高中數(shù)學(xué)理科100個知識點總結(jié)

學(xué)業(yè)水平測試回扣提綱

一、集合

1.區(qū)分集合中元素的形式：如：x|ylgx函數(shù)的定義域；y|ylgx函數(shù)的值域；

(x,y)|ylgx函數(shù)圖象上的點集，如（1）設(shè)集合M{x|yx3}，集合N＝

y|yx21,xM，則MN___（答：[1,)）；（2）設(shè)2.條件為AB，在討論的時候不要遺忘了A的情況

如：A{x|ax22x10}，如果AR，求a的取值。（答：a≤0）

3．AB{x|xA且xB};AB{x|xA或xB}CUA={x|x∈U但xA};ABxA則xB;真子集怎定義？含n個元素的集合的子集個數(shù)為2n,真子集個數(shù)為2n－1;如滿足

{1,2}M{1,2,3,集合4,M有______個。（答：7）4.CU(A∩B)=CUA∪CUB;CU(A∪B)=CUA∩CUB;card(A∪B)=?A∩B=AA∪B=BABCUBCUAA∩CUB=CUA∪B=U

5.集合中元素的互異性------注意檢驗重復(fù)元素.6.集合的交并補運算-----注意利用數(shù)軸及韋恩圖.二、函數(shù)

m7.指數(shù)式、對數(shù)式：annam，amn1，a01，loga10，logaa1，lg2lg51，amnabNlog1,N0)，alogaNN.如(12)log28的值為__(1aNb(a0,a64).

8.換底公式的正用及逆用

9.二次函數(shù)①三種形式:一般式f(x)=ax2+bx+c(軸-b/2a,a≠0,頂點?);頂點式f(x)=a(x-h)2

+k;零點式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(軸?);②b=0時是偶函數(shù);③區(qū)間最值:配方后一看開口方向,二討論對稱軸與區(qū)間的相對位置關(guān)系;如：若函數(shù)y122x2x4的定義域、

值域都是閉區(qū)間[2,2b]，則b＝（2）.

④實根分布:先畫圖再研究△、軸與區(qū)間關(guān)系、區(qū)間端點函數(shù)值符號,特別注意等號.兩根分別分布在一個區(qū)間時，只需看特殊值.如：方程x2(m2)x5m0的兩根都大于2，則m的取值范圍（(5,4]）.若關(guān)于x的方程3x2-5x+a=0的一個根在（-2，0）內(nèi)，另一個根在（1，3）內(nèi)，則a的取值范圍是12,010.①反比例函數(shù):yccx(x0)平移yaxb中心為(b,a));②函數(shù)yxax是奇函數(shù)，a0時，在區(qū)間,0,0,上是增函數(shù)；a0時，在0,a,a,0上遞減，

1

,a,a,上遞增.

11.單調(diào)性①定義法;②圖像判定.作用:比較大��；解證不等式；如函數(shù)

ylog1x22x的單調(diào)遞增區(qū)間是_____(答：（1,2）)；

2函數(shù)單調(diào)性與奇偶性逆用了嗎?如已知奇函數(shù)f(x)是定義在(2,2)上的減函數(shù),若

f(m1)f(2m1)0，求實數(shù)m的取值范圍。（答：122m3）；③復(fù)合函數(shù)

由同增異減判定④抽象函數(shù)單調(diào)性只能用定義；

12.奇偶性：f(x)是偶函數(shù)f(-x)=f(x)=f(|x|)或fxfx0;f(x)是奇函數(shù)f(-x)=-f(x)或fxfx0;定義域含零的奇函數(shù)過原點(f(0)=0);定義域關(guān)于原點對

稱是為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要而不充分的條件；f00是fxxR為奇函數(shù)的必要而不充分的條件；f00是fxAsinx的充要條件.

13.周期性:由周期函數(shù)的定義“函數(shù)f(x)滿足fxfax(a0)，則f(x)是周期為a的周期函數(shù)”得：①函數(shù)f(x)滿足fxfax，則f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；②若

f(xa)1f(x)(a0)恒成立，

則T2a；③若f(xa)1f(x)(a0)恒成立，則T2a.如(1)設(shè)f(x)是(,)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當(dāng)0x1時，f(x)x，則

f(47.5)等于__(0.5)；(2)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且在[3,2]上

是減函數(shù)，若,是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則f(sin),f(cos)的大小關(guān)系為(f(sin)f(cos))；(3)已知定義在R上的函數(shù)f(x)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程

f(x)0在[2,2]上至少有__________個實數(shù)根（答：5）

14.常見的圖象變換

①函數(shù)yfxa的圖象是把函數(shù)yfx的圖象沿x軸向左(a0)或向右(a0)平移a個單位得到的。如要得到y(tǒng)lg(3x)的圖像，只需作ylgx關(guān)于__軸對稱的圖像，再向____平移3個單位而得到(答：y；右)；（3）函數(shù)f(x)xlg(x2)1的圖象與x軸的交點個數(shù)有個(2).

②函數(shù)yfx+a的圖象是把函數(shù)yfx助圖象沿y軸向上(a0)或向下(a0)平移a個單位得到的；

③函數(shù)yfax(a0)的圖象是把函數(shù)yfx的圖象沿x軸伸縮為原來的

1a得到的。如（1）將函數(shù)yf(x)的圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?3（縱坐標不變），再將此圖像沿x軸方向向左平移2個單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為_____(答：y=f(3x6))；（2）如若函數(shù)

yf(2x1)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(2x)的對稱軸方程是_______(答：x12)．

④函數(shù)yafx(a0)的圖象是把函數(shù)yfx的圖象沿y軸伸縮為原來的a倍得到的.⑤函數(shù)fx按向量m,n得到的解析式為yfxmn.

15.函數(shù)的對稱性。

①滿足條件fxafbx的函數(shù)的圖象關(guān)于直線xab2對稱。如已知二次函數(shù)f(x)ax2bx(a0)滿足條件f(5x)f(x3)且方程f(x)x有等根，則f(x)＝

_____(

答：12x2x)；

②點(x,y)關(guān)于y軸的對稱點為(x,y)；函數(shù)yfx關(guān)于y軸的對稱曲線方程為yfx；

③點(x,y)關(guān)于x軸的對稱點為(x,y)；函數(shù)yfx關(guān)于x軸的對稱曲線方程為yfx；

④點(x,y)關(guān)于原點的對稱點為(x,y)；函數(shù)yfx關(guān)于原點的對稱曲線方程yfx；

⑤點(x,y)關(guān)于直線yxa的對稱點為((ya),xa)；

⑥曲線f(x,y)0關(guān)于直線yxa的對稱曲線的方程為f((ya),xa)0。特別地，點(x,y)關(guān)于直線yx的對稱點為(y,x)；曲線f(x,y)0關(guān)于直線yx的對稱曲線的方程為f(y,x)0；點(x,y)關(guān)于直線yx的對稱點為(y,x)；曲線f(x,y)0關(guān)于直線

yx的對稱曲線的方程為f(y,x)0。

若f(a－x)＝f(b+x),則f(x)圖像關(guān)于直線x=ab2對稱;兩函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)圖像關(guān)于直線x=

ba2對稱。⑦曲線f(x,y)0關(guān)于點(a,b)的對稱曲線的方程為f(2ax,2by)0。如若函數(shù)

yx2x與yg(x)的圖象關(guān)于點（-2，3）對稱，則g(x)＝______（答：x27x6）

⑧形如yaxcxdb(c0,adbc)的圖像是雙曲線，對稱中心是點(dc,ac)。

⑨|f(x)|的圖象先保留f(x)原來在x軸上方的圖象，作出x軸下方的圖象關(guān)于x軸的對稱圖形，然后擦去x軸下方的圖象得到；f(|x|)的圖象先保留f(x)在y軸右方的圖象，擦去y軸左方的圖象，然后作出y軸右方的圖象關(guān)于y軸的對稱圖形得到。如（1）作出函數(shù)y|log2(x1)|及ylog2|x1|的圖象；

16.求解抽象函數(shù)問題的常用方法是：借鑒模型函數(shù)進行類比探究。幾類常見的抽象函數(shù)：

2

①正比例函數(shù)型：f(x)kx(k0)---------------f(xy)f(x)f(y)；

②冪函數(shù)型：f(x)x2--------------f(xy)f(x)f(y)，f(xf(x)y)f(y)；③指數(shù)函數(shù)型：f(x)ax----------f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)；

④對數(shù)函數(shù)型：f(x)logx)f(y)，f(xax---f(xy)f(y)f(x)f(y)；

⑤三角函數(shù)型：f(x)tanx-----f(xy)f(x)f(y)1f(x)f(y)；

fxsinxfxfyf2x2fyfxy.17.求解分段函數(shù)問題的常用方法是：先分后合，即先研究各段，在總起來考慮;注意作圖象.18.冪、指、對、函數(shù)的圖像及性質(zhì)？特別是過定點問題.如（1）ya2x1a0,a1的圖

象過定點.12,12x1（2）y1logaa0,a1的圖象過定點.1,119.反函數(shù):①函數(shù)存在反函數(shù)的條件一一映射；②互為反函數(shù)的兩函數(shù)具相同單調(diào)性;③原函數(shù)定義域是反函數(shù)的值域,原函數(shù)值域是反函數(shù)的定義域;④圖像關(guān)于直線yx對稱，

x,yy,x.如：已知函數(shù)yf(x)的圖象過點(1,1),那么f4x的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)

過點___（答：（1,3））；20.題型方法總結(jié):

Ⅰ判定相同函數(shù):定義域相同且對應(yīng)法則相同;

Ⅱ求函數(shù)解析式的常用方法：

（1）待定系數(shù)法——已知所求函數(shù)的類型（二次函數(shù)的表達形式有三種：一般式：

f(x)ax2bxc；頂點式：f(x)a(xm)2n；零點式：f(x)a(xx1)(xx2)）.如

已知f(x)為二次函數(shù)，且f(x2)f(x2)，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為22,求f(x)的解析式.（答：f(x)12x22x1）（2）代換（配湊）法——已知形如f(g(x))的表達式，求f(x)的表達式。如（1）已知

f(1cosx)sin2x,求fx2的解析式（答：f(x2)x42x2,x[2,2]）；（2）若

f(x1x)x21x2，則函數(shù)f(x1)=_____（答：x22x3）

；（3）若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x(0,)時，f(x)x(13x)，那么當(dāng)x(,0)時，f(x)=________

（答：x(13x)）.這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，即f(x)的定義域應(yīng)是

g(x)的值域。

（3）方程(組)的思想——對已知等式進行賦值，從而得到關(guān)于f(x)及另外一個函數(shù)的方程

組。如（1）已知f(x)2f(x)3x2，求f(x)的解析式（答：f(x)3x23）；（2）已

知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(x)+g(x)=1xx1,則f(x)=（答：x21）。

Ⅲ求定義域:使函數(shù)解析式有意義(如:分母?;偶次根式被開方數(shù)?;對數(shù)真數(shù)?，底數(shù)?;零指數(shù)冪的

底數(shù)?);實際問題有意義;若f(x)定義域為[a,b],復(fù)合函數(shù)f[g(x)]定義域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定義域為[a,b],則f(x)定義域相當(dāng)于x∈[a,b]時g(x)的值域；

如：若函數(shù)yf(x)的定義域為12,2，則f(lo2gx)的定義域為_______（答：x|2x4）

；若函數(shù)f(x21)的定義域為[2,1)，則函數(shù)f(x)的定義域為________（答：[1,5]）．

Ⅳ求值域:①配方法：如：求函數(shù)yx22x5,x[1,2]的值域（答：[4,8]）；

②換元法：如（1）y2sin2x3cosx1的值域為_____（答：[4,178]）；（2）y2x1x1的值域為_____（答：3,）（令x1t，t0。運用換元法時，要特

別要注意新元t的范圍）；

③不等式法——利用基本不等式ab2ab(a,bR)求函數(shù)的最值。

Ⅵ恒成立問題:①分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題;a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;②數(shù)形結(jié)合.

21.利用一些方法（如賦值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令yx或yx等）、遞推法、反證法等）進行邏輯探究。如（1）若xR，f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，則f(x)的奇偶性是______（答：奇函數(shù)）；（2）若xR，f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，則f(x)的

奇偶性是______（答：偶函數(shù)）；（3）設(shè)f(x)的定義域為R，對任意x,yR，都有

f(xy)f(x)f(y，且)x1時，f(x)0，又f(12)1，①求證f(x)為減函數(shù)；②解不等式f(x)f(5x)2.（答：0,14,5）．

三、數(shù)列22.a(n1)n={

S1S的公式中,s00則一定可以合并.

nSn1(n2,nN*)注意驗證a1是否包含在an23.｛an｝等差anan1d(常數(shù))2anan1an1(n2,nN*)

ananb(一次)snAn2Bna;b,A,B,

?｛aa2nan-1an1(n2,nN)n}等比anq0an2n0an13

如若{an}是等比數(shù)列，且Sn3nr，則r＝（答：－1）

24.首項為正的遞減(或首項為負的遞增)等差數(shù)列前n項和最大(或最小)問題,轉(zhuǎn)化為解不等式

an0a(或an0a),或用二次函數(shù)處理;求一般數(shù)列中的最大或最小項常用nn1an1

0an10ana或研究數(shù)列

n1的單調(diào)性.如（1）等差數(shù)列{an}中，a125，S9S17，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大

值。（答：前13項和最大，最大值為169）；

25.等差數(shù)列中anmd;Sn(n1)n=a1+(n-1)d=an=nan(am1an)12d=

2等比數(shù)列中an-1

n=a1q=anm;當(dāng)q=1,San=na1當(dāng)q≠1,Sn=1(1qn)a1anqmq1q=1q

26.常用性質(zhì)：等差數(shù)列中,an=am+(n－m)d,damanmn;當(dāng)m+n=p+q,m,n,p,qN,則am+an=ap+aq；

等比數(shù)列中，an-m

n=amq;當(dāng)m+n=p+q，m,n,p,qN，則aman=apaq.

如（1）在等比數(shù)列{an}中，a3a8124,a4a7512，公比q是整數(shù)，則a10=___（答：512）；（2）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5a69，則log3a1log3a2log3a10（答：10）.

27.常見數(shù)列：{an}等差,則can(c>0)成等比.{bn}(bn>0)等比,則{logcbn}(c>0且c1)等差。

28.等差三數(shù)為a-d,a,a+d;四數(shù)a-3d,a-d,,a+d,a+3d;等比三數(shù)可設(shè)a/q,a,aq；

如有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12，求此四個數(shù)。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）設(shè)x,y,12y,16x好求.

29.等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、仍為等差數(shù)列。

等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和且不為零時構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、仍為等比數(shù)列。如：公比為-1時，S4、S8-S4、S12-S8、不成等比數(shù)列

30.等差數(shù)列{an},項數(shù)2n時,S偶-S奇＝nd;項數(shù)2n-1時,S奇-S偶＝an;等比數(shù)列項數(shù)為2n時，則

S偶Sq;項數(shù)為奇數(shù)2n1時，S奇a1qS偶.

奇31.求和常法:公式、分組、裂項相消、錯位相減、倒序相加.關(guān)鍵分析通項結(jié)構(gòu).

分組法求數(shù)列的和：如an=2n+3n、錯位相減法求和：如an=(2n-1)2n、裂項法求和：如

11112n12123123n（答：n1）、倒序相加法求和：如已知f(x)x21111x2，則f(1)f(2)f(3)f(4)f(2)f(3)f(4)＝___（答：72）

aS1(n1)n32.求通項常法:（1）已知數(shù)列的前n項和sn,求通項an，可利用公式:SnSn1(n2)

如：（1）數(shù)列{a1n}滿足

2a1114,n1122a22nan2n5，求an（答：an2n1,n2）（2）已知S24,n12nn2n1，則an=n（3）已知2n1,；

Snn2n，則an=22n1（2）先猜后證（3）遞推式為an＋1＝an＋f(n)(采用累加法)；an＋1＝an×f(n)(采用累積法)；如已知數(shù)列{an}滿足a11，ana1n1n1n(n2)，則an=___（答：

ann12）1.

（4）構(gòu)造法形如annkan1b、ankan1k（k,b為常數(shù)）的遞推數(shù)列如①已知

a11,an3an12，求an1n（答：an231）；

（5）倒數(shù)法形如aan1nka的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。

n1b如①已知aan111,an3a，求a1n（答：ann2）；

n113四、三角函數(shù)

33.終邊相同(β=2kπ+α);弧長公式：l||R，扇形面積公式：S12lR12||R2，1弧度

(1rad)57.3.如已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積（2cm2）

34.函數(shù)y=Asin(x)b（0,A0）①五點法作圖;②振幅?相位?初相?周期T=

2,頻率?;φ=kπ+2時偶函數(shù).③對稱軸處y取最值.如（1）函數(shù)ysin522x的奇偶性是______（答：

偶函數(shù)）；（2）已知函數(shù)f(x)axbsin3x1(a,b為常數(shù)），且f(5)7，則f(5)______（答：－5）；（3）函數(shù)y2cosx(sinxcosx)的圖象的對稱中心和對稱軸分別是__________、____________（答：(kk28,1)(kZ)、x28(kZ)）；（4）已知f(x)sin(3x)為偶函數(shù)，求cos(x的值。)（答：k6(kZ)）

④變換:φ正左移負右移；b正上移負下移;

4

ysinx左或右平移||ysin(x)橫坐標伸縮到原來的1倍ysin(x)

ysinx橫坐標伸縮到原來的1倍ysinx左或右平移||ysin(x)

縱坐標伸縮到原來的A倍yAsin(x)上或下平移|b|yAsin(x)b

35.正弦定理:2R=

asinA=bsinB=csinC;2余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,cosAbc2a21112bc;S2absinC2bcsinA2casinB

術(shù)語:坡度、仰角、俯角、方位角.

36.同角基本關(guān)系：如：已知

tansintan11，則

3cossincos＝____；sin2sincos2＝_________（答：5133；5）；

37.誘導(dǎo)公式簡記:奇變偶不變．．．．．,．符號看象限．．．．．．(注意：公式中始終視．．．．為銳角．．．)．38.重要公式：

sin21cos2;cos21cos2．tan1cossin1cos2;1sin(cossin2)2cos221cos1cossin22sin2如：函數(shù)f(x)5sinxcosx53cos2x523(xR)的單調(diào)遞增區(qū)間為___________（答：[k,k51212](kZ)）

巧變角：如()()，2()()，

2()()，22，222等）

，如（1）已知tan()2135，tan(4)4，那么tan(4)的值是_____（答：

22）；39.輔助角公式中輔助角的確定：asinxbcosxa2b2sinx(其中tanba)

五、平面向量

40.向量定義、向量模、零向量、單位向量、相反向量(長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。)、共線向量、相等向量

41.加、減法的平行四邊形與三角形法則:ABBCAC;ABACCB42.向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量a，b，其夾角為，則：

①abab0；

②當(dāng)a，b同向時，ab＝ab，特別地，a2aaa2,aa2；當(dāng)a與b反向時，

ab＝－ab；當(dāng)為銳角時，ab＞0，且a、b不同向，ab0是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時，ab＜0，且a、b不反向，ab0是為鈍角的必要非充分條件；

③|ab||a||b|,2).如已知a(,2)，b(3，如果a與b的夾角為銳角，則的取值范圍

是______（答：43或0且13）；

43.向量b在a方向上的投影bcos＝aba

44.e1和e2是平面一組基底,則該平面任一向量a1e12e2(1,2唯一)

特別：.OP＝OA12OB則121是三點P、A、B共線的充要條件.如平面直角坐標系

中，O為坐標原點，已知兩點A(3,1),B(1,3),若點C滿足OC1OA2OB,其中

1,2R且121,則點C的軌跡是_______（答：直線AB）

45.點P(x,y)按a(h,k)平移得P(x,y),則PP＝a或xxhyk函數(shù)yf(x)按a(h,k)平移

y得函數(shù)方程為：ykf(xh)如（1）按向量a把(2,3)平移到(1,2)，則按向量a把點(7,2)平移到點______（答：（－８，３））；（2）函數(shù)ysin2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是ycos2x1，則a＝________（答：(4,1)）

六、不等式

46.注意課本上的幾個性質(zhì)，另外需要特別注意：①若ab>0，a

接球直徑=體對角線長;常見幾何體及組合體的三視圖？多面體的表面積體積？八、解析幾何

53.傾斜角α∈0,,α=900

斜率不存在;斜率k=tanα=

y2y1x2x154.直線方程:點斜式y(tǒng)-y1=k(x-x1);斜截式y(tǒng)=kx+b;一般式:Ax+By+C=0兩點式:yy1xx1yyx;21x21截距式:

xayb1(a≠0;b≠0);求直線方程時要防止由于零截距和無斜率造成丟解,直線Ax+By+C=0的方向向量為a=(B,-A)

55.兩直線平行和垂直①若斜率存在l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2則l1∥l2k1∥k2,b1≠b2;l1⊥l2k1k2=-1

②若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則l1⊥l2A1A2+B1B2=0；

l1//l2A1B2A2B1,AC12A2C1.

④l1∥l2則化x、y同系數(shù)后距離d=

|C1C2|;點線距d=|Ax0By0C|;

A2B2A2B256.圓:標準方程(x－a)2

+(y－b)2

=r2

;一般方程:x2

+y2

+Dx+Ey+F=0(D2

+E2

-4F>0).

57.若(x-a)2+(y22(=r2,>r2),則P(x222

00-b)r相離;d=r相切;dr+R兩圓相離;d＝r+R兩圓相外切;|R－r|

擴展閱讀：201*年高中新課標理科數(shù)學(xué)所有知識點總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必修1知識點

第一章集合與函數(shù)概念

〖1.1〗集合

【1.1.1】集合的含義與表示

（1）集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.（2）常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N或N表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集.

（3）集合與元素間的關(guān)系

對象a與集合M的關(guān)系是aM，或者aM，兩者必居其一.（4）集合的表示法

①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.③描述法：{x|x具有的性質(zhì)}，其中x為集合的代表元素.④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.（5）集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().

【1.1.2】集合間的基本關(guān)系

（6）子集、真子集、集合相等名稱記號意義(1)AAA中的任一元素都屬于B(2)性質(zhì)示意圖AB子集（或BA)ABA(3)若AB且BC，則AC(4)若AB且BA，則AB（1）A（A為非空子集）A(B)BA或真子集（或BA）AB，且B中至少有一元素不屬于ABA(2)若AB且BC，則AC集合相等A中的任一元素都屬AB于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BAA(B)（7）已知集合空真子集.

A有n(n1)個元素，則它有2n個子集，它有2n1個真子集，它有2n1個非空子集，它有2n2非

【1.1.3】集合的基本運算

（8）交集、并集、補集名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集AB{x|xA,且xB}AAA（2）A（3）ABAABB（1）1

AB并集AB{x|xA,或xB}AAA（2）AA（3）ABAABB（1）1A(2A(UA)UUA)AB補集UA{x|xU,且xA}痧U(AB)(UA)(UB)痧U(AB)(UA)(UB)【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

（1）含絕對值的不等式的解法

不等式解集|x|a(a0){x|axa}|x|a(a0)把x|xa或xa}axb看成一個整體，化成|x|a，|axb|c,|axb|c(c0)|x|a(a0)型不等式來求解（2）一元二次不等式的解法

判別式b24ac二次函數(shù)000yax2bxc(a0)的圖象O一元二次方程ax2bxc0(a0)的根bb24acx1,22a（其中x1x1x2b2a無實根x2){x|xax2bxc0(a0)的解集{x|xx1或xx2}b}2aRax2bxc0(a0)的解集{x|x1xx2}〖1.2〗函數(shù)及其表示【1.2.1】函數(shù)的概念

（1）函數(shù)的概念

①設(shè)

A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合

A中任何一個數(shù)x，在集合B中都有唯一

）叫做集合

確定的數(shù)

f(x)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合A，B以及A到B的對應(yīng)法則f2

A到B的一

個函數(shù)，記作

f:AB．

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則．

③只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)．（2）區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)a,b是兩個實數(shù)，且ab，滿足axb的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做[a,b]；滿足axb的

實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做(a,b)；滿足a別記做

，(a,b][ab,)；滿足

xb，或axb的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分

實b數(shù)

xa,x,ax,b的xx的集合分別記做

[a,)a,(,注意：對于集合{x|a)b,(,．bxb}與區(qū)間(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必須

ab．

（3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：

①②③

f(x)是整式時，定義域是全體實數(shù)．

f(x)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù)．

f(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合．

④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1．⑤

ytanx中，xk2(kZ)．

⑥零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．⑦若

f(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交

集．

⑧對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知由不等式af(x)的定義域為[a,b]，其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域應(yīng)

g(x)b解出．

⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論．⑩由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義．（4）求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅�數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值．③判別式法：若函數(shù)

yf(x)可以化成一個系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0，則

在a(y)0時，由于x,y為實數(shù)，故必須有b2(y)4a(y)c(y)0，從而確定函數(shù)的值域或最值．

3

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值．

⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最

值問題．

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值．⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值．⑧函數(shù)的單調(diào)性法．

【1.2.2】函數(shù)的表示法

（5）函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．圖

象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．（6）映射的概念

①設(shè)

A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合

A中任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素

）叫做集合

和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合

A，B以及A到B的對應(yīng)法則fA到B的映射，記作

f:AB．

②給定一個集合

A到集合B的映射，且aA,bB．如果元素a和元素b對應(yīng)，那么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．

〖1.3〗函數(shù)的基本性質(zhì)

【1.3.1】單調(diào)性與最大（�。┲�

（1）函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的性質(zhì)定義如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當(dāng)x

③對于復(fù)合函數(shù)

yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)為增，ug(x)為增，則yf[g(x)]為增；若

則yf[g(x)]為增；若yf(u)為增，ug(x)為減，則yf[g(x)]yf(u)為減，ug(x)為減，為減；若

yf(u)為減，ug(x)為增，則yf[g(x)]為減．

y（2）打“√”函數(shù)

f(x)xa(a0)的圖象與性質(zhì)xf(x)分別在(,a]、[a,)上為增函數(shù)，分別在[a,0)、(0,a]上為減函數(shù)．

（3）最大（�。┲刀�義①一般地，設(shè)函數(shù)

都有

oxyf(x)的定義域為I；

，如果存在實數(shù)M滿足：（1）對于任意的xI，f(x)M（2）存在x0I，使得f(x0)M．那么，我們稱M是函數(shù)f(x)的最大值，記作fmax(x)M．

②一般地，設(shè)函數(shù)

yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)m滿足：（1）對于任意的xI，都有f(x)m；

（2）存在x0I，使得f(x0)m．那么，我們稱m是函數(shù)f(x)的最小值，記作fmax(x)m．

【1.3.2】奇偶性

（4）函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的性質(zhì)定義如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有．f(－x)=－．．．．．．f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函．．．．．．?dāng)?shù)．．函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有．f(－x)=f(x),．．．．．．．．．那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)．．．．（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于y軸對稱）②若函數(shù)

圖象判定方法（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于原點對稱）f(x)為奇函數(shù)，且在x0處有定義，則f(0)0．

③奇函數(shù)在

y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反．

④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)．

〖補充知識〗函數(shù)的圖象

（1）作圖

利用描點法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；④畫出函數(shù)的圖象．利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象．①平移變換

h0,左移h個單位k0,上移k個單位yf(x)yf(xh)yf(x)yf(x)k

h0,右移|h|個單位k0,下移|k|個單位②伸縮變換

01,伸yf(x)yf(x)

1,縮0A1,縮yf(x)yAf(x)

A1,伸③對稱變換

y軸x軸yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)

直線yx原點yf(x)yf(x)yf(x)yf1(x)去掉y軸左邊圖象yf(x)yf(|x|)

保留y軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對稱圖象保留x軸上方圖象yf(x)y|f(x)|

將x軸下方圖象翻折上去（2）識圖

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系．（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)

果的重要工具．要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法．

第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)

〖2.1〗指數(shù)函數(shù)

【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運算

（1）根式的概念

①如果x根用符號nna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．當(dāng)n是奇數(shù)時，a的n次方

a表示；當(dāng)n是偶數(shù)時，正數(shù)a的正的n次方根用符號na表示，負的n次方根用符號na表示；0

的n次方根是0；負數(shù)a沒有n次方根．

②式子na叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．當(dāng)n為奇數(shù)時，a為任意實數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時，

a0．

③根式的性質(zhì)：(na(a0)．a(chǎn))na；當(dāng)n為奇數(shù)時，nana；當(dāng)n為偶數(shù)時，nan|a|a(a0)6

（2）分數(shù)指數(shù)冪的概念

①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：amnnam(a0,m,nN,且n1)．0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0．

mn②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：a1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0的負分數(shù)指數(shù)

aa冪沒有意義．注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)．（3）分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

①arasars(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR)

r③(ab)arbr(a0,b0,rR)

【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（4）指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱定義函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)0a1yaxa1y圖象yaxyy1y1(0,1)(0,1)O定義域值域xR(0,)Ox過定點奇偶性單調(diào)性圖象過定點(0,1)，即當(dāng)x0時，y1．在R上是減函數(shù)非奇非偶在R上是增函數(shù)ax1(x0)函數(shù)值的變化情況ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a變化對圖象的影響

在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低．〖2.2〗對數(shù)函數(shù)

【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運算

（1）對數(shù)的定義

①若axN(a0,且a1)，則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做底數(shù)，N

叫做真數(shù)．

②負數(shù)和零沒有對數(shù)．

③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：xloga（2）幾個重要的對數(shù)恒等式

NaxN(a0,a1,N0)．

loga10，logaa1，logaabb．

（3）常用對數(shù)與自然對數(shù)

常用對數(shù)：lgN，即log10（4）對數(shù)的運算性質(zhì)如果a①加法：logaN；自然對數(shù)：lnN，即loge．N（其中e2.71828）

0,a1,M0,N0，那么

MN

MlogaNloga(MN)②減法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR)④alogaNN

③數(shù)乘：nloga⑤logabMnnlogbNlogaM(b0,nR)⑥換底公式：logaN(b0,且b1)blogba【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（5）對數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱定義函數(shù)對數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對數(shù)函數(shù)0a11xa1y圖象x1ylogaxyylogax(1,0)O(1,0)xOx定義域值域過定點奇偶性單調(diào)性在(0,)上是增函數(shù)(0,)R圖象過定點(1,0)，即當(dāng)x1時，y0．非奇非偶在(0,)上是減函數(shù)logax0(x1)函數(shù)值的變化情況logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a變化對圖象的影響(6)反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)

在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高．yf(x)的定義域為A，值域為C，從式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果對于y在

C中的任何一個值，通過式子x(y)，x在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子x(y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù)x(y)叫做函數(shù)yf(x)的反函數(shù)，記作xf1(y)，習(xí)慣上改寫成yf1(x)．

（7）反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式③將xyf(x)中反解出xf1(y)；

f1(y)改寫成yf1(x)，并注明反函數(shù)的定義域．

（8）反函數(shù)的性質(zhì)①原函數(shù)

②函數(shù)

yf(x)與反函數(shù)yf1(x)的圖象關(guān)于直線yx對稱．

yf(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)yf1(x)的值域、定義域．

yf(x)的圖象上，則P"(b,a)在反函數(shù)yf1(x)的圖象上．

③若P(a,b)在原函數(shù)④一般地，函數(shù)

yf(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)．

〖2.3〗冪函數(shù)

（1）冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)

9

yx叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，是常數(shù)．（2）冪函數(shù)的圖象（3）冪函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于

y軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一

象限．

②過定點：所有的冪函數(shù)在(0,)都有定義，并且圖象都通過點(1,1)．③單調(diào)性：如果0，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在[0,)上為增函數(shù)．如果0，則冪函數(shù)的圖象在(0,)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸．

qp（其中

④奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當(dāng)qpp,q互質(zhì)，p和

，若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時，則yxqZ）數(shù)q為奇數(shù)時，則

是奇函數(shù)，若

p為奇數(shù)q為偶數(shù)時，則yxqp是偶函數(shù)，若

p為偶

yxqp是非奇非偶函數(shù)．

⑤圖象特征：冪函數(shù)象在直線

yx,x(0,)，當(dāng)1時，若0x1，其圖象在直線yx下方，若x1，其圖

yx上方，當(dāng)1時，若0x1，其圖象在直線yx上方，若x1，其圖象在直線yx下方．

〖補充知識〗二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式：

f(x)ax2bxc(a0)②頂點式：f(x)a(xh)2k(a0)③兩根式：

f(x)a(xx1)(xx2)(a0)（2）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個點坐標時，宜用一般式．

②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關(guān)或與最大（小）值有關(guān)時，常使用頂點式．③若已知拋物線與x軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求

（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)①二次函數(shù)

f(x)更方便．

f(x)ax2bxc(a0)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為xb,頂點坐標是2ab4acb2(,)．

2a4a②當(dāng)a0時，拋物線開口向上，函數(shù)在(,；當(dāng)abbb]上遞減，在[,)上遞增，當(dāng)x2a2a2a時，

4acb2fmin(x)4a0時，拋物線開口向下，函數(shù)在(,bb]上遞增，在[,)上遞減，當(dāng)2a2a4acb2bx時，fmax(x)2a4a③二次函數(shù)

．

f(x)ax2bxc(a0)當(dāng)b24ac0時，圖象與x軸有兩個交點

M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2|（4）一元二次方程ax2．|a|bxc0(a0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達定理）的運用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布．設(shè)一元二次方程ax2bxc0(a0)的兩實根為x1,x2，且x1x2．令f(x)ax2bxc，從以下四

b2ab2a③判別式：④端點函數(shù)值符號．

個方面來分析此類問題：①開口方向：a②對稱軸位置：x①k＜x1≤x2

yf(k)0ya0xOkx1x②x1≤x2＜k

kx2b2aOxx1x2xa0

f(k)0

ya0Oyf(k)0xOb2ax1x2kxb2akx2x1a0

xxf(k)0

③x1＜k＜x2af(k)＜0

ya0yf(k)0x2xa0Okx1x2xx1Okf(k)0

④k1＜x1≤x2＜k2

ya0yxf(k1)0f(k)02x1x2k2xOb2aOk1k1x1x2k2xbx2af(k1)0a0f(k2)0⑤有且僅有一個根x1（或x2）滿足k1＜x1（或x2）＜k2f(k1)f(k2)0，并同時考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合

ya0yf(k1)0f(k1)0x1k2Ok1x2xOx1k1a0x2k2xf(k2)0

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2此結(jié)論可直接由⑤推出．（5）二次函數(shù)設(shè)

f(k2)0

f(x)ax2bxc(a0)在閉區(qū)間[p,q]上的最值

1(pq)．2f(x)在區(qū)間[p,q]上的最大值為M，最小值為m，令x0（Ⅰ）當(dāng)a0時（開口向上）

12

①若

bbbbp，則mf(p)②若pq，則mf()③若q，則mf(q)2a2a2a2af(q)Of(p)x

Of(b)2af(q)x

f(p)Ofbf((p))2ax

b)2aff((q)bbx0，則Mf(q)②x0，則Mf(p)①若2a2a(Ⅱ)當(dāng)a①若

①若

ff(p)x0x

OOx(q)0fx

b)2aff((q)0時(開口向下)

bf((p))2abbbbp，則Mf(p)②若pq，則Mf()③若q，則Mf(q)2a2a2a2abf()2af(p)Of(p)x

Obf()2af(fb)2a(q)x

Oxf

(q)

(q)

f

(p)fbbx0，則mf(q)②x0，則mf(p)．2a2af(b)2af(p)Off(b)2a(q)x0f

(q)

x

x0f(p)Ox

一、方程的根與函數(shù)的零點

1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)

第三章函數(shù)的應(yīng)用

yf(x)(xD)13

，把使

f(x)0成立的實數(shù)

x叫做函數(shù)

yf(x)(xD)的零點。

2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)交點的橫坐標。即：方程

yf(x)的零點就是方程f(x)0實數(shù)根，亦即函數(shù)yf(x)的圖象與x軸

f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點．

3、函數(shù)零點的求法：

yf(x)的零點：

1（代數(shù)法）求方程f(x)0的實數(shù)根；○

求函數(shù)

2（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)○

找出零點．

4、二次函數(shù)的零點：

yf(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)

yax2bxc(a0)．

2１）△＞０，方程axbxc0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零

二次函數(shù)點．

２）△＝０，方程axbxc數(shù)有一個二重零點或二階零點．３）△＜０，方程ax220有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交點，二次函

bxc0無實根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點，二次函數(shù)無零點．

高中數(shù)學(xué)必修2知識點

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下2畫三視圖的原則：

長對齊、高對齊、寬相等3直觀圖：斜二測畫法4斜二測畫法的步驟：

（1）.平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；

（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x，z軸的線長度不變；（3）.畫法要寫好。

5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

（一）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

2圓柱的表面積Srl2r23圓錐的表面積S24圓臺的表面積Srlr2

rlr2RlR25球的表面積S4R2

（二）空間幾何體的體積

1VS底h2錐體的體積VS底h

313臺體的體積V（S上S上S下S下)h4球體的體積D

343αVR3A

第二章直線與平面的位置關(guān)系

1柱體的體積

CB

2.1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的2平面的畫法及表示

（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）（2）平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。3三個公理：

（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號表示為

A∈L

B∈L=>LαA∈αB∈α

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

（2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。符號表示為：A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。

（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。符號表示為：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)

0

Aα

L

αC

AB

βLPα2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；

共面直線

平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線

a∥bc∥b

強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補4注意點：

①a"與b"所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為簡便，點O一般取在兩直線中的一條上；

)；②兩條異面直線所成的角θ∈(0，2③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

=>a∥c

2.1.32.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

1、直線與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點（2）直線與平面相交有且只有一個公共點（3）直線在平面平行沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示

aαa∩α=Aa∥α

2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：

aα

bβ=>a∥αa∥b

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

符號表示：

aβbβ

a∩b=Pβ∥αa∥αb∥α

2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。

2.2.32.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：

a∥α

aβa∥bα∩β=b

作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：

α∥β

α∩γ=aa∥bβ∩γ=b

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

2.3.1直線與平面垂直的判定

1、定義

如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂足。

Lpα

2、判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2.3.2平面與平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形

A

梭lβ

Bα

2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。2.3.32.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

2性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

本章知識結(jié)構(gòu)框圖

平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空間直線、平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系第三章直線與方程

3.1直線的傾斜角和斜率3.1傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線l與x軸相交時,取x軸作為基準,x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直

線l的傾斜角.特別地,當(dāng)直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定α=0°.

2、傾斜角α的取值范圍：0°≤α＜180°.當(dāng)直線l與x軸垂直時,α=90°.3、直線的斜率:

一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是k=tanα當(dāng)直線l與x軸平行或重合時,α=0°,k=tan0°=0;當(dāng)直線l與x軸垂直時,α=90°,k不存在.

由此可知,一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直線的斜率公式:

給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率：斜率公式:k=y2-y1/x2-x1

3.1.2兩條直線的平行與垂直

1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，

即

注意:上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結(jié)論并不成立．即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2

2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負倒數(shù)，那么它們互相垂直，即

3.2.1直線的點斜式方程

1、直線的點斜式方程：直線l經(jīng)過點P(x0,y0)，且斜率為k02、、直線的斜截式方程：已知直線l的斜率為k，且與

yy0k(xx0)

y軸的交點為(0,b)ykxb

3.2.2直線的兩點式方程

1、直線的兩點式方程：已知兩點P其中(x11(x1,x2),P2(x2,y2)2、直線的截距式方程：已知直線l與

x2,y1y2)y-y1/y-y2=x-x1/x-x2

x軸的交點為A(a,0)，與y軸的交點為B(0,b)，其中a0,b0

AxByC0（A，B不同時為0）

3.2.3直線的一般式方程

1、直線的一般式方程：關(guān)于x,y的二元一次方程2、各種直線方程之間的互化。

3.3直線的交點坐標與距離公式

3.3.1兩直線的交點坐標

1、給出例題：兩直線交點坐標

L1：3x+4y-2=0L1：2x+y+2=0解：解方程組

3x4y20得x=-2，y=22x2y201*

所以L1與L2的交點坐標為M（-2，2）

3.3.23.3.3

兩點間距離

點到直線的距離公式

兩點間的距離公式1．點到直線距離公式：點P(x0,y0)到直線l:AxByC0的距離為：dAx0By0CAB22

2、兩平行線間的距離公式：

已知兩條平

PP12x2x2y2y122行線直線l1和l2的一般式方程為l1：AxByC10，

l2AxByC20，則l1與l2的距離為d第四章

4.1.1圓的標準方程

1、圓的標準方程：(xa)2C1C2AB22

圓與方程

(yb)2r2

圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程

2、點M(x0,y0)與圓(xa)（1）(x0（3）(x02(yb)2r2的關(guān)系的判斷方法：

a)2(y0b)2>r2，點在圓外（2）(x0a)2(y0b)2=r2，點在圓上a)2(y0b)2（3）當(dāng)dr時，直線l與圓C相交；

4.2.2圓與圓的位置關(guān)系

兩圓的位置關(guān)系．

設(shè)兩圓的連心線長為l，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點：

（1）當(dāng)lr1r2時，圓C1與圓C2相離；（2）當(dāng)lr1r2時，圓C1與圓C2外切；（3）當(dāng)|r1r2|lr1r2時，圓C1與圓C2相交；

（4）當(dāng)l|r1r2|時，圓C1與圓C2內(nèi)切；（5）當(dāng)l|r1r2|時，圓C1與圓C2內(nèi)含；

4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用

1、利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關(guān)系；2、過程與方法

用坐標法解決幾何問題的步驟：

第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼�，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．

RMOPQM"y4.3.1空間直角坐標系

1、點M對應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，x、y、z分別是P、Q、R在x、y、z軸上的坐標

2、有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，對應(yīng)著空間直角坐標系中的一點

x3、空間中任意點M的坐標都可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示，該數(shù)組叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記M(x,y,z)，x叫做點M的橫坐標，坐標。

y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎

z4.3.2空間兩點間的距離公式

1、空間中任意一點P1(x1,y1,z1)到點P2(x2,y2,z2)之間的距離公式

P1P2P1P2(x1x2)(y1y2)(z1z2)

222N1xOM1MM2HN2yN高中數(shù)學(xué)必修3知識點

第一章算法初步

1.1.1

算法的概念

1、算法概念：

在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.2.算法的特點:

(1)有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.

(2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可.

(3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準確無誤，才能完成問題.(4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.

(5)普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計好的步驟加以解決.

1.1.2程序框圖

1、程序框圖基本概念：

（一）程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形。

一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。（二）構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用

程序框起止框輸入、輸出框處理框判斷框“Y”；不成立時標明“否”或“N”。寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明“是”或要輸入、輸出的位置。賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等分別表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需名稱功能表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不可少的。學(xué)習(xí)這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：

1、使用標準的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個

進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。

（三）、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。

1、順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。

順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所指定的操作。2、條件結(jié)構(gòu)：

條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。

條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個判斷結(jié)構(gòu)可以有多個判斷框。

3、循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細分為兩類：

（1）、一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復(fù)執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

（2）、另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)

22

ABAP不成立成立成立AP不成立注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個計數(shù)變量和累加變量。計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計數(shù)一次。

1.2.1輸入、輸出語句和賦值語句

1、輸入語句

（1）輸入語句的一般格式

INPUT“提示內(nèi)容”；變量圖形計算器格式INPUT“提示內(nèi)容”，變量（2）輸入語句的作用是實現(xiàn)算法的輸入信息功能；（3）“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運行時其值是可以變化的量；（4）輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達式；（5）提示內(nèi)容與變量之間用分號“；”隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開。2、輸出語句

（1）輸出語句的一般格式

PRINT“提示內(nèi)容”；表達式圖形計算器格式Disp“提示內(nèi)容”，變量（2）輸出語句的作用是實現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能；（3）“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)；（4）輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值以及字符。3、賦值語句

（1）賦值語句的一般格式

（2）賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；（3）賦值語句中的“＝”稱作賦值號，與數(shù)學(xué)中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量；（4）賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個數(shù)據(jù)、常量或算式；（5）對于一個變量可以多次賦值。

注意：①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=X是錯誤的。②賦值號左右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運行結(jié)果是不同的。③不能利用賦值語句進行代數(shù)式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）④賦值號“=”與數(shù)學(xué)中的等號意義不同。1．2．2條件語句

1、條件語句的一般格式有兩種：（1）IFTHENELSE語句；（2）IFTHEN語句。2、IFTHENELSE語句IFTHENELSE語句的一般格式為圖1，對應(yīng)的程序框圖為圖2。

變量＝表達式圖形計算器格式表達式變量IF條件THEN語句1ELSE語句2ENDIF滿足條件？是語句123否

語句圖1圖2

分析：在IFTHENELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語句2”表示不滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計算機在執(zhí)行時，首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面的語句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語句2。3、IFTHEN語句

IFTHEN語句的一般格式為圖3，對應(yīng)的程序框圖為圖4。

IF條件THEN語句ENDIF（圖3）

是滿足條件？否語句

注意：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容，條件不滿足時，結(jié)束程序；ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計算機在執(zhí)行時首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語句，若條件不符合則直接結(jié)束該條件語句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語句。

（圖4）1．2．3循環(huán)語句

循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實現(xiàn)的。對應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設(shè)計語言中也有當(dāng)型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結(jié)構(gòu)。即WHILE語句和UNTIL語句。1、WHILE語句

（1）WHILE語句的一般格式是對應(yīng)的程序框圖是

循環(huán)體WHILE條件循環(huán)體WEND滿足條件？否是（2）當(dāng)計算機遇到WHILE語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個過程反復(fù)進行，直到某一次條件不符合為止。這時，計算機將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語句后，接著執(zhí)行WEND之后的語句。因此，當(dāng)型循環(huán)有時也稱為“前測試型”循環(huán)。2、UNTIL語句

（1）UNTIL語句的一般格式是對應(yīng)的程序框圖是

24

DO循環(huán)體LOOPUNTIL條件循環(huán)體滿足條件？是否（2）直到型循環(huán)又稱為“后測試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析，計算機執(zhí)行該語句時，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進行條件的判斷，這個過程反復(fù)進行，直到某一次條件滿足時，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOPUNTIL語句后執(zhí)行其他語句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進行條件判斷的循環(huán)語句。分析：當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：（先由學(xué)生討論再歸納）（1）當(dāng)型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；

在WHILE語句中，是當(dāng)條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語句中，是當(dāng)條件不滿足時執(zhí)行循環(huán)

1.3.1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)

1、輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：（1）：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)則用除數(shù)

S0和一個余數(shù)R0；RR（2）：若0＝0，則n為m，n的最大公約數(shù)；若0R0得到一個商S1和一個余數(shù)R1；RRR（3）：若1＝0，則1為m，n的最大公約數(shù)；若1≠0，

R0除以余數(shù)R1得到一個商S2和一個余數(shù)R2；依次計算直至Rn＝0，此時所得到的Rn1即為所

求的最大公約數(shù)。2、更相減損術(shù)

我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。

翻譯為：（1）：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。（2）：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。

例2用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).分析：（略）

3、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別：

（1）都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少，特別當(dāng)兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯。

（2）從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到

1.3.2秦九韶算法與排序

1、秦九韶算法概念：

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值問題

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0

=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)依次多項式的值，即v1=anx+an-1然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0

這樣，把n次多項式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個一次多項式的值的問題。2、兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是讀一個，排一個。將第１個數(shù)放入數(shù)組的第１個元素中，以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進行比較，確定它在從大到小的排列中應(yīng)處的位置．將該位置以及以后的元素向后推移一個位置，將讀入的新數(shù)填入空出的位置中．（由于算法簡單，可以舉例說明）2、冒泡排序

基本思想：依次比較相鄰的兩個數(shù),把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個數(shù)和第2個數(shù),大數(shù)放前,小數(shù)放后.然后比較第2個數(shù)和第3個數(shù)......直到比較最后兩個數(shù).第一趟結(jié)束,最小的一定沉到最后.重復(fù)上過程,仍從第1個數(shù)開始,到最后第2個數(shù)......由于在排序過程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當(dāng)氣泡上升,所以叫冒泡排序.

1.3.3進位制

1、概念：進位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值�？墒褂脭�(shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進位制，簡稱n進制�，F(xiàn)在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進行記數(shù)。對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數(shù)57，可以用二進制表示為111001，也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。

一般地，若k是一個大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進制可以表示為：

anan1...a1a0(k)(0ank,0an1,...,a1,a0k)，

而表示各種進位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進制數(shù),34(5)表示5進制數(shù)

第二章統(tǒng)計

2.1.1簡單隨機抽樣

1．總體和樣本

在統(tǒng)計學(xué)中,把研究對象的全體叫做總體．把每個研究對象叫做個體．把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量．

為了研究總體的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機抽取一部分：，，，

研究，我們稱它為樣本．其中個體的個數(shù)稱為樣本容量．

2．簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨

機地抽取調(diào)查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法。3．簡單隨機抽樣常用的方法：

（1）抽簽法；隨機數(shù)表法；計算機模擬法；使用統(tǒng)計軟件直接抽取。

在簡單隨機抽樣的樣本容量設(shè)計中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。

4．抽簽法:

（1）給調(diào)查對象群體中的每一個對象編號；（2）準備抽簽的工具，實施抽簽

（3）對樣本中的每一個個體進行測量或調(diào)查

例：請調(diào)查你所在的學(xué)校的學(xué)生做喜歡的體育活動情況。5．隨機數(shù)表法：

例：利用隨機數(shù)表在所在的班級中抽取10位同學(xué)參加某項活動。

2.1.2系統(tǒng)抽樣

1．系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機械抽樣）：

把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。

K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）

前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應(yīng)是隨機的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分布。可以在調(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。

2．系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計精度。

2.1.3分層抽樣

1．分層抽樣（類型抽樣）：

先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟�，然后再在各個類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。

兩種方法：

1．先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。

2．先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。

2．分層抽樣是把異質(zhì)性較強的總體分成一個個同質(zhì)性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。

分層標準：

（1）以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標準。

（2）以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強、各層之間異質(zhì)性強、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。（3）以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。3．分層的比例問題：

（1）按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。

（2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實際的比例結(jié)構(gòu)。

2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

1、本均值：xx1x2xnn2

(x1x)2(x2x)2(xnx)22、．樣本標準差：ssn

3．用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。

雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正的分布、均值和標準差，而只是一個估計，但這種估計是合理的，特別是當(dāng)樣本量很大時，它們確實反映了總體的信息。

4．（1）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個共同的常數(shù)，標準差不變（2）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)乘以一個共同的常數(shù)k，標準差變?yōu)樵瓉淼膋倍（3）一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標準差的影響，區(qū)間(x3s,x3s)的應(yīng)用；“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學(xué)道理

2.3.2兩個變量的線性相關(guān)

1、概念:

（1）回歸直線方程（2）回歸系數(shù)2．最小二乘法

3．直線回歸方程的應(yīng)用

（1）描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數(shù)量關(guān)系

（2）利用回歸方程進行預(yù)測；把預(yù)報因子（即自變量x）代入回歸方程對預(yù)報量（即因變量Y）進行估計，即可

得到個體Y值的容許區(qū)間。

（3）利用回歸方程進行統(tǒng)計控制規(guī)定Y值的變化，通過控制x的范圍來實現(xiàn)統(tǒng)計控制的目標。如已經(jīng)得到了空

氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。4．應(yīng)用直線回歸的注意事項

（1）做回歸分析要有實際意義；（2）回歸分析前,最好先作出散點圖；（3）回歸直線不要外延。

第三章概率

3.1.13.1.2隨機事件的概率及概率的意義

1、基本概念：

（1）必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；

（4）隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；

（5）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA

nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=n為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次

數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。

nA（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗總次數(shù)n的比值n，它具有一定的

穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率

3.1.3概率的基本性質(zhì)

1、基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱事件A與事件B互斥；

（3）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；

（4）當(dāng)事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)2、概率的基本性質(zhì)：

1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；2）當(dāng)事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；

3）若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)；4）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不

同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形；（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。

3.2.13.2.2古典概型及隨機數(shù)的產(chǎn)生

1、（1）古典概型的使用條件：試驗結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。（2）古典概型的解題步驟；①求出總的基本事件數(shù)；

②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式P（A）=

A包含的基本事件數(shù)總的基本事件個數(shù)

3.3.13.3.2幾何概型及均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生

1、基本概念：

（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；（2）幾何概型的概率公式：

構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）的區(qū)域長度（面積或體積）P（A）=試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成；

（2）幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相

等．

高中數(shù)學(xué)必修4知識點

第一章三角函數(shù)

正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

k360k36090,k

第二象限角的集合為k36090k360180,k

第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k

第一象限角的集合為

終邊在

y軸上的角的集合為k18090,k

k90,k

3、與角終邊相同的角的集合為k360,k

終邊在坐標軸上的角的集合為

4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．

5、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，則角的弧度數(shù)的絕對值是

lr．

1806、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．1807、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長為l，周長為C，面積為S，則lr，C2rl，

x,y，它與原點的距離是rr11Slrr2．

228、設(shè)是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標是則sinx2y20yPTOMA，

yxy，cos，tanx0．rrx9、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．10、三角函數(shù)線：sin11

、角

，cos，tan．

角函數(shù)

2x三的基本關(guān)系：；1sin2cos212sintancossin1cos2,cos21sin2sinsintancos,cos．

tan12、函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限．

5sincos，cossin．6sincos，cossin．2222口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．13、①的圖象上所有點向左（右）平移

個單位長度，得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的

1倍（縱坐標不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)

（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)ysinxysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長的圖象．

②數(shù)

ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的

ysinx1倍（縱坐標不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點向左（右）平移

個單位長度，得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐

標不變），得到函數(shù)14、函數(shù)

ysinx的圖象．

ysinx0,0的性質(zhì)：

2①振幅：；②周期：函數(shù)

；③頻率：

f12；④相位：x；⑤初相：．

；當(dāng)

ysinx，當(dāng)xx1時，取得最小值為ymin1ymaxy2xx2時，取得最大值為ymax，則

ymaxymin，min，12x2x1x1x2．215、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

性質(zhì)函數(shù)ysinxycosxytanx圖象定義域RRxxk,k2R值域1,1當(dāng)1,1當(dāng)x2kx2k2k時，2k時，既無最大值也無最小值最值ymax1；當(dāng)x2kymax1；當(dāng)x2kk時，ymin1．周期性奇偶性k時，ymin1．22奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)在2k,2k22在k上是增函數(shù)；在單調(diào)性2k,2kk上是2k,2k在k增函數(shù)；在2,k232k,2k22k上是減函數(shù)．k上是增函數(shù)．k上是減函數(shù)．對稱中心對稱性對稱軸xk,0kk2對稱中心k對稱軸xkk,0k2對稱中心無對稱軸k,0k2k第二章平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量．?dāng)?shù)量：只有大小，沒有方向的量．有向線段的三要素：起點、方向、長度．零向量：長度為0的向量．單位向量：長度等于1個單位的向量．

平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．17、向量加法運算：

三角形法則的特點：首尾相連．平行四邊形法則的特點：共起點．三角形不等式：

ababab．

運算性質(zhì)：①交換律：abba；

②結(jié)合律：

abcabc；③a00aa．

Ca

坐標運算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

18、向量減法運算：

三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量．

b

坐標運算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．設(shè)、兩點的坐標分別為x1,y1，x2,y2，則x1x2,y1y2．

19、向量數(shù)乘運算：

實數(shù)與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作a．①

abCC

aa；

②當(dāng)0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時，a0．

運算律：①aa；②aaa；③abab．

坐標運算：設(shè)ax,y，則ax,yx,y．

20、向量共線定理：向量aa0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使ba．

設(shè)ax1,y1，bx2,y2，其中b0，則當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時，向量a、bb0共線．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有

一對實數(shù)1、2，使a1e12e2．（不共線的向量e1、e2作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）

22、分點坐標公式：設(shè)點是線段12上的一點，1、2的坐標分別是x1,y1，x2,y2，當(dāng)12時，

點的坐標是x1x2y1y2時，就為中點公式。）（當(dāng)1,．

1123、平面向量的數(shù)量積：

ababcosa0,b0,0180．零向量與任一向量的數(shù)量積為0．

；當(dāng)a與b反向時，

性質(zhì)：設(shè)a和b都是非零向量，則①abab0．②當(dāng)a與b同向時，abababab22；aaaa或aaa．③

abab．

運算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

坐標運算：設(shè)兩個非零向量ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y2．

若

ax,y，則

2ax2y21，或

ax2y2．設(shè)

ax1,y1，

bx2,y2，則

ab1x2xa．y20y，

設(shè)、b都是非零向量，ax1,y1x1x2y1y2abcos．

2222abx1y1x2y2bx2,y2，

是

a與

b的夾角，則

第三章三角恒等變換

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：cossincoscossinsin；coscoscossinsin；

sincoscossin；sinsincoscossin；tantan（tantantan1tantan）；

1tantantantantantan（tantantan1tantan）．

1tantan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin2cos22sincos．1sin2sin2cos22sincos(sincos)2

cos2sin22cos2112sin2

升冪公式1cos2cos222cos211cos22，sin降冪公式cos22226、

,1cos2sin2．

萬能公式:αα2tan1tan22;cosα2sinααα1tan21tan2222tantan2．21tan27、

半角公式:α1cosαα1cosαcos;sin2222

α1cosαsinα1cosαtan21cosα1cosαsinα

（后兩個不用判斷符號，更加好用）

yAsin(x)B形式。

28、合一變形把兩個三角函數(shù)的和或差化為“一個三角函數(shù)，一個角，一次方”的

sincos22sin，其中tan算，化簡的方法和技能．常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：

．29、三角變換是運算化簡的過程中運用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會創(chuàng)設(shè)條件，靈活運用三角公式，掌握運（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互

補，互余的關(guān)系，運用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問題獲解，對角的變形如：①2是的二倍；4是2的二倍；是

2的二倍；

2是

4的二倍；

30o②15453060452ooooo；問：sin12；cos12；

③()；④

42(4)；

⑤2()()(4)(4)；等等

（2）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通常化切為弦，

變異名為同名。

（3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運算，求值，證明中，有時需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1”的代換變形有：

1sin2cos2tancotsin90otan45o

（4）冪的變換：降冪是三角變換時常用方法，對次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法。常用降冪公式

有：；。降冪并非絕對，有時需要升冪，如對無理式為有理式，常用升冪公式有：；；

（5）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應(yīng)用。如：

1cos常用升冪化

1tan_______________1tan；

1tan______________1tan；

tantan____________；1tantan___________；tantan____________；1tantan___________；2tan；1tan2；

tan20otan40o3tan20otan40o；

sincos=；

asinbcos=；（其中tan；）

1cos；1cos；

（6）三角函數(shù)式的化簡運算通常從：“角、名、形、冪”四方面入手；

基本規(guī)則是：見切化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無理化有理，特殊值與特殊角的

三角函數(shù)互化。

如：sin50o(13tan10o)；

tancot。

高中數(shù)學(xué)必修5知識點第一章解三角形

（一）解三角形：

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，，則有(R為C的外接圓的半徑)2、正弦定理的變形公式：①a②sinabc2RsinsinsinC2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc；③a:b:csin:sin:sinC；

，sin，sinC2R2R2RC3、三角形面積公式：S111bcsinabsinCacsin．2222222b2c22bccos，推論：cosbca4、余弦定理：在C中，有a2bc

1.數(shù)列的有關(guān)概念：

第二章數(shù)列

（1）數(shù)列：按照一定次序排列的一列數(shù)。數(shù)列是有序的。數(shù)列是定義在自然數(shù)N*或它的有限子集{1,2,3,,n}

上的函數(shù)。

（2）通項公式：數(shù)列的第n項an與n之間的函數(shù)關(guān)系用一個公式來表示，這個公式即是該數(shù)列的通項公式。

如:

an2n21。

（3）遞推公式：已知數(shù)列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與他的前一項an-1（或前幾項）可以用一個公

式來表示，這個公式即是該數(shù)列的遞推公式。如:

a11,a22,anan1an2(n2)。

2．?dāng)?shù)列的表示方法：

（1）列舉法：如1，3，5，7，9，…（2）圖象法：用（n,an）孤立點表示。（3）解析法：用通項公式表示。（4）遞推法：用遞推公式表示。

3．?dāng)?shù)列的分類：

有窮數(shù)列按項數(shù)無窮數(shù)列4．?dāng)?shù)列{an}及前n項和之間的關(guān)系:

常數(shù)列:an2n遞增數(shù)列:an2n1,an2

按單調(diào)性2遞減數(shù)列:ann1擺動數(shù)列:a(1)n2nnS1,(n1)Sna1a2a3ananSnSn1,(n2)5．等差數(shù)列與等比數(shù)列對比小結(jié)：一、定義等差數(shù)列等比數(shù)列anan1d(n2)1．a(chǎn)na1n1danq(n2)an11．a(chǎn)na1qn1二、公式anamnmd,nm2．Snanamqnm,(nm)2．nn1na1anna1d22na1q1Sna11qnaaqn1q11q1q21．a(chǎn),b,c成等差2bac，稱b為a與c的等差中項三、性質(zhì)2．若mn1．a(chǎn),b,c成等比bac，稱b為a與c的等比中項*pq（m、n、p、q*），2．若mnpq（m、n、p、q），則amanapaq則amanapaq3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等差數(shù)列3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列第三章不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

2、不等式的性質(zhì)：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

nn⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0abn,n1；

⑧ab0nanbn,n1．

小結(jié)：代數(shù)式的大小比較或證明通常用作差比較法：作差、化積（商）、判斷、結(jié)論。在字母比較的選擇或填空題中，常采用特值法驗證。3、一元二次不等式解法：（1）化成標準式：ax2（2）求出對應(yīng)的一元二次方程的根；bxc0,(a0)；

37

（3）畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象；（4）根據(jù)不等號方向取出相應(yīng)的解集。線性規(guī)劃問題：

1．了解線性約束條件、目標函數(shù)、可行域、可行解、最優(yōu)解

2．線性規(guī)劃問題：求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題．3．解線性規(guī)劃實際問題的步驟：

（1）將數(shù)據(jù)列成表格；（2）列出約束條件與目標函數(shù)；（3）根據(jù)求最值方法：①畫：畫可行域；②移：移與目標函數(shù)一致的平行直線；③求：求最值點坐標；④答；求最值；（4）驗證。兩類主要的目標函數(shù)的幾何意義:①zaxby-----直線的截距；②z(xa)2(yb)2-----兩點的距離或圓的半徑；

0，b0，則ab2ab，即abab．

2ab；aba0,b0224、均值定理：若aab稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)．25、均值定理的應(yīng)用：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有

若x若xyys（和為定值），則當(dāng)xy時，積xy取得最大值

s2．4p（積為定值），則當(dāng)xy時，和xy取得最小值2p．

注意：在應(yīng)用的時候，必須注意“一正二定三等”三個條件同時成立。

《201*年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)系列》高中數(shù)學(xué)選修修1－1知識點

第一章：命題與邏輯結(jié)構(gòu)知識點：

1、命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.2、“若p，則q”形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.

3、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，則這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆命題.若原命題為“若p，則q”，它的逆命題為“若q，則p”.

4、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則這兩個命題稱為互否命題.中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若p，則q”.

5、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，則這兩個命題稱為互為逆否命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的逆否命題為“若q，則p”.6、四種命題的真假性：原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真真假假假假四種命題的真假性之間的關(guān)系：1兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

2兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．

7、若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．

若pq，則p是q的充要條件（充分必要條件）．

8、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個新命題，記作pq．

當(dāng)p、q都是真命題時，pq是真命題；當(dāng)p、q兩個命題中有一個命題是假命題時，pq是假命題．

用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個新命題，記作pq．當(dāng)p、q兩個命題中有一個命題是真命題時，pq是真命題；當(dāng)p、q兩個命題都是假命題時，pq是假命題．

對一個命題p全盤否定，得到一個新命題，記作p．

若p是真命題，則p必是假命題；若p是假命題，則p必是真命題．

9、短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表示．含有全稱量詞的命題稱為全稱命題．

全稱命題“對中任意一個x，有px成立”，記作“x，px”．短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“”表示．含有存在量詞的命題稱為特稱命題．

特稱命題“存在中的一個x，使px成立”，記作“x，px”．

10、全稱命題p：x，px，它的否定p：x，px．全稱命題的否定是特稱命題．

考點：1、充要條件的判定2、命題之間的關(guān)系

★1．命題“對任意的xR，xx1≤0”的否定是（）A．不存在xR，xx1≤0C．存在xR，xx10

323232B．存在xR，xx1≤0D．對任意的xR，xx10

3232

★2、給出命題：若函數(shù)y=f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象不過第四象限，在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數(shù)是(A)3

(B)2

(C)1

(D)0

★3.已知α，β表示兩個不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“”是“m”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

第二章：圓錐曲線知識點：

1、平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡稱為橢圓．這兩個定

點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距．2、橢圓的幾何性質(zhì)：焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形39

標準方程x2y221ab02abaxa且byby2x221ab02abbxb且aya范圍1a,0、2a,0頂點10,a、20,a1b,0、2b,0F10,c、F20,c10,b、20,b軸長焦點焦距對稱性離心率短軸的長2b長軸的長2aF1c,0、F2c,0F1F22cc2a2b2關(guān)于x軸、y軸、原點對稱cb2e120e1aaa2xca2yc準線方程3、設(shè)是橢圓上任一點，點到F1對應(yīng)準線的距離為d1，點到F2對應(yīng)準線的距離為d2，則

F1d1F2d2e．

4、平面內(nèi)與兩個定點F（小于F的點的軌跡稱為雙曲線．這1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)1F2）兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距．5、雙曲線的幾何性質(zhì)：焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程x2y221a0,b02abxa或xa，yRy2x221a0,b02abya或ya，xR范圍頂點軸長1a,0、2a,010,a、20,a虛軸的長2b實軸的長2a40

焦點焦距對稱性離心率F1c,0、F2c,0F10,c、F20,cF1F22cc2a2b2關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱cb2e12e1aaa2xcybxa準線方程a2ycyaxb漸近線方程6、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．

7、設(shè)是雙曲線上任一點，點到F1對應(yīng)準線的距離為d1，點到F2對應(yīng)準線的距離為d2，則

F1d1F2d2e．

8、平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線．定點F稱為拋物線的焦點，定直線l稱為拋物線的準線．9、拋物線的幾何性質(zhì)：y22px標準方程y22pxx22pyx22pyp0圖形頂點p0p0p00,0x軸pF,02xp2y軸對稱軸焦點pF,02xp2pF0,2yp2pF0,2yp2準線方程離心率e1范圍x0x041

y0y10、過拋物線的焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于、兩點的線段，稱為拋物線的“通徑”，即

2p．

考點：1、圓錐曲線方程的求解

2、直線與圓錐曲線綜合性問題3、圓錐曲線的離心率問題

典型例題：★★1．設(shè)O是坐標原點，F(xiàn)是拋物線y22px(p0)的焦點，A是拋物線上的一點，

FA與x軸正向的夾角為60，則OA為（）

A．

21p4B．

21p2C．

13p6

D．

13p36★★2．與直線xy20和曲線x2y212x12y540都相切的半徑最小的圓的標準方程

是．

★★★3．（本小題滿分14分）已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為

1．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若直線l:ykxm與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圖過橢圓C的右頂點．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

第三章：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識點：

1、若某個問題中的函數(shù)關(guān)系用fx表示，問題中的變化率用式子

fx2fx1

x2x1fx2fx1f表示，則式子稱為函數(shù)fx從x1到x2的平均變化率．xx2x1fx2fx1f，則稱它為函數(shù)yfx在limx0xx2x12、函數(shù)fx在xx0處的瞬時變化率是limx0xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作fx0或yxx0，即

fx0limfx0xfx0．

xx03、函數(shù)yfx在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線yfx在點x0,fx0處的切線的斜率．曲線yfx在點x0,fx0處的切線的斜率是fx0，切線的方程為

若函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)不存在，則說明斜率不存在，切線的方程為xx0．yfx0fx0xx0．

4、若當(dāng)x變化時，fx是x的函數(shù)，則稱它為fx的導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)數(shù)），記作fx或y，即

fxylimx0fxxfx．

x5、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

1若fxc，則fx0；2若fxxnxQ*，則fxnxn1；3若fxsinx，則fxcosx；4若fxcosx，則fxsinx；5若fxax，則fxaxlna；6若fxex，則fxex；7若fxlogax，則fxxlna；8若fxlnx，則fxx．

6、導(dǎo)數(shù)運算法則：

11fxgx；fxgx12fxgxfxgxfxgx；

fxfxgxfxgxgx0．3gx2gx7、對于兩個函數(shù)yfu和ugx，若通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，則稱這個函數(shù)為函數(shù)yfu和ufx的復(fù)合函數(shù)，記作yfgx．

復(fù)合函數(shù)yfgx的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)yfu，ugx的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系是

yxyuux．

8、在某個區(qū)間a,b內(nèi)，若fx0，則函數(shù)yfx在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若fx0，則函數(shù)yfx在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．

9、點a稱為函數(shù)yfx的極小值點，fa稱為函數(shù)yfx的極小值；點b稱為函數(shù)yfx的極大值點，fb稱為函數(shù)yfx的極大值．極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．

10、求函數(shù)yfx的極值的方法是：解方程fx0．當(dāng)fx00時：

1如果在x0附近的左側(cè)fx0，右側(cè)fx0，那么fx0是極大值；2如果在x0附近的左側(cè)fx0，右側(cè)fx0，那么fx0是極小值．

11、求函數(shù)yfx在a,b上的最大值與最小值的步驟是：

1求函數(shù)yfx在a,b內(nèi)的極值；

2將函數(shù)yfx的各極值與端點處的函數(shù)值fa，fb比較，其中最大的一個是最大值，最小

的一個是最小值．

考點：1、導(dǎo)數(shù)在切線方程中的應(yīng)用

2、導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性中的應(yīng)用3、導(dǎo)數(shù)在極值、最值中的應(yīng)用4、導(dǎo)數(shù)在恒成立問題中的應(yīng)用

典型例題

32f(x)xax3x9，已知f(x)在x3時取得極值，則a=（）★1.（05全國卷Ⅰ）函數(shù)

A．2B.3C.4D.5

★2．函數(shù)y2x33x212x5在[0,3]上的最大值與最小值分別是（）A.5,-15B.5,4C.-4,-15D.5,-16★★★3.（根據(jù)04年天津卷文21改編）已知函數(shù)時f(x)取得極值－2.

（1）試求a、c、d的值；（2）求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；

2x132f(x)xeaxbx★★★4.（根據(jù)山東201*年文21改編）設(shè)函數(shù)，已知x2和x1為f(x)f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x1的極值點。（1）求a,b的值；（2）討論f(x)的單調(diào)性；

高中數(shù)學(xué)選修1-2知識點總結(jié)

第一章統(tǒng)計案例

第一課時1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（一）

教學(xué)要求：通過典型案例的探究，進一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應(yīng)用.

教學(xué)重點：了解線性回歸模型與函數(shù)模型的差異，了解判斷刻畫模型擬合效果的方法－相關(guān)指數(shù)和殘差分析.

教學(xué)難點：解釋殘差變量的含義，了解偏差平方和分解的思想.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準備：

1.提問：“名師出高徒”這句彥語的意思是什么？有名氣的老師就一定能教出厲害的學(xué)生嗎？這兩者之

間是否有關(guān)？

2.復(fù)習(xí)：函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法，其步驟：收集數(shù)據(jù)作散點圖求回歸直線方程利用方程進行預(yù)報.二、講授新課：1.教學(xué)例題：

①例1從某大學(xué)中隨機選取8名女大學(xué)生，其身高和體重數(shù)據(jù)如下表所示：編號身高/cm1165216557315750417054517564616561715543817059體重/kg48求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報她的體重的回歸方程，并預(yù)報一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重.（分析思路教師演示學(xué)生整理）

80

155160165身高/cm170175180體重/kg6040201*50

第一步：作散點圖第二步：求回歸方程第三步：代值計算

②提問：身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？不一定，但一般可以認為她的體重在60.316kg左右.③解釋線性回歸模型與一次函數(shù)的不同

事實上，觀察上述散點圖，我們可以發(fā)現(xiàn)女大學(xué)生的體重y和身高x之間的關(guān)系并不能用一次函數(shù)

ybxa來嚴格刻畫（因為所有的樣本點不共線，所以線性模型只能近似地刻畫身高和體重的關(guān)系）.

在數(shù)據(jù)表中身高為165cm的3名女大學(xué)生的體重分別為48kg、57kg和61kg，如果能用一次函數(shù)來描述體重與身高的關(guān)系，那么身高為165cm的3名女在學(xué)生的體重應(yīng)相同.這就說明體重不僅受身高的影響還受其他因素的影響，把這種影響的結(jié)果e（即殘差變量或隨機變量）引入到線性函數(shù)模型中，得到線性回歸模型ybxae，其中殘差變量e中包含體重不能由身高的線性函數(shù)解釋的所有部分.當(dāng)殘差變量恒等于0時，線性回歸模型就變成一次函數(shù)模型.因此，一次函數(shù)模型是線性回歸模型的特殊形式，線性回歸模型是一次函數(shù)模型的一般形式.

2.相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，兩個變量的線性相關(guān)關(guān)系越強，它們的散點圖越接近一條直線，這時用線性回歸模型擬合這組數(shù)據(jù)就越好，此時建立的線性回歸模型是有意義.3.小結(jié)：求線性回歸方程的步驟、線性回歸模型與一次函數(shù)的不同.

第二課時1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（二）

教學(xué)要求：通過典型案例的探究，進一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應(yīng)用.教學(xué)重點：了解評價回歸效果的三個統(tǒng)計量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和.教學(xué)難點：了解評價回歸效果的三個統(tǒng)計量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準備：

1．由例1知，預(yù)報變量（體重）的值受解釋變量（身高）或隨機誤差的影響.

2．為了刻畫預(yù)報變量（體重）的變化在多大程度上與解釋變量（身高）有關(guān)？在多大程度上與隨機誤差有關(guān)？我們引入了評價回歸效果的三個統(tǒng)計量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和.二、講授新課：

1.教學(xué)總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和：

（1）總偏差平方和：所有單個樣本值與樣本均值差的平方和，即SST(yiy)2.

i1nyi)2.殘差平方和：回歸值與樣本值差的平方和，即SSE(yii1nyiy)2.回歸平方和：相應(yīng)回歸值與樣本均值差的平方和，即SSR(i1n（2）學(xué)習(xí)要領(lǐng)：①注意yi、yi、y的區(qū)別；②預(yù)報變量的變化程度可以分解為由解釋變量引起的變化

yi)2(yiy)2；③當(dāng)總偏差平方和相對程度與殘差變量的變化程度之和，即(yiy)(yi2i1i1i1nnn固定時，殘差平方和越小，則回歸平方和越大，此時模型的擬合效果越好；④對于多個不同的模型，我

們還可以引入相關(guān)指數(shù)R21(yi1ni1niyi)2來刻畫回歸的效果，它表示解釋變量對預(yù)報變量變化的貢

(y2.教學(xué)例題：

例2關(guān)于x與Y有如下數(shù)據(jù)：xy2304iy)2獻率.R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合的效果越好.

56065087040為了對x、Y兩個變量進行統(tǒng)計分析，現(xiàn)有以下兩種線性模型：y6.5x17.5，y7x17，試比較哪一個模型擬合的效果更好.

分析：既可分別求出兩種模型下的總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和，也可分別求出兩種模型下的相關(guān)指數(shù)，然后再進行比較，從而得出結(jié)論.（答案：R121yi)2(yi5(yy)ii1i15215510.845，R2211000y)(yii52(yy)ii1i15121800.82，84.5%＞82%，所以甲選用的模型1000擬合效果較好.）

3.小結(jié)：分清總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和，初步了解如何評價兩個不同模型擬合效果的好壞.

第三課時1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（三）

教學(xué)要求：通過典型案例的探究，進一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應(yīng)用.

教學(xué)重點：通過探究使學(xué)生體會有些非線性模型通過變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，了解在解決實際問題的過程中尋找更好的模型的方法.

教學(xué)難點：了解常用函數(shù)的圖象特點，選擇不同的模型建模，并通過比較相關(guān)指數(shù)對不同的模型進行比較.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準備：

1.給出例3：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于下表中，試建立y與x之間的回歸方程.

溫度x/C2123112521272429663211535325產(chǎn)卵數(shù)y/個7（學(xué)生描述步驟，教師演示）2.討論：觀察右圖中的散點圖，發(fā)現(xiàn)樣本點并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi)，即兩個變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系.

二、講授新課：

1.探究非線性回歸方程的確定：

①如果散點圖中的點分布在一個直線狀帶形區(qū)域，可以

產(chǎn)卵數(shù)350300250201*5010050001020溫度3040選線性回歸模型來建模；如果散點圖中的點分布在一個曲線狀帶形區(qū)域，就需選擇非線性回歸模型來建模.

②根據(jù)已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y=C1eC2x的周圍（其中c1,c2是待定的參數(shù)），故可用指數(shù)函數(shù)模型來擬合這兩個變量.

③在上式兩邊取對數(shù)，得lnyc2xlnc1，再令zlny，則zc2xlnc1，而z與x間的關(guān)系如下：觀察z與x的散點圖，可以發(fā)現(xiàn)變換后樣本點分布在一條直

7Xz

47

654321001020x3040212325272932351.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784z線的附近，因此可以用線性回歸方程來擬合.

0.272x3.843，因此紅鈴蟲④利用計算器算得a3.843,b0.272，z與x間的線性回歸方程為z的產(chǎn)卵數(shù)對溫度的非線性回歸方程為ye0.272x3.843.

⑤利用回歸方程探究非線性回歸問題，可按“作散點圖建模確定方程”這三個步驟進行.其關(guān)鍵在于如何通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，將非線性回歸問題轉(zhuǎn)化成線性回歸問題.2.小結(jié)：用回歸方程探究非線性回歸問題的方法、步驟.三、鞏固練習(xí)：

為了研究某種細菌隨時間x變化，繁殖的個數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下：

天數(shù)x/天12123254495956190繁殖個數(shù)y/個6

（1）用天數(shù)作解釋變量，繁殖個數(shù)作預(yù)報變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點圖；

=e0.69x1.112.）（2）試求出預(yù)報變量對解釋變量的回歸方程.（答案：所求非線性回歸方程為y第四課時1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（四）

教學(xué)要求：通過典型案例的探究，進一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應(yīng)用.

教學(xué)重點：通過探究使學(xué)生體會有些非線性模型通過變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，了解在解決實際問題的過程中尋找更好的模型的方法，了解可用殘差分析的方法，比較兩種模型的擬合效果.

教學(xué)難點：了解常用函數(shù)的圖象特點，選擇不同的模型建模，并通過比較相關(guān)指數(shù)對不同的模型進行比較.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準備：

1.提問：在例3中，觀察散點圖，我們選擇用指數(shù)函數(shù)模型來擬合紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x間的關(guān)系，還可用其它函數(shù)模型來擬合嗎？

400300201*0000500t10001500

t441y752962511217298411024122524661153252.討論：能用二次函數(shù)模型yc3x2c4來擬合上述兩個變量間的關(guān)系嗎？（令tx2，則yc3tc4，此時y與t間的關(guān)系如下：

觀察y與t的散點圖，可以發(fā)現(xiàn)樣本點并不分布在一條直線的周圍，因此不宜用線性回歸方程來擬合它，即不宜用二次曲線yc3x2c4來擬合y與x之間的關(guān)系.）小結(jié)：也就是說，我們可以通過觀察變換后的散點圖來判斷能否用此種模型來擬合.事實上，除了觀察散點圖以外，我們也可先求出函數(shù)模型，

48

y然后利用殘差分析的方法來比較模型的好壞.二、講授新課：1.教學(xué)殘差分析：

y①殘差：樣本值與回歸值的差叫殘差，即eyi.ii②殘差分析：通過殘差來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析.

③殘差圖：以殘差為橫坐標，以樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等為橫坐標，作出的圖形稱為殘差圖.觀察殘差圖，如果殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報精度越高.2.例3中的殘差分析：計算兩種模型下的殘差

一般情況下，比較兩個模型的殘差比較困難（某些樣本點上一個模型的殘差的絕對值比另一個模型的小，而另一些樣本點的情況則相反），故通過比較兩個模型的殘差的平方和的大小來判斷模型的擬合效果.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好.

由于兩種模型下的殘差平方和分別為1450.673和15448.432，故選用指數(shù)函數(shù)模型的擬合效果遠遠優(yōu)于選用二次函數(shù)模型.（當(dāng)然，還可用相關(guān)指數(shù)刻畫回歸效果）3.小結(jié)：殘差分析的步驟、作用三、鞏固練習(xí)：練習(xí)：教材P13第1題

第一課時1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用（一）

教學(xué)要求：通過探究“吸煙是否與患肺癌有關(guān)系”引出獨立性檢驗的問題，并借助樣本數(shù)據(jù)的列聯(lián)表、柱形圖和條形圖展示在吸煙者中患肺癌的比例比不吸煙者中患肺癌的比例高，讓學(xué)生親身體驗獨立性檢驗的實施步驟與必要性.

教學(xué)重點：理解獨立性檢驗的基本思想及實施步驟.

教學(xué)難點：了解獨立性檢驗的基本思想、了解隨機變量K2的含義.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準備：

回歸分析的方法、步驟，刻畫模型擬合效果的方法（相關(guān)指數(shù)、殘差分析）、步驟.二、講授新課：

1.教學(xué)與列聯(lián)表相關(guān)的概念：

①分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別的變量稱為分類變量.分類變量的取值一定

是離散的，而且不同的取值僅表示個體所屬的類別，如性別變量，只取男、女兩個值，商品的等級變量只取一級、二級、三級，等等.分類變量的取值有時可用數(shù)字來表示，但這時的數(shù)字除了分類以外沒有其他的含義.如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”.②列聯(lián)表：分類變量的匯總統(tǒng)計表（頻數(shù)表）.一般我們只研究每個分類變量只取兩個值，這樣的列聯(lián)表稱為22.如吸煙與患肺癌的列聯(lián)表：

2.教學(xué)三維柱形圖和二維條形圖的概念：

由列聯(lián)表可以粗略估計出吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性

存在差異.（教師在課堂上用EXCEL軟件演示三維柱形圖和二維條形圖，引導(dǎo)學(xué)生觀察這兩類圖形的特征，并分析由圖形得出的結(jié)論）3.獨立性檢驗的基本思想：

①獨立性檢驗的必要性（為什么中能只憑列聯(lián)表的數(shù)據(jù)和圖形下結(jié)論？）：列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是樣本數(shù)據(jù)，它只是總體的代表，具有隨機性，故需要用列聯(lián)表檢驗的方法確認所得結(jié)論在多大程度上適用于總體.②獨立性檢驗的步驟（略）及原理（與反證法類似）：反證法要證明結(jié)論A假設(shè)檢驗備擇假設(shè)H1不吸煙吸煙總計不患肺癌患肺癌總計777520999874424991781721489965在A不成立的前提下進行推理在H1不成立的條件下，即H0成立的條件下進行推理推出矛盾，意味著結(jié)論A成立推出有利于H1成立的小概率事件（概率不超過的事件）發(fā)生，意味著H1成立的可能性（可能性為（1－））很大沒有找到矛盾，不能對A下任何結(jié)論，即反證法不成功③上例的解決步驟第一步：提出假設(shè)檢驗問題H0：吸煙與患肺癌沒有關(guān)系H1：吸煙與患肺癌有關(guān)系

推出有利于H1成立的小概率事件不發(fā)生，接受原假設(shè)n(adbc)2第二步：選擇檢驗的指標K（它越小，原假設(shè)“H0：吸煙與患肺癌

(ab)(cd)(ac)(bd)2沒有關(guān)系”成立的可能性越大；它越大，備擇假設(shè)“H1：吸煙與患肺癌有關(guān)系”成立的可能性越大.第三步：查表得出結(jié)論

P(k2>k)0.500.400.25k0.150.100.050.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.830.4550.7081.3232.0722.7063.84第二課時1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用（二）

教學(xué)要求：通過探究“吸煙是否與患肺癌有關(guān)系”引出獨立性檢驗的問題，并借助樣本數(shù)據(jù)的列聯(lián)表、柱形圖和條形圖展示在吸煙者中患肺癌的比例比不吸煙者中患肺癌的比例高，讓學(xué)生親身體驗獨立性檢驗的實施步驟與必要性.

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