初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點總結(jié)

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

二次函數(shù)開口方向?qū)ΨQ軸頂點增減性最大（�。┲祔=ax2a>0時，開口向上；a0時，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大；

當(dāng)a0時，當(dāng)x=0時，=0；當(dāng)a0時，當(dāng)x=0時，=c；當(dāng)a0時，當(dāng)x=h時，y最小=0；當(dāng)a0時，當(dāng)x=h時，y最小=k；當(dāng)a0時，當(dāng)x=h時，y最小=k；當(dāng)a0時，開口方向向上；a1.二次函數(shù)圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=h或者x=-b/2a對稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點為二次函數(shù)圖像的頂點P。特別地，當(dāng)h=0時，

二次函數(shù)圖像的對稱軸是y軸（即直線x=0）a,b同號，對稱軸在y軸左側(cè)b=0,對稱軸是y軸a,b異號，對稱軸在y軸右側(cè)頂點

2.二次函數(shù)圖像有一個頂點P，坐標為P(h,k)當(dāng)h=0時，P在y軸上；當(dāng)k=0時，P在x軸上。h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a開口

3.二次項系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的開口方向和大小。當(dāng)a>0時，二次函數(shù)圖像向上開口；當(dāng)a0），對稱軸在y軸左；因為對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。事實上，b有其自身的幾何意義：二次函數(shù)圖像與y軸的交點處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值�？赏ㄟ^對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

決定二次函數(shù)圖像與y軸交點的因素

5.常數(shù)項c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點。二次函數(shù)圖像與y軸交于（0,C）注意：頂點坐標為（h,k)與y軸交于（0,C)二次函數(shù)圖像與x軸交點個數(shù)

6.二次函數(shù)圖像與x軸交點個數(shù)a0或a>0;k0時，函數(shù)在x=h處取得最小值ymix=k，在xh范圍內(nèi)是增函數(shù)（即y隨x的變大而變�。�，二次函數(shù)圖像的開口向上，函數(shù)的值域是y>k當(dāng)ah范圍內(nèi)事增函數(shù)，在x且X（X1+X2）/2時Y隨X的增大而減小此時，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連用）。交點式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道兩個x軸交點和另一個點坐標設(shè)交點式。兩交點X值就是相應(yīng)X1X2值。兩圖像對稱

①y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c兩圖像關(guān)于y軸對稱；②y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c兩圖像關(guān)于x軸對稱；③y=ax2+bx+c與y=-a(x-h2+k關(guān)于頂點對稱；④y=ax2+bx+c與y=-a(x+h2-k關(guān)于原點對稱。

擴展閱讀：史上最全初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點歸納總結(jié)

二次函數(shù)知識點歸納及相關(guān)典型題

第一部分基礎(chǔ)知識

1.定義：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù).2.二次函數(shù)yax2的性質(zhì)

（1）拋物線yax2的頂點是坐標原點，對稱軸是y軸.（2）函數(shù)yax2的圖像與a的符號關(guān)系.

①當(dāng)a0時拋物線開口向上頂點為其最低點；

②當(dāng)a0時拋物線開口向下頂點為其最高點.

（3）頂點是坐標原點，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為yax2（a0）.3.二次函數(shù)yax2bxc的圖像是對稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線.

b2a4acb4a224.二次函數(shù)yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中h22，k.

25.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①yax2；②yax2k；③yaxh；④yaxhk；⑤yax2bxc.

6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

①a的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)a0時，開口向上；當(dāng)a0時，開口向下；

a相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸（或重合）的直線記作xh.特別地，y軸記作直線x0.

7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.

8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法：yax2b4acbbxcax2a4a22b4acb（，），對稱軸是直線x，∴頂點是.

2a2a4a2b2（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為yaxhk的形式，得到頂點為(h,k)，對稱軸是直線

xh.

（3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對

稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.

用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失.9.拋物線yax2bxc中，a,b,c的作用

（1）a決定開口方向及開口大小，這與yax2中的a完全一樣.

（2）b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線yax2bxc的對稱軸是直線

xb2a，故：①b0時，對稱軸為y軸；②

ba0（即a、b同號）時，對稱軸在y軸左側(cè)；③

ba0（即a、

b異號）時，對稱軸在y軸右側(cè).

（3）c的大小決定拋物線yax2bxc與y軸交點的位置.

當(dāng)x0時，yc，∴拋物線yax2bxc與y軸有且只有一個交點（0，c）：①c0，拋物線經(jīng)過原點;②c0,與y軸交于正半軸；③c0,與y軸交于負半軸.以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式y(tǒng)axyax22ba0.

開口方向?qū)ΨQ軸x0（y軸）x0（y軸）頂點坐標（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)4acb，(2a4ab2k2當(dāng)a0時開口向上當(dāng)a0時xhxhxb2ayaxhyaxhk2yax2bxc開口向下)11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

（1）一般式：yaxbxc.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.（2）頂點式：yaxhk.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

22（3）交點式：已知圖像與x軸的交點坐標x1、x2，通常選用交點式：yaxx1xx2.12.直線與拋物線的交點

（1）y軸與拋物線yaxbxc得交點為(0,c).

-2-

（2）與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個交點(h,ah（3）拋物線與x軸的交點

2bhc).

二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2，是對應(yīng)一元二次方程ax2bxc0的兩

個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個交點0拋物線與x軸相交；

②有一個交點（頂點在x軸上）0拋物線與x軸相切；③沒有交點0拋物線與x軸相離.（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點

同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設(shè)縱坐標為k，則橫

坐標是ax2bxck的兩個實數(shù)根.

（5）一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像G的交點，由方程組

ykxnyax2bxc的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時l與G有兩個交點;②方程組只有一組解時

l與G只有一個交點；③方程組無解時l與G沒有交點.

（6）拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線yax2bxc與x軸兩交點為Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是

方程ax2bxc0的兩個根，故

x1x2ba,x1x2ca2ABx1x2x1x2x1x24x1x224cbaa2b4aca2a

第二部分典型習(xí)題

１.拋物線y＝x2＋2x－2的頂點坐標是（D）

A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（C）

Ａ．a(chǎn)b＞0，c＞0Ｂ．a(chǎn)b＞0，c＜0Ｃ．a(chǎn)b＜0，c＞0Ｄ．a(chǎn)b＜0，c＜0

AEFDC

B

第２,３題圖第4題圖

３.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（Ｄ）A．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0B．a(chǎn)＜0，b＜0，c＞0C．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0D．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0

４.如圖，已知ABC中，BC=8，BC上的高h4，D為BC上一點，EF//BC，交AB于點E，交AC于點F（EF不過A、

B），設(shè)E到BC的距離為x，則DEF的面積y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致為（Ｄ）

y4444O2A4xO2B4O2C24O2D4

EF84x4EF82x,yx4x

５.拋物線yx22x3與x軸分別交于A、B兩點，則AB的長為4．

6.已知二次函數(shù)y＝kx2＋(2k－1)x－1與x軸交點的橫坐標為x1、x2（x1＜x2），則對于下列結(jié)論：①當(dāng)x＝－2時，y＝1；②當(dāng)x＞x2時，y＞0；③方程kx2＋(2k－1)x1＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2；④x1＜1，x2＞－1；⑤

1＋4kk2x2－x1＝，其中所有正確的結(jié)論是①③④（只需填寫序號）．

7.已知直線y2xbb0與x軸交于點A，與y軸交于點B；一拋物線的解析式為yx2b10xc.（1）若該拋物線過點B，且它的頂點P在直線y2xb上，試確定這條拋物線的解析式；

（2）過點B作直線BC⊥AB交x軸交于點C，若拋物線的對稱軸恰好過C點，試確定直線y2xb的解析式.解：（1）yx10或yx4x6

b102b16b1004222將得cb.頂點坐標為(（0，b)代入，,)，由題意得2b102bb16b10042，

解得b110,b26.

（2）y2x2

8.有一個運算裝置，當(dāng)輸入值為x時，其輸出值為y，且y是x的二次函數(shù)，已知輸入值為2,0,1時,相應(yīng)的輸出值分別為5,3,4．

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）在所給的坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫出當(dāng)輸出值y為正數(shù)時輸入值x的取值范圍.解：（1）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為yax2bxc,

a(2)2b(2)c5c3a1則a02b0c3,即2ab4,解得b2abc4c3ab1故所求的解析式為:yx22x3.（2)函數(shù)圖象如圖所示.

由圖象可得，當(dāng)輸出值y為正數(shù)時，輸入值x的取值范圍是x1或x3．

9.某生物興趣小組在四天的實驗研究中發(fā)現(xiàn)：駱駝的體溫會隨外部環(huán)境溫度的變化而變化，而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同．他們將一頭駱駝前兩晝圖．請根據(jù)圖象回答：

⑴第一天中，在什么時間范圍內(nèi)這頭駱駝從最低上升到最高需要多少時間?⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是多少?⑶興趣小組又在研究中發(fā)現(xiàn)，圖中10時到22時的曲線是拋物線，求該拋物線的解析式．

解：⑴第一天中，從4時到16時這頭駱駝的

體溫是上升的

它的體溫從最低上升到最高需要12小時⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是39℃⑶y116x2x2410x22

22夜的體溫變化情況繪制成下

的體溫是上升的?它的體溫

第9題

10.已知拋物線yax(433a)x4與x軸交于A、

B兩點，與y軸交于點C．是否存在實數(shù)a，使得△ABC為直角三角形．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

解：依題意，得點C的坐標為（0，4）．

設(shè)點A、B的坐標分別為（x1，0），（x2，0），

由ax2(433a)x40，解得x13，x243a243a．

∴點A、B的坐標分別為（-3，0），（∴AB|43a3|，AC2，0）．5，

AOOC43aBCBOOC43a222169a169a2||4．

43a169a222∴AB2|AC23|22316．

98a9，

25，BC2〈〉當(dāng)AB2AC2BC2時，∠ACB＝90°．由AB2AC2BC2，得

169a28a925(14169a216)．

解得a∴當(dāng)a14．

163時，點B的坐標為（，0），AB25269，AC225，BC24009．

于是AB2AC2BC2．∴當(dāng)a214時，△ABC為直角三角形．

22〈〉當(dāng)ACABBC時，∠ABC＝90°．

222由ACABBC，得25(169a28a9)(169a216)．

解得a當(dāng)a4949．

43a432時，493，點B（-3，0）與點A重合，不合題意．

〈〉當(dāng)BCACAB時，∠BAC＝90°．由BCACAB，得解得a4922222169a21625(169a28a9)．

．不合題意．

14綜合〈〉、〈〉、〈〉，當(dāng)a時，△ABC為直角三角形．

11.已知拋物線y＝－x2＋mx－m＋2.

（1）若拋物線與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側(cè)，并且AB＝5，試求m的值；

（2）設(shè)C為拋物線與y軸的交點，若拋物線上存在關(guān)于原點對稱的兩點M、N，并且△MNC的面積等于27，試求m的值.解:(1)Ａ（x21，0）,B(x2，0).則x1，x2是方程x－mx＋m－2＝0的兩根.

∵x1＋x2＝m,x1x2=m－2＜0即m＜2;

又AB＝x1x2＝（x21+x2）4x1x25,∴m2－4m＋3=0.

解得：m=1或m=3(舍去),∴m的值為1.yC（2）M(a，b)，則N(－a，－b).∵M、N是拋物線上的兩點,

2M∴amam2b,①

xa2mam2b.②ON①＋②得：－2a2－2m＋4＝0.∴a2＝－m＋2.∴當(dāng)m＜2時，才存在滿足條件中的兩點M、N.∴a2m.

這時M、N到y(tǒng)軸的距離均為2m,又點C坐標為（0，2－m）,而S△MNC=27,∴2

12（2－m）2m=27.∴解得m=－7.

12.已知：拋物線y＝ax2＋4ax＋t與x軸的一個交點為A（－1，0）．（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；

（2）D是拋物線與y軸的交點，C是拋物線上的一點，且以AB為

求此拋物線的解析式；

（3）E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5∶2的點，如果

且它與點A在此拋物線對稱軸的同側(cè)，問：在拋物線的對稱軸上長最小?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解法一：

（1）依題意，拋物線的對稱軸為x＝－2．∵拋物線與x軸的一個交點為A（－1，0），

∴由拋物線的對稱性，可得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為（－3，0）．

-7-

一底的梯形ABCD的面積為9，

點E在（2）中的拋物線上，是否存在點P，使△APE的周

（2）∵拋物線y＝ax2＋4ax＋t與x軸的一個交點為A（－1，0），∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴t＝3a．∴y＝ax2＋4ax＋3a．

∴D（0，3a）．∴梯形ABCD中，AB∥CD，且點C在拋物線y＝ax2＋4ax＋3a上，∵C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．∵梯形ABCD的面積為9，∴∴a±1．

∴所求拋物線的解析式為y＝x2＋4x＋3或y＝x24ax3．（3）設(shè)點E坐標為（x0，y0）.依題意，x0＜0，y0＜0，且

y0x0＝5212(ABCD)OD＝9．∴

12(2＋4)3a＝9．

．∴y0＝－52x0．

①設(shè)點E在拋物線y＝x2＋4x＋3上，

2∴y0＝x0＋4x0＋3．

15x＝，0x0＝6，y0＝－x0,2解方程組得2y＝15；50y＝x2＋4x＋3y＝．00004∵點E與點A在對稱軸x＝－2的同側(cè)，∴點E坐標為（12，

54）．

設(shè)在拋物線的對稱軸x＝－2上存在一點P，使△APE的周長最�。�∵AE長為定值，∴要使△APE的周長最小，只須PA＋PE最�。�∴點A關(guān)于對稱軸x＝－2的對稱點是B（－3，0），∴由幾何知識可知，P是直線BE與對稱軸x＝－2的交點．設(shè)過點E、B的直線的解析式為y＝mx＋n，15m＝,1m＋n＝,2∴24解得3－3m＋n＝0.n＝.2∴直線BE的解析式為y＝∴點P坐標為（－2，

1212x＋32．∴把x＝－2代入上式，得y＝12．

）．

2②設(shè)點E在拋物線y＝x24x3上，∴y0＝x04x03．

5x0,3y0＝－2解方程組消去y0，得x0x0＋3＝0．22y＝x24x3.000∴△＜0.∴此方程無實數(shù)根．綜上，在拋物線的對稱軸上存在點P（－2，解法二：

（1）∵拋物線y＝ax2＋4ax＋t與x軸的一個交點為A（－1，0），∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴t＝3a．∴y＝ax2＋4ax＋3a．令y＝0，即ax2＋4ax＋3a＝0．解得x1＝－1，x2＝－3．∴拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為（－3，0）．

（2）由y＝ax2＋4ax＋3a，得D（0，3a）．∵梯形ABCD中，AB∥CD，且點C在拋物線

y＝ax＋4ax＋3a上，

212），使△APE的周長最�。�

∴C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．

∵梯形ABCD的面積為9，∴(AB＋CD)OD＝9．解得OD＝3．

21∴3a＝3．∴a±1．

∴所求拋物線的解析式為y＝x＋4x＋3或y＝－x－4x－3．

（3）同解法一得，P是直線BE與對稱軸x＝－2的交點．∴如圖，過點E作EQ⊥x軸于點Q．設(shè)對稱軸與x軸的交由PF∥EQ，可得

BFBQ＝PFEQ1222點為F．

．∴

152＝PF54．∴PF＝12．

∴點P坐標為（－2，以下同解法一．

）．

13.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．

（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點M的坐標．

（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q．當(dāng)點N在線段BM上運動時（點N不與點B，點M重合），設(shè)NQ的長為l，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；

（3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使△PAC為直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（4）將△OAC補成矩形，使△OAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點坐標（不需要計算過

點，第三個頂點落在矩程）．

解：（1）設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)a(x1)(x2)，

∴2a1(2)．∴a1．∴yx2x2．其頂點M的坐標是1，9．24（2）設(shè)線段BM所在的直線的解析式為ykxb，點N的坐標為N（t，h），

02kb，∴91．解得k3，b342．

2kb.∴線段BM所在的直線的解析式為y32x3．∴h32t3，其中

12t2．∴s121212(223t3)t34t212t1．

∴s與t間的函數(shù)關(guān)系式是S3114t22t1，自變量t的取值范圍是

2t2．

（3）存在符合條件的點P，且坐標是P573512，4，P2，2．4設(shè)點P的坐標為P(m，n)，則nm2m2．

PA2(m1)2n2，PC2m2(n2)2，AC25．

分以下幾種情況討論：i）若∠PAC＝90°，則PC2PA2AC2．

∴nm2m2，

m2(n2)2(m1)2n25.解得：m152，m21（舍去）．∴點P15，74．

2

ii）若∠PCA＝90°，則PA2PC2AC2．

2nmm2，∴

2222(m1)nm(n2)5.解得：m3353．∴點P2，－．，m40（舍去）

242iii）由圖象觀察得，當(dāng)點P在對稱軸右側(cè)時，PAAC，所以邊AC的對角∠APC不可能是直角．

（4）以點O，點A（或點O，點C）為矩形的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這邊OA（或邊OC）的對邊上，如圖a，此

時未知頂點坐標是點D（－1，－2），

以點A，點C為矩形的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊AC的對邊上，如圖b，此時未知頂點坐標是E12，，55F，548．5

圖a圖b

14.已知二次函數(shù)y＝ax－2的圖象經(jīng)過點（1，－1）．求這個二次函數(shù)的解析式，并判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點的個

數(shù)．

解：根據(jù)題意，得a－2＝－1.

∴a＝1．∴這個二次函數(shù)解析式是y＝x2．

因為這個二次函數(shù)圖象的開口向上，頂點坐標是（0，－2），所以該函數(shù)圖象與x軸有兩個交點．

15.盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分．在大橋截面1∶11000的比例圖上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，

線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長，DE∥AB，如圖（1）．在比例圖上，以直線AB為x軸，拋物線的對稱軸為y軸，以1cm作為數(shù)軸的單位長度，建立平面直角坐標系，如圖（2）．

22

（1）求出圖（2）上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式，寫出函數(shù)定義域；

（2）如果DE與AB的距離OM＝0.45cm，求盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長（備用數(shù)據(jù)：21.4，計算結(jié)果精確到1米）．解：（1）由于頂點C在y軸上，所以設(shè)以這部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式為

2y＝ax＋910559185因為點A（，0）（或B（，0））在拋物線上，所以0＝a()2＋，得a＝－．

22210125．

因此所求函數(shù)解析式為y＝－（2）因為點D、E的縱坐標為所以點D的坐標為（－545454918125x＋2910920(52x18125522)．91020，所以

920－x＋54，得x＝2，

920542．

2，），點E的坐標為（）．

所以DE＝2－(2)＝522．

因此盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長為

522110000.01＝275．2385（米）

16.已知在平面直角坐標系內(nèi)，O為坐標原點，A、B是x軸正半軸上的兩點，點A在點B的左側(cè)，如圖．二次函數(shù)

y＝ax＋bx＋c（a≠0）的圖象經(jīng)過點A、B，與y軸相交于點C．

2

（1）a、c的符號之間有何關(guān)系?

（2）如果線段OC的長度是線段OA、OB長度的比例中項，試證

a、c互為倒數(shù)；

（3）在（2）的條件下，如果b＝－4，AB＝43，求a、c的值．解:

（1）a、c同號．或當(dāng)a＞0時，c＞0；當(dāng)a＜0時，c＜0．

（2）證明：設(shè)點A的坐標為（x1，0），點B的坐標為（x2，0），則0＜x1＜x2．∴OAx1，OBx2，OCc．

2據(jù)題意，x1、x2是方程ax＋bx＋c0(a0)的兩個根．∴x1x2ca．

由題意，得OAOB＝OC2，即＝c＝c2．

ac2所以當(dāng)線段OC長是線段OA、OB長的比例中項時，a、c互為倒數(shù)．（3）當(dāng)b4時，由（2）知，x1＋x2＝－ba＝4a＞0，∴a＞0．

解法一：AB＝OB－OA＝x2－x1＝(x1＋x2)24x1x2，∴AB42c()－4()aa23a164aca223a．

∵AB43，∴＝43．得a12．∴c＝2.

解法二：由求根公式，x＝4164ac2a＝41642a＝2a3，

∴x1＝2a3，x2＝2a3．

∴AB＝OB－OA＝x2－x1＝2a3－2－3a12＝23a．

∵AB＝43，∴

3323a3＝43，得a＝．∴c＝2．

17.如圖，直線yx分別與x軸、y軸交于點A、B，⊙E經(jīng)過原點O及A、B兩點．

（1）C是⊙E上一點，連結(jié)BC交OA于點D，若∠COD＝∠CBO，求點A、B、C的坐標；（2）求經(jīng)過O、C、A三點的拋物線的解析式：

（3）若延長BC到P，使DP＝2，連結(jié)AP，試判斷直線PA與⊙E的位置關(guān)系，并說明理由．

解：（1）連結(jié)EC交x軸于點N（如圖）．∵A、B是直線y33x3

分別與x軸、y軸的交點．∴A（3，0），B(0,3)．

的中點．∴EC⊥OA．

又∠COD＝∠CBO．∴∠CBO＝∠ABC．∴C是∴ON12OA32,ENOB232．

連結(jié)OE．∴ECOE3．∴NCECEN32．∴C點的坐標為（,2332）．

（2）設(shè)經(jīng)過O、C、A三點的拋物線的解析式為yaxx3．∵C（∴y32,322）．∴23832a33(3)22．∴a293．

239xx為所求．33（3）∵tanBAO，∴∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．

12ABO126030．

由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴OBD∴OD＝OBtan30°－1．∴DA＝2．

∵∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2．∴△ADP是等邊三角形．∴∠DAP＝60°．

∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．即直線PA是⊙E的切線．

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