第一篇：余弦定理的證明方法

余弦定理的證明方法

在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b

則c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

a^2=b^2+c^2-2bc*cosa

b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

下面在銳角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。

過a作ad⊥bc于d，則bd+cd=a

由勾股定理得：

c^2=(ad)^2+(bd)^2，(ad)^2=b^2-(cd)^2

所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2

=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*cd

因為cosc=cd/b

所以cd=b*cosc

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c對邊為c，∠b對邊為b，∠a對邊為a-->

bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知：

ac²=ad²+dc²

b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²

b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb

b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²

b²=c²+a²-2ac*cosb

所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac

2

如右圖，在abc中，三內(nèi)角a、b、c所對的邊分別是a、b、c.以a為原點，ac所在的直線為x軸建立直角坐標系，于是c點坐標是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得b點坐標是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).現(xiàn)將cb平移到起點為原點a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根據(jù)三角函數(shù)的定義知d點坐標是(acos(π-c)，asin(π-c))即d點坐標是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第二篇：正余弦定理的多種證明方法

利用向量統(tǒng)一正、余弦定理的證明

正、余弦定理是解三角形強有力的工具，關(guān)于這兩個定理有好幾種不同的證明方法，［1］人教版中等職業(yè)教育國家規(guī)劃教材《數(shù)學(xué)》（提高版）是用向量的數(shù)量積（內(nèi)積）給出證明的，如是在證明正弦定理時用到：作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過于獨特，不易被初學(xué)者接受。本文通過三角函數(shù)的定義，利用向量相等和向量的模統(tǒng)一正、余弦定理的證明，方法較為簡單。從本文的證明中又一次顯示數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合。

定理：在△abc中，ab=c,ac=b,bc=a,則

（1）（正弦定理）==；

（2）（余弦定理）

c2=a2+b2-2abcos c,

b2=a2+c2-2accos b,

a2=b2+c2-2bccos a。

證明：建立如下圖所示的直角坐標系，則a=（0，0）、b=（c,0），又由任意角三角函數(shù)的定義可得：

c=（bcos a,bsin a），以ab、bc為鄰邊作平行四邊形abcc′，則∠bac′=π-∠b，

∴c′(acos(π-b),asin(π-b))

=c′（-acos b,asin b）。

根據(jù)向量的運算：

=（-acos b,asin b），

=-=（bcos a-c,bsin a）,

（1）由=：得

asin b=bsin a,即

=。

第 1 頁 共 2 頁

同理可得：=。

∴==。

(2)由=（b-cos a-c）2+(bsin a)2=b2+c2-2bccos a，

又||=a,

∴a2=b2+c2-2bccos a。

同理：

c2=a2+b2-2abcos c；

b2=a2+c2-2accos b。

第 2 頁 共 2 頁

第三篇：余弦定理證明過程

在△abc中，設(shè)bc＝a，ac＝b，ab＝c，試根據(jù)b，c，a來表示a。�� 分析：由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)造直角三角形，在直角三角形內(nèi)通過邊角關(guān)系作進一步的轉(zhuǎn)化工作，故作cd垂直于ab于d，那么在rt△bdc中，邊a可利用勾股定理用cｄ、ｄb表示，而cd可在rt△aｄc中利用邊角關(guān)系表示，db可利用ab－ad轉(zhuǎn)化為ad，進而在rt△aｄc內(nèi)求解。

解：過c作cd⊥ab，垂足為d，則在rt△cｄb中，根據(jù)勾股定理可得：�� a2＝cｄ2＋bｄ2��

∵在rt△aｄc中，cｄ2＝b2－aｄ2

��

又∵bｄ2＝（c－aｄ）2＝c2－2c·aｄ＋aｄ2��

∴a2＝b2－aｄ2＋c2－2c·aｄ＋aｄ2＝b2＋c2

－2c·aｄ�� 又∵在rt△aｄc中，ad＝b·cosa�� ∴a2＝b2＋c2－2bccosa�ヮ愃频乜梢宰C明b2＝a2＋c2－2accosb，c2＝a2＋b2－2abcosc��

第四篇：余弦定理及其證明

余弦定理及其證明

1.三角形的正弦定理證明：

步驟1.

在銳角△abc中，設(shè)三邊為a，b，c。作ch⊥ab垂足為點h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到

a/sina=b/sinb

同理，在△abc中，

b/sinb=c/sinc

步驟2.

證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：

如圖，任意三角形abc,作abc的外接圓o.

作直徑bd交⊙o于d.

連接da.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

a/sina=bc/sind=bd=2r

類似可證其余兩個等式。

2.三角形的余弦定理證明：

平面幾何證法：

在任意△abc中

做ad⊥bc.

∠c所對的邊為c，∠b所對的邊為b，∠a所對的邊為a

則有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

根據(jù)勾股定理可得：

ac^2=ad^2+dc^2

b^2=(sinb*c)^2+(a-cosb*c)^2

b^2=sin^2b*c^2+a^2+cos^2b*c^2-2ac*cosb

b^2=(sin^2b+cos^2b)*c^2-2ac*cosb+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosb

cosb=(c^2+a^2-b^2)/2ac

3

在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b

則c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

a^2=b^2+c^2-2bc*cosa

b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

下面在銳角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。

過a作ad⊥bc于d，則bd+cd=a

由勾股定理得：

c^2=(ad)^2+(bd)^2，(ad)^2=b^2-(cd)^2

所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2

=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*cd

因為cosc=cd/b

所以cd=b*cosc

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

題目中^2表示平方。

2

談?wù)�、余弦定理的多種證法

聊城二中魏清泉

正、余弦定理是解三角形強有力的工具，關(guān)于這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教a(內(nèi)容來源好 范文網(wǎng)：www.seogis.coma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

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