函數(shù),其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。當(dāng)x>0時(shí),1?2x

<0,f(x)<0;

當(dāng)x<0時(shí),-x>0,故f(x)=f(-x)<0 ∴x1-2x?x2<0,即x1?2

x

<x

2

三、構(gòu)造一次函數(shù),利用一次函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

【例3】已知|a|<1,|b|<1,|c|<1,求證:a + b + c<abc + 2。

證明:構(gòu)造函數(shù)f(c)=(1-ab)c + a + b-2

∵|a|<1,|b|<1

∴-1<ab<1,1-ab>0

∴f(c)的(-1,1)上是增函數(shù)

∵f(1)=1-ab + a + b -2=a + b–ab(推薦訪問范文網(wǎng)www.seogis.comin?g(0)?0,

1?1?0 x?1

11?1?ln(x?1)?x∴l(xiāng)n(x?1)?1?,綜上可知,當(dāng)x??1時(shí),有x?1x?1

【警示啟迪】如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大(。┲担瑒t有f(x)?f(a)(或f(x)?f(a)),

那么要證不等式,只要求函數(shù)的最大值不超過0就可得證. ∴當(dāng)x??1時(shí),g(x)?g(0)?0,即ln(x?1)?

2、作差法構(gòu)造函數(shù)證明

【例2】已知函數(shù)f(x)?1223x?lnx. 求證:在區(qū)間(1,??)上,函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?x的23

第 1 頁 共 6 頁 圖象的下方;

分析:函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方?不等式f(x)?g(x)問題, 12212x?lnx?x3,只需證明在區(qū)間(1,??)上,恒有x2?lnx?x3成立,設(shè)2323

1f(x)?g(x)?f(x),x?(1,??),考慮到f(1)??0 6

要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋寒?dāng)x?1時(shí),f(x)?f(1),這只要證明: g(x)在區(qū)間(1,??)是增函數(shù)即可。

2312【解】設(shè)f(x)?g(x)?f(x),即f(x)?x?x?lnx, 32即

1(x?1)(2x2?x?1)則f?(x)?2x?x?= xx2

(x?1)(2x2?x?1)當(dāng)x?1時(shí),f?(x)= x

從而f(x)在(1,??)上為增函數(shù),∴f(x)?f(1)?

∴當(dāng)x?1時(shí) g(x)?f(x)?0,即f(x)?g(x),

故在區(qū)間(1,??)上,函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?1?0 623x的圖象的下方。 3

【警示啟迪】本題首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)(可以移項(xiàng),使右邊為零,將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)),

并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,證明要證的不等式。讀者也可以設(shè)f(x)?f(x)?g(x)做一做,深刻體會(huì)其中的思想方法。

3、換元法構(gòu)造函數(shù)證明

111?1)?2?3 都成立. nnn

1分析:本題是山東卷的第(ii)問,從所證結(jié)構(gòu)出發(fā),只需令?x,則問題轉(zhuǎn)化為:當(dāng)x?0時(shí),n【例3】(201*年,山東卷)證明:對(duì)任意的正整數(shù)n,不等式ln(

恒有l(wèi)n(x?1)?x?x成立,現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)h(x)?x?x?ln(x?1),求導(dǎo)即可達(dá)到證明。

【解】令h(x)?x?x?ln(x?1), 322332

13x3?(x?1)2

?則h?(x)?3x?2x?在x?(0,??)上恒正, x?1x?12

所以函數(shù)h(x)在(0,??)上單調(diào)遞增,∴x?(0,??)時(shí),恒有h(x)?h(0)?0,

即x?x?ln(x?1)?0,∴l(xiāng)n(x?1)?x?x

對(duì)任意正整數(shù)n,取x?32231111?(0,??),則有l(wèi)n(?1)?2?3 nnnn

【警示啟迪】我們知道,當(dāng)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則x?a時(shí),有f(x)?f(a).如果f(a)=?(a),要證明當(dāng)x?a時(shí),f(x)??(x),那么,只要令f(x)=f(x)-?(x),就可以利用f(x)的單調(diào)增性來推導(dǎo).也就是說,在f(x)可導(dǎo)的前提下,只要證明f"(x)?0即可.

4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

【例4】若函數(shù)y=f(x)在r上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)>-f(x)恒成立,且常數(shù)a,b滿足a>b,求

證:.a(chǎn)f(a)>bf(b)

【解】由已知 xf?(x)+f(x)>0 ∴構(gòu)造函數(shù) f(x)?xf(x),

則f"(x)? xf?(x)+f(x)>0, 從而f(x)在r上為增函數(shù)。

?a?b ∴f(a)?f(b) 即 af(a)>bf(b)

【警示啟迪】由條件移項(xiàng)后xf?(x)?f(x),容易想到是一個(gè)積的導(dǎo)數(shù),從而可以構(gòu)造函數(shù)f(x)?xf(x),

求導(dǎo)即可完成證明。若題目中的條件改為xf?(x)?f(x),則移項(xiàng)后xf?(x)?f(x),要想到

是一個(gè)商的導(dǎo)數(shù)的分子,平時(shí)解題多注意總結(jié)。

5、主元法構(gòu)造函數(shù)

1?x)?x,g(x)?xlnx 例.(全國(guó))已知函數(shù)f(x)?ln(

(1) 求函數(shù)f(x)的最大值;

(2) 設(shè)0?a?b,證明 :0?g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2. 2

分析:對(duì)于(ii)絕大部分的學(xué)生都會(huì)望而生畏.學(xué)生的盲點(diǎn)也主要就在對(duì)所給函數(shù)用不上.如果能挖掘一下所給函數(shù)與所證不等式間的聯(lián)系,想一想大小關(guān)系又與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān),由此就可過渡到根據(jù)所要證的不等式構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,借助單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,以期達(dá)到證明不等式的目的.證明如下:

證明:對(duì)g(x)?xlnx求導(dǎo),則g"(x)?lnx?1. 在g(a)?g(b)?2g(a?b)中以b為主變?cè)獦?gòu)造函數(shù), 2

a?x"a?xa?x. )]?lnx?ln),則f"(x)?g"(x)?2[g(222設(shè)f(x)?g(a)?g(x)?2g(

當(dāng)0?x?a時(shí),f"(x)?0,因此f(x)在(0,a)內(nèi)為減函數(shù).

當(dāng)x?a時(shí),f"(x)?0,因此f(x)在(a,??)上為增函數(shù).

從而當(dāng)x?a時(shí), f(x) 有極小值f(a).

因?yàn)閒(a)?0,b?a,所以f(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(

又設(shè)g(x)?f(x)?(x?a)ln2.則g"(x)?lnx?lna?b)?0. 2a?x?ln2?lnx?ln(a?x). 2

"當(dāng)x?0時(shí),g(x)?0.因此g(x)在(0,??)上為減函數(shù).

因?yàn)間(a)?0,b?a,所以g(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(

6、構(gòu)造二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)證明導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性 例.已知函數(shù)f(x)?ae?xa?b)?(b?a)ln2. 212x 2

(1)若f(x)在r上為增函數(shù),求a的取值范圍;

(2)若a=1,求證:x>0時(shí),f(x)>1+x

x解:(1)f′(x)= ae-x,

∵f(x)在r上為增函數(shù),∴f′(x)≥0對(duì)x∈r恒成立,

-x即a≥xe對(duì)x∈r恒成立

-x-x-x-x記g(x)=xe,則g′(x)=e-xe=(1-x)e,

當(dāng)x>1時(shí),g′(x)<0,當(dāng)x<1時(shí),g′(x)>0.

知g(x)在(-∞,1)上為增函數(shù),在(1,+ ∞)上為減函數(shù),

∴g(x)在x=1時(shí),取得最大值,即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e,

即a的取值范圍是[1/e, + ∞)

(2)記f(x)=f(x) -(1+x) =e?

xx12x?1?x(x?0) 2則f′(x)=e-1-x,

xx令h(x)= f′(x)=e-1-x,則h′(x)=e-1

當(dāng)x>0時(shí), h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上為增函數(shù),

又h(x)在x=0處連續(xù), ∴h(x)>h(0)=0

即f′(x)>0 ,∴f(x) 在(0,+ ∞)上為增函數(shù),又f(x)在x=0處連續(xù),

∴f(x)>f(0)=0,即f(x)>1+x.

小結(jié):當(dāng)函數(shù)取最大(或最。┲禃r(shí)不等式都成立,可得該不等式恒成立,從而把不等式的恒成立問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題.不等式恒成立問題,一般都會(huì)涉及到求參數(shù)范圍,往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為m?f(x)(或m?f(x))恒成立,于是m大于f(x)的最大值(或m小于f(x)的最小值),從而把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.因此,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法.

7.對(duì)數(shù)法構(gòu)造函數(shù)(選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式) 例:證明當(dāng)x?0時(shí)

,(1?x)1?1

x?e1?x

8.構(gòu)造形似函數(shù)

例:證明當(dāng)b?a?e,證明a?b

ba

例:已知m、n都是正整數(shù),且1?m?n,證明:(1?

m)n?(1?n)m

【思維挑戰(zhàn)】

1、(201*年,安徽卷) 設(shè)a?0,f(x)?x?1?lnx?2alnx

2求證:當(dāng)x?1時(shí),恒有x?lnx?2alnx?1,

2、(201*年,安徽卷)已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù) 2

f(x)?52122x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0,且b?a?3alna,22

求證:f(x)?g(x)

3、已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?

恒有l(wèi)na?lnb?1?x,求證:對(duì)任意的正數(shù)a、b, 1?xb. a

4、(201*年,陜西卷)f(x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足xf?(x)?f(x)≤0,對(duì)任意正數(shù)a、b,若a < b,則必有()

(a)af (b)≤bf (a)

(c)af (a)≤f (b)

【答案咨詢】(b)bf (a)≤af (b) (d)bf (b)≤f (a)

2lnx2a2lnx??1 ,當(dāng)x?1,a?0時(shí),不難證明xxx

∴f?(x)?0,即f(x)在(0,??)內(nèi)單調(diào)遞增,故當(dāng)x?1時(shí),

2f(x)?f(1)?0,∴當(dāng)x?1時(shí),恒有x?lnx?2alnx?1 1、提示:f?(x)?1?

123a2

22、提示:設(shè)f(x)?g(x)?f(x)?x?2ax?3alnx?b則f?(x)?x?2a? 2x

(x?a)(x?3a)= (x?0) ?a?0,∴ 當(dāng)x?a時(shí),f?(x)?0, x

故f(x)在(0,a)上為減函數(shù),在(a,??)上為增函數(shù),于是函數(shù)f(x) 在(0,??)上的最小

值是f(a)?f(a)?g(a)?0,故當(dāng)x?0時(shí),有f(x)?g(x)?0,即f(x)?g(x)

3、提示:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??1,??),f?(x)?11x ??221?x(1?x)(1?x)

∴當(dāng)?1?x?0時(shí),f?(x)?0,即f(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù)

當(dāng)x?0時(shí),f?(x)?0,即f(x)在x?(0,??)上為增函數(shù)

因此在x?0時(shí),f(x)取得極小值f(0)?0,而且是最小值 x1,即ln(1?x)?1? 1?x1?x

a1bab?1?于是ln?1? 令1?x??0,則1?bx?1aba

b因此lna?lnb?1? a于是f(x)?f(0)?0,從而ln(1?x)?

f(x)f(x)xf"(x)?f(x)f(x)??04、提示:f(x)?,f?(x)?,故在(0,+∞)上是減函數(shù),xxx2

由a?b 有f(a)f(b)?? af (b)≤bf (a)故選(a) ab

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