班主任一周工作總結(jié)

班主任一周工作總結(jié)

韓雪

這一周來，在緊張與忙亂中度過，我作為一名新教師，等待的考驗(yàn)還有很多，尤其是班主任工作，班主任是連結(jié)學(xué)生、家長間的紐帶，更加重要。

雖然自己僅僅上崗五天，但是卻學(xué)到了許多。

（一）確定得力的班委成員。班委的培養(yǎng)至關(guān)重要，好的班委往往有自覺性，主動幫老師管理班級秩序，是老師的得力助手。有的班委卻缺少自覺性，自己不能樹立好榜樣。并且要定期總結(jié)下班級管理情況，讓班委明確自己的職責(zé)。

（二）養(yǎng)成學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。一周來，我發(fā)現(xiàn)很多孩子老師在的時(shí)候可以安靜讀書，但是老師剛剛走出教室許多學(xué)生就交頭接耳，尤其是早上自習(xí)時(shí)，許多孩子都在打鬧。每天早上讓兩位同學(xué)負(fù)責(zé)領(lǐng)讀，輪流進(jìn)行，使班里的每個(gè)孩子都有鍛煉的機(jī)會。作業(yè)方面，時(shí)常展覽幾位優(yōu)秀同學(xué)的作業(yè)，以激勵其他同學(xué)認(rèn)真完成自己作業(yè)。除此之外，可以制一個(gè)班級情況表，把班里每位同學(xué)的表現(xiàn)記錄下來，給一周來表現(xiàn)好的學(xué)生適當(dāng)小獎勵。采用一對一的形式使每位同學(xué)都得以進(jìn)步，對一些學(xué)習(xí)不認(rèn)真的學(xué)生利用課下時(shí)間找他們談話，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性。

（三）自覺維護(hù)班級衛(wèi)生。三年級的孩子已有一定的主動性，但是現(xiàn)在很多學(xué)生往往缺乏主動性，必須老師一件件具體要求才去完成。讓班里學(xué)生以同桌為組，每組準(zhǔn)備好塑料袋把垃圾扔在袋中，不要亂丟廢紙等，養(yǎng)成良好的衛(wèi)生習(xí)慣。同時(shí)，每周的值日生具體到人，衛(wèi)生委員負(fù)責(zé)檢查。

（四）重視與家長的聯(lián)系。班主任只憑自己的威信和力量是不可能取得教育成功的，必須力爭本班科任老師和家長對學(xué)生有一致的要求和態(tài)度，并時(shí)常同他們交換意見。每段時(shí)間與家長交流學(xué)生的表現(xiàn)，充分調(diào)動家長的積極性，配合學(xué)校教育好孩子，這樣班主任工作才能更加順利輕松。

拿出一顆真誠的心對待孩子，孩子也會盡最大的努力回報(bào)你！

201*.09.11

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一周班主任工作總結(jié)

看這一周的情形，還真的小步驟、細(xì)計(jì)劃、慢落實(shí)，否則再好的東西沒有輸入他們的血液里啥用都沒有。根據(jù)這一周來，早中晚、上課學(xué)生對時(shí)間的遵守上存在著問題，我親自發(fā)現(xiàn)的遲到現(xiàn)在時(shí)有發(fā)生，如果我不在的情形下肯定更嚴(yán)重，這種跡象表明：養(yǎng)成學(xué)生守時(shí)的習(xí)慣是一項(xiàng)長期的工作，要常抓而且得研究著抓。有的孩子要想養(yǎng)成這種習(xí)慣是對意志力的鍛煉，但對所有同學(xué)來說，如果養(yǎng)成這種習(xí)慣更是一種品德修養(yǎng)，守時(shí)和誠信、自律、忍耐等有著千絲萬縷的聯(lián)系。一定要用一個(gè)學(xué)期，甚至一年或兩年要讓這屆學(xué)生必須形成守時(shí)的意識并養(yǎng)成習(xí)慣。讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的優(yōu)點(diǎn)的習(xí)慣，這一周我沒有檢查，你要落實(shí)什么工作必須得檢查，否則等于沒說。發(fā)現(xiàn)別人優(yōu)點(diǎn)的習(xí)慣更難形成，因?yàn)槿送�往發(fā)現(xiàn)別人缺點(diǎn)容易，發(fā)現(xiàn)別人優(yōu)點(diǎn)難，這項(xiàng)工作要與語文教師取得聯(lián)系，在日記中在作文中去尋找這些思想或表現(xiàn)。我也要在生活中認(rèn)真觀察，尤其要讓學(xué)生在紙上寫出來。我要真正看到他們是不是發(fā)現(xiàn)自己和別人的優(yōu)點(diǎn)。好心態(tài)更是要讓他們一生都要擁有的習(xí)慣，遇事就要強(qiáng)調(diào)，盡可能讓所有的學(xué)生都形成。有的學(xué)生身上有頑癥，不是一下了就能改變，必須用幾個(gè)21天才能改變，所以要給一些孩子時(shí)間，這期間就需要我作為班主任有耐心、毅力，還要做到寬容而不姑息，這一點(diǎn)真的很困難，我一定要爭取，必須要爭取這樣做。如崔志遠(yuǎn)好動、好說，我讓他把毛病寫一張紙上并表明改正，貼在課桌上，每天一張，這一周做得很好。這個(gè)孩子我一定要把他抓出來。每天晚自習(xí)我都到班級，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生沒有事做，或者沒有認(rèn)真去做事，第二天教師檢查作業(yè)時(shí)，有質(zhì)量不高的也有沒完成的。學(xué)生心中缺少近兩年來學(xué)習(xí)上的長遠(yuǎn)目標(biāo)，更缺少初二或初二第一學(xué)期的學(xué)習(xí)目標(biāo)，也沒有每個(gè)月甚至每周的學(xué)習(xí)目標(biāo)。有目標(biāo)才有方向，才不會漫無目的隨處漂蕩，有目標(biāo)才會有進(jìn)取心，有目標(biāo)才會產(chǎn)生毅力、耐力、決心。目標(biāo)不好訂，而且更不易切合實(shí)際，最不易的是堅(jiān)持。必須自己先養(yǎng)成這種習(xí)慣，然后再去影響學(xué)生。

小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法有哪些

《課標(biāo)》（修訂稿）把“雙基”改變“四基”，即改為關(guān)于數(shù)學(xué)的：基

礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)。

“基本思想”主要是指演繹和歸納，這應(yīng)當(dāng)是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是最上位的思想。演繹和歸納不是矛盾的，其教學(xué)也不是矛盾的，通過歸納來預(yù)測結(jié)果，然后通過演繹來驗(yàn)證結(jié)果。在具體的問題中，會涉及到數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)模型、等量替換、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，但最上位的思想還是演繹和歸納。之所以用“基本思想”而不用基本思想方法，就是要與換元法、遞歸法、配方法等具體的數(shù)學(xué)方法區(qū)別。每一個(gè)具體的方法可能是重要的，但它們是個(gè)案，不具有一般性。作為一種思想來掌握是不必要的，經(jīng)過一段時(shí)間，學(xué)生很可能就忘卻了。這里所說的思想，是大的思想，是希望學(xué)生領(lǐng)會之后能夠終生受益的那種思想方法。

史寧中教授認(rèn)為：演繹推理的主要功能在于驗(yàn)證結(jié)論，而不在于發(fā)現(xiàn)結(jié)論。我們?nèi)鄙俚氖歉鶕?jù)情況“預(yù)測結(jié)果”的能力；根據(jù)結(jié)果“探究成因”的能力。而這正是歸納推理的能力。

就方法而言，歸納推理十分龐雜，枚舉法、歸納法、類比法、統(tǒng)計(jì)推斷、因果分析，以及觀察實(shí)驗(yàn)、比較分類、綜合分析等均可被包容。與演繹推理相反，歸納推理是一種“從特殊到一般的推理”。

借助歸納推理可以培養(yǎng)學(xué)生“預(yù)測結(jié)果”和“探究成因”的能力，是演繹推理不可比擬的。從方法論的角度考慮，“雙基教育”缺少歸納能力的培養(yǎng)，對學(xué)生未來走向社會不利，對培養(yǎng)創(chuàng)新性人才不利。

一、什么是小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法

所謂的數(shù)學(xué)思想，是指人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中提煉出的一些觀點(diǎn)，它揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展中普遍的規(guī)律，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動，這是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。

所謂的數(shù)學(xué)方法，就是解決數(shù)學(xué)問題的方法，即解決數(shù)學(xué)具體問題時(shí)所采用的方式、途徑和手段，也可以說是解決數(shù)學(xué)問題的策略。數(shù)學(xué)思想是宏觀的，它更具有普遍的指導(dǎo)意義。而數(shù)學(xué)方法是微觀的，它是解決數(shù)學(xué)問題的直接具體的手段。一般來說，前者給出了解決問題的方向，后者給出了解決問題的策略。但由于小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容比較簡單，知識最為基礎(chǔ)，所以隱藏的思想和方法很難截然分開，更多的反映在聯(lián)系方面，其本質(zhì)往往是一致的。如常用的分類思想和分類方法，集合思想和交集方法，在本質(zhì)上都是相通的，所以小學(xué)數(shù)學(xué)通常把數(shù)學(xué)思想和方法看成一個(gè)整體概念，即小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法有哪些？1、對應(yīng)思想方法

對應(yīng)是人們對兩個(gè)集合因素之間的聯(lián)系的一種思想方法，小學(xué)數(shù)學(xué)一般是一一對應(yīng)的直觀圖表，并以此孕伏函數(shù)思想。如直線上的點(diǎn)（數(shù)軸）與表示具體的數(shù)是一一對應(yīng)。

2、假設(shè)思想方法

假設(shè)是先對題目中的已知條件或問題作出某種假設(shè)，然后按照題中的已知條件進(jìn)行推算，根據(jù)數(shù)量出現(xiàn)的矛盾，加以適當(dāng)調(diào)整，最后找到正確答案的一種思想方法。假設(shè)思想是一種有意義的想象思維，掌握之后可以使要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路。

3、比較思想方法比較思想是數(shù)學(xué)中常見的思想方法之一，也是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的手段。在教學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，教師善于引導(dǎo)學(xué)生比較題中已知和未知數(shù)量變化前后的情況，可以幫助學(xué)生較快地找到解題途徑。

4、符號化思想方法

用符號化的語言（包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號）來描述數(shù)學(xué)內(nèi)容，這就是符號思想。如數(shù)學(xué)中各種數(shù)量關(guān)系，量的變化及量與量之間進(jìn)行推導(dǎo)和演算，都是用小小的字母表示數(shù)，以符號的濃縮形式表達(dá)大量的信息。如定律、公式、等。

5、類比思想方法

類比思想是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，有可能將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上去的思想。如加法交換律和乘法交換律、長方形的面積公式、平行四邊形面積公式和三角形面積公式。類比思想不僅使數(shù)學(xué)知識容易理解，而且使公式的記憶變得順?biāo)�推舟的自然和簡潔�?/p>

6、轉(zhuǎn)化思想方法

轉(zhuǎn)化思想是由一種形式變換成另一種形式的思想方法，而其本身的大小是不變的。如幾何的等積變換、解方程的同解變換、公式的變形等，在計(jì)算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。

7、分類思想方法分類思想方法不是數(shù)學(xué)獨(dú)有的方法，數(shù)學(xué)的分類思想方法體現(xiàn)對數(shù)學(xué)對象的分類及其分類的標(biāo)準(zhǔn)。如自然數(shù)的分類，若按能否被2整除分奇數(shù)和偶數(shù)；按約數(shù)的個(gè)數(shù)分質(zhì)數(shù)和合數(shù)。又如三角形可以按邊分，也可以按角分。不同的分類標(biāo)準(zhǔn)就會有不同的分類結(jié)果，從而產(chǎn)生新的概念。對數(shù)學(xué)對象的正確、合理分類取決于分類標(biāo)準(zhǔn)的正確、合理性，數(shù)學(xué)知識的分類有助于學(xué)生對知識的梳理和建構(gòu)。

8、集合思想方法

集合思想就是運(yùn)用集合的概念、邏輯語言、運(yùn)算、圖形等來解決數(shù)學(xué)問題或非純數(shù)學(xué)問題的思想方法。小學(xué)采用直觀手段，利用圖形和實(shí)物滲透集合思想。在講述公約數(shù)和公倍數(shù)時(shí)采用了交集的思想方法。

9、數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)主要對象，數(shù)離不開形，形離不開數(shù)，一方面抽象的數(shù)學(xué)概念，復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，借助圖形使之直觀化、形象化、簡單化。另一方面復(fù)雜的形體可以用簡單的數(shù)量關(guān)系表示。在解應(yīng)用題中常常借助線段圖的直觀幫助分析數(shù)量關(guān)系。

10、統(tǒng)計(jì)思想方法：

小學(xué)數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計(jì)圖表是一些基本的統(tǒng)計(jì)方法，求平均數(shù)應(yīng)用題是體現(xiàn)出數(shù)據(jù)處理的思想方法。

11、極限思想方法：事物是從量變到質(zhì)變的，極限方法的實(shí)質(zhì)正是通過量變的無限過程達(dá)到質(zhì)變。在講“圓的面積和周長”時(shí)，“化圓為方”“化曲為直”的極限分割思路，在觀察有限分割的基礎(chǔ)上想象它們的極限狀態(tài)，這樣不僅使學(xué)生掌握公式還能從曲與直的矛盾轉(zhuǎn)化中萌發(fā)了無限逼近的極限思想。

12、代換思想方法：

他是方程解法的重要原理，解題時(shí)可將某個(gè)條件用別的條件進(jìn)行代換。如學(xué)校買了4張桌子和9把椅子，共用去504元，一張桌子和3把椅子的價(jià)錢正好相等，桌子和椅子的單價(jià)各是多少？

13、可逆思想方法：

它是邏輯思維中的基本思想，當(dāng)順向思維難于解答時(shí)，可以從條件或問題思維尋求解題思路的方法，有時(shí)可以借線段圖逆推。如一輛汽車從甲地開往乙地，第一小時(shí)行了全程的1/7，第二小時(shí)比第一小時(shí)多行了16千米，還有94千米，求甲乙之距。

14、化歸思維方法：

把有可能解決的或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類以便解決可較易解決的問題，以求得解決，這就是“化歸”。而數(shù)學(xué)知識聯(lián)系緊密，新知識往往是舊知識的引申和擴(kuò)展。讓學(xué)生面對新知會用化歸思想方法去思考問題，對獨(dú)立獲得新知能力的提高無疑是有很大幫助。15、變中抓不變的思想方法：

在紛繁復(fù)雜的變化中如何把握數(shù)量關(guān)系，抓不變的量為突破口，往往問了就迎刃而解。如：科技書和文藝書共630本，其中科技書20%，后來又買來一些科技書，這時(shí)科技書占30%，又買來科技書多少本？

16、數(shù)學(xué)模型思想方法：

所謂數(shù)學(xué)模型思想是指對于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對象，從它特定的生活原型出發(fā)，充分運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、比較、分析綜合概括等所謂過程，得到簡化和假設(shè)，它是把生活中實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題模型的一種思想方法。培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識和處理周圍事物或數(shù)學(xué)問題乃數(shù)學(xué)的最高境界，也是學(xué)生高數(shù)學(xué)素養(yǎng)所追求的目標(biāo)。

17、整體思想方法：

對數(shù)學(xué)問題的觀察和分析從宏觀和大處著手，整體把握化零為整，往往不失為一種更便捷更省時(shí)的方法。

小學(xué)數(shù)學(xué)思想的梳理（部分）

201*-09-0521:24:13|分類：課堂教學(xué)方法|標(biāo)簽：|字號大中小訂閱

本文引用自PigLeg《小學(xué)數(shù)學(xué)思想的梳理（部分）》

原文摘自《小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理》（人教社王永春）和部分網(wǎng)絡(luò)資源

整理：林少暄所謂的數(shù)學(xué)思想，是指人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中提煉出的一些觀點(diǎn)，它揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展中普遍的規(guī)律，它直接支配

著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動，這是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。

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數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法既有區(qū)別又有密切聯(lián)系。數(shù)學(xué)思想的理論和抽象程度要高一些，而數(shù)學(xué)方法的實(shí)踐性更強(qiáng)一些。人們實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想往往要靠一定的數(shù)學(xué)方法；而人數(shù)選擇數(shù)學(xué)方法，又要以一定的數(shù)學(xué)思想為依據(jù)。因此，二者有密切聯(lián)系的。我們把二者合稱為數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，那么，

要想學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)，就要深入到數(shù)學(xué)的“靈魂深處”。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在總體目標(biāo)中明確提出：“學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能。”這一總體目標(biāo)貫穿于小學(xué)和初中，這充分說明了數(shù)學(xué)思想方法的重要性。筆者認(rèn)為，在小學(xué)階段有意識地向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法有以下

重要意義：

1、可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定律的理解，提高學(xué)生解決問題的能力和思維能力，也是小學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行素質(zhì)教育的真正內(nèi)涵之所在。

2、能為初中數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)打下較好的基礎(chǔ)。

3、是適應(yīng)教育發(fā)展及數(shù)學(xué)發(fā)展的必然需要。

在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)思想方法主要有符號思想、化歸思想、類比思想、歸納思想、分類思想、方程思想、集合思想、函數(shù)思想、一一對應(yīng)思想、模型思想、數(shù)

形結(jié)合思想、演繹推進(jìn)思想、變換思想、統(tǒng)計(jì)與概率思想等等。

一、符號化思想1、符號化思想的概念

符號化思想主要指人們有意識地、普遍地運(yùn)用符號去表述研究的對象。數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的語言，數(shù)學(xué)世界是一個(gè)符號化的世界，數(shù)學(xué)作為人們進(jìn)行表示、計(jì)算、推理和解決問題的工具符號起到了非常重要的作用；因?yàn)閿?shù)學(xué)有了符號，才使得數(shù)學(xué)具有簡明、抽象、清晰、準(zhǔn)確等特點(diǎn)，同時(shí)也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的普及和發(fā)展；國際通用的數(shù)學(xué)符號的使用，使數(shù)學(xué)成為國際化的語言。符號化思想

是一般化的思想方法，具有普遍的意義。

2、如何理解符號化思想

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》比較重視培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，并把符號意識作為數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容之一給出了詮釋。那么，在小學(xué)階段，如何理解這一重要思想呢？下面

結(jié)合案例做簡要解析。

第一，能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號表示。這是一個(gè)從具體到抽象、從特殊到一般的探索和歸納的過程。如通過幾組具體的兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置和不變，歸納出加法交換律，并用符號表示：a＋b=b＋a。再如在長方形上拼擺單位面積的小正方形，探索并歸納出長方形的面積公式，并用符號表示：S=ab。這是一個(gè)符號化的過程，同時(shí)也是一個(gè)模型化的過程。

第二，理解并運(yùn)用符號表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。這是一個(gè)從一般到特殊、從理論到實(shí)踐的過程。包括用關(guān)系式、表格和圖象等表示情境中數(shù)量間的關(guān)系。

如假設(shè)一個(gè)正方形的邊長是a，那么

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4a就表示該正方形的周長，a2表示該正方形的面

積。這同樣是一個(gè)符號化的過程，同時(shí)也是一個(gè)解釋和應(yīng)用模型的過程。第三，會進(jìn)行符號間的轉(zhuǎn)換。數(shù)量間的關(guān)系一旦確定，便可以用數(shù)學(xué)符號表示出來，但數(shù)學(xué)符號不是唯一的，可以豐富多彩。這里所說的符號間的轉(zhuǎn)換，主要指表示變量之間關(guān)系的表格法、解析式法、圖像法和語言表示之間的轉(zhuǎn)換。用多種形式描述和呈現(xiàn)數(shù)學(xué)對象是一種有效獲得對概念本身或問題背景深入理解的方法。因此用多種方法表示不僅可以加強(qiáng)對概念的理解，而且也是解決問題的重要策略．從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的角度看，不同的思維形式之間的轉(zhuǎn)換及其表達(dá)方式是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心。能把變量之間關(guān)系表示的一種形式轉(zhuǎn)換為另一種方式，是構(gòu)成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的重要方面。如一輛汽車的行駛時(shí)速為定值80千米，那么該輛汽車行駛的路程和時(shí)間成正比，它們之間的數(shù)量關(guān)系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，還可以用圖象表示。即這些符號是可以相互

轉(zhuǎn)換的。

第四，能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表示的問題。這是指完成符號化后的下一步工作，就是進(jìn)行數(shù)學(xué)的運(yùn)算和推理。能夠進(jìn)行正確的運(yùn)算和推理

是非常重要的數(shù)學(xué)基本功，也是非常重要的數(shù)學(xué)能力。

3、符號化思想的具體應(yīng)用

數(shù)學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了幾千年，數(shù)學(xué)符號的規(guī)范和統(tǒng)一也經(jīng)歷了比較漫長的過程。如我們現(xiàn)在通用的算術(shù)中的十進(jìn)制計(jì)數(shù)符號數(shù)字0-9于公元8世紀(jì)在印度產(chǎn)生，經(jīng)過了幾百年才在全世界通用，從通用至今也不過幾百年。代數(shù)在早期主要是以文字為主的演算，直到16、17世紀(jì)韋達(dá)、笛卡爾和萊布尼茲等數(shù)學(xué)家逐步

引進(jìn)和完善了代數(shù)的符號體系。符號在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用如下表：

知識領(lǐng)域知識點(diǎn)阿拉伯?dāng)?shù)字：0~9中文數(shù)字：一~十?dāng)?shù)的表示百分號：%負(fù)號：－用數(shù)軸表示數(shù)數(shù)的運(yùn)算數(shù)的大小關(guān)系＋、－、×、÷、（）、[]、{}、a2、a3=、≠、≈、、加法交換律：a＋b=b＋a數(shù)與代數(shù)方程運(yùn)算定律加法結(jié)合律：a＋b＋c=a＋(b＋c)乘法交換律：a×b=b×a乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b＋c)=ab＋acX±a=baX±b=c時(shí)間、速度和路程：S=vt正比例關(guān)系：反比例關(guān)系：xy=k(k一定)用表格表示數(shù)量間的關(guān)系用圖象表示數(shù)量間的關(guān)系用字母表示空計(jì)量單位面積單位：km2、hm2、m2、dm2、cm2長度單位：km、m、dm、cm、mm具體應(yīng)用應(yīng)用拓展千分號：、a(b－c)=ab－ac間與圖形體積單位：m、dm、cm容積單位：L、ml質(zhì)量單位：t、kg、k用字母表示點(diǎn)：三角形ABC/△ABC表示線：直線C、射線l、線段ab用符號表示圖形用符號表示角：∠1、∠2、∠3互相平行：AB∥CD互相垂直：AB⊥CD長方形周長：C=(a＋b)×2333長方形面積：S=ab正方形周長：C=4a正方形面積：S=a2平行四邊形面積：S=ah三角形面積：S=ah÷2梯形面積：S=(a＋b)h÷2圓周長：C=2∏r=∏d用字母表示公式圓面積：S=∏r2長方體表面積：S=(ab＋ah＋bh)×2長方體體積：V=abh=sh正方體表面積：S=6a2正方體體積：V=a3=sh圓柱表面積：S=2∏r2＋2∏rh圓柱體積：V=sh圓錐體積：V=sh統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表可能性用統(tǒng)計(jì)圖表描述和分析各種信息用分?jǐn)?shù)表示可能性的大�。�

4、符號化思想的教學(xué)

符號化思想作為數(shù)學(xué)基本的、廣泛應(yīng)用的思想之一，教師和學(xué)生無時(shí)無刻不

在與它們打交道。教師在教學(xué)中應(yīng)把握好以下幾點(diǎn)：

（1）在思想上引起重視�！稊�(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把培養(yǎng)學(xué)生的符號意識作為必學(xué)的內(nèi)容，并提出了具體要求，足以證明它的重要性。因此，教師在日常教學(xué)中

應(yīng)給予足夠的重視。

（2）把培養(yǎng)符號意識落實(shí)到課堂教學(xué)目標(biāo)中。教師在每堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，要明確符號的具體應(yīng)用，并納入教學(xué)目標(biāo)中。創(chuàng)設(shè)合適的情境，引導(dǎo)學(xué)生在探索

中歸納和理解數(shù)學(xué)符號化的模型，并進(jìn)行解釋和應(yīng)用。

（3）引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識符號的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)符號是人們在研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的過程中產(chǎn)生的。它來源于生活，但并不是生活中真實(shí)的物質(zhì)存在，而是一種抽象概括。如數(shù)字1，它可以表示現(xiàn)實(shí)生活中任何數(shù)量是一個(gè)的物體的個(gè)數(shù)，是一種高度的抽象概括，具有一定的抽象性。一個(gè)數(shù)學(xué)符號一旦產(chǎn)生并被廣泛應(yīng)用，它就具有明確的含義，就能夠進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理證明，因而它具有精確性。數(shù)學(xué)能夠幫助人們完成大量的運(yùn)算和推理證明，但如果沒有簡捷的思想和符號的參與，它的工作量及難度也是很大的，讓人望而生畏。一旦簡捷的符號參與了運(yùn)算和推理證明，數(shù)學(xué)的簡捷性就體現(xiàn)出來了。如歐洲人12世紀(jì)以前基本上用羅馬數(shù)字進(jìn)行計(jì)數(shù)和運(yùn)算，由于這種計(jì)數(shù)法不是十進(jìn)制的，大數(shù)的四則運(yùn)算非常復(fù)雜，嚴(yán)重阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展和普及。直到12世紀(jì)印度數(shù)字及十進(jìn)制計(jì)數(shù)法傳入歐洲，才使得算術(shù)有了較快發(fā)展和普及。數(shù)學(xué)符號的發(fā)展也經(jīng)歷了從各自獨(dú)立到逐步規(guī)范、統(tǒng)一和國際化的過程，最明顯的就是早期的數(shù)字符號從各自獨(dú)立的埃及數(shù)字、巴比倫數(shù)字，中國數(shù)字、印度數(shù)字和羅馬數(shù)字到統(tǒng)一的阿拉伯?dāng)?shù)字。數(shù)學(xué)符號經(jīng)歷了從發(fā)明到應(yīng)用再到統(tǒng)一的逐步完善的過程，并促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展；反之，數(shù)學(xué)的發(fā)展也促進(jìn)了符號的發(fā)展。因而，數(shù)學(xué)和符

號是相互促進(jìn)發(fā)展的，而且這種發(fā)展可能是一個(gè)漫長的過程。

（4）符號意識的培養(yǎng)是一個(gè)長期的過程。符號意識的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過程中，學(xué)生首先要理解和掌握數(shù)學(xué)符號的內(nèi)涵和思想，并通過一定

的訓(xùn)練，才能利用符號進(jìn)行比較熟練地運(yùn)算，推理和解決問題。

二、數(shù)形結(jié)合思想1、數(shù)形結(jié)合思想的概念

數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)和形之間的對應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，數(shù)和形之間既對立以統(tǒng)一的關(guān)系，在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。這里的數(shù)是指數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)、數(shù)量關(guān)系式等，這里的形是指幾何圖形和函數(shù)圖象。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，直角坐標(biāo)系的應(yīng)用堪稱數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合思想的核心就是代數(shù)與幾何的對立統(tǒng)一和完美結(jié)合，就是要善于把握什么時(shí)候運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題是最佳的、什么時(shí)候運(yùn)用幾何方法解決代數(shù)問題是最佳的。如解決不等式和函數(shù)問題有時(shí)用圖象解決非常簡捷，幾何證明問題在初中是難點(diǎn)，到高中運(yùn)用解析幾

何的代數(shù)方法有時(shí)就比較簡便。

2、數(shù)形結(jié)合思想的重要意義

數(shù)形結(jié)合思想可以使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、使繁難的數(shù)學(xué)問題簡捷化，使得原本需要通過抽象思維解決的問題，有時(shí)借助形象思維就能夠解決，有利于抽象思維和形象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展和優(yōu)化解決問題的方法。數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微”這句話深刻地揭示了數(shù)形之間的辯證關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合的重要性。眾所周知，小學(xué)生的邏輯思維能力還比較弱，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)必須面對數(shù)學(xué)的抽象性這一現(xiàn)實(shí)問題；教材的編排和課堂教學(xué)都在千方百計(jì)地使抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成學(xué)生易于理解的方式呈現(xiàn)，借助數(shù)形結(jié)合思想中的圖形直觀手段，可以提供非常好的教學(xué)方法和解決方案。如從數(shù)的認(rèn)識、計(jì)算到比較復(fù)雜的實(shí)際問題，經(jīng)常要借助圖形來理解和分析，也就是說，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)離不開形。另外，幾何知識的學(xué)習(xí)，很多時(shí)候只憑直接觀察看不出什么規(guī)律和特點(diǎn)，這時(shí)就需要用數(shù)來表示，如一個(gè)角是不是直角、兩條邊是否相等、周長和面積是多少等。換句話說，就是形也離不開數(shù)。因此，數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)

中意義尤為重大。

3、數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用大致可分為兩種情形：一是借助于數(shù)的精確性、程序性和可操作性來闡明形的某些屬性，可稱之為“以數(shù)解形”；二是借助形的幾何直觀性來闡明某些概念及數(shù)之間的關(guān)系，可稱之為“以形助數(shù)”。數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)的四大領(lǐng)域知識的學(xué)習(xí)中都有非常普遍和廣泛的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：一是利用“形”作為各種直觀工具幫助學(xué)生理解和掌握知識、解決問題，如從低年級借助直線認(rèn)識數(shù)的順序，到高年級的畫線段圖幫助這生理解實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系。二是數(shù)軸及平面直角坐標(biāo)系在小學(xué)的滲透，如數(shù)軸、位置、正反比例關(guān)系圖象等，使學(xué)生體會代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系。這方面的應(yīng)用雖然比較淺顯，但這正是數(shù)形結(jié)合思想的重點(diǎn)所在，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。三是統(tǒng)計(jì)圖本身和幾何概念模型都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，統(tǒng)計(jì)圖表把抽象的、枯燥的數(shù)據(jù)直觀地表示出來，便于分析和決策。四是用代數(shù)（算術(shù)）方法解決幾何問題。如角度、周長、面積和體積等的計(jì)算，通過計(jì)算三角形內(nèi)角的度數(shù)，

可以知識它是什么樣的三角形等等。

4、數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)

數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問題。

第一，如何正確理解數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合中的形是數(shù)學(xué)意義上的形，是幾何圖形和圖象。有些老師往往容易把利用各種圖形作為直觀手段幫助學(xué)生理解知識，與數(shù)形結(jié)合思想中的“以形助數(shù)”混淆起來。彼“形”非此“形”，小學(xué)數(shù)學(xué)中的實(shí)物和圖片作為理解抽象知識的直觀手段，很多時(shí)候是生活意義上的“形”，并不都是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，如：6＋1=7，可以通過擺各種實(shí)物和幾何圖片幫助學(xué)生理解加法的算理，這里的幾何圖片并不是數(shù)形結(jié)合中的“形”，因?yàn)檫@里并不關(guān)心幾何圖片的形狀和大小，用什么形狀和大小的圖片都行，并沒有賦予圖片本身形狀和大小的量化的特征，甚至不用圖片用小棒等材料也能起到相同的作用，因而它更是生活中的“形”。如果結(jié)合數(shù)軸（低年級往往用類似于數(shù)軸的尺子或直線）來認(rèn)識數(shù)的順序和加法，那么這把數(shù)和形（數(shù)軸）建立了對應(yīng)的關(guān)系，便于比較數(shù)的大小和進(jìn)行加減法計(jì)算，這是真正的數(shù)形結(jié)合。由于在解決實(shí)際問題時(shí)，通過畫線段圖幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系是老師和學(xué)生都非常熟

悉的內(nèi)容，因此在案例中不再出現(xiàn)這方面素材。

案例1：1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋

分析：此很難用小學(xué)算術(shù)的知識直接計(jì)算，因?yàn)樗�有無窮多個(gè)數(shù)相加，如果是有限個(gè)數(shù)相加，用等式的性質(zhì)進(jìn)行恒等變換可以計(jì)算。從題中數(shù)的特點(diǎn)來看，每一項(xiàng)的分子都是1，每一項(xiàng)的分母都是它前一項(xiàng)分母的2倍，或者說第幾項(xiàng)分母就是2的幾次方，第n項(xiàng)就是2的n次方。聯(lián)想到分?jǐn)?shù)的計(jì)算可用幾何直觀圖表示，那么現(xiàn)在可構(gòu)造一個(gè)長度或者面積是1的線段或者正方形，不妨構(gòu)造一個(gè)面積是1的正方形，如下圖所示。先取它的一半作為二分之一，再取余下的一半的一半作為四分之一，如此取下去當(dāng)取的次數(shù)非常大時(shí)，余下部分的面積已經(jīng)非常小了，用極限的思想來看，當(dāng)取的次數(shù)趨向于無窮大里，余下部分的面積趨向于0，因而，最后取的面積就是1。也就是說，上面算式的得數(shù)是1。

第二，適當(dāng)拓展數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想中的以數(shù)解形在中學(xué)應(yīng)用的較多，在小學(xué)數(shù)學(xué)中常見的就是計(jì)算圖形的周長、面積和體積等內(nèi)容。除此之外，還可以創(chuàng)新求變，在小學(xué)幾何的范圍內(nèi)深入挖掘素材，在學(xué)生已有知識的

基礎(chǔ)上適當(dāng)拓展，豐富小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想。

案例2：把兩個(gè)形狀和大小相同的長方體月餅盒包裝成一包，怎樣包裝最省

包裝紙？

分析：此題是小學(xué)數(shù)學(xué)比較典型的通過探索活動發(fā)現(xiàn)規(guī)律的題目，一般情況下教師會給學(xué)生足夠的學(xué)具進(jìn)行操作，拼出幾種包裝方法，再通過計(jì)算比較表面積的大小找到最佳答案�，F(xiàn)在我們從代數(shù)思想出發(fā)，不用任何操作和具體數(shù)量的計(jì)算，一般性地，假設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、h，并且a>b>h（只要給出三個(gè)數(shù)的大小順序便可，誰大誰小并不影響用代數(shù)方法推理的過程和結(jié)論）

首先要明確的是，問題所求怎樣包裝最省包裝紙，實(shí)際上就是求怎樣拼才能使拼成的大長方體的表面積最小。每個(gè)長方體有6個(gè)面，兩個(gè)長方體拼成一個(gè)大長方體后仍然有6個(gè)面，但這6個(gè)面的面積是原來長方體的10個(gè)面的面積，其中有兩個(gè)面是原來長方體的面，另4個(gè)面分別是原來相同的兩個(gè)面拼成的；也就是說，大長方體的表面積已經(jīng)不是原來兩個(gè)長方體的12個(gè)面的面積直接相加的和了，而是它們的和再減去拼在一起的兩個(gè)面的面積和。原來兩個(gè)長方體的12個(gè)面的面積和是恒定不變的，因而大長方體的表面積的大小，取決于減去的（拼在一起的）兩個(gè)面的面積的大小，減去的兩個(gè)面的面積和越大，大長方體的表面積就越小。根據(jù)已知條件可知，ab>ah>bh，所以把最大的兩個(gè)側(cè)面貼在一起包

裝最省包裝紙。列成公式為：S=4(ab＋bh＋ah)－2ab。

案例2：如下圖，大圓半徑等于小圓直徑，大圓周長與小圓周長的比是多少？

分析：要解決這個(gè)問題，舉例子只是其中一種方法。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想同樣可以解決。設(shè)小圓半徑為r，則大圓半徑為2r，它們之間的周長之比是（2×3.14

×2r）:（2×3.14×2r）=2:1。

三、幾何變換思想

變換是數(shù)學(xué)中一個(gè)帶有普遍性的概念，代數(shù)中有數(shù)與式的恒等變換、幾何中圖形的變換。在初等幾何中，圖形變換是一種重要的思想方法，它以運(yùn)動變化的觀點(diǎn)來處理孤立靜止的幾何問題，往往在解決問題的過程中能夠收到意想不到的

效果。

1、初等幾何變換的概念

初等幾何變換是關(guān)于平面圖形在同一個(gè)平面內(nèi)的變換，在中小學(xué)教材中出現(xiàn)的相似變換、合同變換等都屬于初等幾何變換。合同變換實(shí)際上就是相似比為1的相似變換，是特殊的相似變換。合同變換也叫保距變換，分為平移、旋轉(zhuǎn)和反

射（軸對稱）變換等。

（1）平移變換：就是說一個(gè)圖形與經(jīng)過平移變換后的圖形上的任意一對對應(yīng)點(diǎn)的連線相互平行且相等。平移變換有以下一些性質(zhì)：①把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，因而面積和周長不變；②在平移變換下兩點(diǎn)之間的方向保持不變。③在平移變換下兩點(diǎn)之間的距離保持不變。利用平移變換可以使分散的條件集中在一

起，具有更緊湊的位置關(guān)系或變換成更簡單的圖形。

（2）旋轉(zhuǎn)變換：指一個(gè)圖形圍繞一個(gè)定點(diǎn)在不變形的情況下轉(zhuǎn)動一個(gè)角度的運(yùn)動，就是旋轉(zhuǎn)。在旋轉(zhuǎn)變換下，圖形的方位可能有變化。描述旋轉(zhuǎn)變換有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度（畫出三角形ABC以頂點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后的圖形）。轉(zhuǎn)變換有以下一些性質(zhì)：①把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，因而面積和周長不變。②在旋轉(zhuǎn)變換下，任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對應(yīng)點(diǎn)為A`和B`，則有直線AB和直線A`B`所成的角等于旋轉(zhuǎn)角度（即對應(yīng)邊所成的夾角等于旋轉(zhuǎn)角度）。③在旋轉(zhuǎn)變換下，任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對應(yīng)點(diǎn)為A`和B`，則有AB=A`B`。在解決幾何問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)的作用是使原有圖形的性質(zhì)得以保持，但通過改變其位置，組合成新的圖形，便于計(jì)算和證明。

（3）反謝變換：在同一平面內(nèi)，若存在一條定直線l，使對于平面上的任一點(diǎn)P及其對應(yīng)點(diǎn)P`，其連線PP`的中垂線都是l，則稱這種變換為反射變換，也就是常說的軸對稱，定直線l稱為對稱軸，也叫反射軸。軸對稱有如下性質(zhì)：①把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，因而面積和周長不變。②在反射條件下，任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對應(yīng)點(diǎn)為A`和B`，則有直線AB和直線A`B`所成的角的平分線為l（也可以理解為對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距離相等）。③兩點(diǎn)之間的距離保持不變，任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對應(yīng)點(diǎn)A`和B`，則有AB=A`B`。把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱；如果一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形。軸對稱變換和軸對稱圖形是兩個(gè)不同的概念，前者是指圖形之間的關(guān)系或折疊運(yùn)動，后者是指一個(gè)圖形。中小學(xué)數(shù)學(xué)中的很多圖形都是軸對稱圖形，利用這些圖形的軸對稱性質(zhì)，可以幫助我們解決一些計(jì)

算和證明的幾何問題。

（4）相似變換。通俗地說就一指一個(gè)圖形按照一定比例放大或縮小，圖形的形狀不變。相似變換有以下一些性質(zhì)：①兩個(gè)圖形的周長的比等于相似系數(shù)。②兩個(gè)圖形的面積的比等于相似系數(shù)的平方。③兩條直線的夾角保持不變。生活中的許多現(xiàn)象都滲透著相似變換的思想，如物體和圖形在光線下的投影、照片和圖片的放大或縮小、零件的圖紙等等，因而利用相似變換可以解決生活中的一些

幾何問題。

2、幾何變換思想的重要意義

課程改革以來，幾何的教學(xué)已經(jīng)由傳統(tǒng)的注重圖形的性質(zhì)，周長、面積和體積等的計(jì)算、演繹推理能力轉(zhuǎn)變?yōu)榕囵B(yǎng)空間觀念、計(jì)算能力、推理能力及觀察、操作、實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Σ⒅氐娜�面的、和諧的發(fā)展。也就是說，新課程的理念在幾何的育人功能方面注重空間觀念、創(chuàng)新精神、探索能力、推理能力、計(jì)算能力、幾何模型等全面、和諧的發(fā)展。而圖形變換作為幾何領(lǐng)域的重要內(nèi)容和思想方法之一，在幾何的育人功能方面發(fā)揮著非常重要的作用。圖形變換來源于生活中物體的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的這些運(yùn)動現(xiàn)象，因而了解圖形的變換，有利于我們認(rèn)識生活中豐富多彩的生活空間和形成初步的空間觀念；利用圖形變換設(shè)計(jì)美麗的圖案，有利于感受、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造生活的美；有利于認(rèn)識圖形之間的關(guān)系和發(fā)展空間想象能力；利用圖形變換把靜止的幾何問題通過運(yùn)動變換，找到更加簡捷的解決問題的

方法。

3、幾何變換思想的具體應(yīng)用

圖形變換作為空間與圖形領(lǐng)域的重要內(nèi)容之一，在圖形的性質(zhì)、面積公式的推導(dǎo)、面積的計(jì)算、圖形的設(shè)計(jì)和欣賞、幾何的推理證明等方面都有重要的應(yīng)用。

小學(xué)數(shù)學(xué)中幾何變換思想的應(yīng)用如下表：

思想方法軸對稱知識點(diǎn)畫簡單的軸對稱圖形應(yīng)用舉例認(rèn)識軸對稱圖形，畫出一個(gè)簡單圖形的軸對稱圖形1、判斷生活中物體的運(yùn)動哪些是平移現(xiàn)象平移變換認(rèn)識平移、把簡單圖形平移2、畫出一個(gè)簡單圖形沿水平方向或豎直方向平移后的圖形感知旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象旋轉(zhuǎn)變換把簡單圖形旋轉(zhuǎn)900圖形的性質(zhì)、面積的計(jì)算合同變換國案的欣賞和設(shè)計(jì)變換設(shè)計(jì)美麗的圖案相似變換把簡單的圖形放大或縮小畫出長方形、正方形、三角形等簡單的圖形按照一定的比例放大或縮小后的圖形畫出一個(gè)簡單圖形順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900后的圖形平行四邊形、三角形、梯形和圓的面積公式的推導(dǎo)等都滲透了幾何變換思想判斷一些圖案是由一些基本圖形經(jīng)過什么變換得到的；利用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱等判斷生活物體的運(yùn)動哪些是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象4、幾何變換思想的教學(xué)

（1）課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于圖形變換的內(nèi)容和目標(biāo)分為以下幾個(gè)層次：

學(xué)段結(jié)合生活實(shí)例，感知平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱變換第一學(xué)段在方格格上畫出一個(gè)簡單圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形認(rèn)識軸對稱圖形，在方格紙上畫出簡單圖形的軸對稱圖形認(rèn)識圖形的平移和旋轉(zhuǎn)，體會圖形的相似確定軸對稱圖形的對稱軸，在方格紙上畫出一個(gè)圖形的軸對稱圖形第二學(xué)段1、在方格紙上畫出簡單圖形平移或旋轉(zhuǎn)90度后的圖形2、在方格紙上畫出簡單圖形按一定比例放大或縮小后的圖形1、判斷一些圖案是由一些基本圖形經(jīng)過什么變換得到的；2、利用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱等變換設(shè)計(jì)美麗的圖案內(nèi)容和目標(biāo)（2）教學(xué)中需要注意的問題

圖形變換在大綱時(shí)代的小學(xué)幾何中只學(xué)習(xí)了軸對稱，而且不是幾何中的主要內(nèi)容。課程標(biāo)準(zhǔn)與大綱相比，在第一、二學(xué)段的空間與圖形領(lǐng)域的圖形變換內(nèi)容方面，新增加入平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換。這些內(nèi)容雖然難度不大，但是對概念的準(zhǔn)確性和教學(xué)要求比較難把握，給一些教師的備課和教學(xué)帶來一定困域。下面談

一談如何把握相關(guān)的概念和教學(xué)要求：

第一，對一些概念的準(zhǔn)確把握

平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱變換與生活中物體的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱現(xiàn)象不是一個(gè)概念。數(shù)學(xué)來源于生活，但不等于生活，是生活現(xiàn)象的抽象和概括。生活中的平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象往往是物體的運(yùn)動，如推拉窗、傳送帶、電梯、鐘擺、旋轉(zhuǎn)門等物體的運(yùn)動，都可以稱之為平移現(xiàn)象或旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。而小學(xué)中的幾何變換都是指平面圖形在同一個(gè)平面的變換，也就是說原圖形和變換后的圖形都是平面圖形，而且都在同一個(gè)平面內(nèi)。幾何中的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱變換來自于生活中物體的平移、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象和軸對稱現(xiàn)象，如果把生活中這些物體畫成平面圖形，并且在同一

平面上運(yùn)動，就可以說成是幾何中的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱變換了。

一個(gè)變換是不是合同變換或相似變換，要依據(jù)概念進(jìn)行判斷。如課程標(biāo)準(zhǔn)要求小學(xué)階段的平移限于水平方向和豎直方向，實(shí)際上平移也可以沿斜線方向平移，只要滿足平移的兩個(gè)條件。如高山索道，滑雪等都可以看成是平移現(xiàn)象，畫成平面圖形就是平移變換。再如旋轉(zhuǎn)，象旋轉(zhuǎn)門、螺旋槳、水龍頭等都可以看成是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，但是要注意它的嚴(yán)密性：一是旋轉(zhuǎn)中心必須固定，二是物體不能變形，三是旋轉(zhuǎn)角度可大可小，可以是1度，也可以是300度。這樣的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動畫成平面圖形在同一平面的運(yùn)動才是旋轉(zhuǎn)變換。另外，幾何意義上的變換都是從圖

形的對應(yīng)點(diǎn)及其連線的幾何性質(zhì)進(jìn)行描述的，與圖形的顏色等無關(guān)。案例1：一輛汽車在筆直平坦的道路上行駛，這輛汽車的運(yùn)動是平移嗎？如

果這輛汽車急剎車，輪胎抱死在道路上滑行是平移嗎？

分析：嚴(yán)格來說，物體的平移應(yīng)該保證物體不變形而且物體上的點(diǎn)在物體上的位置是固定的，輪胎在轉(zhuǎn)動時(shí)汽車的運(yùn)動就不是平移了，輪胎抱死滑行就是平

移。

案例2：一架直升飛機(jī)在按一定速度飛行時(shí)螺旋槳的轉(zhuǎn)動是旋轉(zhuǎn)嗎？它停在

陸地上時(shí)螺旋槳的轉(zhuǎn)動是旋轉(zhuǎn)嗎？

分析：直升飛機(jī)在按一定速度飛行時(shí)螺旋槳在轉(zhuǎn)動，但是它的旋轉(zhuǎn)中心一直在移動，沒有固定，因此不能看成幾何意義上的旋轉(zhuǎn)，只能說它是生活中的旋轉(zhuǎn)

現(xiàn)象。當(dāng)它停在陸地上時(shí)螺旋槳的轉(zhuǎn)動就可以看成旋轉(zhuǎn)了。

第二，注意圖形變換與其它幾何知識的聯(lián)系

小學(xué)幾何中的很多平面圖形都是軸對稱圖形，如長方形、正方形、等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形、菱形、圓等。一方面要在學(xué)習(xí)軸對稱時(shí)加強(qiáng)對這些圖形的對稱軸和軸對稱的有關(guān)性質(zhì)的認(rèn)識；另一方面要在學(xué)習(xí)這些圖形的概念和

性質(zhì)時(shí)進(jìn)一步體會它們的軸對稱特點(diǎn)。

在推導(dǎo)平行四邊形、三角形和梯形的面積公式時(shí)，包括在計(jì)算組合圖形的面積時(shí)，都用到了變換思想。如三角形面積公式的推導(dǎo)，實(shí)際上是把兩個(gè)完全一樣的三角形中的任意一個(gè)旋轉(zhuǎn)180度，再沿著一條邊平移，就組合成了一個(gè)平行四

邊形。

案例3：有一石柱（如右圖），上部是一圓柱體的一半，下部是一個(gè)棱長

4m的正方體，求這個(gè)石柱的表面積。

分析：在計(jì)算圓柱的底面面積時(shí)，可以想像將后面的半圓沿著高平移至前方，再以圓心為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180度可將兩個(gè)半圓拼成一個(gè)圓。計(jì)算時(shí)只需列

式：3.14×(4÷2)2，即可求出前后兩個(gè)半圓的面積。

案例4：如圖所示，三個(gè)同心圓的最大的圓的兩條直徑相互垂直，最大的圓

的半徑是2cm，求陰影部分的面積。

分析：此題從表面上看，陰影部分比較分散，沒有足夠的數(shù)據(jù)計(jì)算每部分陰影的面積。根據(jù)兩條直徑相互垂直可以得出每個(gè)圓都被平均分成了4份，每一份旋轉(zhuǎn)90度都可以與相鄰的部分重合。因此，可以把最外圈陰影部分的四分之一大圓繞圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，把中間陰影部分的四分之一圓繞圓心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，使這兩個(gè)陰影部分經(jīng)過旋轉(zhuǎn)集中在右上角四分之一大圓里。陰影部分的

面積就是：1/4×3.14×22。

以上解題思路告訴我們，在計(jì)算一個(gè)圖形尤其是組合圖形的面積時(shí)，利用變換原理可以使原有的圖形得到新的組合圖形，轉(zhuǎn)化為易于計(jì)算面積的圖形，從而

簡化計(jì)算的步驟。

第三，對教學(xué)要求和解題方法的準(zhǔn)確把握

如前所述，課程標(biāo)準(zhǔn)對圖形變換的內(nèi)容和教學(xué)要求有比較清晰的描述，尤其

是要把握好兩個(gè)學(xué)段的內(nèi)容、教學(xué)要求和解題方法。

首先像直觀判斷題，例如，一個(gè)平面內(nèi)有若干圖形，要判斷哪些圖形經(jīng)過平移可以互相重合，對于小學(xué)生來說很難用任何一對對應(yīng)點(diǎn)的連線平行且相等來判斷，只能通過直觀感受判斷，也就是說直觀感受圖形在沒有任何轉(zhuǎn)動的情況下，

通過水平、豎直或者沿斜線滑動能夠與另一個(gè)圖形重合，就是平移。其次是像作圖題，例如，畫出一個(gè)圖形沿著一個(gè)方向平移幾格后的圖形，應(yīng)讓學(xué)生明確，一個(gè)圖形沿著一個(gè)方向平移幾格，那么這個(gè)圖形上的任何一個(gè)點(diǎn)和線段都沿著相同的方向平移幾格�？芍攸c(diǎn)掌握以下幾個(gè)步驟：找出圖形的關(guān)鍵的幾個(gè)點(diǎn)；明確平移的方向和距離；畫出平移后關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；按照原圖形的順序連結(jié)各個(gè)點(diǎn)。再如，畫出一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)90度后的圖形，應(yīng)讓學(xué)生明確，一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)沿一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)多少度，那么這個(gè)圖形上的任何一個(gè)點(diǎn)和線段都圍繞該點(diǎn)沿著相同的方向旋轉(zhuǎn)相同的度數(shù)。可重點(diǎn)掌握以下幾個(gè)步驟：確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向；找出圖形的關(guān)鍵的幾個(gè)點(diǎn)；畫出旋轉(zhuǎn)后關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；按照原圖形的順序連結(jié)各個(gè)點(diǎn)。其中的難點(diǎn)是，圖形的關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線是斜線的時(shí)候如何旋轉(zhuǎn)90度，可以先畫能夠確定旋轉(zhuǎn)90度的線段，再根據(jù)原圖形的形

狀特點(diǎn)來確定其他的關(guān)鍵點(diǎn)。

另外，在學(xué)習(xí)利用平行線畫平行四邊形之前，還可以利用平移在方格紙上畫平行四邊形，在方格紙上先任意畫出頂點(diǎn)在方格交叉點(diǎn)上的相鄰兩條邊，再根據(jù)

平移的原理畫出相對的兩條邊。

四、化歸思想1、化歸思想的概念

人們面對數(shù)學(xué)問題，如果直接應(yīng)用已有知識不能或不易解決問題時(shí)，往往將需要解決的問題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使

原問題得到解決，這種思想方法稱為化歸（轉(zhuǎn)化）思想。

從小學(xué)到中學(xué)，數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)一個(gè)由易到難、從簡到繁的過程；然而，人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解和掌握數(shù)學(xué)的過程中，卻經(jīng)常通過把陌生的知識轉(zhuǎn)化為熟悉的知識、把繁難的知識轉(zhuǎn)化為簡單的知識，從而逐步學(xué)會解決各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。因此，化歸既是一般化的數(shù)學(xué)思想方法，具有普遍意義；同時(shí)，化歸思想也

是攻克各種復(fù)雜問題的法寶之一，具有重要的意義和作用。

2、化歸所遵循的原則

化歸思想的實(shí)質(zhì)就是在已有的簡單的、具體的、基本的知識的基礎(chǔ)上，把未知的化為已知、把復(fù)雜化為簡單、把一般化為特殊、把抽象化為具體、把非常規(guī)化為常規(guī)，從而解決問題。因此，應(yīng)用化歸思想時(shí)要遵循以下幾個(gè)基本原則：

（1）數(shù)學(xué)化原則，即把生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，從而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識找到解決問題的方法。數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的之一就是要利用數(shù)知識解決生活中的各種問題，《課程標(biāo)準(zhǔn)》特別強(qiáng)調(diào)的目標(biāo)之一就是培養(yǎng)實(shí)踐能力。因此，數(shù)學(xué)化原則是一般化的普遍的原則之一。

（2）熟悉化原則，即把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，就是一個(gè)不斷面對新知識的過程；解決疑難問題的過程，也是一個(gè)面對陌生問題的過程。從某種程度上說，這種轉(zhuǎn)化過程對學(xué)生來說既是一個(gè)探索的過程，又是一個(gè)創(chuàng)新的過程；與《課程標(biāo)準(zhǔn)》提倡培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新精神是一致的。因此，學(xué)會把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，是一個(gè)比較重要的原則。

（3）簡單化原則，即把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。對解決問題者而言，復(fù)雜的問題未必都不會解決，但解決的過程可能比較復(fù)雜。因此，把復(fù)雜的問題

轉(zhuǎn)化為簡單的問題，尋求一些技巧和捷徑，也不失為一種上策。

（4）直觀化原則，即把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一便是它具有抽象性。有些抽象的問題，直接分析解決難度較大，需要把它轉(zhuǎn)化為具體的問題，或者借助直觀手段，比較容易分析解決。因而，直觀化是中小學(xué)生經(jīng)

常應(yīng)用的方法，也是重要的原則之一。

3、化歸思想的具體應(yīng)用

學(xué)生面對的各種數(shù)學(xué)問題，可以簡單地分為兩類：一類是直接應(yīng)用已有的知識便可順利解答的問題；另一種是陌生的知識或者不能直接應(yīng)用已有知識解答的問題，需要綜合地應(yīng)用已有知識或創(chuàng)造性地解決的問題。如知道一個(gè)長方形的長和寬，求它的面積，只要知道長方形的長和寬，求它的面積，只要知道長方形面積公式的人，都可以計(jì)算出來，這是第一類問題；如果不知道平行四邊形的面積公式，通過割補(bǔ)平移變換把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，推導(dǎo)出它的面積公式，再計(jì)算面積，這是第二類問題。對于廣大中小學(xué)生來說，他們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中所遇到的很多問題都可以歸為第二類問題，并且要不斷地把第二類問題轉(zhuǎn)化為第一類問題。解決問題的過程，從某種意義上來說就是不斷地轉(zhuǎn)化求解的過程，因

此，化歸思想應(yīng)用非常廣泛。

化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用如下表：

知識知識點(diǎn)領(lǐng)域數(shù)的意義四則運(yùn)算的意義四則運(yùn)算的法則數(shù)與小數(shù)除法：把除數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，基本按照整數(shù)除法的方法進(jìn)行計(jì)算，被除數(shù)小數(shù)點(diǎn)與商的小代數(shù)四則運(yùn)算各部分間的關(guān)系簡便計(jì)算方程解決問題的策略分?jǐn)?shù)加減法：異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加減法分?jǐn)?shù)乘法：用實(shí)物操作和直觀圖幫助理解算法分?jǐn)?shù)除法：轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法a＋b=cc－a=bc－b=aab=cc÷a=bc÷b=a利用運(yùn)算定律進(jìn)行簡便計(jì)算解方程的過程，實(shí)際就是不斷把方程轉(zhuǎn)化為未知數(shù)前邊的系數(shù)是1的過程（X=a）化繁為簡：植樹問題、雞兔同籠問題等數(shù)點(diǎn)要對齊小數(shù)乘法：先按照整數(shù)乘法的方法計(jì)算，再點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)整數(shù)的意義：用實(shí)物操作和直觀圖幫助理解小數(shù)的意義：用直觀圖幫助理解分?jǐn)?shù)的意義：用直觀圖幫助理解負(fù)數(shù)的意義：用數(shù)軸等直觀圖幫助理解乘法的意義：若干個(gè)相同加數(shù)相加的一種簡便算法除法的意義：乘法的逆運(yùn)算整數(shù)加減法：用實(shí)物操作和直觀圖幫助理解算法小數(shù)加減法：小數(shù)點(diǎn)對齊，然后按照整數(shù)的方法進(jìn)行計(jì)算應(yīng)用舉例三角形內(nèi)角和多邊形的內(nèi)角和面積公式空間與圖形體積公式統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表可能性化抽象為直觀：用線段圖、圖表、圖像等直觀表示數(shù)量之間的關(guān)系，幫助推理分析化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題：化一般問題為特殊問題：化未知問題為已知問題：通過操作把三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為平角轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和正方形的面積：轉(zhuǎn)化為長方形求面積平行四邊形面積：轉(zhuǎn)化為長方形求面積三角形的面積：轉(zhuǎn)化為平行四邊形求面積梯形的面積：轉(zhuǎn)化為平行四邊形求面積圓的面積：轉(zhuǎn)化為長方形求面積組合圖形的面積：轉(zhuǎn)化為基本圖形的面積正方體的體積：轉(zhuǎn)化為長方體求體積圓柱的體積：轉(zhuǎn)化為長方體求體積圓錐的體咱們：轉(zhuǎn)化為圓柱求體積運(yùn)用不同的統(tǒng)計(jì)圖表描述各種數(shù)據(jù)運(yùn)用不同的方式表示可能性的大小

五、分類思想

1、分類討論思想的概念

人們面對比較復(fù)雜的問題，有時(shí)無法通過統(tǒng)一研究或者整體研究解決，需要把研究的對象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類并逐類進(jìn)行討論，再把每一類的結(jié)論綜合，使問題得到解決，這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法。其實(shí)質(zhì)是把問題“分而治之、各個(gè)擊破、綜合歸納”。其分類規(guī)則和解題步驟是：（1）根據(jù)研究的需要確定同一分類標(biāo)準(zhǔn)；（2）恰當(dāng)?shù)貙ρ芯繉ο筮M(jìn)行分類，分類后的所有子項(xiàng)之間既不能“交叉”也不能“從屬”，而且所有子項(xiàng)的外延之和必須與被分類的對象的外延相等，通俗地說就是要做到“既不重復(fù)又不遺漏”；（3）逐類逐級進(jìn)行討論；（4）綜合概括、歸納得出最后結(jié)論。分類討論既是解決問題的一般的思想方法，適應(yīng)于各種科學(xué)的研究；同時(shí)也

是數(shù)學(xué)領(lǐng)域解決問題較常用的思想方法。

2、分類討論思想的重要意義

《課程標(biāo)準(zhǔn)》在總目標(biāo)中要求學(xué)生能夠有條理地思考，這種有條理性的思考就是一種有順序的、有層次的、全面的、有邏輯性的思考，分類討論就是具有這些特性的思考方法。因此，分類討論思想是培養(yǎng)學(xué)生有理地思考和良好數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的一種重要而有效的方法。無論是解決純數(shù)學(xué)問題，還是解決聯(lián)系實(shí)際的問題，都要注意數(shù)學(xué)原理、公式和方法在一般條件下的適用性和特殊情況下的不

適用性，注意分類討論，從而做到全面地思考和解決問題。

從知識的角度而言，把知識從宏觀到微觀不斷地分類學(xué)習(xí)，既可以把握全局、又能夠由表及里、細(xì)致入微，有利于形成比較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。分類討論思想與集合思想也有比較密切的聯(lián)系，知識的分類無時(shí)不滲透著集合的思想。另外，分類討論思想還是概率與統(tǒng)計(jì)知識的重要基礎(chǔ)。

3、分類討論思想的具體應(yīng)用

分類討論思想在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有很多應(yīng)用，例如從宏觀的方面而言，小學(xué)數(shù)學(xué)可以分為數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率和實(shí)踐與綜合應(yīng)用四大領(lǐng)域。從比較具體的知識來說，幾大領(lǐng)域的知識又有很多分支，例如小學(xué)數(shù)學(xué)中負(fù)數(shù)成為必學(xué)的內(nèi)容以后，小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)的認(rèn)識范圍實(shí)際上是在有理數(shù)范圍內(nèi)，有理數(shù)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)又可以分為正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)，整數(shù)根據(jù)它的整除性又

可以分為偶數(shù)和奇數(shù)。正整數(shù)又可以分為1、素?cái)?shù)（質(zhì)數(shù)）和合數(shù)。

小學(xué)數(shù)學(xué)中分類討論思想的應(yīng)用如下表：

思想方法知識點(diǎn)分類應(yīng)用舉例一年級上冊物體的分類、滲透分類思想、集合思想數(shù)可以分為正數(shù)、0、負(fù)數(shù)數(shù)的認(rèn)識有理數(shù)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)（小數(shù)是特殊的分?jǐn)?shù)）整數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)的性質(zhì)正整數(shù)可以分為1、素?cái)?shù)和合數(shù)平面圖形中的多邊形可以分為：三角形、四邊形、五邊形、六邊形分類討論思想圖形的認(rèn)識三角形按角可以分為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三角形按邊可以分為：不等邊三角形、等腰三角形、其中等腰三角形又可以分為等邊三角形和腰和底邊不相等的等腰三角形四邊形按對邊是否平行可以分為：平行四邊形、梯形和兩組對邊都不平行的四邊形統(tǒng)計(jì)排列組合概率植樹問題抽屜原理數(shù)據(jù)的分類整理和描述分類討論是小學(xué)生了解排列組合思想的基礎(chǔ)排列組合是概率計(jì)算的基礎(chǔ)先確定是幾排樹，再確定每排樹的情況：兩端都不栽、一端栽一端不栽、兩端都栽構(gòu)建抽屜實(shí)際上是應(yīng)用分類標(biāo)準(zhǔn)，把所有元素進(jìn)行分類4、分類討論思想的教學(xué)。

如前所述，分類討論思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中占有比較重要的地位，而且應(yīng)用比較

廣泛。在教學(xué)中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

第一、在分類單元的教學(xué)中，注意滲透分類思想和集中思想，一方面是一般物體的分類，如柜臺上的商品、文具等；另一方面要注意從數(shù)學(xué)的角度分類，如立體圖形、平面圖形、數(shù)的認(rèn)識和運(yùn)算等。同時(shí)注意滲透集合的思想，就是說當(dāng)把某些屬性相同的物體放在一起，作為一個(gè)整體，就可以看作一個(gè)集合。

第二，在三大領(lǐng)域知識的教學(xué)過程中注意經(jīng)常性地滲透分類思想和集合思

想，如平面圖形和立體圖形的分類、數(shù)的分類。

第三，注意從數(shù)學(xué)思想和解決問題的方法上滲透分類思想，如排列組合、概

率的計(jì)算、抽屜原理等問題經(jīng)常運(yùn)用分類討論思想解決。

第四，在統(tǒng)計(jì)與概率知識的教學(xué)中，滲透分類的思想�，F(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)豐富多彩，很多時(shí)候需要把收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類整理的描述，從而有利于分析數(shù)

據(jù)和綜合地做出判斷。

第五，注意讓學(xué)生體會分類的目的和作用，不要為了分類而分類。如對商品和物品的分類是為了便于管理和選購，對數(shù)學(xué)知識和方法進(jìn)行分類，是為了更深

入地研究問題、理解知識、優(yōu)化解決問題的方法。

第六，注意有關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)律在一般條件下的適用性和特殊條件下的不適用性。也就是說，有些數(shù)學(xué)規(guī)律在一般情況下成立，在特殊情況下不一定成立；而這種特殊性在小學(xué)數(shù)學(xué)里往往被忽略，長此以往，容易造成學(xué)生思維的片面性。如在小學(xué)里經(jīng)常有爭議的判斷題：如果5a=2b，那么a:b=2:5，有人認(rèn)為是對的，有人認(rèn)為是錯的，因?yàn)檫@里并沒有規(guī)定a和b不等于0。之所以產(chǎn)生分歧，是因?yàn)樵谛�學(xué)數(shù)學(xué)里有一個(gè)不成文的約定：在討論整數(shù)的性質(zhì)時(shí)，一般情況下不包括0。這種約定是為了避免麻煩，有一定的道理；但是這樣就造成了在解決有關(guān)問題時(shí)產(chǎn)生分歧，而且不利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，尤其是學(xué)生進(jìn)入初中后的學(xué)

習(xí)，經(jīng)常會因?yàn)榻鉀Q問題不全面、忽略特殊情況而出現(xiàn)低級錯誤。案例1：用7、3、9可以擺出多少個(gè)不同的三位數(shù)？（三上P113例2）

百十個(gè)97393779739379397

案例2：下圖中共有多少個(gè)長方形？

分析：此題可分類計(jì)數(shù)，分以下幾步：

單一個(gè)：3×3=9（個(gè)）

2個(gè)組一個(gè)：橫數(shù)2×3=6（個(gè)），豎數(shù)2×3=6（個(gè)），共12個(gè)3個(gè)組一個(gè)：橫數(shù)1×3=3（個(gè)），豎數(shù)1×3=3（個(gè)），共6個(gè)

4個(gè)組一個(gè)：4個(gè)6個(gè)組一個(gè)：4個(gè)9個(gè)組一個(gè)：1個(gè)

共計(jì)：9＋12＋6＋4＋4＋1=36（個(gè)）

六、統(tǒng)計(jì)思想1、統(tǒng)計(jì)思想的要領(lǐng)

現(xiàn)實(shí)生活中有大量的數(shù)據(jù)需要分析和研究，如人口數(shù)量、物價(jià)指數(shù)、商品合格率、種子發(fā)芽率等等。有時(shí)需要對所有的數(shù)據(jù)進(jìn)行全面調(diào)查，如我國為了掌握人口的真實(shí)情況，曾經(jīng)進(jìn)行過全國人口普查。一般情況下不可能也不需要考察所有對象，如物價(jià)指數(shù)、商品合格率等，就需要采取抽樣調(diào)查方法收集和分析數(shù)據(jù)，用樣本來估計(jì)總體，從而進(jìn)行合理的推斷和決策，這就是統(tǒng)計(jì)的思想方法。在統(tǒng)計(jì)里主要有兩種估計(jì)方法：一是用樣本的頻率分布來估計(jì)總體的分布，二是

用樣本的數(shù)據(jù)特征（如平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)）估計(jì)總體的數(shù)據(jù)特征。

2、統(tǒng)計(jì)思想的重要意義在《課程標(biāo)準(zhǔn)》實(shí)施前的小學(xué)數(shù)學(xué)中，統(tǒng)計(jì)圖表的知識也是必學(xué)的內(nèi)容，但受那個(gè)時(shí)代人們觀念的局限，對統(tǒng)計(jì)的認(rèn)識和教學(xué)主要限于統(tǒng)計(jì)知識和技能本身，并沒有把統(tǒng)計(jì)與信息時(shí)代和市場經(jīng)濟(jì)社會很好地聯(lián)系起來。當(dāng)今社會，人們每天的日常工作和生活都會面對紛繁復(fù)雜的信息和數(shù)據(jù)，如何收集、整理和分析數(shù)據(jù)，學(xué)會運(yùn)用數(shù)據(jù)說話，做出科學(xué)的推斷和決策，是每一個(gè)公民必須具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維方式。因此，使學(xué)生在義務(wù)教育階段熟悉統(tǒng)計(jì)的思想方法，逐步形成統(tǒng)計(jì)觀念，有助于運(yùn)用隨機(jī)的觀點(diǎn)理解世界，形成科學(xué)的世界觀和方法論。

3、統(tǒng)計(jì)思想的具體應(yīng)用

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，統(tǒng)計(jì)思想的應(yīng)用大體上可分為兩種：一是統(tǒng)計(jì)作為四大領(lǐng)域知識中的一類知識，安排了很多獨(dú)立的單元進(jìn)行統(tǒng)計(jì)知識的教學(xué)；二是在學(xué)習(xí)了一些統(tǒng)計(jì)知識后，在其他領(lǐng)域知識的學(xué)習(xí)中，都不同程度地應(yīng)用了統(tǒng)計(jì)知識，作為知識呈現(xiàn)的載體和解決問題的方法進(jìn)行教學(xué)。因而，統(tǒng)計(jì)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是比較廣泛的。小學(xué)數(shù)學(xué)中統(tǒng)計(jì)的知識點(diǎn)主要有：象形統(tǒng)計(jì)圖、單式統(tǒng)計(jì)表、復(fù)式統(tǒng)計(jì)表、單式條形統(tǒng)計(jì)圖、復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖、單式折線統(tǒng)計(jì)圖、復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等。這些知識作為學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)是必須掌握的，但更重要的是能夠根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)和解決問題的需要選擇合適的統(tǒng)

計(jì)圖表或者統(tǒng)計(jì)量來描述和分析數(shù)據(jù)、做出合理的預(yù)測和決策。

4、統(tǒng)計(jì)思想的教學(xué)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》的頒布和實(shí)施，賦予了統(tǒng)計(jì)更加豐富的內(nèi)涵。教師要全面理解《課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于統(tǒng)計(jì)知識的內(nèi)容和理念，在教學(xué)中要注意以下幾點(diǎn)。第一，注重過程性目標(biāo)的教學(xué)。讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、描述、分析、推斷和決策的過程。包括設(shè)計(jì)合適的調(diào)查表、選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)量描述數(shù)據(jù)、科學(xué)地分析數(shù)據(jù)并做出合理的決策。統(tǒng)計(jì)的教學(xué)要改變以往注重統(tǒng)計(jì)知識和技能這種數(shù)學(xué)化的傾向，要讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)的全過程，把統(tǒng)計(jì)與生活密切聯(lián)系起來，讓這生學(xué)習(xí)活生生的統(tǒng)計(jì)，而不是僅僅回答枯燥乏味的純數(shù)學(xué)問題。第二，認(rèn)識統(tǒng)計(jì)對決策的作用，能從統(tǒng)計(jì)的角度思考與數(shù)據(jù)有關(guān)的問題。學(xué)會用數(shù)據(jù)說話，能使我們的思維更加理性，避免感性行事。從小學(xué)開始就要讓學(xué)生認(rèn)識統(tǒng)計(jì)對決策的重要作用，為將來的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和走向社會培養(yǎng)良好的統(tǒng)計(jì)意識。如作為市場經(jīng)濟(jì)和信息化社會的公民，每個(gè)人無不與經(jīng)濟(jì)活動和投資理財(cái)打交道；如果能夠根據(jù)影響經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的各種主要數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的分析和推斷，做出正確的投資理財(cái)決策，使自己的資產(chǎn)不斷保值和升值，對于每個(gè)公民意義重大。

當(dāng)然，統(tǒng)計(jì)推斷往往是基于用樣本來估計(jì)總體，屬于合情推理，并不是一種必然的邏輯關(guān)系；因而決策有時(shí)是符合預(yù)期的，有時(shí)也可能不十分正確甚至有可能是錯誤的。如中國201*、201*、201*、201*年的全年國內(nèi)生產(chǎn)總值比上一年分別增長9.5%、9.9%、10.7%、11.4%，根據(jù)這個(gè)變化趨勢、預(yù)測201*年有可能增長12%；這種預(yù)測是一種簡單的統(tǒng)計(jì)推斷，這僅僅是一種可能；換句話說，201*年如果沒有增長那么快也是有可能的。實(shí)際上，201*年突發(fā)的全球金融危機(jī)影

響了經(jīng)濟(jì)增長，201*年比上年只增長了9%。

第三，能對給定數(shù)據(jù)的來源，收集和描述的方法，以及分析的結(jié)論進(jìn)行合理的質(zhì)疑�，F(xiàn)實(shí)生活中的各種統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和信息紛繁復(fù)雜，權(quán)威部門發(fā)布的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)基本上是科學(xué)可信的，但是有些公司或者廣告發(fā)布的數(shù)據(jù)可能存在偏差。有些數(shù)據(jù)不十分合理或者不夠精細(xì)，從而影響人們的認(rèn)識和決策，甚至給人們帶來誤導(dǎo)。學(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)知識以后，尤其是作為未來的公民，應(yīng)該能夠從科學(xué)、全面、

微觀的角度分析數(shù)據(jù)，從而做出正確的判斷和決策。

另外，在小學(xué)階段，由于計(jì)算難度的制約，解決一些統(tǒng)計(jì)問題時(shí)選定的樣本

容量往往較少，這里我們要注意這樣的統(tǒng)計(jì)推斷是否可信。

第四，對有關(guān)概念應(yīng)正確理解，應(yīng)注重知識的應(yīng)用，避免單純的數(shù)據(jù)計(jì)算和概念判斷。如平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別，這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量到底在什么條件下適用，一直困擾著很多老師。另外，有些老師喜歡在一些概念上糾纏，而不

是關(guān)注知識的應(yīng)用和實(shí)際意義，如讓學(xué)生找出下面一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)：

758484898992929698

這樣的問題沒有什么現(xiàn)實(shí)意義，不如給一組聯(lián)系實(shí)際的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生去思考

用什么量數(shù)作為該組數(shù)據(jù)一般水平的代表，更有意義。

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)，代表一般水平。平均數(shù)能反映全體數(shù)據(jù)的信息，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，比較敏感，因而應(yīng)用比較普遍；缺點(diǎn)是易受極端值的影響。日常生活和研究領(lǐng)域的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，多數(shù)都選擇平均數(shù)作為代表值。如我們國家和地方統(tǒng)計(jì)部門經(jīng)常公布的人均產(chǎn)值、人均收入、物價(jià)指數(shù)等等，都是應(yīng)用平均數(shù)作為代表值。中位數(shù)處于中間水平，不受極端值的影響，運(yùn)算簡單，在一組數(shù)據(jù)中起分水嶺的作用；缺點(diǎn)是不能反映全體數(shù)據(jù)的情況，可靠性較差。眾數(shù)不受極端數(shù)據(jù)的影響，運(yùn)算簡單，當(dāng)要找出適應(yīng)多數(shù)需要的數(shù)值時(shí)，常用眾數(shù)；缺點(diǎn)是不能反映

全體數(shù)據(jù)的情況，可靠性較差。眾數(shù)可能不唯一，甚至有時(shí)沒有。

這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量有著各自的特點(diǎn)和適用的條件，可以根據(jù)研究和解決問題的需要來選擇；與中位數(shù)和眾數(shù)比較而言，平均數(shù)可以反映更多的樣本數(shù)據(jù)全體的信息。然而它們?nèi)�者并不是一種完全排斥的關(guān)系，特殊情況下這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量或者其中的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量都有可能成為一組數(shù)據(jù)一般水平的代表。如學(xué)生的考試成績往往服從正態(tài)分布或者近似正態(tài)分布，那么，這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量很可能相等或者非常接近，這時(shí)用三個(gè)統(tǒng)計(jì)量中的任何一個(gè)作為該組數(shù)據(jù)的一般水平的代表都是可以的。有時(shí)把平均數(shù)和中位數(shù)結(jié)合使用，會了解更多的信息。如某次數(shù)學(xué)考試全班49人平均分?jǐn)?shù)為92分，小林考93分，排名第25，小明的成績比小林高2分�？梢园l(fā)現(xiàn)中位數(shù)是93分，小明的成績處于中上等水平，平均數(shù)低于中位數(shù)，說

明可能有極端的低分?jǐn)?shù)。

七、概率思想1、概率思想的概念

生活中的事件可以分為兩類：一類是確定事件，在一定條件下一定發(fā)生的和一定不會發(fā)生的，這些事件都是確定事件；如每天日出日落、四季輪回是一定發(fā)生的，而擲兩枚骰子朝上的兩個(gè)數(shù)字的和是13是不可能發(fā)生的。另一類是隨機(jī)事件，就是在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，如一個(gè)產(chǎn)婦生男嬰還是生女嬰，明天是否會下雨、種子的發(fā)芽率等事件，都是隨機(jī)事件。這些隨機(jī)事件表面上看雜亂無章，但是大量地重復(fù)觀察這些事件時(shí)，這些隨機(jī)事件會呈現(xiàn)規(guī)律性，這種規(guī)律叫統(tǒng)計(jì)規(guī)律，概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，統(tǒng)

計(jì)與概率有著密切的聯(lián)系。（1）事件的分類：事件可以分為確定事件和隨機(jī)事件，其中確定事件又可以分為必然事件和不可能事件。在一定條件下一定發(fā)生的是必然事件，一定不會

發(fā)生的是不可能事件。

（2）頻率與概率的區(qū)別和聯(lián)系：隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是概率論研究的主要內(nèi)容，通過試驗(yàn)來觀察隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小是常用的方法。在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)?zāi)骋皇录嗀出現(xiàn)的次數(shù)m就是頻數(shù)，這是事件A出現(xiàn)的頻率。如果試驗(yàn)的次數(shù)不斷增加，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，就把這個(gè)常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。事件的概率是確定的，不變的常數(shù)，是理論上的精確值；而頻率是某次具體試驗(yàn)的結(jié)果，是不確定的、

變化的數(shù)，盡管這種變化可能非常的小。

這里的概率是用頻率來界定的，在等可能性隨機(jī)試驗(yàn)中，雖然頻率總是在很小的范圍內(nèi)變化，但我們可以認(rèn)為頻率和概率的相關(guān)性非常的強(qiáng)。也就是說，在一次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的頻率越大，事件A的概率就越大；事件A出現(xiàn)的頻率越

小，事件A的概率就越小。反之亦然。

（3）兩種概率模型：

古典概模：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件是有限的，每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。如比較經(jīng)典的投硬幣和投骰子試驗(yàn)，都屬于這種概率模型。幾何概型：試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積、體積）成比例。如比較常見的轉(zhuǎn)盤游戲，就是幾何概率模型。

2、概率思想的重要意義

生活中的很多現(xiàn)象都是隨機(jī)現(xiàn)象，如氣候變化、物價(jià)變化、體育比賽、汽車流量、彩票中獎等等。這些隨機(jī)事件，如果能夠比較準(zhǔn)確地預(yù)測它發(fā)生的可能性的大小，就會為我們的工作和生活帶來很多方便、解決很多問題。隨著科技的發(fā)展，氣象部門已經(jīng)能夠比較準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)天氣變化，對氣溫、降水量、風(fēng)力、風(fēng)向等的變化作出比較準(zhǔn)確的預(yù)測，幫助人們提早做出預(yù)防，從而減少災(zāi)害的發(fā)生。這些現(xiàn)象都離不開對數(shù)據(jù)的分析以及對事件發(fā)生可能性大小的定量刻畫，從而做出合理的預(yù)測和決策，這正是統(tǒng)計(jì)與概率研究的主要內(nèi)容。因而，統(tǒng)計(jì)與概率研究的思想方法既是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是人們在生活和工作中必須掌握的。

3、概率思想的具體應(yīng)用

概率思想主要應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域。一是小學(xué)數(shù)學(xué)第一、二學(xué)段都安排了可能性的內(nèi)容，如會求簡單的等可能性隨機(jī)事件發(fā)生的可能性，根據(jù)等可能性事件設(shè)計(jì)公平的游戲規(guī)則。二是統(tǒng)計(jì)推斷中很多情況是根據(jù)對隨機(jī)事件的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析后，再對隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小進(jìn)行預(yù)測和決策。如201*南非世界杯決賽西班牙對荷蘭，人們借助相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)對兩個(gè)球隊(duì)勝負(fù)概率進(jìn)行預(yù)測

等。

4、概率思想的教學(xué)

201*年，課程改革首次正式把概率的內(nèi)容納入小學(xué)數(shù)學(xué)，對這部分內(nèi)容的科學(xué)性和難度的準(zhǔn)確把握是個(gè)挑戰(zhàn)。這部分內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

第一，隨機(jī)事件發(fā)生是有條件的，是在一定條件下，事件發(fā)生的可能性會有大小變化；條件變了，事件發(fā)生的可能性也可能會變化。如種子的質(zhì)量、陽光

等因素會影響種子的發(fā)芽率等。

第二，避免把頻率與概率混淆。如最經(jīng)典的就是用擲硬幣試驗(yàn)去驗(yàn)證概率。從概率的統(tǒng)計(jì)定義而言，做拋硬幣試驗(yàn)是可以的，可以使學(xué)生參與實(shí)踐活動、經(jīng)歷知識的形成過程、提高學(xué)習(xí)興趣。關(guān)鍵是我們要明白：試驗(yàn)次數(shù)少的時(shí)候，頻率與概率的誤差可能會比較大，但是試驗(yàn)次數(shù)多，或者說試驗(yàn)次數(shù)足夠大的兩次試驗(yàn)，也不能保證試驗(yàn)次數(shù)多的比試驗(yàn)次數(shù)少的誤差小。這是隨機(jī)事件本身的特點(diǎn)決定的，教師要通過通俗的語言使學(xué)生清楚這一點(diǎn)。這樣在拋硬幣時(shí)出現(xiàn)什么情況都是正常的，在學(xué)生操作的基礎(chǔ)上，有條件地可通過計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，還要

呈現(xiàn)數(shù)學(xué)家們做的試驗(yàn)結(jié)果，使學(xué)生理解概率的統(tǒng)計(jì)定義。

第三，創(chuàng)設(shè)聯(lián)系學(xué)生生活的情境，要注意每個(gè)基本事件是否具有等可能性。如下面的題目就不合適：全班50個(gè)學(xué)生，選一人代表全班參加科普知識競賽，張三被選中的可能性是多少？事實(shí)上參加競賽是有一定條件的，如需要學(xué)習(xí)好、

知識面廣等等，每個(gè)學(xué)生被選中的可能性其實(shí)不一樣。

第四，概率是理論上的精確值，但是隨機(jī)事件在具體一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)意外，即頻率和概率有一定偏差。隨機(jī)中有精確，精確中有隨機(jī)，這是對待概率的

一種科學(xué)態(tài)度。案例1：連續(xù)兩次拋擲一枚硬幣，如果第一次正面朝上，那么第二次一定是

反面朝上嗎？

分析：從概率角度分析，拋一枚硬幣正面和反面朝上的可能性相等，都是二分之一。所以，并不會因?yàn)榈谝淮握�面朝上而影響第二次正面和反面朝上的可�?/p>

性相等的理論事實(shí)。所以，第二次正面和反面朝上的可能性仍然相等。

案例2：天氣預(yù)報(bào)預(yù)測明天降水概率是90%，明天一定下雨嗎？

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