北師大版初一數(shù)學知識點總結(jié)

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初一上冊知識點總結(jié)

1.代數(shù)式：用運算符號“＋－×÷”連接數(shù)及表示數(shù)的字母的式子稱為代數(shù)式。

注意：用字母表示數(shù)有一定的限制，首先字母所取得數(shù)應(yīng)保證它所在的式子有意義，其次字母所取得數(shù)還應(yīng)使實際生活或生產(chǎn)有意義；單獨一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。2.列代數(shù)式的幾個注意事項：

（1）帶分數(shù)與字母相乘時，要把帶分數(shù)改成假分數(shù)形式，如a×112應(yīng)寫成a；

23a3（2）在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運算時，一般用分數(shù)線將被除式和除式聯(lián)系，如3÷a寫成3.幾個重要的代數(shù)式：（m、n表示整數(shù)）

（1）a與b的平方差是：a2-b2；a與b差的平方是：（a-b）2；

（2）若a、b、c是正整數(shù)，則兩位整數(shù)是：10a+b,則三位整數(shù)是：100a+10b+c；

的形式；

（3）若m、n是整數(shù)，則被5除商m余n的數(shù)是：5m+n；偶數(shù)是：2n，奇數(shù)是：2n+1；三個連續(xù)整數(shù)是：n-1、n、n+1；4.有理數(shù)：(1)凡能寫成

qp(p,q為整數(shù)且p0)形式的數(shù)，都是有理數(shù)。不是有理數(shù)。

(2)有理數(shù)的分類:①

正有理數(shù)有理數(shù)零負有理數(shù)正整數(shù)正分數(shù)負整數(shù)負分數(shù)②

整數(shù)有理數(shù)分數(shù)正整數(shù)零負整數(shù)正分數(shù)負分數(shù)

(3)注意：有理數(shù)中，1、0、-1是三個特殊的數(shù)。(4)自然數(shù)包括：0和正整數(shù)。5.絕對值：

(1)正數(shù)的絕對值是其本身，0的絕對值是0，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；

(a0)a(a0)a(2)絕對值可表示為：a0(a0)或a；絕對值的問題經(jīng)常分類討論；

a(a0)a(a0)aaaa(3)

1a0；

1a0；

abab(4)|a|是重要的非負數(shù)，即|a|≥0；注意：|a||b|=|ab|,

-1-

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（3）a2是重要的非負數(shù)，即a2≥0；若a2+|b|=0a=0,b=0；（4）據(jù)規(guī)律

0.10.012112101002底數(shù)的小數(shù)點移動一位，平方數(shù)的小數(shù)點移動二位。

6．科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，這種記數(shù)法叫科學記數(shù)法。

7.近似數(shù)的精確位：一個近似數(shù)，四舍五入到那一位，就說這個近似數(shù)的精確到那一位。

8.有效數(shù)字：從左邊第一個不為零的數(shù)字起，到精確的位數(shù)止，所有數(shù)字，都叫這個近似數(shù)的有效數(shù)字。9.混合運算法則：先乘方，后乘除，最后加減；10．等式的性質(zhì)：

等式性質(zhì)1：等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式；等式性質(zhì)2：等式兩邊都乘以（或除以）同一個不為零的數(shù)，所得結(jié)果仍是等式。

11．一元一次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，并且含未知數(shù)項的系數(shù)不是零的整式方程是一元一次方程。

①．一元一次方程的標準形式：ax+b=0（x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，且a≠0）。②．一元一次方程的最簡形式：ax=b（x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，且a≠0）。

③．一元一次方程解法的一般步驟：整理方程，去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1（檢驗方程的解）。

④．移項：改變符號后，把方程的項從一邊移到另一邊叫移項.移項的依據(jù)是等式性質(zhì)1。12．列方程解應(yīng)用題的常用公式：

（1）行程問題：距離=速度時間速度距離時間時間距離速度；

工作量工效（2）工程問題：工作量=工效工時工效工作量工時工時部分比率；

（3）比率問題：部分=全體比率比率部分全體全體；

（4）順逆流問題：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度；（5）商品價格問題：售價=定價折

110，利潤=售價-成本，利潤率售價成本成本100%；

（6）周長、面積、體積問題：C圓=2πR，S圓=πR2，C長方形=2(a+b)，S長方形=ab，C正方形=4a，

S正方形=a2，S環(huán)形=π(R2-r2),V長方體=abc，V正方體=a3，V圓柱=πR2h，V圓錐=πR2h。

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初一下冊知識點總結(jié)

1．同底數(shù)冪的乘法：aa=a，底數(shù)不變，指數(shù)相加。2．同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n，底數(shù)不變，指數(shù)相減。

3．冪的乘方與積的乘方：(am)n=amn，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；(ab)n=anbn，積的乘方等于各因式乘方的積。4．零指數(shù)與負指數(shù)公式:（1）a=1(a≠0)；a=

0

-nm

n

m+n

1an,(a≠0)。注意：0，0無意義。

0-2

（2）有了負指數(shù)，可用科學記數(shù)法記錄小于1的數(shù)，例如：0.0000201=2.01×10-5。

5．（1）平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差；（2）完全平方公式：

①(a+b)2=a2+2ab+b2,兩個數(shù)和的平方，等于它們的平方和，加上它們的積的2倍；②(a-b)=a-2ab+b,兩個數(shù)差的平方，等于它們的平方和，減去它們的積的2倍；※③(a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc6．配方：

p（1）若二次三項式x+px+q是完全平方式，則有關(guān)系式：222

2

2222

q；

※（2）二次三項式ax+bx+c經(jīng)過配方，總可以變?yōu)閍(x-h)+k的形式。注意：當x=h時，可求出ax2+bx+c的最大（或最�。┲祂�！�（3）注意：x21x21xx22。

7．單項式的系數(shù)與次數(shù)：單項式中不為零的數(shù)字因數(shù)，叫單項式的數(shù)字系數(shù)，簡稱單項式的系數(shù)；

系數(shù)不為零時，單項式中所有字母指數(shù)的和，叫單項式的次數(shù)。

8．多項式的項數(shù)與次數(shù)：多項式中所含單項式的個數(shù)就是多項式的項數(shù)，每個單項式叫多項式的項；

多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)叫多項式的次數(shù)；

注意：（若a、b、c、p、q是常數(shù)）ax2+bx+c和x2+px+q是常見的兩個二次三項式。9．同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的單項式是同類項。10．合并同類項法則：系數(shù)相加，字母與字母的指數(shù)不變。

11．去（添）括號法則：去（添）括號時，若括號前邊是“+”號，括號里的各項都不變號；若括號前邊是“-”號，括號里的各項都要變號。

注意：多項式計算的最后結(jié)果一般應(yīng)該進行升冪（或降冪）排列。

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平面幾何部分

1、補角重要性質(zhì)：同角或等角的補角相等.余角重要性質(zhì)：同角或等角的余角相等.2、①直線公理：過兩點有且只有一條直線.線段公理：兩點之間線段最短.

②有關(guān)垂線的定理:（1）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

（2）直線外一點與直線上各點連結(jié)的所有線段中，垂線段最短.

比例尺：比例尺1:m中，1表示圖上距離，m表示實際距離，若圖上1厘米，表示實際距離m厘米.3、三角形的內(nèi)角和等于180

三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角4、n邊形的對角線公式：

n(n－3)2

各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形

5、n邊形的內(nèi)角和公式：180（n－2）；多邊形的外角和等于3606、判斷三條線段能否組成三角形：

①a+b>c（ab為最短的兩條線段）②a-b

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初中數(shù)學知識點總結(jié)

第一章實數(shù)

考點一、實數(shù)的概念及分類

1、實數(shù)的分類

正有理數(shù)

有理數(shù)零有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)實數(shù)負有理數(shù)

正無理數(shù)

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)負無理數(shù)2、無理數(shù)

在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一時之，歸納起來有四類：（1）開方開不盡的數(shù)，如7,32等；

（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡后含有π的數(shù)，如（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001等；（4）某些三角函數(shù)，如sin60等考點二、實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值

1、相反數(shù)：實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=b，反之亦成立。2、絕對值：一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離，|a|≥0。零的絕對值時它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。

3、倒數(shù)：如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。考點三、平方根、算數(shù)平方根和立方根

1、平方根：如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）。一個數(shù)有兩個平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。正數(shù)a的平方根記做“a”。

o

π3+8等；

2、算術(shù)平方根：正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“a”。正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。a（a0）a2a0

a；注意a的雙重非負性：-a（a

2、科學記數(shù)法：把一個數(shù)寫做a10n的形式，其中1a10，n是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法�？键c五、實數(shù)大小的比較

1、數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應(yīng)的，并能靈活運用。2、實數(shù)大小比較的幾種常用方法

（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（2）求差比較：設(shè)a、b是實數(shù)，

ab0ab,ab0ab,ab0ab

（3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實數(shù)，

ab1ab;ab1ab;ab1ab;

（4）絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負實數(shù)，則abab。（5）平方法：設(shè)a、b是兩負實數(shù)，則a2b2ab�？键c六、實數(shù)的運算

1、加法交換律abba

2、加法結(jié)合律(ab)ca(bc)3、乘法交換律abba4、乘法結(jié)合律(ab)ca(bc)5、乘法對加法的分配律a(bc)abac

6、實數(shù)的運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。

第二章代數(shù)式

考點一、整式的有關(guān)概念

1、代數(shù)式：用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。2、單項式：只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項式。

注意：單項式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分數(shù)表示，如4錯誤的，應(yīng)寫成項式。

考點二、多項式

1、多項式：幾個單項式的和叫做多項式。其中每個單項式叫做這個多項式的項。多項式中不含字母的項叫做常數(shù)項。多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。

單項式和多項式統(tǒng)稱整式。

用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式指明的運算，計算出結(jié)果，叫做代數(shù)式的值。注意：（1）求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡，然后再將字母的取值代入。

（2）求代數(shù)式的值，有時求不出其字母的值，需要利用技巧，“整體”代入。

2、同類項：所有字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項。幾個常數(shù)項也是同類項。3、去括號法則

（1）括號前是“+”，把括號和它前面的“+”號一起去掉，括號里各項都不變號。（2）括號前是“”，把括號和它前面的“”號一起去掉，括號里各項都變號。4、整式的運算法則

2

13ab，這種表示就是

322133ab。一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。如5abc是6次單

整式的加減法：（1）去括號；（2）合并同類項。

mnmn整式的乘法：amanamn(m,n都是正整數(shù))（a）a(m,n都是正整數(shù))

(ab)nanbn(n都是正整數(shù))(ab)(ab)a2b2(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2

整式的除法：amanamn(m,n都是正整數(shù),a0)注意：（1）單項式乘單項式的結(jié)果仍然是單項式。

（2）單項式與多項式相乘，結(jié)果是一個多項式，其項數(shù)與因式中多項式的項數(shù)相同。

（3）計算時要注意符號問題，多項式的每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號。

（4）多項式與多項式相乘的展開式中，有同類項的要合并同類項。（5）公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項式或多項式。（6）a01(a0);ap1ap(a0,p為正整數(shù))

（7）多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加，單項式除以

多項式是不能這么計算的�？键c三、因式分解

1、因式分解：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。

2、因式分解的常用方法

（1）提公因式法：abaca(bc)

（2）運用公式法：a2b2(ab)(ab)，a22abb2(ab)2，a22abb2(ab)2（3）分組分解法：acadbcbda(cd)b(cd)(ab)(cd)（4）十字相乘法：a2(pq)apq(ap)(aq)3、因式分解的一般步驟：

（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數(shù)：2項式可以嘗試運用公式法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及4項式以上的可以嘗試分組分解法分解因式（3）分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。

考點四、分式

1、分式的概念：一般地，用A、B表示兩個整式，A÷B就可以表示成

AB的形式，如果B中含有字母，式子

AB就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通稱為有理式。

2、分式的性質(zhì)

（1）分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變。（2）分式的變號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變。3、分式的運算法則

abcdacbd;abcdabdcad;()bcbanabnn(n為整數(shù));

acbcabc;

abcdadbcbd

考點五、二次根式

1、二次根式：式子a(a0)叫做二次根式，二次根式必須滿足：含有二次根號“

3

”；被開方數(shù)a必須是非

負數(shù)。

2、最簡二次根式

若二次根式滿足：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式。

化二次根式為最簡二次根式的方法和步驟：

（1）如果被開方數(shù)是分數(shù)（包括小數(shù)）或分式，先利用商的算數(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化進行化簡。

（2）如果被開方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把能開得盡方的因數(shù)或因式開出來。3、同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式。

4、二次根式的性質(zhì)（1）(a)2a(a0)

a(a0)（2）a2a

a(a0)

abab（3）abab(a0,b0)（4）(a0,b0)

5、二次根式混合運算：二次根式的混合運算與實數(shù)中的運算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的（或先去括號）。

第三章方程（組）

考點一、一元一次方程的概念

1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解：能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。3、等式的性質(zhì)

（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式。（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式。4、一元一次方程

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程

axb（0x為未知數(shù)，a0）叫做一元一次方程的標準形式，a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項。

考點二、一元二次方程

1、一元二次方程：含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式：axbxc0(a0)，

特征：等式左邊十一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中ax叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。考點三、一元二次方程的解法

1、直接開平方法：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。

2xa是b的平方根，直接開平方法適用于解形如(xa)b的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，當b022時，xab，xa

b，當b

2、配方法

配方法是一種重要的數(shù)學方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式a22abb2(ab)2，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有

x2bxb222(xb)。

3、公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程axbxc0(a0)的求根公式：x2bb4ac2a2(b4ac0)

24、因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。

考點四、一元二次方程根的判別式

根的判別式：一元二次方程ax2bxc0(a0)中，b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判別式，通常用“”來表示，即b24ac考點五、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

如果方程ax2bxc0(a0)的兩個實數(shù)根是x1，x2，那么x1x2等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商�？键c六、分式方程

1、分式方程：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法：解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。它的一般解法是：（1）去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母

（2）解所得的整式方程

（3）驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根。3、分式方程的特殊解法

換元法：

換元法是中學數(shù)學中的一個重要的數(shù)學思想，其應(yīng)用非常廣泛，當分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法�？键c七、二元一次方程組

1、二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且未知項的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解：使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個解。3、二元一次方程組：兩個（或兩個以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。

4、二元一次方程組的解：使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解。

5、二元一次方正組的解法：（1）代入法（2）加減法

6、三元一次方程：把含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程。

7、三元一次方程組：由三個（或三個以上）一次方程組成，且含有三個未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組。

ba，x1x2ca。也就是說，對于任

何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積

第四章不等式（組）

考點一、不等式的概念（3分）

1、不等式：用不等號表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集

對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個不等式的解。

對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。

求不等式的解集的過程，叫做解不等式。3、用數(shù)軸表示不等式的方法考點二、不等式基本性質(zhì)

1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變�？键c三、一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。2、一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步驟：（1）去分母（2）去括號（3）移項（4）合并同類項（5）將x項的系數(shù)化為1考點四、一元一次不等式組

1、一元一次不等式組的概念

幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。

幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

當任何數(shù)x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。2、一元一次不等式組的解

（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集

（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。

第五章統(tǒng)計初步與概率初步

考點一、平均數(shù)1、平均數(shù)的概念

（1）平均數(shù)：一般地，如果有n個數(shù)x1,x2,,xn,那么，x讀作“x拔”。

（2）加權(quán)平均數(shù)：如果n個數(shù)中，x出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次，，xk出現(xiàn)fk次（這里f1f2fkn），

x1f1x2f2xkfkn1n(x1x2xn)叫做這n個數(shù)的平均數(shù)，x那么，根據(jù)平均數(shù)的定義，這n個數(shù)的平均數(shù)可以表示為x，這樣求得的平均數(shù)x叫做

加權(quán)平均數(shù)，其中f1,f2,,fk叫做權(quán)。2、平均數(shù)的計算方法

（1）定義法：當所給數(shù)據(jù)x1,x2,,xn,比較分散時，一般選用定義公式：x1n(x1x2xn)

（2）加權(quán)平均數(shù)法：當所給數(shù)據(jù)重復出現(xiàn)時，一般選用加權(quán)平均數(shù)公式：xx1f1x2f2xkfkn，其中

f1f2fkn。

（3）新數(shù)據(jù)法：當所給數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)a的上下波動時，一般選用簡化公式：xx"a。

其中，常數(shù)a通常取接近這組數(shù)據(jù)平均數(shù)的較“整”的數(shù)，x"1x1a，x"2x2a，，x"nxna。

x"1n（通常把x1,x2,,xn,叫做原數(shù)據(jù)，x"1,x"2,,x"n,叫做新數(shù)據(jù)）。(x"1x"2x"n)是新數(shù)據(jù)的平均數(shù)

考點二、統(tǒng)計學中的幾個基本概念1、總體：所有考察對象的全體叫做總體。

2、個體：總體中每一個考察對象叫做個體。

3、樣本：從總體中所抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。4、樣本容量：樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量。

5、樣本平均數(shù)：樣本中所有個體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù)。

6、總體平均數(shù)：總體中所有個體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)，在統(tǒng)計中，通常用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)。考點三、眾數(shù)、中位數(shù)

1、眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。考點四、方差1、方差的概念

在一組數(shù)據(jù)x1,x2,,xn,中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)x的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差。通常用“s2”表示，即：s2、方差的計算（1）基本公式：s221n[(x1x)(x2x)(xnx)]

2221n[(x1x)(x2x)(xnx)]

2222（2）簡化計算公式（Ⅰ）：s1n1n[(x1x2xn)nx]也可寫成s222221n[(x1x2xn)]x

2222此公式的記憶方法是：方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方。（3）簡化計算公式（Ⅱ）：s2[(x"x"x")nx"]

21222n2當一組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)較大時，可以依照簡化平均數(shù)的計算方法，將每個數(shù)據(jù)同時減去一個與它們的平均數(shù)接近的常數(shù)a，得到一組新數(shù)據(jù)x"1x1a，x"2x2a，，x"nxna，那么，s此公式的記憶方法是：方差等于新數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去新數(shù)據(jù)平均數(shù)的平方。（4）新數(shù)據(jù)法：

原數(shù)據(jù)x1,x2,,xn,的方差與新數(shù)據(jù)x"1x1a，x"2x2a，，x"nxna的方差相等，也就是說，根據(jù)方差的基本公式，求得x"1,x"2,,x"n,的方差就等于原數(shù)據(jù)的方差。3、標準差

方差的算數(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標準差，用“s”表示，即ss221n[(x"1x"2x"n)]x"

22221n[(x1x)(x2x)(xnx)]

222考點五、頻率分布1、頻率分布的意義

在許多問題中，只知道平均數(shù)和方差還不夠，還需要知道樣本中數(shù)據(jù)在各個小范圍所占的比例的大小，這就需要研究如何對一組數(shù)據(jù)進行整理，以便得到它的頻率分布。2、研究頻率分布的一般步驟及有關(guān)概念（1）研究樣本的頻率分布的一般步驟是：

①計算極差（最大值與最小值的差）；②決定組距與組數(shù)；③決定分點；④列頻率分布表；⑤畫頻率分布直方圖（2）頻率分布的有關(guān)概念①極差：最大值與最小值的差

②頻數(shù)：落在各個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)

③頻率：每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)（樣本容量n）的比值叫做這一小組的頻率。考點六、確定事件和隨機事件1、確定事件

必然發(fā)生的事件：在一定的條件下重復進行試驗時，在每次試驗中必然會發(fā)生的事件。不可能發(fā)生的事件：有的事件在每次試驗中都不會發(fā)生，這樣的事件叫做不可能的事件。2、隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不放聲的事件，稱為隨機事件。

考點七、隨機事件發(fā)生的可能性對隨機事件發(fā)生的可能性的大小，我們利用反復試驗所獲取一定的經(jīng)驗數(shù)據(jù)可以預測它們發(fā)生機會的大小。要評判一些游戲規(guī)則對參與游戲者是否公平，就是看它們發(fā)生的可能性是否一樣。所謂判斷事件可能性是否相同，就是要看各事件發(fā)生的可能性的大小是否一樣，用數(shù)據(jù)來說明問題。考點八、概率的意義與表示方法

1、概率的意義：一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率常數(shù)p就叫做事件A的概率。

2、事件和概率的表示方法：一般，事件用英文大寫字母ABC，表示事件A的概率p，可記為P（A）=P考點九、確定事件和隨機事件的概率之間的關(guān)系1、確定事件概率

（1）當A是必然發(fā)生的事件時，P（A）=1（2）當A是不可能發(fā)生的事件時，P（A）=02、確定事件和隨機事件的概率之間的關(guān)系事件發(fā)生的可能性越來越小

01概率的值不可能發(fā)生必然發(fā)生事件發(fā)生的可能性越來越大

考點十、古典概型

1、古典概型的定義：某個試驗若具有：①在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)有有限多個；②在一次試驗中，各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等。我們把具有這兩個特點的試驗稱為古典概型。2、古典概型的概率的求法

一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m中結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=

mnnm會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個

考點十一、列表法求概率

1、列表法：用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

2、列表法的應(yīng)用場合：當一次試驗要設(shè)計兩個因素，且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法。

考點十二、樹狀圖法求概率（10分）

1、樹狀圖法：就是通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。

2、運用樹狀圖法求概率的條件：當一次試驗要設(shè)計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求概率。

考點十三、利用頻率估計概率（8分）

1、利用頻率估計概率：在同樣條件下，做大量的重復試驗，利用一個隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個常數(shù)，可以估計這個事件發(fā)生的概率。

2、在統(tǒng)計學中，常用較為簡單的試驗方法代替實際操作中復雜的試驗來完成概率估計，這樣的試驗稱為模擬實驗。

3、隨機數(shù)：在隨機事件中，需要用大量重復試驗產(chǎn)生一串隨機的數(shù)據(jù)來開展統(tǒng)計工作。把這些隨機產(chǎn)生的數(shù)據(jù)稱為隨機數(shù)。

第六章一次函數(shù)與反比例函數(shù)

考點一、平面直角坐標系1、平面直角坐標系

在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標系。

其中，水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點O（即公共的原點）叫做直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。

為了便于描述坐標平面內(nèi)點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限。2、點的坐標的概念

點的坐標用（a，b）表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標是有序?qū)崝?shù)對，當ab時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標。考點二、不同位置的點的坐標的特征（3分）1、各象限內(nèi)點的坐標的特征

點P(x,y)在第一象限x0,y0；點P(x,y)在第二象限x0,y0點P(x,y)在第三象限x0,y0；點P(x,y)在第四象限x0,y02、坐標軸上的點的特征

點P(x,y)在x軸上y0，x為任意實數(shù)；點P(x,y)在y軸上x0，y為任意實數(shù)點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P坐標為（0，0）3、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x與y相等點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數(shù)4、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征

位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同。位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。5、關(guān)于x軸、y軸或遠點對稱的點的坐標的特征

點P與點p’關(guān)于x軸對稱橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)點P與點p’關(guān)于y軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)點P與點p’關(guān)于原點對稱橫、縱坐標均互為相反數(shù)6、點到坐標軸及原點的距離點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：

22（1）點P(x,y)到x軸的距離等于y；（2）點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于x；（3）點P(x,y)到原點的距離等于xy

考點三、函數(shù)及其相關(guān)概念

1、變量與常量：在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。

一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。

2、函數(shù)解析式：用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點

（1）解析法：兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示。

（2）列表法：把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系。（3）圖像法：用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟

（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值

（2）描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標，在坐標平面內(nèi)描出相應(yīng)的點

（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來�？键c四、正比例函數(shù)和一次函數(shù)（3~10分）

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念：一般地，如果ykxb（k，b是常數(shù)，k0），那么y叫做x的一次函數(shù)。特別地，當一次函數(shù)ykxb中的b為0時，ykx（k為常數(shù)，k0）。這時，y叫做x的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)的圖像：所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線

3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：一次函數(shù)ykxb的圖像是經(jīng)過點（0，b）的直線；正比例函數(shù)ykx的圖像是經(jīng)過原點（0，0）的直線。k的符號b的符號b>0k>0x圖像經(jīng)過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。函數(shù)圖像y圖像特征yxb>00x圖像經(jīng)過一、二、四象限，y隨x的增大而減小b

（2）當k0時，y隨x的增大而增大（2）當k0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。k>0yOx①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當k

1、二次函數(shù)的概念

一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù)。

yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)叫做二次函數(shù)的一般式。

b2a2、二次函數(shù)的圖像：二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于x拋物線的主要特征：

①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。3、二次函數(shù)圖像的畫法五點法：

對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。

（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸（2）求拋物線yax2bxc與坐標軸的交點：

當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。

當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B，然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像。

考點二、二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)的解析式有三種形式：

（1）一般式：yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)（2）頂點式：ya(xh)2k(a,h,k是常數(shù)，a0)

（3）當拋物線yax2bxc與x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程ax2bxc0有實根x1和x2存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式ax2bxca(xx1)(xx2)，二次函數(shù)yax2bxc可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)a(xx1)(xx2)。如果沒有交點，則不能這樣表示。

考點三、二次函數(shù)的最值

如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x4acb4a2b2a時，

y最值。

b2a如果自變量的取值范圍是x1xx2，那么，首先要看b2a是否在自變量取值范圍x1xx2內(nèi)，若在此范圍

內(nèi)，則當x=時，y最值4acb4a2；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1xx2范圍內(nèi)的增減性，如

22果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當xx2時，y最大ax2bx2c，當xx1時，y最小ax1bx1c；

2如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當xx1時，y最大ax1bx1c，當xx2時，

y最小ax2bx2c。

2考點四、二次函數(shù)的性質(zhì)1、二次函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)二次函數(shù)：yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)a>0y0x（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=4acb4a2a0時，拋物線開口向上；a0時，圖像與x軸有兩個交點；當=0時，圖像與x軸有一個交點；當

第八章圖形的初步認識

考點一、直線、射線和線段

1、幾何圖形：從實物中抽象出來的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。立體圖形：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形。平面圖形：有些幾何圖形的各個部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形。2、點、線、面、體（1）幾何圖形的組成

點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形。線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。體：幾何體也簡稱體。

（2）點動成線，線動成面，面動成體。

3、直線的概念：一根拉得很緊的線，就給我們以直線的形象，直線是直的，并且是向兩方無限延伸的。4、射線的概念：直線上一點和它一旁的部分叫做射線。這個點叫做射線的端點。

5、線段的概念：直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段。這兩個點叫做線段的端點。6、點、直線、射線和線段的表示在幾何里，我們常用字母表示圖形。

一個點可以用一個大寫字母表示。一條直線可以用一個小寫字母表示。一條射線可以用端點和射線上另一點來表示。一條線段可用它的端點的兩個大寫字母來表示。注意：

（1）表示點、直線、射線、線段時，都要在字母前面注明點、直線、射線、線段。（2）直線和射線無長度，線段有長度。

（3）直線無端點，射線有一個端點，線段有兩個端點。（4）點和直線的位置關(guān)系有線面兩種：

①點在直線上，或者說直線經(jīng)過這個點。②點在直線外，或者說直線不經(jīng)過這個點。7、直線的性質(zhì)

（1）直線公理：經(jīng)過兩個點有一條直線，并且只有一條直線。它可以簡單地說成：過兩點有且只有一條直線。（2）過一點的直線有無數(shù)條。

（3）直線是是向兩方面無限延伸的，無端點，不可度量，不能比較大小。（4）直線上有無窮多個點。

（5）兩條不同的直線至多有一個公共點。

8、線段的性質(zhì)

（1）線段公理：所有連接兩點的線中，線段最短。也可簡單說成：兩點之間線段最短。（2）連接兩點的線段的長度，叫做這兩點的距離。（3）線段的中點到兩端點的距離相等。

（4）線段的大小關(guān)系和它們的長度的大小關(guān)系是一致的。9、線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理

垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。

線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上�？键c二、角1、角的相關(guān)概念

有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。當角的兩邊在一條直線上時，組成的角叫做平角。

平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做銳角；大于直角且小于平角的角叫做鈍角。

如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角叫做互為余角，其中一個角叫做另一個角的余角。如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫做互為補角，其中一個角叫做另一個角的補角。2、角的表示

角可以用大寫英文字母、阿拉伯數(shù)字或小寫的希臘字母表示，具體的有一下四種表示方法：①用數(shù)字表示單獨的角，如∠1，∠2，∠3等。

②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。

③用一個大寫英文字母表示一個獨立（在一個頂點處只有一個角）的角，如∠B，∠C等。④用三個大寫英文字母表示任一個角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。

注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè)。

3、角的度量

角的度量有如下規(guī)定：把一個平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“°”表示，1度記作“1°”，n度記作“n°”。把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“1’”。把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1””。1°=60’=60”4、角的性質(zhì)

（1）角的大小與邊的長短無關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān)。；（2）角的大小可以度量，可以比較；（3）角可以參與運算。

5、角的平分線及其性質(zhì)：一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

角的平分線有下面的性質(zhì)定理：（1）角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。（2）到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上�？键c三、相交線1、相交線中的角

兩條直線相交，可以得到四個角，我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點但沒有公共邊的兩個角叫做對頂角。我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角叫做臨補角。

臨補角互補，對頂角相等。

直線AB，CD與EF相交（或者說兩條直線AB，CD被第三條直線EF所截），構(gòu)成八個角。其中∠1與∠5這兩個角分別在AB，CD的上方，并且在EF的同側(cè)，像這樣位置相同的一對角叫做同位角；∠3與∠5這兩個角都在AB，CD之間，并且在EF的異側(cè)，像這樣位置的兩個角叫做內(nèi)錯角；∠3與∠6在直線AB，CD之間，并側(cè)在EF的同側(cè)，像這樣位置的兩個角叫做同旁內(nèi)角。

2、垂線

兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。

直線AB，CD互相垂直，記作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，讀作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。垂線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；性質(zhì)2：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短�？键c四、平行線

1、平行線的概念

在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。平行用符號“∥”表示，如“AB∥CD”，讀作“AB平行于CD”。同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行。注意：

（1）平行線是無限延伸的，無論怎樣延伸也不相交。

（2）當遇到線段、射線平行時，指的是線段、射線所在的直線平行。2、平行線公理及其推論

平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

3、平行線的判定：平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。簡稱：同位角相等，兩直線平行。平行線的兩條判定定理：

（1）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么兩直線平行。簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。（2）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么兩直線平行。簡稱：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。

補充平行線的判定方法：

（1）平行于同一條直線的兩直線平行。（2）垂直于同一條直線的兩直線平行。（3）平行線的定義。4、平行線的性質(zhì)

（1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等。（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補�？键c五、命題、定理、證明

1、命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題。

理解：命題的定義包括兩層含義：（1）命題必須是個完整的句子；（2）這個句子必須對某件事情做出判斷。2、命題的分類（按正確、錯誤與否分）真命題（正確的命題）命題

假命題（錯誤的命題）

所謂正確的命題就是：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題。

所謂錯誤的命題就是：如果題設(shè)成立，不能證明結(jié)論總是成立的命題。3、公理

人們在長期實踐中總結(jié)出來的得到人們公認的真命題，叫做公理。

4、定理：用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。5、證明：判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。6、證明的一般步驟

（1）根據(jù)題意，畫出圖形。（2）根據(jù)題設(shè)、結(jié)論、結(jié)合圖形，寫出已知、求證。（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程�？键c六、投影與視圖

1、投影

投影的定義：用光線照射物體，在地面上或墻壁上得到的影子，叫做物體的投影。平行投影：由平行光線（如太陽光線）形成的投影稱為平行投影。中心投影：由同一點發(fā)出的光線所形成的投影稱為中心投影。2、視圖

當我們從某一角度觀察一個實物時，所看到的圖像叫做物體的一個視圖。物體的三視圖特指主視圖、俯視圖、左視圖。

主視圖：在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖。

俯視圖：在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖。

左視圖：在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖，有時也叫做側(cè)視圖。

第九章三角形

考點一、三角形

1三角形的概念：由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。2、三角形中的主要線段

（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。

（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。3、三角形的穩(wěn)定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。4、三角形的特性與表示三角形有下面三個特性：

（1）三角形有三條線段

（2）三條線段不在同一直線上三角形是封閉圖形

（3）首尾順次相接

三角形用符號“”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。

5、三角形的分類

三角形按邊的關(guān)系分類如下：不等邊三角形

三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形

等邊三角形

三角形按角的關(guān)系分類如下：

直角三角形（有一個角為直角的三角形）

三角形銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）斜三角形

鈍角三角形（有一個角為鈍角的三角形）

把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。6、三角形的三邊關(guān)系定理及推論

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。（2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：

①判斷三條已知線段能否組成三角形。②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。③證明線段不等關(guān)系。7、三角形的內(nèi)角和定理及推論

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°。推論：

①直角三角形的兩個銳角互余。②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和。③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。

注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。8、三角形的面積：三角形的面積=考點二、全等三角形1、全等三角形的概念

能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。兩個三角形全等時，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點的兩邊所成的角。

2、全等三角形的表示和性質(zhì)

全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”。如△ABC≌△DEF，讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。3、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）（3）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：

對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)�等時，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）4、全等變換

只改變圖形的位置，二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。全等變換包括一下三種：

（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。

（2）對稱變換：將圖形沿某直線翻折180°，這種變換叫做對稱變換。

（3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換�？键c三、等腰三角形1、等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）

17

12×底×高

推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。

推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°。（2）等腰三角形的其他性質(zhì)：

①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b，則

b2

第十章四邊形

考點一、四邊形的相關(guān)概念

1、四邊形：在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接的圖形叫做四邊形。

2、凸四邊形：把四邊形的任一邊向兩方延長，如果其他個邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形。

3、對角線：在四邊形中，連接不相鄰兩個頂點的線段叫做四邊形的對角線。

4、四邊形的不穩(wěn)定性：三角形的三邊如果確定后，它的形狀、大小就確定了，這是三角形的穩(wěn)定性。但是四邊形的四邊確定后，它的形狀不能確定，這就是四邊形所具有的不穩(wěn)定性，它在生產(chǎn)、生活方面有著廣泛的應(yīng)用。5、四邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理

四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360°。四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360°。多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和(n2)180°；多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和360°6、多邊形的對角線條數(shù)的計算公式：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則多邊形的對角線條數(shù)為考點二、平行四邊形

1、平行四邊形的概念：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

平行四邊形用符號“□ABCD”表示，如平行四邊形ABCD記作“□ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”。2、平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的鄰角互補，對角相等。

（2）平行四邊形的對邊平行且相等。推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。（3）平行四邊形的對角線互相平分。

（4）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積。3、平行四邊形的判定

（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

（2）定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

4、兩條平行線的距離：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。平行線間的距離處處相等。5、平行四邊形的面積：S考點三、矩形

平行四邊形

n(n3)2。

=底邊長×高=ah

1、矩形的概念

有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質(zhì)

（1）具平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）矩形的四個角都是直角；（3）矩形的對角線相等；（4）矩形是軸對稱圖形3、矩形的判定

（1）定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形

（2）定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形；定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形4、矩形的面積：S矩形=長×寬=ab考點四、菱形1、菱形的概念

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形

2、菱形的性質(zhì)

（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）菱形的四條邊相等；（3）菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；（4）菱形是軸對稱圖形3、菱形的判定

（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形；定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

4、菱形的面積：S

菱形

=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半

考點五、正方形

1、正方形的概念：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形的性質(zhì)

（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)（2）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

（3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角（4）正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸

（5）正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的小等腰直角三角形

（6）正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離相等。3、正方形的判定

（1）判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：

①先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。②先證它是菱形，再證有一個角是直角。（2）判定一個四邊形為正方形的一般順序如下：

先證明它是平行四邊形；再證明它是菱形（或矩形）；最后證明它是矩形（或菱形）4、正方形的面積：設(shè)正方形邊長為a，對角線長為b，S考點六、梯形1、梯形的相關(guān)概念

一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底。梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。梯形的兩底的距離叫做梯形的高。

兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分類如下：一般梯形

梯形直角梯形特殊梯形

等腰梯形2、梯形的判定

（1）定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形是梯形。（2）一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。

3、等腰梯形的性質(zhì)

（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。（3）等腰梯形的對角線相等。（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。4、等腰梯形的判定

（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形（3）對角線相等的梯形是等腰梯形。5、梯形的面積（1）如圖，S梯形ABCD12(CDAB)DE

正方形

=a2b22

（2）梯形中有關(guān)圖形的面積：

①SABDSBAC；②SAODSBOC；③SADCSBCD6、梯形中位線定理

梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

第十一章解直角三角形

考點一、直角三角形的性質(zhì)

1、直角三角形的兩個銳角互余：可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半�！螦=30°可表示如下：BC=

12AB

∠C=90°

3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半∠ACB=90°

可表示如下：CD=D為AB的中點4、勾股定理

直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a2b2c25、攝影定理

在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項∠ACB=90°CD2CD⊥ABBC2ADBD12AB=BD=AD

AC2ADAB

BDAB6、常用關(guān)系式

由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC考點二、直角三角形的判定

1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系abc，那么這個三角形是直角三角形�？键c三、銳角三角函數(shù)的概念1、如圖，在△ABC中，∠C=90°

①銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記為sinA，即sinAA的對邊斜邊ac222

②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記為cosA，即cosAA的鄰邊斜邊bc

③銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記為tanA，即tanAA的對邊A的鄰邊A的鄰邊A的對邊abba

④銳角A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記為cotA，即cotA2、銳角三角函數(shù)的概念

銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)3、一些特殊角的三角函數(shù)值

21

三角函數(shù)sinα0°030°1245°222260°321290°1cosα132330tanα013不存在cotα不存在313304、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）互余關(guān)系：sinA=cos(90°A)，cosA=sin(90°A)；tanA=cot(90°A)，cotA=tan(90°A)（2）平方關(guān)系：sin2Acos2A1

（3）倒數(shù)關(guān)系：tanAtan(90°A)=1（4）弦切關(guān)系：tanA=

sinAcosA

5、銳角三角函數(shù)的增減性當角度在0°~90°之間變化時，

（1）正弦值隨著角度的增大（或減�。┒�增大（或減小）；（2）余弦值隨著角度的增大（或減�。┒鴾p�。ɑ蛟龃螅�；（3）正切值隨著角度的增大（或減�。┒�增大（或減�。�；（4）余切值隨著角度的增大（或減�。┒鴾p�。ɑ蛟龃螅�

考點四、解直角三角形（3~5）1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理論依據(jù)

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c（1）三邊之間的關(guān)系：abc（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°

sinA（3）邊角之間的關(guān)系：

ac,cosAbc,tanAab,cotAba;sinBbc,cosBac,tanBba,cotBab222

第十二章圓

考點一、圓的相關(guān)概念

1、圓的定義

在一個個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。2、圓的幾何表示：以點O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓O”考點二、弦、弧等與圓有關(guān)的定義

（1）弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。（如圖中的AB）

（2）直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。（如途中的CD）直徑等于半徑的2倍。（3）半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（4）弧、優(yōu)弧、劣弧

圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧�；∮梅�號“⌒”表示，以A，B為端點的弧記作“

”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。

大于半圓的弧叫做優(yōu)�。ǘ嘤萌齻�字母表示）；小于半圓的弧叫做劣�。ǘ嘤脙蓚�字母表示）考點三、垂徑定理及其推論

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。（3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。垂徑定理及其推論可概括為：過圓心

垂直于弦

直徑平分弦知二推三平分弦所對的優(yōu)弧平分弦所對的劣弧考點四、圓的對稱性（3分）

1、圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。2、圓的中心對稱性：圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形�？键c五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理1、圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。2、弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦想等，所對的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等�？键c六、圓周角定理及其推論

1、圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。2、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

考點七、點和圓的位置關(guān)系

設(shè)⊙O半徑r，點P到圓心距離為d，則：dr點P在⊙O外�？键c八、過三點的圓

1、過三點的圓：不在同一直線上的三個點確定一個圓。

2、三角形的外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓。

3、三角形的外心：三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它叫做這個三角形的外心。4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)（四點共圓的判定條件）：圓內(nèi)接四邊形對角互補�？键c九、反證法

先假設(shè)命題中的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過推理，引出矛盾，判定所做的假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法。

考點十、直線與圓的位置關(guān)系

直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：

（1）相交：直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線，公共點叫做交點；（2）相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，（3）相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。

若⊙O半徑r，圓心O到直線l距離d：直線l與⊙O相交dr�？键c十一、切線的判定和性質(zhì)

1、切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。2、切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

考點十二、切線長定理

1、切線長：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長。

2、切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。考點十三、三角形的內(nèi)切圓

1、三角形的內(nèi)切圓：與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。

2、三角形的內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點，它叫做三角形的內(nèi)心�？键c十四、圓和圓的位置關(guān)系1、圓和圓的位置關(guān)系

如果兩個圓沒有公共點，那么就說這兩個圓相離，相離分為外離和內(nèi)含兩種。如果兩個圓只有一個公共點，那么就說這兩個圓相切，相切分為外切和內(nèi)切兩種。如果兩個圓有兩個公共點，那么就說這兩個圓相交。2、圓心距：兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。3、圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定

設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d，那么

兩圓外離d>R+r；兩圓外切d=R+r；兩圓相交R-r

第十三章圖形的變換

考點一、平移

1、定義：把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同，圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。

2、性質(zhì)

（1）平移不改變圖形的大小和形狀，但圖形上的每個點都沿同一方向進行了移動（2）連接各組對應(yīng)點的線段平行（或在同一直線上）且相等。

考點二、軸對稱、

1、定義：把一個圖形沿著某條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱，該直線叫做對稱軸。2、性質(zhì)

（1）關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。（2）如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線。（3）兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上。3、判定：如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱。

4、軸對稱圖形：把一個圖形沿著某條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸�？键c三、旋轉(zhuǎn)

1、定義：把一個圖形繞某點O轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，其中O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。2、性質(zhì)

（1）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

（2）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角�？键c四、中心對稱

1、定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。

2、性質(zhì)

（1）關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。（2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。（3）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等。

3、判定：如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱。4、中心對稱圖形

把一個圖形繞某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。

考點五、坐標系中對稱點的特征1、關(guān)于原點對稱的點的特征

兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標的符號相反，即點P（x，y）關(guān)于原點的對稱點為P’（-x，-y）2、關(guān)于x軸對稱的點的特征

兩個點關(guān)于x軸對稱時，它們的坐標中，x相等，y的符號相反，即點P（x，y）關(guān)于x軸的對稱點為P’（x，-y）3、關(guān)于y軸對稱的點的特征

兩個點關(guān)于y軸對稱時，它們的坐標中，y相等，x的符號相反，即點P（x，y）關(guān)于y軸的對稱點為P’（-x，y）

第十四章圖形的相似

考點一、比例線段

1、比例線段的相關(guān)概念

如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是，b=m：n，

在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的后項。

25

abmn或?qū)懗蒩：

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，稱比例線段

abcd，簡

若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項，線段a，d叫做比例外項，線段b，c叫做比例內(nèi)項，線段的d叫做a，b，c的第四比例項。如果作為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段，即2、比例的性質(zhì)

（1）基本性質(zhì)：①a：b=c：dad=bc②a：b=b：cb2ac（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項或外項）abcd

acdbdcbdcabaabbc或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項。

（交換內(nèi)項）（交換外項）

（同時交換內(nèi)項和外項）

abcdbadc（3）反比性質(zhì)（交換比的前項、后項）：（4）合比性質(zhì)：

abcdabbcdd

acembdfnab（5）等比性質(zhì)：

abcdefmn(bdfn0)

3、黃金分割

把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=

512AB0.618AB

考點二、平行線分線段成比例定理

三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。

推論：

（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。

逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

（2）平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例�？键c三、相似三角形1、相似三角形的概念

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符號“∽”來表示，讀作“相似于”。相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）。2、相似三角形的基本定理

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

用數(shù)學語言表述如下：

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC

相似三角形的等價關(guān)系：

（1）反身性：對于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；（2）對稱性：若△ABC∽△A’B’C’，則△A’B’C’∽△ABC

（3）傳遞性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，則△ABC∽△A’’B’’C’’。3、三角形相似的判定

（1）三角形相似的判定方法

①定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似

②平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似③判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似，可簡述為兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。

④判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似，可簡述為兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。

⑤判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似，可簡述為三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似

（2）直角三角形相似的判定方法①以上各種判定方法均適用②定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似

③垂直法：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似。4、相似三角形的性質(zhì)

（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；（2）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；（3）相似三角形周長的比等于相似比；（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。5、相似多邊形

（1）如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）

（2）相似多邊形的性質(zhì)

①相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；②相似多邊形周長的比、對應(yīng)對角線的比都等于相似比；③相似多邊形中的對應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比；④相似多邊形面積的比等于相似比的平方6、位似圖形

如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點所在直線都經(jīng)過同一個點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，此時的相似比叫做位似比。

性質(zhì)：每一組對應(yīng)點和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比都等于位似比。

由一個圖形得到它的位似圖形的變換叫做位似變換。利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小。

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