高一數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)必修4知識點(diǎn)總結(jié)201*.6

高一數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)必修4知識點(diǎn)總結(jié)

正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負(fù)角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

8、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長為l，周長為C，面積為S，

11則lr，C2rl，Slrr2．

229、設(shè)是一個任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是x,y，它與原點(diǎn)的距離是rrx2y20，則sinyxy，cos，tanx0．rrx10、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正

第二象限角的集合為k36090k360180,k

第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k

終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k90,k

3、與角終邊相同的角的集合為k360,k

第一象限角的集合為k360k36090,k

切為正，第四象限余弦為正．

11、三角函數(shù)線：sin，cos，tan．12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：1sin2cos21

yPTOMAxsin21cos2,cos21sin2；2sinsintancos,cos．

tansintancos13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

5sincos，cossin．22cos，cossin．224、已知是第幾象限角，確定

n所在象限的方法：先把各象限均分n等份，

n*再從x軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來是第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號即為

終邊所落在的區(qū)域．n5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．

l6、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，則角的弧度數(shù)的絕對值是．

r6sin1807、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．180口訣：“奇變偶不變，符號看象限”

1

14、函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)

定義域值域RRysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的

1xxk,k2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)

，ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變）得到函數(shù)ysinx的圖象．

函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移

11,1當(dāng)x2k1,1k當(dāng)x2kk時，R2倍（縱坐標(biāo)不變），

最值時，ymax1；當(dāng)ymax1；當(dāng)x2kx2k2k時，ymin1．既無最大值也無最小值個單位長k時，ymin1．周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)22度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．函數(shù)ysinx0,0的性質(zhì)：

1①振幅：；②周期：；③頻率：f；④相位：x；⑤初相：．

22函數(shù)ysinx，當(dāng)xx1時，取得最小值為ymin；當(dāng)xx2時，取得最大值為ymax，則11ymaxymin，ymaxymin，x2x1x1x2222在2k,2k22單調(diào)在2k,2kk上是增函數(shù)；15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)性質(zhì)k上是增函數(shù)；在32k,2k22在在k,k22ysinxycosxytanx性2k,2kk上是減函數(shù)．稱中k上是增函數(shù)．圖象

k上是減函數(shù)．對2

對稱中心k,0k對對稱軸心對稱中心稱性k,0k2k,0kxk2k對稱軸xkk無對稱軸16、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；

⑸tantantan1tantan（tantantan1tantan）；

⑹tantantan1tantan（tantantan1tantan）．

17、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．⑵

cos2cos2sin22cos2112sin2（

cos2cos212sin21cos22）．⑶tan22tan1tan2．18、sincos22sin，其中tan．結(jié)論：asinx+bcosxa2b2(asina2b2xb)a2b2cosx

a2b2(cossinxsincosx)a2b2sin(x)

(其中cosφ＝

asina2b2,ba2b2)

(或ta3、應(yīng)用

(1)求3sinx＋４cosx的周期及最值

解：3sinx＋４cosx53sinx455cosx5(sinxcoscosxsin)5sin(x)

(其中cosφ35,sin45)∴3sinx＋4cosx的周期T2最大值為5，最小值為－５

3

，

擴(kuò)展閱讀：高一數(shù)學(xué)必修1、4各章知識點(diǎn)總結(jié)

高201*級第一學(xué)期數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)知識清單

高一數(shù)學(xué)必修1各章知識點(diǎn)總結(jié)

一、集合有關(guān)概念1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性：

(1)元素的確定性如：世界上最高的山

(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

3.集合的表示：{}如：{我校的籃球隊(duì)員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R1）列舉法：{a,b,c}

2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。

{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

3）語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn圖:4、集合的分類：（1）有限集含有有限個元素的集合

（2）無限集含有無限個元素的集合

2

（3）空集不含任何元素的集合例：{x|x=－5｝二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集

注意：AB有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

B或BA反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A2．“相等”關(guān)系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)

2

實(shí)例：設(shè)A={x|x-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”即：①任何一個集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作A③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

nn-1

有n個元素的集合，含有2個子集，2個真子集三、集合的運(yùn)算運(yùn)交集并集補(bǔ)集算定義韋恩

B(或BA)

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圖示性質(zhì)例題：1.下列四組對象，能構(gòu)成集合的是（）A某班所有高個子的學(xué)生B著名的藝術(shù)家C一切很大的書D倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)2.集合{a，b，c}的真子集共有個

3.若集合M={y|y=x-2x+1,xR},N={x|x≥0}，則M與N的關(guān)系是.

2

4.設(shè)集合A=x1x2，B=xxa，若AB，則a的取值范圍是

5.50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實(shí)驗(yàn)，已知物理實(shí)驗(yàn)做得正確得有40人，化學(xué)實(shí)驗(yàn)做得正確得有31人，

兩種實(shí)驗(yàn)都做錯得有4人，則這兩種實(shí)驗(yàn)都做對的有人。

6.用描述法表示圖中陰影部分的點(diǎn)（含邊界上的點(diǎn)）組成的集合M=.

7.已知集合A={x|x+2x-8=0},B={x|x-5x+6=0},C={x|x-mx+m-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函數(shù)的有關(guān)概念

2222

1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．注意：

1．定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零，

(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.

相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)）；②

定義域一致(兩點(diǎn)必須同時具備)2．值域:先考慮其定義域(1)觀察法(2)配方法(3)代換法3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值

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y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上.

(2)畫法

A、描點(diǎn)法：圖象變換法

常用變換方法有三種：1）平移變換2）伸縮變換3）對稱變換4．區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2）無窮區(qū)間

（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．5．映射

一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應(yīng)關(guān)系）：A（原象）B（象）”對于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：

(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個；(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。6.分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2)各部分的自變量的取值情況．

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)

若y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)，稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。二．函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))（1）增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1高201*級第一學(xué)期數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)知識清單

5下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）．○

(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”

注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

8．函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）（1）偶函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)．（2）．奇函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)．

（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；○

2確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；○

3作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；○

若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)．

注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來判定;(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.

9、函數(shù)的解析表達(dá)式

（1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.（2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：

1)湊配法2）待定系數(shù)法3）換元法4）消參法10．函數(shù)最大（�。┲担ǘ�義見課本p36頁）1利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲怠�

2利用圖象求函數(shù)的最大（小）值○

3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担骸�

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；例題：

1.求下列函數(shù)的定義域：

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⑴yx12x22x15⑵

y1()x1x332.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，1]，則函數(shù)f(x2)的定義域?yàn)開_

3.若函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)閇2，3]，則函數(shù)f(2x1)的定義域是

x2(x1)4.函數(shù)，若f(x)3，則x=f(x)x2(1x2)2x(x2)5.求下列函數(shù)的值域：

⑴yx22x3(xR)⑵yx22x3x[1,2](3)yx12x(4)yx24x5f(2x1)的解析式

6.已知函數(shù)f(x1)x24x，求函數(shù)f(x)，7.已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)f(x)3x4，則

f(x)=。

8.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x[0,)時,f(x)x(13x),則當(dāng)x(,0)時f(x)在R上的解析式為9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：⑴yx22x3⑵yf(x)=

x22x3⑶yx26x1

10.判斷函數(shù)yx31的單調(diào)性并證明你的結(jié)論．11.設(shè)函數(shù)f(x)1x2判斷它的奇偶性并且求證：1f()f(x)．21xx第二章基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

1．根式的概念：一般地，如果xa，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n*

∈N．

負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作n00。

na(a0)當(dāng)n是奇數(shù)時，aa，當(dāng)n是偶數(shù)時，a|a|

a(a0)nnnn2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：

anam(a0,m,nN*,n1)，amnmn1amn1nam(a0,m,nN*,n1)

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

rrrsaaa(a0,r,sR)；（1）

rsrs(a)a(a0,r,sR)（2）

5

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（3）(ab)aa(a0,r,sR)．（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)yax(a0,且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽．

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1．2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10高201*級第一學(xué)期數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)知識清單

（二）對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果a0，且a1，M0，N0，那么：1loga(MN)logaM＋logaN；○

MlogaM－logaN；N3logaMnnlogaM(nR)．○

2loga○

注意：換底公式

logablogcb（a0，且a1；c0，且c1；b0）．

logca1n（2）logab．logab；

mlogba利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論（1）logambn（二）對數(shù)函數(shù)

1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)ylogax(a0，且a1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）．

注意：○1對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如：

y2log2x，ylog5x都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)．

52對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：(a0，且a1)．○

2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a>132.521.50高201*級第一學(xué)期數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)知識清單

log272log522.計(jì)算：①log32;②24log23=；2535=;

log27641③0.064(7)0[(2)3]160.750.01=

13431283.函數(shù)y=log1(2x-3x+1)的遞減區(qū)間為

2

24.若函數(shù)f(x)logax(0a1)在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，則a=

f(x)0的

5.已知f(x)log1x(a0且a1)，（1）求f(x)的定義域（2）求使

ax的取值范圍

1x第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：

即：方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)．3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

1（代數(shù)法）求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根；○

2（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y○

f(x)的圖象聯(lián)系

起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：5、二次方程根的分布

高一數(shù)學(xué)必修4各章知識點(diǎn)總結(jié)

一、三角函數(shù)

1、善于用“1“巧解題2、三角問題的非三角化解題策略

3、三角函數(shù)有界性求最值解題方法4、三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法5、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函

ycosxytanxysinx數(shù)性

質(zhì)

圖象

8

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定義

域值

域最值周

期性

奇

偶性

單調(diào)性對稱性

6、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

k360k36090,k

第一象限角的集合為

k36090k360180,k第二象限角的集合為k360180k360270,k第三象限角的集合為k360270k360360,k

第四象限角的集合為

k180,k

終邊在x軸上的角的集合為

k18090,ky終邊在軸上的角的集合為

k90,k

終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為

k360,k7、與角終邊相同的角的集合為

8、已知是第幾象限角，確定

nn*所在象限的方法：

9、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．

10、誘導(dǎo)公式：口訣：奇變偶不變，符號看象限．

公式一：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanα

公式二：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosα

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tan（π＋α）＝tanα

公式三：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα

公式四：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanα

公式五：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanα

公式六：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotα

公式七：sin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotα

公式八：sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotα

公式九：sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotα(以上k∈Z)

11、同角三角函數(shù)基本關(guān)系:商數(shù)關(guān)系：sinα/cosα＝tanα

平方關(guān)系：sincos1二、平面向量

1、定義：向量：既有大小，又有方向的量．?dāng)?shù)量：只有大小，沒有方向的量．

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度．零向量：長度為0的向量．

單位向量：長度等于1個單位的向量．相等向量：長度相等且方向相同的向量2、向量的運(yùn)算加法運(yùn)算

AB＋BC＝AC，這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則。

已知兩個從同一點(diǎn)O出發(fā)的兩個向量OA、OB，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對角線OC就是向量OA、OB的和，這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。

對于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。|a＋b|≤|a|＋|b|。

向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律。3、減法運(yùn)算

與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。

（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。4、數(shù)乘運(yùn)算

實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘，記作λa，|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時，λa的方向和a的方向相同，當(dāng)λ<0時，λa的方向和a的方向相反，當(dāng)λ=0時，λa=0。設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù)，那么：（1）(λμ)a=λ(μa)（2）(λμ)a=λaμa

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（3）λ(a±b)=λa±λb（4）(－λ)a=－(λa)=λ(－a)。向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。4、向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作ab，θ是a與b的夾角，|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。ab的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。

兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。練習(xí)：

1下列命題中正確的是（）

AOAOBBABBAAB0

C0AB0DABBCDCDA2設(shè)點(diǎn)A(2,0)，B(4,2),若點(diǎn)P在直線AB上，且AB2AP，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

1)A(3,1)B(1,

)(1,1)D無數(shù)多個C(3,1或

3若平面向量b與向量a(1,2)的夾角是180，且|b|35，則b()

oA(3,6)B(3,6)C(6,3)D(6,3)

4向量a(2,3)，b(1,2)，若mab與a2b平行，則m等于

A2B2C

11D

22a5若a,b是非零向量且滿足(a2b)a，(b2a)b，則與b的夾角是（）

25BCD633613aa(,sin)b(cos,)6設(shè)，，且//b，則銳角為（）

23A

A30B60C75D45

00007若|a|1,|b|2,cab，且ca，則向量a與b的夾角為

8已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(4,1)，若用a和b表示c，則c=____

0a1b2609若,，a與b的夾角為，若(3a5b)(mab)，則m的值為

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10若菱形ABCD的邊長為2，則ABCBCD__________

11若a=(2,3)，b=(4,7)，則a在b上的投影為________________

12求與向量a(1,2)，b(2,1)夾角相等的單位向量c的坐標(biāo)

G為交點(diǎn)，E,F分別是BC,DC的中點(diǎn)，AD=b，13.如圖，中，平行四邊形ABCD中，若AB=a，

試以a，b為基底表示DE、BF、CG

DFGEBCA14.已知向量a與b的夾角為60，|b|4,(a2b).(a3b)72,求向量a的模

15．已知a(1,2),b(3,2),當(dāng)k為何值時，

（1）kab與a3b垂直？

（2）kab與a3b平行？平行時它們是同向還是反向？

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