高中數(shù)學必修2第二單元知識點整理總結1

2.1空間點、直線、平面之間的位置關系

2.1.1平面

判定直線在平面內：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這兩條直線在此平面內。確定一個平面：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面推論1：一個直線外的點與一條直線確定一個平面推論2：兩條相交直線確定一個平面推論3：兩條平行直線確定一個平面

公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

2.1.2空間中直線與直線的位置關系

判斷直線與直線平行：平行于同一條直線的兩直線互相平行（平行的傳遞性）等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。異面直線垂直：如果兩條異面直線所成角是直角，那么這兩條線互相垂直。異面直線所成角不大于90度!

2.1.3空間中直線與平面之間的位置關系

直線與平面的位置關系：在平面內,與平面相交,與平面平行。1.1.4平面與平面之間的位置關系

平面與平面的位置關系有且只有兩種：相交于平行

2.2直線、平面平行的判定及其性質

2.2.1.直線與平面平行的判定

定理1：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。定理2：若兩個平面平行，則其中一個面的任意一條直線與另一個面平行。

2.2.2平面與平面平行的判定

定理1：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行定理2,：若兩條相交直線與另外兩條相交直線分別平行，則這兩個平面平行

2.2.3直線與平面平行的性質

定理1：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與此平面平行。（作用：證明線線平行做法：經(jīng)已知直線做一個平面與已知平面相交）

2.2.4平面與平面平行的性質

定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行。補充：證明線線平行的方法：1.平行的傳遞性

2.線面平行的性質定理（關鍵：尋找面面的交線）3.證明為第三個平面與兩個平行平面的交線

2.3直線、平面垂直的判定及其性質

2.3.1直線與平面垂直的判定

定義：若直線與平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面互相垂直。定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。線面角：平面的一條斜線與它的射影所成的角叫做這條直線與這個平面所成的角。線面角不超過90度!補充知識：

1.證明線線垂直的方法：法一：a∥b,c⊥b，→a⊥b

法二：一條直線垂直于一個平面，則垂直于這個平面中的任意一條線。2.三垂線定理法：

1.平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的攝影垂直，那么也和這條斜線垂直。2.逆定理：若平面內一條直線，和一條斜線垂直，那么也和斜線的攝影垂直。

2.3.2平面與平面垂直的判定

定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。特征：線面垂直，則面面垂直定義法：兩個平面的二面角是直角。

2.3.3直線與平面垂直的性質

定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行2.3.4平面與平面垂直的性質

定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

注：本單元求角的方法

異面直線所成角：1平移2.補形3.向量

線面角：1.定義2.等積求高法（裝模作樣法）3.向量法（關鍵是求平面的法向量）二面角：1.定義2.三垂線定理法3.向量法4.封閉圖形的射影比原圖形法。

擴展閱讀：高中數(shù)學必修2知識點歸納

必修2知識點歸納第一章空間幾何體

1、空間幾何體的結構：空間幾何體分為多面體和旋轉體和簡單組合體⑴常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉體有：圓柱、圓錐、圓臺、球。簡單組合體的構成形式：一種是由簡單幾何體拼接而成，例如課本圖1.1-11中（1）（2）物體表示的幾何體；一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成，例如課本圖1.1-11中（3）（4）物體表示的幾何體。

行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。

⑶棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺。

第二章點、直線、平面之間的位置關系及其論證

1、公理1：如果一條直線上兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。

αABlAl,BllA,B公理1的作用：判斷直線是否在平面內

2、公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

C若A，B，C不共線，則A，B，C確定平面BαA

推論1：過直線的直線外一點有且只有一個平面

簡單組合體

若Al，則點A和l確定平面

Aαl推論2：過兩條相交直線有且只有一個平面

⑵棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平

Aαl

m若mnA，則m,n確定平面

推論3：過兩條平行直線有且只有一個平面

1、空間幾何體的三視圖和直觀圖把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點；把在一束平行光線照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的。

（1）定義：

正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖；側視圖：光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖；俯視圖：光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖。

幾何體的正視圖、側視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖。

（2）三視圖中反應的長、寬、高的特點：“長對正”，“高平齊”，“寬相等”

若mn，則m,n確定平面

公理2及其推論的作用：確定平面；判定多邊形是否為平面圖形的依據(jù)。

αmn3、公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點

的公共直線。

αβPP,Pl且PlL

2、空間幾何體的直觀圖（表示空間圖形的平面圖）.觀察者站在某一點觀察幾何體，畫

出的圖形.

公理3作用：（1）判定兩個平面是否相交的依據(jù)；（2）證明點共線、線共點等。

3、斜二測畫法的基本步驟：

①建立適當直角坐標系xOy（盡可能使更多的點在坐標軸上）②建立斜坐標系xOy，使xOy""""""0

=45（或1350），注意它們確定的平面表示水平平面；

4、公理4：也叫平行公理，平行于同一條直線的兩條直線平行.ab,cbac

公理4作用：證明兩直線平行。

5、定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。

aaa,bb且1與2方向相同1＝2b1‘

a1不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于Y軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话�；ba"

③畫對應圖形，在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X軸，且長度保持

‘

一般地，原圖的面積是其直觀圖面積的22倍，即S原圖＝22S直觀

4、空間幾何體的表面積與體積⑴圓柱側面積；S側面2rl

方向相反則aa,bb且1與2方向相反12＝180方向相同則∠1+∠2＝180°∠1＝∠2

2b"a"2b"作用：該定理也叫等角定理，可以用來證明空間中的兩個角相等。rlrAAlVθlrhlB圖中：扇形的半徑長為l，圓心角為θ，弧AB的長Lθl(注：扇形的弧長等于圓心角乘以半徑.提醒圓心角π為弧度角，例如60°弧度，3ππ45°弧度，90°弧度等等)426、線線位置關系：平行、相交、異面。ab,（1）沒有任何公共點的兩條直線平行

abA,a,b異面

aAblS側＝2πrlB（2）有一個公共點的兩條直線相交

（3）不同在任何一個平面內的兩條直線叫異面直線AB=2πr

7、線面位置關系：

⑵圓錐側面積：S側面rl

aaA(3)(1)a

(2)

（1）直線在平面內，直線與平面有無數(shù)個公共點；a（2）直線和平面平行，直線與平面無任何公共點；a

（3）直線與平面相交，直線與平面有唯一一個公共點；aA

圓錐的側面展開圖是扇形，1扇形面積S扇形弧長半徑2O1rhO2Rl8、面面位置關系：平行、相交。

⑶圓臺側面積：S側面rlRl

⑷體積公式：

9、線面平行：（即直線與平面無任何公共點）

13ROdO1⑴判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。（只需在平面內找一條直線和平面外的直線平行就可以）

V柱體Sh；V錐體V臺體13hS上Sh；

rd=R2-r2S上S下S下

aba//

a//b證明兩直線平行的主要方法是：

①三角形中位線定理：三角形中位線平行并等于底邊的一半；②平行四邊形的性質：平行四邊形兩組對邊分別平行；

⑸球的表面積和體積：

S球4R，V球

243R.一般地，面積比等于相似比的平方，體積比等于相似比的立方。

-1-

③線面平行的性質：如果一條直線平行于一個平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，

那么這條直線和它們的交線平行；

性質Ⅱ：垂直于同一直線的兩平面平行12、面面垂直：

laab

b

④平行線的傳遞性：ab,cbac

⑤面面平行的性質：如果一個平面與兩個平行平面相交，那么它們的交線平行；

al

⑴定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。

aab

b

⑵判定：一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直。

ll（只需在一個平面內找到另一個平面的垂線就可證明面面垂直）

a⑥垂直于同一平面的兩直線平行；ab

b⑵直線與平面平行的性質：如果一條直線平行于一個平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線和它們的交線平行；（上面的③）

⑶性質：兩個平面互相垂直，則一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。

10、面面平行：（即兩平面無任何公共點）

（1）判定定理：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。a,babA

a,b

判定定理的推論：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面上的兩條直線分別平行，兩

平面平行

ml

llm

證明兩直線垂直和主要方法：

①利用勾股定理證明兩相交直線垂直；

②利用等腰三角形三線合一證明兩相交直線垂直；③利用線面垂直的定義證明（特別是證明異面直線垂直）；

④利用三垂線定理證明兩直線垂直（“三垂”指的是“線面垂”“線影垂”，“線斜垂”）

αA斜影Oa線P如圖：POOA是PA在平面上的射影又直線a,且aOAaPA

abA

aa,bba,b（2）兩平面平行的性質：

性質Ⅰ：如果一個平面與兩平行平面都相交，那么它們的交線平行；

a,b

即：線影垂直線斜垂直，反之也成立。④利用圓中直徑所對的圓周角是直角，此外還有正方形、菱形對角線互相垂直等結論。

空間角及空間距離的計算

1.異面直線所成角：使異面直線平移后相交形成的夾角，通常在在兩異面直線中的一

條上取一點，過該點作另一條直線平行線，

如圖：直線a與b異面，b//b，直線a與直線b的夾角為兩異面直線a與b所成的角，異面直線所成角取值范圍是（0，90]aab

b

2.斜線與平面成成的角：斜線與它在平面上的射影成的角。如圖：PA是平面的

一條斜線，A為斜足，O為垂足，OA叫斜線PA在平面上射影，PAO為線面角。

性質Ⅱ：平行于同一平面的兩平面平行；

性質Ⅲ：夾在兩平行平面間的平行線段相等；

3.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面形成的圖形，如圖為二面角l，二

面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分別在兩個半平面內且角的兩邊與二面角的棱垂直

如圖：在二面角-l-中，O棱上一點，OA，OB，

且OAl,OBl,則AOB為二面角-l-的平面角。

用二面角的平面角的定義求二面角的大小的關鍵點是：①明確構成二面角兩個半平面和棱；②明確二面角的平面角是哪個？

而要想明確二面角的平面角，關鍵是看該角的兩邊是否都和棱垂直。（求空間角的三個步驟是“一找”、“二證”、“三計算”）

A,CACBD

B,DABCD性質Ⅳ：兩平面平行，一平面上的任一條直線與另一個平面平行；

a或a

aa

11、線面垂直：

4.異面直線間的距離：指夾在兩異面直線之間的

⑴定義：如果一條直線垂直于一個平面內的任意一條直線，那么就說這條直線和這個平面垂直。公垂線段的長度。如圖PQ是兩異面直線間的距離

⑵判定：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

（異面直線的公垂線是唯一的，指與兩異面直線垂直且相交的直線）

5.點到平面的距離：指該點與它在平面上的射影的連線段的長度。

如圖：O為P在平面上的射影，線段OP的長度為點P到平面的距離求法通常有：定義法和等體積法

等體積法：就是將點到平面的距離看成是三棱錐的一個高。如圖在三棱錐VABC中有：VSABCVASBCVBSACVCSAB

lnl

mnAm,n⑶性質Ⅰ：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

lm

aab

b

第三章直線與方程

1.直線方程的概念：一條直線l與一個二元一次方程F(x,y)AxByC0有如下兩個對應：

①直線l上任意一點的坐標(x,y)都滿足方程F(x,y)AxByC0；②以方程F(x,y)AxByC0的解為坐標的點(x,y)都在直線l上。則稱方程F(x,y)AxByC0為直線l的方程，直線l為方程的直線。

8、交點與距離公式

（1）兩直線l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交點坐標需將兩直線方程組成

方程組求解，即：

A1xB1yC10①AxByC0222當①有唯一解時，兩直線相交；當①無解時，兩直線平行；當①有無數(shù)個解時，兩直線重合。（2）過兩直線l:AxByC0,l:AxByC0交點的直線系方程為：

111122222.直線傾斜角的定義：把直線向上的方向與x軸的正方向形成的最小正角叫直線的傾斜角。

3.直線傾斜角的范圍：0180，當直線與x軸平行或者是重合時，傾斜角為0

4.直線斜率的定義：傾斜角不為90直線，傾斜角的正切值叫直線的斜率。

記作ktan(90)

當傾斜角為90時直線的斜率不存在。

AxByC(AxByC)0

111222將含有一個參數(shù)的直線方程化為直線系方程的樣式就可解決直線恒過定點問題。

y2y1x2x1(x1x2)

5、直線l過點P(x1,y1),P2(x2,y2)1，則直線的斜率為：k（3）兩點間距離公式：

P1P2x2x12y2y12

Ax0By0CAB226、直線方程的表示形式：

⑴點斜式：yy0kxx0，

當斜率不存在時，直線與x軸垂直，傾斜角為90，此時直線方程為：xx0，如右圖，特別地y軸所在直線方程為x0。

當直線斜率k0時，直線與x軸平行或者是重合直線方程為：yy0，x軸所在的直線方程為y0。⑵斜截式：ykxb（b為直線在y軸上的截距）

（4）點P0(x0,y0)到直線l:AxByc0距離公式：d（5）兩平行線間的距離公式：對于直線

l1:AxByC10,l2:AxByC20，l1與l2間的距離為：d|CC|21

AB22x1x2x2（6）線段中點坐標公式：，A(x1,y1),B(x2,y2)，M(x,y)是線段AB的中點。

yy1y22第四章圓與方程

當直線過y軸上一定點(0,b)時，通常設直線方程為：ykxb，例如直線l過定點

1、圓的第一定義：到定點的距離等于定長的點的集合.P(0,2)，設l:ykx2。

當直線過x軸上一定點（a,0）時，，通常設直線方程為：xmya，例如直線l過定點(2,0)，設l:xmy2

yy1y2y1xx1x2x1{M(x,y)|MO|r}

圓的第二定義：到兩個定點的距離之比等于常數(shù)（不等于1）的點的集合。

2、圓的標準方程：xa2

3、圓的一般方程：x2yb2r2，圓心為(a,b)，半徑為r。

⑶兩點式：

⑷截距式：

xayb1(a0,b0)，

yDxEyF0(DE4F0)。

222一般地，問題中出現(xiàn)兩個截距時，通常設直線方程為方程中a,b分別表示直線的橫截距和縱截距，一般地，在直線方程中，令

2xayb1(a0,b0)。圓心為(22D,2E)2，半徑r212DE4F。

22y02可求得橫截距a，令x0可求得縱截距b

當DE4F0時，方程xyDxEyF0表示點(222D,2E)2

⑸一般式：AxByC0(AB0)，所有直線方程都可化為一般式。當B0，直線的斜率kAB當DE4F0時，方程xyDxEyF0不表示任何圖形。

CA2（1）當P0(x0,y0)滿足x0ay0br時點P在圓上；

2222，當B0時，直線斜率不存在，方程可化為x

4、點P(x00,y)0與圓xa2yb2r2的位置關系的判定：

7、兩直線的位置關系的判定：

當兩直線傾斜角相等時，即時，兩直線平行；當兩直線傾斜角滿足||90時，兩直線垂直；當兩直線傾斜角不相當時，兩直線相交。

對于直線l1:yk1xb1,l2:yk2xb2有：

（2）當P0(x0,y0)滿足x0ay0br2時點P在圓內；（3）當P0(x0,y0)滿足x0ay0br2時點P在圓外；

2222k1k2⑴l1//l2；⑵l和l相交k1k2；

b1b2125、求圓方程的方法，主要有兩種：

（1）待定系數(shù)法：使用待定系數(shù)法求圓方程的一般步驟：①根據(jù)提設，選擇標準方程或一般方程；

②根據(jù)條件列出關于a、b、r或D、E、F的方程組；

⑶l1和l2重合k1b1k2b2；⑷l1l2k1k21.

③解出a、b、r或D、E、F，代入標準方程或一般方程。（2）利用三角形外心的定義及其垂徑定理求圓心坐標；

①三角形外心的定義：三角形三邊垂直平分線的交點就是外心；②垂徑定理：垂直于弦的半徑平分弦并平分弦所對的弧；

③弦的垂直平分線必經(jīng)過圓心，因此求出兩條弦的垂直平分線方程，聯(lián)立解方程組求

對于直線l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20有：

A1B2A2B1⑴l1//l2；（2）l和l相交BCBC122112A1B2A2B1；

得圓心坐標，而圓心到圓上任意一點的距離都等于半徑，最終寫出圓的標準方程。

6、直線與圓的位置關系的判定：

幾何法（1）相切：圓心到直線的距離d＝r；

（2）相交：圓心到直線的距離dr；（3）相離：圓心到直線的距離dr。

-3-

A1B2A2B1ll⑶和重合；⑷lB1C2B2C1121l2A1A2B1B20.

l:Ax+By+C=0drC(a,b)d=|Ax0+By0+C|l:Ax+By+C=0drC(a,b)l:Ax+By+C=0d直線方程過兩圓的交點，因此該直線方程也叫兩圓的公共弦所在的直線方程。

A2+B222圓C:（x-a)+(y-b)=r2相切：d=rA2+B222圓C:（x-a)+(y-b)=r2d=|Ax0+By0+C|r|Ax0+By0+C|C(a,b)d=A2+B2圓C:（x-a)2+(y-b)2=r2相離：d>r①

相切：dr1+r2外切:有一個公共點，圓心距｜C1C2｜＝r1+r2相交:有兩個公共點，圓心距|r1-r2|

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