高中數(shù)學(xué)必修1總結(jié)-人教新課標(biāo)

1

集合

（1）元素與集合的關(guān)系：屬于（）和不屬于（）（2）集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性集合與元素（3）集合的分類：按集合中元素的個(gè)數(shù)多少分為：有限集、無限集、空集4）集合的表示方法：列舉法、描述法（自然語言描述、特征性質(zhì)描述）、圖示法、區(qū)間法（子集：若xAxB，則AB，即A是B的子集。1、若集合A中有n個(gè)元素，則集合A的子集有2n個(gè)，真子集有(2n-1)個(gè)。2、任何一個(gè)集合是它本身的子集，即AA注關(guān)系3、對于集合A,B,C,如果AB，且BC,那么AC.4、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若AB且AB（即至少存在x0B但x0A），則A是B的真子集。集合集合相等：AB且ABAB集合與集合定義：ABx/xA且xB交集性質(zhì)：AAA，A，ABBA，ABA,ABB，ABABA定義：ABx/xA或xB并集性質(zhì)：AAA，AA，ABBA，ABA，ABB，ABABB運(yùn)算Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB)定義：CUAx/xU且xAA補(bǔ)集性質(zhì)：(CUA)A，(CUA)AU，CU(CUA)A，CU(AB)(CUA)(CUB)，C(AB)(CA)(CB)UUU

2

映射定義：設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：B為從集合A到集合B的一個(gè)映射傳統(tǒng)定義：如果在某變化中有兩個(gè)變量x,y,并且對于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，定義按照某個(gè)對應(yīng)關(guān)系f,y都有唯一確定的值和它對應(yīng)。那么y就是x的函數(shù)。記作yf(x).近代定義：函數(shù)是從一個(gè)數(shù)集到另一個(gè)數(shù)集的映射。定義域函數(shù)及其表示函數(shù)的三要素值域?qū)��?yīng)法則解析法函數(shù)的表示方法列表法圖象法傳統(tǒng)定義：在區(qū)間a,b上，若ax1x2b,如f(x1)f(x2)，則f(x)在a,b上遞增,a,b是遞增區(qū)間；如f(x1)f(x2)，則f(x)在a,b上遞減,a,b是的遞減區(qū)間。單調(diào)性導(dǎo)數(shù)定義：在區(qū)間a,b上，若f(x)0，則f(x)在a,b上遞增,a,b是遞增區(qū)間；如f(x)0a,b是的遞減區(qū)間。則f(x)在a,b上遞減,最大值：設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對于任意的xI，都有f(x)M；函數(shù)（2）存在x0I，使得f(x0)M。則稱M是函數(shù)yf(x)的最大值函數(shù)的基本性質(zhì)最值最小值：設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)N滿足：（1）對于任意的xI，都有f(x)N；（2）存在x0I，使得f(x0)N。則稱N是函數(shù)yf(x)的最小值(1)f(x)f(x),x定義域D，則f(x)叫做奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。奇偶性(2)f(x)f(x),x定義域D，則f(x)叫做偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱。奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱周期性：在函數(shù)f(x)的定義域上恒有f(xT)f(x)(T0的常數(shù))則f(x)叫做周期函數(shù)，T為周期；T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，簡稱周期（1）描點(diǎn)連線法：列表、描點(diǎn)、連線向左平移個(gè)單位：y1y,x1axyf(xa)向右平移a個(gè)單位：yy,xaxyf(xa)11平移變換向上平移b個(gè)單位：xx,ybyybf(x)11向下平移b個(gè)單位：xx,y11byybf(x)橫坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1縮短（當(dāng)w1時(shí)）或伸長（當(dāng)0w1時(shí)）到原來的1/w倍（縱坐標(biāo)不變），即xwxyf(wx)1伸縮變換縱坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)y伸長（A1)或縮短（0A1)到原來的A倍1函數(shù)圖象的畫法（橫坐標(biāo)不變），即yy/Ayf(x)1（xx12x0x2x0x2）變換法12y0yf(2x0x)關(guān)于點(diǎn)(x0,y0)對稱：yy12y0y12y0y關(guān)于直線xx0對稱：xx12x0x12x0xyf(2x0x)yy1y1y對稱變換xx1xx關(guān)于直線yy0對稱：12y0yf(x)yy2yy12y0y10xx11yf(x)關(guān)于直線yx對稱：yy1

附：

一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；3、對數(shù)的真數(shù)大于零；4、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底

數(shù)大于零且不等于1；5、三角函數(shù)正切函數(shù)ytanx中xk(kZ)；余切函數(shù)ycotx中；6、如果函數(shù)是

2由實(shí)際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。

3

二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法；2、換元法；3、待定系數(shù)法；4、函數(shù)方程法；5、參數(shù)法；6、配方法三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、單調(diào)性法；7、直接法四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調(diào)性法五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

1、若f(x),g(x)均為某區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則f(x)g(x)在這個(gè)區(qū)間上也為增（減）函數(shù)2、若f(x)為增（減）函數(shù)，則f(x)為減（增）函數(shù)

3、若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則yf[g(x)]是增函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性不同，則yf[g(x)]是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

1、如果一個(gè)奇函數(shù)在x0處有定義，則f(0)0，如果一個(gè)函數(shù)yf(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f(x)0（反之不成立）

2、兩個(gè)奇（偶）函數(shù)之和（差）為奇（偶）函數(shù)；之積（商）為偶函數(shù)。3、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積（商）為奇函數(shù)。

4、兩個(gè)函數(shù)yf(u)和ug(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個(gè)是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。

5、若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則f(x)可以表示為f(x)點(diǎn)是：右端為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和。

12[f(x)f(x)]12[f(x)f(x)]，該式的特

4

零點(diǎn)：對于函數(shù)yf（x）,我們把使f(x)0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)。定理：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0,零點(diǎn)與根的關(guān)系那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)有零點(diǎn)。即存在c(a,b),使得f(c)0,這個(gè)c也是方程f(x)0的根。（反之不成立）關(guān)系：方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)(1)確定區(qū)間[a,b],驗(yàn)證f(a)f(b)0,給定精確度；函數(shù)與方程(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c;函數(shù)的應(yīng)用(3)計(jì)算f(c)；二分法求方程的近似解①若f(c)0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；c此時(shí)零點(diǎn)x(a,b)）；0②若f(a)f(c)0,則令b（c此時(shí)零點(diǎn)x(c,b)）；③若f(c)f(b)0,則令a（0(4)判斷是否達(dá)到精確度：即若a-b,則得到零點(diǎn)的近似值a(或b);否則重復(fù)24。幾類不同的增長函數(shù)模型函數(shù)模型及其應(yīng)用用已知函數(shù)模型解決問題建立實(shí)際問題的函數(shù)模型mn根式：a,n為根指數(shù)，a為被開方數(shù)nmaan分?jǐn)?shù)指數(shù)冪arasars(a0,r,sQ)指數(shù)的運(yùn)算rsrs指數(shù)函數(shù)性質(zhì)(a)a(a0,r,sQ)rrs(ab)ab(a0,b0,rQ)定義：一般地把函數(shù)yax(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)性質(zhì)：見表1對數(shù)：xlogaN,a為底數(shù)，N為真數(shù)loga(MN)logaMlogaN;基本初等函數(shù)MloglogaMlogaN;a對數(shù)的運(yùn)算.N性質(zhì)nlogaMnlogaM;(a0,a1,M0,N0)對數(shù)函數(shù)logcb換底公式：logb(a,c0且a,c1,b0)alogac對數(shù)函數(shù)定義：一般地把函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對數(shù)函數(shù)性質(zhì)：見表1冪函數(shù)定義：一般地，函數(shù)yx叫做冪函數(shù)，x是自變量，是常數(shù)。性質(zhì)：見表2表1定義域指數(shù)函數(shù)yaxa0,a1對數(shù)數(shù)函數(shù)ylogaxa0,a1x0,xR5值域y0,yR圖象過定點(diǎn)(0,1)減函數(shù)x(,0)時(shí)，y(1,)x(0,)時(shí)，y(0,1)過定點(diǎn)(1,0)增函數(shù)x(,0)時(shí)，y(0,1)x(0,)時(shí)，y(1,)減函數(shù)x(0,1)時(shí)，y(0,)x(1,)時(shí)，y(,0)增函數(shù)x(0,1)時(shí)，y(,0)x(1,)時(shí)，y(0,)性質(zhì)abababab表2冪函數(shù)yx(R)pq00111p為奇數(shù)q為奇數(shù)奇函數(shù)p為奇數(shù)q為偶數(shù)p為偶數(shù)q為奇數(shù)增函數(shù)偶函數(shù)第一象限性減函數(shù)質(zhì)下列表示圖形中的陰影部分的是（）A．(AC)(BC)

（0，1）過定點(diǎn)AB

C6

B．(AB)(AC)C．(AB)(BC)D．(AB)C

設(shè)集合A{x3x2},B{x2k1x2k1},且AB，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是。根號下（2-根號下3）=．函數(shù)y(x1)0的定義域是_____

xxx2(x1)33已知f(x)x2(1x2)，若f(x)3，則x的值是（）A．1B．1或C．1，或3D．

3

2x(x2)22已知f(1xx2)的解析式為（）A．

x1x)11x2，則f(x1x2B．2x1x2C．

2x1x2D．x1x2

函數(shù)yxxx的圖象是（）

已知函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，且當(dāng)x(0,)時(shí)，有f(x)1x,則當(dāng)x(,2)時(shí)，f(x)的解析式為（）

A．1xB．1x2C．

1x2D．1x2

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必修1

第一章集合與函數(shù)概念

一、集合有關(guān)概念

1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對象叫元素。

2、集合的中元素的三個(gè)特性：

1.元素的確定性；2.元素的互異性；3.元素的無序性

說明：(1)對于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)對象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。

(2)任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素。

(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。

(4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示：{…}如{我校的籃球隊(duì)員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1.用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列舉法與描述法。非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R關(guān)于“屬于”的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作a∈A，相反，a不屬于集合A記作aA

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個(gè)大括號括上。

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個(gè)集合的方法。

①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}

4、集合的分類：（1）．有限集含有有限個(gè)元素的集合（2）．無限集含有無限個(gè)元素的集合

（3）．空集不含任何元素的集合例：{x|x25}

二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2．“相等”關(guān)系(5≥5，且5≤5，則5=5)實(shí)例：設(shè)A={x|x10}B={-1,1}“元素相同”

結(jié)論：對于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí),集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B

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任何一個(gè)集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且BA那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時(shí)BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的運(yùn)算

1．交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩�合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集與并集的性質(zhì)：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.

4、全集與補(bǔ)集

（1）補(bǔ)集：設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集（即），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集）

（2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用U來表示。

四、函數(shù)的有關(guān)概念

1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．

注意：如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合；函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式．

定義域補(bǔ)充

能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零(6)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.

(又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域注意：（1）構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等（或?yàn)橥�一函�?shù)）（2）兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同；②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)(見課本21頁相關(guān)例2)

值域補(bǔ)充

(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。

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3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象．

集合C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A},圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)的若干條曲線或離散點(diǎn)組成。

(2)畫法

A、描點(diǎn)法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)P(x,y)，最后用平滑的曲線將這些點(diǎn)連接起來.

B、圖象變換法（請參考必修4三角函數(shù)）

常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換(3)作用：

1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯(cuò)誤。

4．了解區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．

5．什么叫做映射

一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f：A→B”

給定一個(gè)集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，①集合A、B及對應(yīng)法則f是確定的；②對應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；③對于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個(gè)；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。

常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn)：

1函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個(gè)圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；2解析法：必須注明函數(shù)的定義域；3圖象法：描點(diǎn)法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；4列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征．

解析法：便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值.

補(bǔ)充一：分段函數(shù)（參見課本P24-25）

在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時(shí)必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個(gè)不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個(gè)左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．（1）分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．

補(bǔ)充二：復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。例如:y=2sinxy=2cos(2x+1)

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7．函數(shù)單調(diào)性（1）．增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量a，b，當(dāng)a高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

第二章基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

1．根式的概念：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根（nthroot），其中n>1，且n∈N．

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)．此時(shí)，a的n次方根

*

用符號na表示．式子na叫做根式（radical），這里n叫做根指數(shù)（radicalexponent），a叫做被開方數(shù)（radicand）．

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．此時(shí)，正數(shù)a的正的n次方根用符號na表示，負(fù)的n次方根用符號－na表示．正的n次方根與負(fù)的n次方根可以合并成na（a>0）．由此可得：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作n00。

注意：當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，naa，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，nan|a|a2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：

n(a0)a(a0)anam(a0,m,nN*,n1)，amnmn1amn1nam(a0,m,nN*,n1)

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義

指出：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪．

3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

rrrs（1）a〃aa(a0,r,sR)；

rsrs(a)a（2）(a0,r,sR)；rrs(ab)aa(a0,r,sR)．（3）

（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)yax(a0,且a1)叫做指數(shù)函數(shù)（exponentialfunction），其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽．

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1．

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2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>1650高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

3注意對數(shù)的書寫格式．○

兩個(gè)重要對數(shù)：

1常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)lgN；○

2自然對數(shù)：以無理數(shù)e2.71828為底的對數(shù)的對數(shù)lnN．○

對數(shù)式與指數(shù)式的互化

logaNxaxN

對數(shù)式指數(shù)式對數(shù)底數(shù)←a→冪底數(shù)對數(shù)←x→指數(shù)真數(shù)←N→冪（二）對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果a0，且a1，M0，N0，那么：（1）loga(M〃N)logaM＋logaN；（2）

logaMlogaM－logaN；（3）logaMnnlogaM(nR)．N注意：換底公式logablogcb（a0，且a1；c0，且c1；b0）．logca利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論

n（1）logambnlogab；m（2）logab1．

logba（二）對數(shù)函數(shù)

1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)ylogax(a0，且a1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）．

1對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。注意：○

如：y2log2x，ylog5x都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)．52對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：(a0，且a1)．○

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2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a>132.520高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對于函數(shù)yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)

yf(x)(xD)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：

方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)．3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：求函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)：

1（代數(shù)法）求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根；○

2（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用○

函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)yax2bxc(a0)．

2１）△＞０，方程axbxc0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)

有兩個(gè)零點(diǎn)．

2２）△＝０，方程axbxc0有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，

二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．

2３）△＜０，方程axbxc0無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)．

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必修2

第一章立體幾何初步

1.特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高，l為母線）

"S直棱柱側(cè)面積ch

S正棱錐側(cè)面積S正棱臺側(cè)面積1ch"21(c1c2)h"2

S圓柱側(cè)2rhS圓柱表2rrl

S圓錐側(cè)面積rlS圓錐表rrl

S圓臺側(cè)面積(rR)l

S圓臺表r2rlRlR2

2.柱體、錐體、臺體的體積公式

V柱Sh

1V錐Sh31V臺(S"S"SS)h

3V圓柱Shr2h

1V圓錐r2h

311V圓臺(S"S"SS)h(r2rRR2)h

333.球體的表面積和體積公式：V求43RS4R23；球面4．空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體的長度和寬度；側(cè)視圖反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法

斜二測畫法特點(diǎn)：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

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第二章直線與平面的位關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位關(guān)系1平面含義：平面是無限延展的2三個(gè)公理：

（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).符號表示為A∈L

AB∈L=>LααLA∈α

B∈α

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi).

（2）公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。AB

α符號表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個(gè)平面α，C

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。

（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。符號表示為：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈Lβ公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù).

Pα

L2.1.2空間中直線與直線之間的位關(guān)系1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

共面直線相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線a∥b=>a∥cc∥b

強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).4注意點(diǎn)：

①a"與b"所成的角的大小只由a、b的相互位來確定，與O的選擇無關(guān)，為了簡便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上；

②兩條異面直線所成的角θ∈(0，)；

2

③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

2.1.32.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位關(guān)系1、直線與平面有三種位關(guān)系：

（1）直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

（2）直線與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線在平面平行沒有公共點(diǎn)

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指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示

aαa∩α=Aa∥α2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：aα

bβ=>a∥αa∥b

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

符號表示：aβbβ

a∩b=P=>β∥αa∥αb∥α

2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；

（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。

2.2.32.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

1、直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：

a∥α

aβ=>a∥bα∩β=b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行的平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：α∥β

α∩γ=a=>a∥bβ∩γ=b

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

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2.3.1直線與平面垂直的判定

1、定義：如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。

PaL

2、直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2平面與平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形

A梭lβ

Bα2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。

2.3.32.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)

1、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

2、兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。

第三章直線與方程

（1）直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°

（2）直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí),α=0°,k=tan0°=0;當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),α=90°,k不存在.

當(dāng)0,90時(shí)，k0；當(dāng)90,180時(shí)，k0；當(dāng)90時(shí)，k不存在。

②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：ky2y1(x1x2)（P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）

x2x1注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)x1x2時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；

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(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程

①點(diǎn)斜式：yy1k(xx1)直線斜率k，且過點(diǎn)x1,y1

注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。

當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：ykxb，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點(diǎn)式：

yy1xx1（x1x2,y1y2）直線兩點(diǎn)x1,y1，x2,y2

y2y1x2x1④截矩式：別為a,b。

xy1其中直線l與x軸交于點(diǎn)(a,0),與y軸交于點(diǎn)(0,b),即l與x軸、y軸的截距分ab⑤一般式：AxByC0（A，B不全為0）

1各式的適用范圍○2特殊的方程如：注意：○

平行于x軸的直線：yb（b為常數(shù)）；平行于y軸的直線：xa（a為常數(shù)）；（6）兩直線平行與垂直當(dāng)l1:yk1xb1，l2:yk2xb2時(shí)，

l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。

（7）兩條直線的交點(diǎn)

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交

A1xB1yC10交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。AxByC0222方程組無解l1//l2；方程組有無數(shù)解l1與l2重合

Bx2,y2）（8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)A(x1,y1)，（是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，

則|AB|(x2x1)2(y2y1)2（9）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)Px0,y0到直線l1:AxByC0的距離dAx0By0C

22AB（10）兩平行直線距離公式

已知兩條平行線直線l1和l2的一般式方程為l1：AxByC10，

l2：AxByC20，則l1與l2的距離為d-14-

C1C2AB高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

第四章圓與方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的半徑。2、圓的方程

（1）標(biāo)準(zhǔn)方程xaybr2，圓心

22a,b，半徑為r；

點(diǎn)M(x0,y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位關(guān)系：當(dāng)(x0a)2(y0b)2>r，點(diǎn)在圓外當(dāng)(x0a)2(y0b)2=r，點(diǎn)在圓上當(dāng)(x0a)2(y0b)2高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

當(dāng)d

Rr時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；當(dāng)dRr時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；

當(dāng)RrdRr時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；

當(dāng)dRr時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；

當(dāng)dRr時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d0時(shí)，為同心圓。

注意：已知圓上兩點(diǎn)，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點(diǎn)共線圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點(diǎn)

必修3

第一章：算法初步

1：算法的概念

（1）算法概念：在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計(jì)算機(jī)來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.

（2）算法的特點(diǎn):

①有限性：一個(gè)算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.②確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可.③順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個(gè)步驟只能有一個(gè)確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無誤，才能完成問題.

④不唯一性：求解某一個(gè)問題的解法不一定是唯一的，對于一個(gè)問題可以有不同的算法.

⑤普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決，如心算、計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決.

2：程序框圖

（1）程序框圖基本概念：

①程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。

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一個(gè)程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。②構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用程序框名稱功能表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不起止框可少的。表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息，可用在算法輸入、輸出框中任何需要輸入、輸出的位。賦值、計(jì)算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公處理框式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處標(biāo)明判斷框“是”或“Y”；不成立時(shí)標(biāo)明“否”或“N”。學(xué)習(xí)這部分知識的時(shí)候，要掌握各個(gè)圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：

1、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個(gè)進(jìn)入點(diǎn)和一個(gè)退出點(diǎn)。判斷框具有超過一個(gè)退出點(diǎn)的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個(gè)結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。

3：算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。

（1）順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的，它是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個(gè)算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。A順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所

指定的操作。B（2）條件結(jié)構(gòu)：條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。

條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P(yáng)條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時(shí)執(zhí)行

A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個(gè)判斷結(jié)構(gòu)可以有多個(gè)判斷框。

（3）循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類：

①一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時(shí)，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復(fù)執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

②另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

AAPP成立不成立成立不成立p當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)

注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個(gè)條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含

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條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個(gè)計(jì)數(shù)變量和累加變量。計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計(jì)數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計(jì)數(shù)一次。

4：輸入、輸出語句和賦值語句（1）輸入語句

①輸入語句的一般格式圖形計(jì)算器格式INPUT“提示內(nèi)容”；變量INPUT“提示內(nèi)容”，變量②輸入語句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸入信息功能；③“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運(yùn)行時(shí)其值是可以變化的量；④輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達(dá)式；⑤提示內(nèi)容與變量之間用分號“；”隔開，若輸入多個(gè)變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開。

（2）輸出語句

①輸出語句的一般格式

圖形計(jì)算器格

式PRINT“提示內(nèi)容”Disp“提示內(nèi)容”，變量；表達(dá)式②輸出語句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能；③“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達(dá)

式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)；④輸出語句可以輸出常量、變量或表達(dá)式的值以及字符。

（3）賦值語句

①賦值語句的一般格式圖形計(jì)算器格式表達(dá)式變量變量＝表達(dá)式

②賦值語句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量；③賦值語句中的“＝”稱作賦值號，與數(shù)學(xué)中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號左邊的變量；④賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，右邊表達(dá)式可以是一個(gè)數(shù)據(jù)、常量或算式；⑤對于一個(gè)變量可以多次賦值。

注意：①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達(dá)式。如：2=X是錯(cuò)誤的。②賦值號左右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。③不能利用賦值語句進(jìn)行代數(shù)式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）④賦值號“=”與數(shù)學(xué)中的等號意義不同。

5：條件語句

（1）條件語句的一般格式有兩種：①IFTHENELSE語句；②IFTHEN語句。

①IFTHENELSE語句IFTHENELSE語句的一般格式為圖1，對應(yīng)的程序框圖為圖2。IF條件否

THEN滿足條件？

語句1是圖1圖2ELSE語句2語句1

語句2

ENDIF

分析：在IFTHENELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語句2”表示不滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)，首先對IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面的語句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語句2。

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②IFTHEN語句

IFTHEN語句的一般格式為圖3，對應(yīng)的程序框圖為圖4。

是滿足條件？IF條件THEN

語句語句ENDIF（圖3）（圖4）否

注意：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容，條件不滿足時(shí)，結(jié)束程序；ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)首先對IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語句，若條件不符合則直接結(jié)束該條件語句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語句。

6：循環(huán)語句

循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實(shí)現(xiàn)的。對應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設(shè)計(jì)語言中也有當(dāng)型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結(jié)構(gòu)。即WHILE語句和UNTIL語句。

（1）WHILE語句

①WHILE語句的一般格式是對應(yīng)的程序框圖是循環(huán)體WHILE條件是循環(huán)體滿足條件？WEND

否

②當(dāng)計(jì)算機(jī)遇到WHILE語句時(shí)，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個(gè)過程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件不符合為止。這時(shí)，計(jì)算機(jī)將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語句后，接著執(zhí)行WEND之后的語句。因此，當(dāng)型循環(huán)有時(shí)也稱為“前測試型”循環(huán)。

（2）UNTIL語句

①UNTIL語句的一般格式是對應(yīng)的程序框圖是循環(huán)體DO循環(huán)體否滿足條件？LOOPUNTIL條件是

②直到型循環(huán)又稱為“后測試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析，計(jì)算機(jī)執(zhí)行該語句時(shí)，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進(jìn)行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進(jìn)行條件的判斷，這個(gè)過程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件滿足時(shí)，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOPUNTIL語句后執(zhí)行其他語句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進(jìn)行條件判斷的循環(huán)語句。

分析：當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：（先由學(xué)生討論再歸納）（1）當(dāng)型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；

在WHILE語句中，是當(dāng)條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語句中，是當(dāng)條件不滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)

7：輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)（1）輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：

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①用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商約數(shù)；若

S0和一個(gè)余數(shù)R0；②若R0＝0，則n為m，n的最大公

R0≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)R0得到一個(gè)商S1和一個(gè)余數(shù)R1；③若R1＝0，則R1為m，n的最大

公約數(shù)；若

R1≠0，則用除數(shù)R0除以余數(shù)R1得到一個(gè)商S2和一個(gè)余數(shù)R2；……依次計(jì)算直至RnRn1即為所求的最大公約數(shù)。

＝0，此時(shí)所得到的

（2）更相減損術(shù)

我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副分母子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。

翻譯為：①任意給出兩個(gè)正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。②以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。

（3）輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別：

①都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對較少，特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū)別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的區(qū)別較明顯。

②從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到

8：秦九韶算法與排序（1）秦九韶算法概念：

nn-1

f(x)=anx+an-1x+….+a1x+a0求值問題

nn-1n-1n-2n-2n-3

f(x)=anx+an-1x+….+a1x+a0=(anx+an-1x+….+a1)x+a0=((anx+an-1x+….+a2)x+a1)x+a0=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號內(nèi)依次多項(xiàng)式的值，即v1=anx+an-1然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0

這樣，把n次多項(xiàng)式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值的問題。（2）兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序①直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是讀一個(gè)，排一個(gè)。將第１個(gè)數(shù)放入數(shù)組的第１個(gè)元素中，以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進(jìn)行比較，確定它在從大到小的排列中應(yīng)處的位．將該位以及以后的元素向后推移一個(gè)位，將讀入的新數(shù)填入空出的位中．（由于算法簡單，可以舉例說明）

②冒泡排序

基本思想：依次比較相鄰的兩個(gè)數(shù),把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個(gè)數(shù)和第2個(gè)數(shù),大數(shù)放前,小數(shù)放后.然后比較第2個(gè)數(shù)和第3個(gè)數(shù)......直到比較最后兩個(gè)數(shù).第一趟結(jié)束,最小的一定沉到最后.重復(fù)上過程,仍從第1個(gè)數(shù)開始,到最后第2個(gè)數(shù)......由于在排序過程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當(dāng)氣泡上升,所以叫冒泡排序.

9：進(jìn)位制

（1）概念：進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位表示不同的數(shù)值�？墒褂脭�(shù)字符號的個(gè)數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進(jìn)位制，簡稱n進(jìn)制。現(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進(jìn)行記數(shù)。對于任何一個(gè)數(shù)，我們可以用不同的進(jìn)位制來表示。比如：十進(jìn)數(shù)57，可以用二進(jìn)制表示為111001，也可以用八進(jìn)制表示為71、用十六進(jìn)制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。

一般地，若k是一個(gè)大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制可以表示為：

anan1...a1a0(k)(0ank,0an1,...,a1,a0k)，

而表示各種進(jìn)位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進(jìn)制數(shù),34(5)表示5進(jìn)制數(shù)

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第二章：統(tǒng)計(jì)

1：簡單隨機(jī)抽樣（1）總體和樣本

①在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,把研究對象的全體叫做總體．②把每個(gè)研究對象叫做個(gè)體．③把總體中個(gè)體的總數(shù)叫做總體容量．

④為了研究總體的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一部分：

，，，

研究，我們稱它

為樣本．其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本容量．

（2）簡單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等，完全隨機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點(diǎn)是：每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個(gè)單位完全獨(dú)立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時(shí)，才采用這種方法。

（3）簡單隨機(jī)抽樣常用的方法：

①抽簽法②隨機(jī)數(shù)表法③計(jì)算機(jī)模擬法③使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。

在簡單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計(jì)中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。（4）抽簽法:

①給調(diào)查對象群體中的每一個(gè)對象編號；②準(zhǔn)備抽簽的工具，實(shí)施抽簽；③對樣本中的每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行測量或調(diào)查（5）隨機(jī)數(shù)表法：2：系統(tǒng)抽樣

（1）系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機(jī)械抽樣）：

把總體的單位進(jìn)行排序，再計(jì)算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個(gè)樣本采用簡單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）

前提條件：總體中個(gè)體的排列對于研究的變量來說，應(yīng)是隨機(jī)的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分布�？梢栽谡{(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點(diǎn)。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。

（2）系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實(shí)際中最為常用的抽樣方法之一。因?yàn)樗鼘Τ闃涌虻囊�求較低，實(shí)施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊(duì)的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計(jì)精度。

3：分層抽樣

（1）分層抽樣（類型抽樣）：

先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟�，然后再在各個(gè)類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。

兩種方法：

①先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。

②先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。

（2）分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個(gè)個(gè)同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。

分層標(biāo)準(zhǔn)：

①以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。

②以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。③以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。

（3）分層的比例問題：抽樣比=

樣本容量各層樣本容量

個(gè)體容量各層個(gè)體容量高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

①按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。

②不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時(shí)采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進(jìn)行專門研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時(shí)，則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實(shí)際的比例結(jié)構(gòu)。類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互關(guān)系適用范圍簡單抽樣過從總體中逐個(gè)抽取總體中的隨機(jī)抽樣程中每個(gè)個(gè)個(gè)體數(shù)較少系統(tǒng)體被抽取的將總體均勻分成幾部分，按再起時(shí)部分抽樣時(shí)總體中的機(jī)會相等抽樣事先確定的規(guī)則在各部分抽取采用簡單隨機(jī)抽樣個(gè)數(shù)較多分成經(jīng)總體分成幾層，分層進(jìn)行各層抽樣時(shí)采用簡總體由差抽樣抽取單隨機(jī)抽樣異明顯的幾部分組成4：用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征（1）樣本均值：xx1x2xn

n2(x1x)2(x2x)2(xnx)2（2）樣本標(biāo)準(zhǔn)差：ss

n用樣本估計(jì)總體時(shí)，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機(jī)抽樣中，這種偏差是不可避免的。

雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差，而只是一個(gè)估計(jì)，但這種估計(jì)是合理的，特別是當(dāng)樣本量很大時(shí)，它們確實(shí)反映了總體的信息。

（3）眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，頻率分布最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)（可以是多個(gè)）。（4）中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，累計(jì)頻率為1.5時(shí)所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)值（只有一個(gè)）。注意：

①如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)共同的常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差不變②如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)乘以一個(gè)共同的常數(shù)k，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼膋倍

③一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標(biāo)準(zhǔn)差的影響，區(qū)間(x3s,x3s)的應(yīng)用；

“去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分”中的科學(xué)道理5:用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布1：頻率分布表與頻率分布直方圖

頻率分布表盒頻率分布直方圖，是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度，來表示數(shù)據(jù)分布規(guī)律，它可以使我們看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況。

具體步驟如下：

第一步：求極差，即計(jì)算最大值與最小值的差.

第二步：決定組距和組數(shù)：組距與組數(shù)的確定沒有固定標(biāo)準(zhǔn)，需要嘗試、選擇，力求有合適的組數(shù)，以能把數(shù)據(jù)的規(guī)律較清楚地呈現(xiàn)為準(zhǔn).太多或太少都不好，不利對數(shù)據(jù)規(guī)律的發(fā)現(xiàn).組數(shù)應(yīng)與樣本的容量有關(guān)，樣本容量越大組數(shù)越多.一般來說，容量不超過100的組數(shù)在5至12之間.組距應(yīng)最好“取整”，它與極差有關(guān).

組距注意：組數(shù)的“取舍”不依據(jù)四舍五入，而是當(dāng)極差不是整數(shù)時(shí)，組數(shù)=［

組距極差組距］+1.

②頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各個(gè)小長方形上端的重點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖。

③總體密度曲線：總體密度曲線反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的半分比，它能給我們提供更加精細(xì)的信息。

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2：莖葉圖：莖是指中間的一列數(shù)，葉是指從莖旁邊生長出來的數(shù)。

例：例如：為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了地區(qū)內(nèi)100名年齡為17.5～18歲的男生的體重情況，結(jié)果如下（單位：kg）.56.566.57257.56263.55560646969.56473.565.568.564.57255.570.571.56564.5566862.567.566.570577361.576677166737464.562.56264.558.5707559.568635865587659.568.5685761.55964.565.5667163.5647669.56765.575.558.566.5666555.557.5746862.568.567.57063.57072.56064.563.569.56470.5635674.566.571.5595872626559.5試根據(jù)上述數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖，并對相應(yīng)的總體分布作出估計(jì).解：按照下列值的差

（1）求最大值與最小計(jì).在上述數(shù)據(jù)中，最大值是76，最小值是55，極差是76－55=21.

（2）確定組距與組數(shù).如果將組距定為2，那么由21÷2=10.5，組數(shù)為11，這個(gè)組數(shù)適合的.于是組距為2，組數(shù)為11.

（3）決定分點(diǎn).根據(jù)本例中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，第1小組的起點(diǎn)可取為54.5，第1小組的終點(diǎn)可取為56.5，為了避免一個(gè)數(shù)據(jù)既是起點(diǎn)，又是終點(diǎn)從而造成重復(fù)計(jì)算，我們規(guī)定分組的區(qū)間是“左閉右開”的.這樣，所得到的分組是

［54.5，56.5），［56.5，58.5），…，［74.5，76.5）.（4）列頻率分布表.分組［54.5，56.5）［56.5，58.5）［58.5，60.5）［60.5，62.5）［62.5，64.5）［64.5，66.5）［66.5，68.5）［68.5，70.5）［70.5，72.5）［72.5，74.5）［74.5，76.5）合計(jì)頻數(shù)26101014161311873100頻率0.020.060.100.100.140.160.130.110.080.070.031.00累計(jì)頻率0.020.080.180.280.420.580.710.820.900.971.00（5）繪制頻率分布直方圖.頻率分布直方如圖2－2－3所示.

頻率/組距54.556.558.560.562.564.566.568.570.572.574.576.5體重

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頻率/組距0.070.060.050.040.030.020.010頻率/組距富寧一中

連接頻率直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖.如圖2－2－4所示.

例2：某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動員每場比賽得分情況如下

甲的得分：15，21，25，31，36，39，31，45，36，48，24，50，37；乙的得分：13，16，23，25，28，33，38，14，8，39，51.

上述的數(shù)據(jù)可以用下圖來表示，中間數(shù)字表示得分的十位數(shù)，兩邊數(shù)字分別表示兩個(gè)人各場比賽得分的個(gè)位數(shù).

54.556.558.560.562.564.566.568.570.572.574.5體重甲乙085136445123587691613389854051

圖2－2－5

通常把這樣的圖叫做莖葉圖.請根據(jù)上圖對兩名運(yùn)動員的成績進(jìn)行比較.

從這個(gè)莖葉圖上可以看出，甲運(yùn)動員的得分情況是大致對稱的，中位數(shù)是36；乙運(yùn)動員的得分情況除一個(gè)特殊得分外，也大致對稱，中位數(shù)是25.因此甲運(yùn)動員發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體得分情況比乙好.

用莖葉圖表示有兩個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn):其一，從統(tǒng)計(jì)圖上沒有信息的損失，所有的信息都可以從這個(gè)莖葉圖中得到；其二，莖葉圖可以在比賽時(shí)隨時(shí)記錄，方便記錄與表示.但莖葉圖只能表示兩位的整數(shù)，雖然可以表示兩個(gè)人以上的比賽結(jié)果（或兩個(gè)以上的記錄），但沒有兩個(gè)記錄表示得那么直觀，清晰.

6：變量間的相關(guān)關(guān)系：自變量取值一定時(shí)因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系交相關(guān)關(guān)系。對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析。

（1）回歸直線：根據(jù)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，如果各點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)的關(guān)系，這條直線叫做回歸直線方程。如果這些點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，我們就成這兩個(gè)變量呈正相關(guān)；若從左上角到右下角的區(qū)域，則稱這兩個(gè)變量呈負(fù)相關(guān)。

設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的一組數(shù)據(jù)：

xyx1y1。。。。。。xnyn

是待定的系數(shù)。

所要求的回歸直線方程為：ybxa，其中，

（2）回歸直線過的樣本中心點(diǎn)(x,y)

xyx1y1。。。。。。xnyn

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第三章：概率

1：隨機(jī)事件的概率及概率的意義

（1）必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；

（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；

（4）隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機(jī)事件；

（5）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)nA為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定的n隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。

nA（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值n，

它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個(gè)常數(shù)叫做隨機(jī)事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地作為這個(gè)事件的概率

2：概率的基本性質(zhì)

（1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1（2）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（3）若A∩B為不可能事件，即A∩B=，那么稱事件A與事件B互斥；

（4）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；（5）當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)（6）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會同時(shí)發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：①事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；②事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；③事件A與事件B同時(shí)不發(fā)生，而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個(gè)發(fā)生，其包括兩種情形；④事件A發(fā)生B不發(fā)生；⑤事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。

3：基本事件

（1）基本事件：基本事件是在一次試驗(yàn)中所有可能發(fā)生的基本結(jié)果中的一個(gè)，它是試驗(yàn)中不能再分的最簡單的隨機(jī)事件。

（2）基本事件的特點(diǎn)：①任何兩個(gè)基本事件是互斥的②任何事件（除不可能事件外）都可以表示成基本事件的和。

4：古典概型：

（1）古典概型的條件：古典概型是一種特殊的數(shù)學(xué)模型，這種模型滿足兩個(gè)條件：①試驗(yàn)結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。②所有基本事件必須是有限個(gè)。（2）古典概型的解題步驟；①求出總的基本事件數(shù)；

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②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式p(A)A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)

總的基本事件個(gè)數(shù)5：幾何概型

（1）幾何概率模型：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；

（2）幾何概型的概率公式：p(A)構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）；

試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）（3）幾何概型的特點(diǎn)：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)；②每個(gè)基本事件出

現(xiàn)的可能性相等．

注意：幾何概型也是一種概率模型，它與古典概型的區(qū)別是試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè)。其特點(diǎn)是在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布，所以隨機(jī)事件的概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀位無關(guān)，值域該區(qū)域的大小有關(guān)。如果隨即事件所在區(qū)域是一個(gè)單點(diǎn)，由于單點(diǎn)的長度、面積、體積均為0，則它出現(xiàn)的概率為0，但它不是不可能事件；如果一個(gè)隨機(jī)事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個(gè)單點(diǎn)，則它出現(xiàn)的概率為1，但他不是必然事件。

綜上可得：必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。

概率為1的事件不一定為必然事件；概率為0的事件不一定為不可能事件。

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必修4

第一章三角函數(shù)（初等函數(shù)二）

正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負(fù)角:按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

第二象限角的集合為k36090k360180,k

第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k

終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k90,k

3、與角終邊相同的角的集合為k360,k

第一象限角的集合為k360k36090,k

4、已知是第幾象限角，確定

n所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再從x軸的正n*半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來是第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號即為的區(qū)域．

5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．

6、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，則角的弧度數(shù)的絕對值是終邊所落在nl．r1807、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．1808、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長為l，周長為C，面積為S，則lr，

C2rl，S11lrr2．229、設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是x,y，它與原點(diǎn)的距離是

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rrx2y20，則sinyxy，cos，tanx0．rrx10、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限

余弦為正．

11、三角函數(shù)線：sin，cos，tan．

12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：1sin2cos21

yPTOMAxsin21cos2,cos21sin2；2sintancossinsintancos,cos．

tan13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限．

，5sincoscossin．

22，6sincoscossin．

22口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．

14、函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的

1倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍

（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．

函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的

1倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移

個(gè)單位長度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍

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（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．

函數(shù)ysinx0,0的性質(zhì)：①振幅：；②周期：2；③頻率：f1；④相位：x；⑤初相：．2函數(shù)ysinx，當(dāng)xx1時(shí)，取得最小值為ymin；當(dāng)xx2時(shí)，取得最大值為ymax，則12yy12ymaxmin，ymaxmin，2x2x1x1x2．15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：性函質(zhì)數(shù)ysinxycosxytanx圖象定義域RRxxk2,k值域1,11,1R當(dāng)當(dāng)x2kkx2k2k時(shí)，時(shí)，ymax1；當(dāng)最y1；當(dāng)x2k值2x2k既無最大值也無最max小值時(shí)，kk時(shí)，ymin1．ymin1．周22期性奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)性在在在2k,2k2k,2kk上單22k2,k2調(diào)性是增函數(shù)；在k上是增函數(shù)；2k,2kk上是增函在數(shù)．

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高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中32k,2k22k上是減函數(shù)．k上是減函數(shù)．對稱中心對稱性對稱中心,0kk2k,0k對稱軸xk對稱中心k,0k2對稱軸2kxkk無對稱軸

第二章平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量．?dāng)?shù)量：只有大小，沒有方向的量．

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度．零向量：長度為0的向量．

單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量．平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．17、向量加法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連．⑵平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷運(yùn)算性質(zhì)：

Ca

①交換律：abba；

②結(jié)合律：abcabc；

③a00aa．

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b

abCC高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

18、向量減法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量．

⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1,y1，x2,y2，則x1x2,y1y2．

19、向量數(shù)乘運(yùn)算：

⑴實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作a．①

aa；

②當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，

a0．

abab⑵運(yùn)算律：①aa；②aaa；③．

⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax,y，則ax,yx,y．

20、向量共線定理：向量aa0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba．

設(shè)ax1,y1，bx2,y2，其中b0，則當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí)，向量a、bb0共線．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向

量a，有且只有一對實(shí)數(shù)1、2，使a1e12e2．（不共線的向量e1、e2作為這一平面內(nèi)所有向量的

一組基底）

22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)是線段12上的一點(diǎn)，1、2的坐標(biāo)分別是x1,y1，x2,y2，當(dāng)

xx2y1y2,12時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是1．

1123、平面向量的數(shù)量積：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量與任一向量的數(shù)量積為0．

⑵性質(zhì)：設(shè)a和b都是非零向量，則①abab0．②當(dāng)a與b同向時(shí)，abab；當(dāng)a與

22b反向時(shí)，abab；aaaa或aaa．③abab．

⑶運(yùn)算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y2．

22若ax,y，則axy，或a2x2y2．

-31-

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設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y20．

設(shè)a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a與b的夾角，則

x1x2y1y2abcos22abx12y12x2y2

．

第三章三角恒等變換

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan（tantantan1tantan）；

1tantantantan（tantantan1tantan）．

1tantan⑹tan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．⑵cos2cos2sin22cos2112sin2（cos2cos211cos22，sin）．22⑶tan22tan．21tan22sin，其中tan26、sincos

．

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必修5第一章解三角形

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，則有

abc2R．sinsinsinC2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin④

abc，sin，sinC；③a:b:csin:sin:sinC；2R2R2Rabcabc．

sinsinsinCsinsinsinC（正弦定理主要用來解決兩類問題：1、已知兩邊和其中一邊所對的角，求其余的量。2、已知兩角和

一邊，求其余的量。）

⑤對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無解三中情況）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數(shù)形結(jié)合思想畫出圖：法一：把a(bǔ)擾著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，看所得軌跡以AD有無交點(diǎn)：

C當(dāng)無交點(diǎn)則B無解、當(dāng)有一個(gè)交點(diǎn)則B有一解、當(dāng)有兩個(gè)交點(diǎn)則B有兩個(gè)解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：

a當(dāng)a高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

第二章數(shù)列

1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．2、數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)．3、有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列．4、無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列．

5、遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：an+1>an）．6、遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：an+1高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版

*②若項(xiàng)數(shù)為2n1n，則S2n12n1an，且S奇S偶a富寧一中

n，S奇n（其中S奇nan，S偶n1．S偶n1an）

18、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．符號表示：

an1q（注：①等比數(shù)列中不會出現(xiàn)值為0的項(xiàng)；②同號位an上的值同號）

注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

2①anan1q(n2,q為常數(shù),且0)②anan1an1(n2，anan1an10)

③ancqn(c,q為非零常數(shù)).

④正數(shù)列{an}成等比的充要條件是數(shù)列{logxan}（x1）成等比數(shù)列.

G，b成等比數(shù)列，19、在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，則G稱為a與b的等比中項(xiàng)．若Gab，

則稱G為a與b的等比中項(xiàng)．（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）

20、若等比數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公比是q，則ana1qn1．

n1nmaaqaaq21、通項(xiàng)公式的變形：①n；②1；③qn1mn222annmanq；④．a(chǎn)a1m*22、若an是等比數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是*等比數(shù)列，且2npq（n、p、q），則an2apaq．

23、等比數(shù)列

anna1q1的前n項(xiàng)和的公式：①Sna11qnaaq．②

1nq11q1qsna1a2an

24、對任意的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系：ans1a1(n1)

snsn1(n2)[注]：①ana1n1dnda1d（d可為零也可不為零→為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）→若d不為0，則是等差數(shù)列充分條件）.

②等差{an}前n項(xiàng)和SnAn2Bnn2a1d2ddn→可以為零也可不為零→為等差的充要條件22→若d為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）．．

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附：幾種常見的數(shù)列的思想方法：

1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，在d0時(shí)，有最大值.如何確定使Sn取最大值時(shí)的n值，有兩種方法：一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn

數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式與函數(shù)對應(yīng)關(guān)系如下：數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）數(shù)列等差數(shù)列（等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）我們用函數(shù)的觀點(diǎn)揭開了數(shù)列神秘的“面紗”，將數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和看成是關(guān)于n的函數(shù)，為我們解決數(shù)列有關(guān)問題提供了非常有益的啟示。

例題：1、等差數(shù)列{an}中anm,amn，(nm)則anm.分析：因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以an是關(guān)于n的一次函數(shù)，一次函數(shù)圖像是一條直線，則（n,m）,(m,n),(nm,anm)三點(diǎn)共線，所以利用每兩點(diǎn)形成直線斜率相等，即得anm0（圖像如上），這里利用等差

數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，并結(jié)合圖像，直觀、簡潔。

例題：2、等差數(shù)列{an}中，a125，前n項(xiàng)和為Sn，若S9S17，n為何值時(shí)Sn最大？分析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn可以看成關(guān)于n的二次函數(shù)Sn時(shí)為二次函數(shù)）前n項(xiàng)和公式對應(yīng)函數(shù)通項(xiàng)公式對應(yīng)函數(shù)（時(shí)為一次函數(shù)）d2dn(a1)n利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值.22anmnnm，mn(nm)md2dn(a1)n22是拋物線f(n)-36-

d2dn(a1)n上的離散點(diǎn)，根據(jù)題意，S9S17，高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

則因?yàn)橛�求Sn最大值，故其對應(yīng)二次函數(shù)圖像開口向下，并且對稱軸為x時(shí)，Sn最大。

例題：3遞增數(shù)列{an}，對任意正整數(shù)n，ann2n恒成立，求

91713，即當(dāng)n132分析：1)構(gòu)造一次函數(shù)，由數(shù)列{an}遞增得到：an1an0對于一切

恒成立，所以(2n1)對一切

恒成立，即

恒成立，設(shè)f(n)(2n1)，則只需求出f(n)的最大值即可，顯然f(n)有最大值f(1)3，所以的取值范圍是：3。

2)構(gòu)造二次函數(shù)，

看成函數(shù)

，它的定義域是

，因?yàn)槭?/p>

遞增數(shù)列，即函數(shù)為遞增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間為,拋物線對稱軸，因?yàn)楹瘮?shù)

f(x)為離散函數(shù)，要函數(shù)單調(diào)遞增，就看動軸與已知區(qū)間的位。從對應(yīng)圖像上看，對稱軸

的左側(cè)，也可以（如圖），因?yàn)榇藭r(shí)B點(diǎn)比A點(diǎn)高。于是，

，得

在

2、如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前n項(xiàng)和可依照等比數(shù)

111列前n項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和.例如：1,3,...(2n1)n,...

242

3、兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差d1，d2的最小公倍數(shù).

4.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對于n≥2的任意自然數(shù),驗(yàn)證

anan1(an)為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法。(3)中項(xiàng)公式法:驗(yàn)證an122an1anan2(an1anan2)nN都成立。

5.在等差數(shù)列｛an｝中,有關(guān)Sn的最值問題：(1)當(dāng)a1>0,d高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

最大值.(2)當(dāng)a10時(shí)，滿足注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

am0的項(xiàng)數(shù)m使得sm取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時(shí),

am10附：數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。2.裂項(xiàng)相消法:適用于階乘的數(shù)列等。

例題：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=

c其中{an}是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含

anan11,求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.

n(n1)解：觀察后發(fā)現(xiàn)：an=

11nn1sna1a2an

11111(1)()()

223nn111n13.錯(cuò)位相減法:適用于anbn其中{an}是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。例題：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為ann2n，求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)之和sn。解：由題設(shè)得：

sna1a2a3an

=122232n2

即sn=122232n2①把①式兩邊同乘2后得

123n123n2sn=122223324n2n1②

用①-②，即：

sn=121222323n2n①2sn=122223324n2n1②

得

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sn1222232nn2n12(12n)2n2n11

2n12n2n1(1n)2n12sn(n1)2n12

4.倒序相加法:類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.5.常用結(jié)論1）:1+2+3+...+n=

n(n1)22）1+3+5+...+(2n-1)=n23）1323n312n(n1)2

4）122232n216n(n1)(2n1)5）

1n(n1)1n11n1

n(n2)12(1n1n2)6）

1111pqqp(pq)(pq)

第三章不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

2、不等式的性質(zhì)：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0anbnn,n1；

⑧ab0nanbn,n1．

3、一元二次不等式：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式．4、含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸（1）整式不等式（高次不等式）的解法

-39-

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穿根法（零點(diǎn)分段法）

求解不等式：a0xna1xn1a2xn2an0(0)(a00)

解法：①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

2

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的討論.0二次函數(shù)00yax2bxc（a0）的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無實(shí)根ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)bx1x22axxx或xx12bxx2aRxx1xx2對于a0(或高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

式組axbc在解-c高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

(4).一元二次方程ax+bx+c=0(a>0)的實(shí)根的分布常借助二次函數(shù)圖像來分析：設(shè)ax+bx+c=0的兩根為、，f(x)=ax+bx+c,那么：

222

y0①若兩根都大于0，即0,0，則有0

0

o對稱軸x=xb2ay0b②若兩根都小于0，即0,0，則有0

2af(0)0

對稱軸x=b2ayox③若兩根有一根小于0一根大于0，即0，則有f(0)0

④若兩根在兩實(shí)數(shù)m,n之間，即mn，

yox0bmnom則有2af(m)0f(n)0

⑤若兩個(gè)根在三個(gè)實(shí)數(shù)之間，即mtn，yX=b2anxf(m)0則有f(t)0

f(n)0常由根的分布情況來求解出現(xiàn)在a、b、c位上的參數(shù)

omtX=nxb2a高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

例如：若方程x22(m1)xm22m30有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍。

0解：由①型得004(m1)24(m22m3)02(m1)0m22m30m1m1m1,或m3m3

所以方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根時(shí)，m3。

又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范圍。解：因?yàn)橛袃蓚�(gè)不同的根，所以由

2255220(1)4(m1)0m2221m12f(1)011m101m15、二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式．

6、二元一次不等式組：由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組．

7、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對x,y，所有這樣的有序數(shù)對x,y構(gòu)成的集合．

8、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)x0,y0．①若0，x0y0C0，則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的下方．9、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0．（一）由B確定：

①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0下方的區(qū)域．

②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0上方的區(qū)域．

（二）由A的符號來確定：

先把x的系數(shù)A化為正后，看不等號方向：

①若是“>”號，則xyC0所表示的區(qū)域?yàn)橹本�l:xyC0的右邊部分。②若是“高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

例題：畫出不等式組2xy50所表示的平面區(qū)域。解：略

y3x52yx5010、線性約束條件：由x，y的不等式（或方程）組成的不等式組，是x，y的線性約束條件．目標(biāo)函數(shù)：欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式．線性目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)為x，y的一次解析式．

線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．

可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．11、設(shè)a、b是兩個(gè)正數(shù)，則

ab稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)．2abab．212、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即13、常用的基本不等式：

a2b2①ab2aba,bR；②aba,bR；

222a2b2abab③aba0,b0；④a,bR．

22214、極值定理：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有：

22s2⑴若xys（和為定值），則當(dāng)xy時(shí)，積xy取得最大值．⑵若xyp（積為定值），則當(dāng)xy4時(shí)，和xy取得最小值2p．

例題：已知x51，求函數(shù)f(x)4x2的最大值。44x5解：x

5，4x50由原式可以化為：41111(54x)3[(54x)]3(54x)31324x554x54x54xf(x)4x552當(dāng)54x132，即(54x)1x1，或x(舍去）時(shí)取到“=”號54x2也就是說當(dāng)x1時(shí)有f(x)max2

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