新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)《推理與證明》知識(shí)歸納總結(jié)

《推理與證明》知識(shí)歸納總結(jié)

歸納推理合情推理推理類比推理推演繹推理理與綜合法證明直接證明分析法證明數(shù)學(xué)歸納

間接證明反證法第一部分合情推理

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

了解合情推理的含義（易混點(diǎn)）

理解歸納推理和類比推理的含義，并能運(yùn)用它進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理（重點(diǎn)、難點(diǎn)）了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用（難點(diǎn)）一、知識(shí)歸納：

合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類：歸納推理:

1.歸納推理:由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理.簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理.2.歸納推理的一般步驟:

第一步，通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì);

第二步，從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）.思考探究:

1.歸納推理的結(jié)論一定正確嗎?

2.統(tǒng)計(jì)學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計(jì)總體，是否屬歸納推理?

題型1用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1、觀察：715211；5.516.5211；33193211；.對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a,b，試寫出使ab211成立的一個(gè)條件可以是____.點(diǎn)撥：前面所列式子的共同特征特征是被開方數(shù)之和為22，故ab222、蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以

f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數(shù).則f(4)=_____;f(n)=___________.【解題思路】找出f(n)f(n1)的關(guān)系式

[解析]f(1)1,f(2)16,f(3)1612,f(4)16121837

f(n)1612186(n1)3n23n1

總結(jié)：處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)的關(guān)系

類比推理

1.類比推理:由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理.簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.2.類比推理的一般步驟:

第一步：找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；

第二步：用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想.思考探究:

1.類比推理的結(jié)論能作為定理應(yīng)用嗎?

2.(1)圓有切線，切線與圓只交于一點(diǎn)，切點(diǎn)到圓心的距離等于半徑.由此結(jié)論如何類比到球體?

(2)平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.由此結(jié)論如何類比得到空間的結(jié)論?

題型2用類比推理猜想新的命題[例]已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的______.

【解題思路】從方法的類比入手[解析]原問題的解法為等面積法，即S等體積法，V1，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是3111ah3arrh，類比問題的解法應(yīng)為2231111Sh4Srrh即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高3344總結(jié)：（1）不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比

（2）類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；實(shí)數(shù)集的性質(zhì)向復(fù)數(shù)集的性質(zhì)類比；圓錐曲線間的類比等

合情推理

1.定義:歸納推理和類比推理都有是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.簡(jiǎn)言之，合情推理就是合乎情理的推理.2.推理的過程:從具體問題出→觀察、分析、比較、聯(lián)想→歸納、類比→提出猜想發(fā)思考探究:

1.歸納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系?

1）歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。

2）類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。

第二部分演繹推理

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

理解演繹推理的含義（重點(diǎn)）

掌握演繹推理的模式，會(huì)利用三段論進(jìn)行簡(jiǎn)單推理（重點(diǎn)、難點(diǎn)）合情推理與演繹推理之間的區(qū)別與聯(lián)系一、知識(shí)歸納：演繹推理的含義:

1.演繹推理是從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論.演繹推理又叫邏輯推理.2.演繹推理的特點(diǎn)是由一般到特殊的推理.思考探究:

演繹推理的結(jié)論一定正確嗎?

演繹推理的模式

1.演繹推理的模式采用“三段論”:(1)大前提已知的一般原理(M是P);(2)小前提所研究的特殊情況(S是M);

(3)結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷(S是P).2.從集合的角度看演繹推理:(1)大前提:x∈M且x具有性質(zhì)P;(2)小前提：y∈S且SM

(3)結(jié)論：y具有性質(zhì)P.演繹推理與合情推理

合情推理與演繹推理的關(guān)系:

(1)從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個(gè)別到一般的推理，類比是由特殊到特說的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理.

(2)從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確.

第三部分直接證明與間接證明

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。

2、了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)。知識(shí)歸納：三種證明方法:

綜合法、分析法、反證法

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對(duì)于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。

反證法：它是一種間接的證明方法.用這種方法證明一個(gè)命題的一般步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

(2)根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推理中導(dǎo)出矛盾為止(3)斷言假設(shè)不成立

(4)肯定原命題的結(jié)論成立

用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。

重難點(diǎn)：在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數(shù)學(xué)問題中，選擇好證明方法并運(yùn)用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學(xué)命題考點(diǎn)1綜合法

在銳角三角形ABC中,求證:sinAsinBsinCcosAcosBcosC[解析]ABC為銳角三角形，AB2A2B，

ysinx在(0,)上是增函數(shù)，sinAsin(B)cosB

22同理可得sinBcosC，sinCcosA

sinAsinBsinCcosAcosBcosC

考點(diǎn)2分析法

已知ab0,求證abab

[解析]要證abab，只需證(ab)2(ab)2即ab2abab，只需證bab，即證ba顯然ba成立，因此abab成立

總結(jié)：注意分析法的“格式”是“要證---只需證---”，而不是“因?yàn)?--所以---”考點(diǎn)3反證法已知f(x)axx2(a1)，證明方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根x1x02x01【解題思路】“正難則反”，選擇反證法，因涉及方程的根，可從范圍方面尋找矛盾[解析]假設(shè)x0是f(x)0的負(fù)數(shù)根，則x00且x01且ax00ax0101x021，解得x02，這與x00矛盾，

2x01故方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根

總結(jié)：否定性命題從正面突破往往比較困難，故用反證法比較多第四部分?jǐn)?shù)學(xué)歸納法

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。2．掌握數(shù)學(xué)歸納法證明問題的方法，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題

3．能通過“歸納-猜想-證明”處理問題。知識(shí)歸納：數(shù)學(xué)歸納法的定義：

一般地,當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)N的所有正整數(shù)n都成立時(shí),可以用以下兩個(gè)步驟:

(1)證明當(dāng)n=n0時(shí)命題成立;

(2)假設(shè)當(dāng)n=k（∈+，且≥0）時(shí)命題成立,證明n=k+1時(shí)命題也成立.

在完成了這兩個(gè)步驟后,就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.

1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)：

無窮的歸納→有限的演繹（遞推關(guān)系）

2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法步驟：

（1）（遞推奠基）：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確；（2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）

證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。（歸納證明）

由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。

[例1]已知n是正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)n=k（k2且為偶數(shù)）時(shí)命題為真，，則還需證明（）

A.n=k+1時(shí)命題成立B.n=k+2時(shí)命題成立C.n=2k+2時(shí)命題成立D.n=2（k+2）時(shí)命題成立

[解析]因n是正偶數(shù)，故只需證等式對(duì)所有偶數(shù)都成立，因k的下一個(gè)偶數(shù)是k+2，故選B總結(jié)：用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要注意觀察幾個(gè)方面：（1）n的范圍以及遞推的起點(diǎn)（2）觀察首末兩項(xiàng)的次數(shù)（或其它），確定n=k時(shí)命題的形式f(k)（3）從f(k1)和f(k)的差異，尋找由k到k+1遞推中，左邊要加（乘）上的式子

例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1223n(n1)1(n1)2

2[解析]（1）當(dāng)n=1時(shí)，左=2，右=2，不等式成立

123k(k1)(k1)2

212則1223k(k1)(k1)(k2)(k1)(k1)(k2)

2（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即121(k2)2(k1)(k2)2(k1)(k1)(k2)(k1)(k2)0211223k(k1)(k1)(k2)[(k1)1]2

2當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立

綜合（1）（2），等式對(duì)所有正整數(shù)都成立

總結(jié)：（1）數(shù)學(xué)歸納法證明命題，格式嚴(yán)謹(jǐn)，必須嚴(yán)格按步驟進(jìn)行；（2）歸納遞推是證明的難點(diǎn)，應(yīng)看準(zhǔn)“目標(biāo)”進(jìn)行變形；

（3）由k推導(dǎo)到k+1時(shí)，有時(shí)可以“套”用其它證明方法，如：比較法、分析法等，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)歸納法“靈活”的一面

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高中數(shù)學(xué)必修+選修知識(shí)點(diǎn)歸納

新課標(biāo)人教A版

引言

1.課程內(nèi)容：

必修課程由5個(gè)模塊組成：

必修1：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、

對(duì)、冪函數(shù)）

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。必修3：算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率。必修4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面向量、

三角恒等變換。

必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。

以上是每一個(gè)高中學(xué)生所必須學(xué)習(xí)的。上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎(chǔ)的同時(shí)，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了這些知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程和實(shí)際應(yīng)用，而不在技巧與難度上做過高的要求。

此外，基礎(chǔ)內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容。

選修課程有4個(gè)系列：系列1：由2個(gè)模塊組成。

選修11：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。

選修12：統(tǒng)計(jì)案例、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)

充與復(fù)數(shù)、框圖

系列2：由3個(gè)模塊組成。

選修21：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、

空間向量與立體幾何。

選修22：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系

的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)

選修23：計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布列，

統(tǒng)計(jì)案例。

系列3：由6個(gè)專題組成。選修31：數(shù)學(xué)史選講。

選修32：信息安全與密碼。選修33：球面上的幾何。選修34：對(duì)稱與群。

-1-

選修35：歐拉公式與閉曲面分類。選修36：三等分角與數(shù)域擴(kuò)充。系列4：由10個(gè)專題組成。選修41：幾何證明選講。選修42：矩陣與變換。選修43：數(shù)列與差分。

選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。選修45：不等式選講。選修46：初等數(shù)論初步。

選修47：優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步。選修48：統(tǒng)籌法與圖論初步。選修49：風(fēng)險(xiǎn)與決策。

選修410：開關(guān)電路與布爾代數(shù)。

2．重難點(diǎn)及考點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，

圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)難點(diǎn)：函數(shù)、圓錐曲線高考相關(guān)考點(diǎn)：

⑴集合與簡(jiǎn)易邏輯:集合的概念與運(yùn)算、簡(jiǎn)易邏

輯、充要條件

⑵函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、

值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用

⑶數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)

列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用

⑷三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、

和、差、倍、半公式、求值、化簡(jiǎn)、證明、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用

⑸平面向量：有關(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、

數(shù)量積及其應(yīng)用

⑹不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式

的證明、不等式的解法、絕對(duì)值不等式、不等式的應(yīng)用

⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位

置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關(guān)系

⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直

線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題、圓錐曲線的應(yīng)用

⑼直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體：空間直線、直線

與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量

⑽排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二

項(xiàng)式定理及其應(yīng)用

⑾概率與統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期望、方差、

抽樣、正態(tài)分布

⑿導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用⒀復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算

關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有惟一確定的數(shù)fx和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f:AB為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作：yfx,xA.

2、一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值

域.如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱這兩個(gè)函數(shù)相等. 1.2.2、函數(shù)的表示法

1、函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法. 1.3.1、單調(diào)性與最大（小）值1、注意函數(shù)單調(diào)性的證明方法：

(1)定義法：設(shè)x1、x2[a,b],x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函數(shù)；f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是減函數(shù).

必修1數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章：集合與函數(shù)概念

1.1.1、集合

1、把研究的對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總

體叫做集合。集合三要素：確定性、互異性、無序性。

2、只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，就稱這兩個(gè)

集合相等。3、常見集合：正整數(shù)集合：N*或N，整數(shù)集合：Z，有理數(shù)集合：Q，實(shí)數(shù)集合：R.

步驟：取值作差變形定號(hào)判斷格式：解：設(shè)x1,x2a,b且x1x2，則：fx1fx2=

(2)導(dǎo)數(shù)法：設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；

若f(x)0，則f(x)為減函數(shù). 1.3.2、奇偶性

1、一般地，如果對(duì)于函數(shù)fx的定義域內(nèi)任意一個(gè)

x，都有fxfx，那么就稱函數(shù)fx為

4、集合的表示方法：列舉法、描述法.

1.1.2、集合間的基本關(guān)系

1、一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中任

意一個(gè)元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B的子集。記作AB.

2、如果集合AB，但存在元素xB，且xA，

則稱集合A是集合B的真子集.記作：AB.

.并規(guī)定：3、把不含任何元素的集合叫做空集.記作：

空集合是任何集合的子集.

偶函數(shù).偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

2、一般地，如果對(duì)于函數(shù)fx的定義域內(nèi)任意一個(gè)

x，都有fxfx，那么就稱函數(shù)fx為

奇函數(shù).奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.知識(shí)鏈接：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1、函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線yf(x)在

P(x0,f(x0))處的切線的斜率f(x0)，相應(yīng)的切線方

4、如果集合A中含有n個(gè)元素，則集合A有2n個(gè)子

集，2n1個(gè)真子集.

1.1.3、集合間的基本運(yùn)算

1、一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成

的集合，稱為集合A與B的并集.記作：AB.2、一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素

組成的集合，稱為A與B的交集.記作：AB.3、全集、補(bǔ)集？CUA{x|xU,且xU} 1.2.1、函數(shù)的概念

1、設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)

-2-

程是yy0f(x0)(xx0).2、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)n"n1"①C0；②(x)nx；

③(sinx)cosx；④(cosx)sinx；⑤(a)alna；⑥(e)e；

x"x""x"x

⑦(logax)"1xlna""；⑧(lnx)"1x

n⑴amma

*n3、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（1）(uv)uv.（2）(uv)"u"vuv".uuvuv（3）()"(v0).2vv4、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則"""a0,m,nN⑵an1an,m1；

n0；

4、運(yùn)算性質(zhì)：⑴arasarsa0,r,sQ；

⑵ararsa0,r,sQ；

s復(fù)合函數(shù)yf(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)

yf(u),ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxyuux，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

解題步驟:分層層層求導(dǎo)作積還原.5、函數(shù)的極值(1)極值定義：

極值是在x0附近所有的點(diǎn)，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值；

極值是在x0附近所有的點(diǎn)，都有f(x)＞f(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的極小值.(2)判別方法：

①如果在x0附近的左側(cè)f(x)＞0，右側(cè)f(x)＜0，那么f(x0)是極大值；

②如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＜0，右側(cè)f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值.6、求函數(shù)的最值(1)求yf(x)在(a,b)內(nèi)的極值（極大或者極小值）

""⑶abarbra0,b0,rQ.

r 2.1.2、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、記住圖象：yaxa0,a1

yy=ax0

⑵loga⑶logMlogNMnaMlogaN；

anlogaM.

ba5、換底公式：logabloglog第三章：函數(shù)的應(yīng)用

3.1.1、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、方程fx0有實(shí)根

函數(shù)yfx的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yfx有零點(diǎn).2、零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)yfx在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有fafb0，那么函數(shù)yfx在區(qū)間a,b內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ca,b，

xcca0,a1,c0,c1,b0.

6、重要公式：logabmnmnlogab

7、倒數(shù)關(guān)系：logab1logbaa0,a1,b0,b1.

2..2.2、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、記住圖象：ylog

2、性質(zhì)：圖-12.51.5axa0,a1

yy=logax0

⑴判定：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，

則這兩個(gè)平面平行（簡(jiǎn)稱線面平行，則面面平行）。

⑵性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么

⑴圓柱側(cè)面積；S側(cè)面2rl

它們的交線平行（簡(jiǎn)稱面面平行，則線線平行）。

11、線面垂直：⑴定義：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，

那么就說這條直線和這個(gè)平面垂直。⑵判定：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，

則該直線與此平面垂直（簡(jiǎn)稱線線垂直，則線面垂直）。

⑵圓錐側(cè)面積：S側(cè)面rl

⑶圓臺(tái)側(cè)面積：S側(cè)面rlRl⑷體積公式：

V柱體Sh；V錐體⑶性質(zhì)：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

12、面面垂直：

⑴定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面

角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。

⑵判定：一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)

平面垂直（簡(jiǎn)稱線面垂直，則面面垂直）。

⑶性質(zhì)：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的

直線垂直于另一個(gè)平面。（簡(jiǎn)稱面面垂直，則線面垂直）。

第三章：直線與方程

1、傾斜角與斜率：ktan2、直線方程：⑴點(diǎn)斜式：yy0kxx0

y2y1x2x113Sh；

V臺(tái)體13S2上S上S下S下h

⑸球的表面積和體積：

S球4R，V球43R.

3第二章：點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、公理1：如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條

直線在此平面內(nèi)。

⑵斜截式：ykxb

yy1xx1xayb⑶兩點(diǎn)式：y2y1x2x1

2、公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。3、公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它

們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。

⑷截距式：1

4、公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

5、定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這

兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

⑸一般式：AxByC0

3、對(duì)于直線：l1:yk1xb1,l2:yk2xb2有：k1k2⑴l1//l2；

bb216、線線位置關(guān)系：平行、相交、異面。

7、線面位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、直線和平面平行、直

線和平面相交。

8、面面位置關(guān)系：平行、相交。9、線面平行：

⑴判定：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則

該直線與此平面平行（簡(jiǎn)稱線線平行，則線面平行）。⑵性質(zhì)：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一

平面與此平面的交線與該直線平行（簡(jiǎn)稱線面平行，則線線平行）。

⑵l1和l2相交k1k2；k1k2⑶l1和l2重合；

b1b2-5-

10、面面平行：

⑷l1l2k1k21.

4、對(duì)于直線：l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20dr相切0;dr相交0.

弦長(zhǎng)公式：l2r2d2

有：

1k2(x1x2)4x1x2

2A1B2A2B1⑴l1//l2；

B1C2B2C13、兩圓位置關(guān)系：dO1O2⑴外離：dRr；⑵外切：dRr；

⑶相交：RrdRr；⑷內(nèi)切：dRr；⑸內(nèi)含：dRr.

3、空間中兩點(diǎn)間距離公式：P1P2⑵l1和l2相交A1B2A2B1；A1B2A2B1⑶l1和l2重合；

BCBC2112⑷l1l2A1A2B1B20.

5、兩點(diǎn)間距離公式：P1P2x2x1y2y1z2z1

222

2x2x1y2y1

2必修3數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章：算法

1、算法三種語言：自然語言、流程圖、程序語言；

2、流程圖中的圖框：起止框、輸入輸出框、處理框、判斷框、流程線等規(guī)范表示方法；

3、算法的三種基本結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)⑴順序結(jié)構(gòu)示意圖：

當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)6、點(diǎn)到直線距離公式：dAx0By0CAB22

7、兩平行線間的距離公式：l1：AxByC10與l2：AxByC20平行，

C1C2AB22則d

第四章：圓與方程1、圓的方程：2⑴標(biāo)準(zhǔn)方程：xaybr

22其中圓心為(a,b)，半徑為r.

⑵一般方程：xyDxEyF0.其中圓心為(D2,E2)，半徑為r12DE4F.

22

語句n語句n+122（圖1）

⑵條件結(jié)構(gòu)示意圖：

①IF-THEN-ELSE格式：

-6-

2、直線與圓的位置關(guān)系直線AxByC0與圓(xa)(yb)r的位置關(guān)系有三種:

dr相離0;

222滿足條件？是語句1否語句

（圖2）

②IF-THEN格式：是滿足條件？否語句

（圖3）

⑶循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖：

①當(dāng)型（WHILE型）循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖：循環(huán)體滿足條件？是否

（圖4）

②直到型（UNTIL型）循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖：循環(huán)體否

滿足條件？是（圖5）

4、基本算法語句：①輸入語句的一般格式：INPUT“提示內(nèi)容”；變量

②輸出語句的一般格式：PRINT“提示內(nèi)容”；表達(dá)式③賦值語句的一般格式：變量＝表達(dá)式（“=”有時(shí)也用“←”）.④條件語句的一般格式有兩種：IFTHENELSE語句的一般格式為：IF條件THEN語句1

ELSE語句2

ENDIF（圖2）

IFTHEN語句的一般格式為：IF條件THEN語句

ENDIF（圖3）

⑤循環(huán)語句的一般格式是兩種：

當(dāng)型循環(huán)（WHILE）語句的一般格式：

WHILE條件

循環(huán)體WEND（圖4）

直到型循環(huán)（UNTIL）語句的一般格式：

DO循環(huán)體LOOPUNTIL條件（圖5）

⑹算法案例：①輾轉(zhuǎn)相除法結(jié)果是以相除余數(shù)為0而得到利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：）：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商S0和一個(gè)余數(shù)R0；）：若R0＝0，則n為m，n的最大公約數(shù)；若R0≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)R0得到一個(gè)商S1和一個(gè)余數(shù)R1；）：若R1＝0，則R1為m，n的最大公約數(shù)；若R1≠0，則用除數(shù)R0除以余數(shù)R1得到一個(gè)商S2和一個(gè)余數(shù)R2；

依次計(jì)算直至Rn＝0，此時(shí)所得到的Rn1即為所求

-7-

的最大公約數(shù)。

②更相減損術(shù)結(jié)果是以減數(shù)與差相等而得到利用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下：）：任意給出兩個(gè)正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行第二步。）：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。③進(jìn)位制十進(jìn)制數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)除k取余法k進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)第二章：統(tǒng)計(jì)1、抽樣方法：①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（總體個(gè)數(shù)較少）②系統(tǒng)抽樣（總體個(gè)數(shù)較多）

③分層抽樣（總體中差異明顯）注意：在N個(gè)個(gè)體的總體中抽取出n個(gè)個(gè)體組成樣本，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)（概率）均為2、總體分布的估計(jì)：⑴一表二圖：

①頻率分布表數(shù)據(jù)詳實(shí)

②頻率分布直方圖分布直觀

③頻率分布折線圖便于觀察總體分布趨勢(shì)注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。⑵莖葉圖：

①莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù)的分布，以及中位數(shù)、眾位數(shù)等。

②個(gè)位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側(cè)數(shù)據(jù)按照從小到大書寫，相同的數(shù)據(jù)重復(fù)寫。3、總體特征數(shù)的估計(jì)：⑴平均數(shù)：xx1x2x3xnn⑶線性回歸方程

①變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系；②制作散點(diǎn)圖，判斷線性相關(guān)關(guān)系③線性回歸方程：ybxa（最小二乘法）

nxiyinxyi1bn22xnxii1aybx注意：線性回歸直線經(jīng)過定點(diǎn)(x,y)。第三章：概率

1、隨機(jī)事件及其概率：⑴事件：試驗(yàn)的每一種可能的結(jié)果，用大寫英文字母表示；

⑵必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的特點(diǎn)；⑶隨機(jī)事件A的概率：P(A)mn,0P(A)1.

nN。

2、古典概型：⑴基本事件：一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果；⑵古典概型的特點(diǎn)：

①所有的基本事件只有有限個(gè)；

②每個(gè)基本事件都是等可能發(fā)生。

⑶古典概型概率計(jì)算公式：一次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個(gè)，事件A包含了其中的m個(gè)基本事件，則事件A發(fā)生的概率P(A)3、幾何概型：⑴幾何概型的特點(diǎn)：

①所有的基本事件是無限個(gè)；

②每個(gè)基本事件都是等可能發(fā)生。⑵幾何概型概率計(jì)算公式：P(A)d的測(cè)度D的測(cè)度mn.

；

取值為x1,x2,,xn的頻率分別為p1,p2,,pn，則其平均數(shù)為x1p1x2p2xnpn；

注意：頻率分布表計(jì)算平均數(shù)要取組中值。⑵方差與標(biāo)準(zhǔn)差：一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,,xn方差：s2；

其中測(cè)度根據(jù)題目確定，一般為線段、角度、面積、體積等。

4、互斥事件：⑴不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件；⑵如果事件A1,A2,,An任意兩個(gè)都是互斥事件，則稱事件A1,A2,,An彼此互斥。

⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于事件A，B發(fā)生的概率的和，

即：P(AB)P(A)P(B)⑷如果事件A1,A2,,An彼此互斥，則有：

P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)

1nn2i(xi1x)；

標(biāo)準(zhǔn)差：s1nn2i1(xix)

注：方差與標(biāo)準(zhǔn)差越小，說明樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。平均數(shù)反映數(shù)據(jù)總體水平；方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定水平。

⑸對(duì)立事件：兩個(gè)互斥事件中必有一個(gè)要發(fā)生，則稱這兩個(gè)事件為對(duì)立事件。①事件A的對(duì)立事件記作A

P(A)P(A)1,P(A)1P(A)sin064322334322

costan②對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對(duì)立事件。

1.2.2、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1、平方關(guān)系：sin2cos21.2、商數(shù)關(guān)系：tansincos必修4數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章：三角函數(shù)

1.1.1、任意角

1、正角、負(fù)角、零角、象限角的概念.2、與角終邊相同的角的集合：2k,kZ.

1.1.2、弧度制

1、把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.2、lr.

3、倒數(shù)關(guān)系：tancot1 1.3、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

（概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”kZ）1、誘導(dǎo)公式一：

sin2ksin,cos2kcos,（其中：kZ）tan2ktan..

nR180R.

2、誘導(dǎo)公式二：

sinsin,3、弧長(zhǎng)公式：lcoscos,

tantan.4、扇形面積公式：SnR360212lR.

3、誘導(dǎo)公式三：

sinsin, 1.2.1、任意角的三角函數(shù)

1、設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)Px,y，那么：siny,cosx,tanyxcoscos,

tantan.4、誘導(dǎo)公式四：

sinsin,2、設(shè)點(diǎn)Ax,yrxy）

yr22為角終邊上任意一點(diǎn)，那么：（設(shè)

coscos,

tantan.cos，

xrtan，

yxsin，cotxy5、誘導(dǎo)公式五：

sincos,2cossin.23、sin，cos，tan在四個(gè)象限的符號(hào)和三角

函數(shù)線的畫法.y

正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT

OMAxPT

6、誘導(dǎo)公式六：

sincos,2cossin.2

5、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270等的三角函數(shù)值.

-9-

1.4.1、正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1、記住正弦、余弦函數(shù)圖象：y-4-7-32-4-72y=sinx2、能夠?qū)φ請(qǐng)D象講出正弦、余弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定

義域、值域、最大最小值、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、

7225324-52-2-3-2-21-1y1-1o322奇偶性、單調(diào)性、周期性.

x3、會(huì)用五點(diǎn)法作圖.

yx在x[0,2]上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為：

y=cosx-5-32--2-2-32o2322527324x3（0，0）（，，1）（，，0）（，，）-1（，2，0）.

22

1.4.3、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、記住正切函數(shù)的圖象：

y

2、記住余切函數(shù)的圖象：

yy=tanxy=cotx-32--2o232x--2o2322x

3、能夠?qū)φ請(qǐng)D象講出正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、值域、對(duì)稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性.

周期函數(shù)定義：對(duì)于函數(shù)fx，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有fxTfx，那么函數(shù)fx就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.圖表歸納：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像及其性質(zhì)ysinxycosxytanx圖象定義域值域x2kRR{x|x2k,kZ}[-1,1]2x2k[-1,1]R無,kZ時(shí)，ymax1最值2,kZ時(shí)，ymin1x2k,kZ時(shí)，ymax1x2k,kZ時(shí)，ymin1周期性奇偶性在[2kT2T2T奇2,2k偶]上單調(diào)遞增]上單調(diào)遞減奇2單調(diào)性在[2k,2k]上單調(diào)遞增在(k在[2k,2k]上單調(diào)遞減2kZ在[2k,k2)上單調(diào)遞增2,2k32對(duì)稱性對(duì)稱軸方程：xkZk2對(duì)稱中心(k,0)對(duì)稱軸方程：xk對(duì)稱中心(k,0)2無對(duì)稱軸對(duì)稱中心(k2,0) 1.5、函數(shù)yAsinx的圖象1、對(duì)于函數(shù)：

yAsinxBA0,0有：振幅A，周

平移個(gè)單位yAsinx

（左加右減）平移|B|個(gè)單位（上加下減）

yAsinxB

期T2，初相，相位x，頻率f1T2.

2、能夠講出函數(shù)ysinx的圖象與

yAsinxB的圖象之間的平移伸縮變

3、三角函數(shù)的周期，對(duì)稱軸和對(duì)稱中心函數(shù)ysin(x)，x∈R及函數(shù)ycos(x)，x∈R(A,,為常數(shù)，且A≠0)的周期T數(shù)ytan(x)，xk常數(shù)，且A≠0)的周期T22||；函

換關(guān)系.

①先平移后伸縮：ysinx平移||個(gè)單位ysinx

（左加右減）

,kZ(A,ω,為

||.

橫坐標(biāo)不變yAsinx

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍

對(duì)于yAsin(x和)yAcos(x)來

說，對(duì)稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對(duì)稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系.求函數(shù)yAsin(x)圖像的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心，只需令xk2(kZ)與xk(kZ)

縱坐標(biāo)不變yAsinx

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膢平移|B|個(gè)單位（上加下減）

1|倍

解出x即可.余弦函數(shù)可與正弦函數(shù)類比可得.4、由圖像確定三角函數(shù)的解析式利用圖像特征：Aymaxymin2yAsinxB

，Bymaxymin2.

要根據(jù)周期來求,要用圖像的關(guān)鍵點(diǎn)來求.

1.6、三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用1、要求熟悉課本例題.

第三章、三角恒等變換 3.1.1、兩角差的余弦公式記住15°的三角函數(shù)值：cossin12

②先伸縮后平移：ysinx橫坐標(biāo)不變yAsinx

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍

x縱坐標(biāo)不變yAsin橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膢

1tan|倍

-11-

642642

3.1.2、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1、sinsincoscossin2、sinsincoscossin3、coscoscossinsin4、coscoscossinsin5、tan6、tantantan.

1tantantantan.

1tantan1、了解四種常見向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.

2.1.2、向量的幾何表示

1、帶有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三

個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.

2、向量AB的大小，也就是向量AB的長(zhǎng)度（或稱

模），記作AB；長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量；長(zhǎng)

度等于1個(gè)單位的向量叫做單位向量.

3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量）.規(guī)定：零向量與任意向量平行. 2.1.3、相等向量與共線向量

1、長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 2.2.1、向量加法運(yùn)算及其幾何意義1、三角形加法法則和平行四邊形加法法則.

2、ab≤ab.

2.2.2、向量減法運(yùn)算及其幾何意義

1、與a長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形減法法則和平行四邊形減法法則.

2.2.3、向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

1、規(guī)定：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)

算叫做向量的數(shù)乘.記作：a，它的長(zhǎng)度和方向

2 3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin22sincos，變形：sincos1sin2.22、cos2cos2sin2

2cos112sin.

22變形如下：

21cos22cos升冪公式：

21cos22sincos21(1cos2)2降冪公式：

2sin1(1cos2)23、tan22tan.21tansin21cos2sin24、tan1cos2

3.2、簡(jiǎn)單的三角恒等變換1、注意正切化弦、平方降次.2、輔助角公式y(tǒng)asinxbcosxabsin(x)

2規(guī)定如下：⑴aa,⑵當(dāng)0時(shí),a的方向與a的方向相同；當(dāng)

0時(shí),a的方向與a的方向相反.

-2-

（其中輔助角所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決定,tanba).

第二章：平面向量

2.1.1、向量的物理背景與概念

2、平面向量共線定理：向量aa0與b共線，當(dāng)

且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba. 2.3.1、平面向量基本定理

1、平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩

個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1,2，使a1e12e2. 2.4.2、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角1、設(shè)ax1,y1,bx2,y2，則：

⑴abx1x2y1y2⑵ax1y1

22⑶abab0x1x2y1y20⑷a//babx1y2x2y10

2.3.2、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1、axiyjx,y. 2.3.3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、設(shè)ax1,y1,bx2,y2，則：⑴abx1x2,y1y2，

⑵abx1x2,y1y2，⑶ax1,y1，⑷a//bx1y2x2y1.2、設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則：ABx2x1,y2y1. 2.3.4、平面向量共線的坐標(biāo)表示1、設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，則⑴線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為

x1x21y22,y2，

⑵△ABC的重心坐標(biāo)為

x1x2x3y1y2y33,3.

2.4.1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義1、ababcos.

2、a在b方向上的投影為：acos.3、22aa.24、aa.5、abab0.

2、設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則：

ABx2x221y2y1.

3、兩向量的夾角公式

cosabx1x2y1y2abx22

1y21x2y224、點(diǎn)的平移公式

平移前的點(diǎn)為P(x,y)（原坐標(biāo)），平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x,y)（新坐標(biāo)），平移向量為PP(h,k)，

則xxhyyk.

函數(shù)yf(x)的圖像按向量a(h,k)平移后的

圖像的解析式為ykf(xh). 2.5.1、平面幾何中的向量方法 2.5.2、向量在物理中的應(yīng)用舉例

知識(shí)鏈接：空間向量空間向量的許多知識(shí)可由平面向量的知識(shí)類比而得.下面對(duì)空間向量在立體幾何中證明，求值的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)歸納.

1、直線的方向向量和平面的法向量⑴．直線的方向向量：若A、B是直線l上的任意兩點(diǎn)，則AB為直線l的一個(gè)方向向量；與AB平行的任意非零向量也是直線l的方向向量.

⑵．平面的法向量：

若向量n所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作n，如果n，那么向量n即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。

3、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系⑴線線垂直設(shè)直線l1,l2的方向向量分別是a、b，則要證明l1l2，只需證明ab，即ab0.

叫做平面的法向量.

⑶．平面的法向量的求法（待定系數(shù)法）：①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．②設(shè)平面的法向量為n(x,y,z)．

即：兩直線垂直⑵線面垂直兩直線的方向向量垂直。

③求出平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo)a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)．

na0④根據(jù)法向量定義建立方程組.

nb0①（法一）設(shè)直線l的方向向量是a，平面的法向l量是u，則要證明，只需證明a∥u，即au.②（法二）設(shè)直線l的方向向量是a，平面內(nèi)的兩

am0,則l.個(gè)相交向量分別為m、n，若an0⑤解方程組，取其中一組解，即得平面的法向量.

（如圖）

即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的

法向量共線直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。⑶面面垂直若平面的法向量為u，平面的法向量為v，要

2、用向量方法判定空間中的平行關(guān)系⑴線線平行設(shè)直線l1,l2的方向向量分別是a、b，則要證明l1∥

證，只需證uv，即證uv0.

即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直。4、利用向量求空間角⑴求異面直線所成的角已知a,b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a,b上的任意兩點(diǎn)，a,b所成的角為，

ACBD則cos.

ACBDl2，只需證明a∥b，即akb(kR).

即：兩直線平行或重合⑵線面平行兩直線的方向向量共線。

①（法一）設(shè)直線l的方向向量是a，平面的法向量是u，則要證明l∥，只需證明au，即au0.

⑵求直線和平面所成的角①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成

的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角②求法：設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量

即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面

的法向量垂直且直線在平面外

②（法二）要證明一條直線和一個(gè)平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.⑶面面平行若平面的法向量為u，平面的法向量為v，要證∥，只需證u∥v，即證uv.

-4-

為u，直線與平面所成的角為，a與u的夾角為，

則為的余角或的補(bǔ)角的余角.即有：ausincos.

au

⑵點(diǎn)A到平面的距離若點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面內(nèi)任一點(diǎn)，

平面的法向量為n，則P到平面的距離就等于MP在法向量n方向上的投影的絕對(duì)值.

⑶求二面角①定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個(gè)部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面即dMPcosn,MPnMPMP

nMPnMPn

二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一點(diǎn)O，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線

AOl,BOl，則AOB為二面角l的平

面角.

如圖：

ABOlB⑶直線a與平面之間的距離當(dāng)一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，直線上的各點(diǎn)到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點(diǎn)到平面的距離，即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離。

nMP即d.nA②求法：設(shè)二面角l的兩個(gè)半平面的法向量

O分別為m、n，再設(shè)m、n的夾角為，二面角n的夾角l的平面角為，則二面角為m、或其補(bǔ)角.

⑷兩平行平面,之間的距離利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離。

nMP即d.n根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角：

mn◆如果是銳角，則coscos，

mnmn即arccos；

mnmn◆如果是鈍角，則coscos，

mnmn即arccos.

mn⑸異面直線間的距離設(shè)向量n與兩異面直線a,b都垂直，Ma,Pb,則兩異面直線a,b間的距離d就是MP在向量n方向

上投影的絕對(duì)值。

5、利用法向量求空間距離⑴點(diǎn)Q到直線l距離nMP即d.n6、三垂線定理及其逆定理若Q為直線l外的一點(diǎn),P在直線l上，a為直線l的

⑴三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)

lb方向向量，=PQ，則點(diǎn)Q到直線距離為平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂

122直h(|a||b|)(ab)P|a|推理模式：

-5-

OAa

PO,OPAAaPAa,aOAa2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;sinAa2R,sinBb2R,sinCc2R;

概括為：垂直于射影就垂直于斜線.

⑵三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直a:b:csinA:sinB:sinC.

用途：⑴已知三角形兩角和任一邊，求其它元素；⑵已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其它

元素。

2、余弦定理：a2b2c22bccosA,222bac2accosB,222cab2abcosC.222bca,cosA2bc222acb,cosB2ac222abc.cosC2abPO,O推理模式：PAAaAO

a,aAP概括為：垂直于斜線就垂直于射影.

7、三余弦定理設(shè)AC是平面內(nèi)的任一條直線，AD是的一條斜線AB在內(nèi)的射影，且BD⊥AD，垂足為D.設(shè)AB與

AD與AC所成的角為2，AB(AD)所成的角為1，

與AC所成的角為．則coscos1cos2.

B

A12用途：⑴已知三角形兩邊及其夾角，求其它元素；

DC

8、面積射影定理⑵已知三角形三邊，求其它元素。做題中兩個(gè)定理經(jīng)常結(jié)合使用.3、三角形面積公式：SABC12absinC12bcsinA12acsinB

已知平面內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為SS原，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為SS射，平面與平面所成的二面角的大小為銳二面角，則cosSS"4、三角形內(nèi)角和定理：在△ABC中，有ABCC(AB)

C2=S射S原2.

AB22C22(AB).

9、一個(gè)結(jié)論長(zhǎng)度為l的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射sin2Asin2B,則AB或AB.特別注意，若影長(zhǎng)分別為l1、l2、l3，夾角分別為1、2、3,則有l(wèi)lllcos1cos2cos31sin1sin2sin32.

22222122232225、一個(gè)常用結(jié)論：在ABC中，absinAsinBAB;

2在三角函數(shù)中，sinAsinBAB不成立。

（立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例）.

第二章：數(shù)列

1、數(shù)列中an與Sn之間的關(guān)系：

必修5數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章：解三角形1、正弦定理：asinAsinBsinC（其中R為ABC外接圓的半徑）

-6-

,(n1)S1an注意通項(xiàng)能否合并。

SS,(n2).n1n2、等差數(shù)列：c2R.

b⑴定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即an－an1=d，（n≥

2，n∈N），

那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。

⑵等差中項(xiàng)：若三數(shù)a、A、b成等差數(shù)列

Aab2⑶通項(xiàng)公式：ana1qn1amqnm

a11q1qn⑷前n項(xiàng)和公式：Sn⑸常用性質(zhì)

a1anq1q

⑶通項(xiàng)公式：ana1(n1)dam(nm)d或anpnq(p、q是常數(shù)）.⑷前n項(xiàng)和公式：

nn12na1an2①若mnpqm,n,p,qN，則

amanapaq；

②ak,akm,ak2m,為等比數(shù)列，公比為qk(下標(biāo)成等差數(shù)列,則對(duì)應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列)

Snna1d

③數(shù)列an（為不等于零的常數(shù)）仍是公比為q的等比數(shù)列；正項(xiàng)等比數(shù)列an；則lgan是公差為

lgq的等差數(shù)列；

⑸常用性質(zhì)：

①若mnpqm,n,p,qN，則

amanapaq；

②下標(biāo)為等差數(shù)列的項(xiàng)ak,akm,ak2m,，仍組成等差數(shù)列；

③數(shù)列anb（,b為常數(shù)）仍為等差數(shù)列；④若{an}、{bn}是等差數(shù)列，則{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常數(shù))、{apnq}(p,qN)、，也成等差數(shù)列。

⑤單調(diào)性：an的公差為d，則：

）d0an為遞增數(shù)列；）d0an為遞減數(shù)列；）d0*12④若an是等比數(shù)列，則can，a，nan，anr21r是等比數(shù)列，公比依次是q，q，，q.(rZ)q⑤單調(diào)性：

a10,q1或a10,0q1an為遞增數(shù)列；

a10,0q1或a10,q1an為遞減數(shù)列；q1an為常數(shù)列；q0an為擺動(dòng)數(shù)列；

an為常數(shù)列；

Sk、

⑥數(shù)列{an}為等差數(shù)列anpnq（p,q是常數(shù)）⑦若等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，則Sk、S2kS3kS2k是等差數(shù)列。

⑥既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列。⑦若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，則Sk、S2kSk、

S3kS2k是等比數(shù)列.

3、等比數(shù)列⑴定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前

一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。⑵等比中項(xiàng)：若三數(shù)a、G、b成等比數(shù)列Gab,（ab同號(hào)）。反之不一定成立。

-7-

24、非等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法類型Ⅰ觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。

類型Ⅱ公式法：若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列an的通項(xiàng)an可用公式,(n1)S1an構(gòu)造兩式作差求解。

SS,(n2)n1n

用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即a1和an合為一個(gè)表達(dá)，（要先分n1和n2兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）。

類型Ⅲ累加法：形如an1anf(n)型的遞推數(shù)列（其中f(n)是關(guān)anan1f(n1)an1an2f(n2)于n的函數(shù)）可構(gòu)造：

...aaf(1)21型的遞推式：（1）若p1時(shí)，數(shù)列{an}為等差數(shù)列;（2）若q0時(shí)，數(shù)列{an}為等比數(shù)列;

（3）若p1且q0時(shí)，數(shù)列{an}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求.方法有如下兩種：

法一：設(shè)an1p(an),展開移項(xiàng)整理得

an1pan(p1),與題設(shè)an1panq比較系

將上述n1個(gè)式子兩邊分別相加，可得：

anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)

數(shù)（待定系數(shù)法）得

qp1,(p0)an1qp1p(anqp1)①若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;

②若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;

③若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;④若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和.

類型Ⅳ累乘法：a形如an1anf(n)n1f(n)型的遞推數(shù)列（其ananf(n1)an1an1f(n2)中f(n)是關(guān)于n的函數(shù)）可構(gòu)造：an2

...a2af(1)1將上述n1個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)

anqp1qp1p(an1q),即an構(gòu)成

p1p1q以a1為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列.再利用

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出an的通項(xiàng)整理可p1q得an.

法二：由an1panq得anpan1q(n2)兩式

相減并整理得

an1ananan1p,即an1an構(gòu)成以

a2a1為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列.求出

an1an的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求

出an.

㈡形如an1panf(n)(p1)型的遞推式：⑴當(dāng)f(n)為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)anAnBpan1A(n1)B，

通過待定系數(shù)法確定A、轉(zhuǎn)化成以a1ABB的值，為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列anAnB，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出anAnB的通項(xiàng)整

有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這

種方法求解。

類型Ⅴ構(gòu)造數(shù)列法：㈠形如an1panq（其中p,q均為常數(shù)且p0）

理可得an.

⑶當(dāng)f(n)為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：在an1panf(n)兩邊同時(shí)除以pn1可得到an1pn1法二：當(dāng)f(n)的公差為d時(shí)，由遞推式得：

an1panf(n)，anpan1f(n1)兩式相減

anpnf(n)pn1，令

anpn則bn1bnbn，

f(n)pn1，

得：an1anp(anan1)d，令bnan1an得：

在轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法），求出bn之后得anpnbn.

bnpbn1d轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出bn，再用類型Ⅲ

類型Ⅵ對(duì)數(shù)變換法：形如an1paq(p0,an0)型的遞推式：在原遞推式an1paq兩邊取對(duì)數(shù)得

（累加法）便可求出an.

⑵當(dāng)f(n)為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)anf(n)pan1f(n1)，通過

lgan1qlganlgp，令bnlgan得：

待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以a1f(1)為首項(xiàng)，

bn1qbnlgp，化歸為an1panq型，求出bn以p為公比的等比數(shù)列anf(n)，再利用等比數(shù)

之后得an10.（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)

列的通項(xiàng)公式求出anf(n)的通項(xiàng)整理可得an.

題意選擇）。

類型Ⅶ倒數(shù)變換法：形如an1anpan1an（p為常數(shù)且p0）的遞推an1panf(n)①，anpan1f(n1)，兩

bn法二：當(dāng)f(n)的公比為q時(shí)，由遞推式得：

邊同時(shí)乘以q得anqpqan1qf(n1)②，由①②兩式相減得an1anqp(anqan1)，即

an1qananqan1p，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠便可求出an.

式：兩邊同除于an1an，轉(zhuǎn)化為化歸為an1panq型求出還有形如an1manpanqqanp1an1an1an1p形式，

的表達(dá)式，再求an；

的遞推式，也可采用取倒數(shù)方

法轉(zhuǎn)化成1m1m形式，化歸為an1panqn法三：遞推公式為an1panq（其中p，q均

n為常數(shù)）或an1panrq（其中p，q,r均為常數(shù)）

an1型求出

1an的表達(dá)式，再求an.

時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以qan1qn1n1，得：

類型Ⅷ形如an2pan1qan型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列{anan1}的形式求解。方法為：設(shè)an2kan1h(an1kan)，比較

pqanqn1q，引入輔助數(shù)列bn（其中

bnanqn），得：bn1pqbn1q再應(yīng)用類型Ⅴ㈠的方

系數(shù)得hkp,hkq，可解得h、k，于是

{an1kan}是公比為h的等比數(shù)列，這樣就化歸為

-9-

法解決。

an1panq型。

③1ab1ab(ab);

總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式an.

5、非等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的求法⑴錯(cuò)位相減法①若數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn為等比數(shù)列，則數(shù)列anbn的求和就要采用此法.

②將數(shù)列anbn的每一項(xiàng)分別乘以bn的公比，然后在錯(cuò)位相減，進(jìn)而可得到數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和.

④Cnm1Cnm1Cnm;⑤nn!(n1)!n!.

⑶分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.一般分兩步：①找通向項(xiàng)公式②由通項(xiàng)公式確定如何分組.

⑷倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，則可用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到了一個(gè)常數(shù)列的和，這種求和方法稱為倒序相加法。特征：a1ana2an1...⑸記住常見數(shù)列的前n項(xiàng)和：

n(n1)2此法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法.⑵裂項(xiàng)相消法一般地，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)anc(anb1)(anb2)①123...n

;

②135...(2n1)n2;③123...n2222(a,b1,b2,c為常數(shù)）時(shí)，往往可將an變成兩項(xiàng)的差，

16n(n1)(2n1).

采用裂項(xiàng)相消法求和.

可用待定系數(shù)法進(jìn)行裂項(xiàng)：設(shè)an第三章：不等式 3.1、不等關(guān)系與不等式1、不等式的基本性質(zhì)①（對(duì)稱性）abba

cb2b11anb1anb2，通分整理后與原式相

②（傳遞性）ab,bcac

，從而可得

③（可加性）ab（同向可加性）a（異向可減性）a④（可積性）ab,c⑤（同向正數(shù)可乘性）aacbc

b,cdacbdb,cdacbd0acbc

比較，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得c(anb1)(anb2)=c(b2b1)anb1(1anb2).

常見的拆項(xiàng)公式有：①

1n(n1)1(2n1)(2n1)1n1n11ab,c0acbc

b0,cd0acbd

（異向正數(shù)可除性）ab0,0cdab

；cd⑥（平方法則）ab0anbn(nN,且n1)

⑦（開方法則）ab0nanb(nN,且n1)

112n1);

ab0⑧（倒數(shù)法則）

1a1b;ab01a1b②22n1(

2、幾個(gè)重要不等式

①ab2aba，bR,（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取

22a，bR,（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取""號(hào)）.

""號(hào)）.變形公式：abab222（即調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均）..

變形公式：

ababab;22ab2222②（基本不等式）

ab2ab

a，bR,（當(dāng)

且僅當(dāng)ab時(shí)取到等號(hào)）.

ab變形公式：ab2abab.

222(ab)22.

②冪平均不等式：

a1a2...an2221n用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”.

③（三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式）

abc33(a1a2...an).

2③二維形式的三角不等式：x1y122x2y222(x1x2)(y1y2)

22abc(a、b、cR)（當(dāng)且僅當(dāng)

(x1,y1,x2,y2R).

④二維形式的柯西不等式：

(ab)(cd)(acbd)(a,b,c,dR).當(dāng)且

22222abc時(shí)取到等號(hào)）.

④abcabbccaa，bR

222（當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取到等號(hào)）.⑤a3b3c33abc(a0,b0,c0)（當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取到等號(hào)）.⑥若ab0,則若ab0,則babaabab2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

ab僅當(dāng)adbc時(shí)，等號(hào)成立.⑤三維形式的柯西不等式：

(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3).2222222⑥一般形式的柯西不等式：

(a1a2...an)(b1b2...bn)(a1b1a2b2...anbn).

2222222⑦

babmam1anbn

⑦向量形式的柯西不等式：

設(shè),是兩個(gè)向量，則,當(dāng)且僅當(dāng)其中(ab0，m0，n0)

規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.⑧當(dāng)a0時(shí)，xaxaxa或xa;

22是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使k時(shí)，等號(hào)成

立.

⑧排序不等式（排序原理）：

設(shè)a1a2...an,b1b2...bn為兩組實(shí)數(shù).c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，則

a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancn

xaxaaxa.

22⑨絕對(duì)值三角不等式ababab.

3、幾個(gè)著名不等式①平均不等式：

2a1b1abab2ab222

a1b1a2b2...anbn.（反序和亂序和順序和）

當(dāng)且僅當(dāng)a1a2...an或b1b2...bn時(shí)，反序

和等于順序和.

⑨琴生不等式:（特例:凸函數(shù)、凹函數(shù)）

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)x1,x2(x1f(x1x22)f(x)g(x)f(x)0f(x)g(x)0x2),有

f(x1)f(x2)2或f(x1x22)f(x1)f(x2)2.

f(x)g(x)00g(x)g(x)0（時(shí)同理）“或”規(guī)律：把分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.8、無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解⑴⑵f(x)0f(x)a(a0)2f(x)af(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0g(x)g(x)0f(x)g(x)則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).4、不等式證明的幾種常用方法常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；

其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等.常見不等式的放縮方法：①舍去或加上一些項(xiàng)，如(a12)2f(x)0f(x)a(a0)2f(x)a34(a12);

2⑶②將分子或分母放大（縮�。�，如1k21k(k1)2k2k,

1k21k(k1),

⑷(22k1kk)1k2kk1,

⑸k1(kN,k1)等.

*f(x)5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式axbxc0(或0)

(a0,b4ac0)解集的步驟：

22規(guī)律：把無理不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.9、指數(shù)不等式的解法：f(x)g(x)⑴當(dāng)a1時(shí),aaf(x)g(x)

一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根.

三求：求對(duì)應(yīng)方程的根.

四畫：畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象.

五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.

規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于取中間，大于取兩邊.f(x)g(x)⑵當(dāng)0a1時(shí),aaf(x)g(x)

規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.10、對(duì)數(shù)不等式的解法⑴當(dāng)a1時(shí),

f(x)0f(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結(jié)合原式不等號(hào)的方向，寫出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則

loga⑵當(dāng)0a1時(shí),

f(x)0f(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)loga規(guī)律：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.

11、含絕對(duì)值不等式的解法：⑴定義法：aa(a0).

⑷f(x)a恒成立f(x)mina;

f(x)a恒成立f(x)mina.

2a(a0)⑵平方法：f(x)g(x)f(x)g(x).⑶同解變形法，其同解定理有：①xaaxa(a0);②xaxa或xa(a0);

③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)④

f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)215、線性規(guī)劃問題⑴二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：法一：取點(diǎn)定域法：

由于直線AxByC0的同一側(cè)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)代入AxByC后所得的實(shí)數(shù)的符號(hào)相同.所以，在實(shí)際判斷時(shí)，往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點(diǎn)(x0,y0)（如原點(diǎn)），由Ax0By0C的正負(fù)即可

判斷出AxByC0(或0)表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.

即：直線定邊界，分清虛實(shí)；選點(diǎn)定區(qū)域，常選原點(diǎn).

法二：根據(jù)AxByC0(或0)，觀察B的符號(hào)與不等式開口的符號(hào)，若同號(hào)，AxByC0(或0)表示直線上方的區(qū)域；若異號(hào)，則表示直線上方的區(qū)域.即：同號(hào)上方，異號(hào)下方.⑵二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：

不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.

⑶利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)zAxBy(A,B為常數(shù)）的最值：

法一：角點(diǎn)法：

如果目標(biāo)函數(shù)zAxBy（x、y即為公共區(qū)域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)）的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點(diǎn)處取得，將這些角點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得到一組對(duì)應(yīng)z值，最大的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)z的最大值，最小的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)z的最小值

法二：畫移定求：第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域；第二步，作直線l0:AxBy0，平移直線l0（據(jù)可行域，將

規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào).12、含有兩個(gè)（或兩個(gè)以上）絕對(duì)值的不等式的解法：規(guī)律：找零點(diǎn)、劃區(qū)間、分段討論去絕對(duì)值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含參數(shù)的不等式的解法解形如ax2bxc0且含參數(shù)的不等式時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有：⑴討論a與0的大��；⑵討論與0的大��；⑶討論兩根的大小.14、恒成立問題⑴不等式axbxc0的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成

立）的條件是：

①當(dāng)a0時(shí)b0,c0;

a0a0②當(dāng)時(shí)0.2⑵不等式axbxc0的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成

立）的條件是：

①當(dāng)a0時(shí)b0,c0;

a0a0②當(dāng)時(shí)0.2⑶f(x)a恒成立f(x)maxa;

直線l0平行移動(dòng)）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解

f(x)a恒成立f(x)maxa;

(x,y)；第四步，將最優(yōu)解(x,y)代入目標(biāo)函數(shù)zAxBy即可求出最大值或最小值.

常用小寫的拉丁字母p，q，r，s，表示命題.

2、四種命題及其相互關(guān)系

第二步中最優(yōu)解的確定方法：

ABzB利用z的幾何意義：y縱截距.

x,

zB為直線的

四種命題的真假性之間的關(guān)系：

⑴、兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；⑵、兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．

3、充分條件、必要條件與充要條件⑴、一般地，如果已知pq，那么就說：p是q的充分條件，q是p的必要條件；若pq，則p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件．⑵、充分條件，必要條件與充要條件主要用來區(qū)分命題的條件p與結(jié)論q之間的關(guān)系：

Ⅰ、從邏輯推理關(guān)系上看：①若pq，則p是q充分條件，q是p的必要條件；②若pq，但qp，則p是q充分而不必要條件;③若pq，但qp，則p是q必要而不充分條件;④若pq且qp，則p是q的充要條件；⑤若pq且qp，則p是q的既不充分也不必要

①若B0,則使目標(biāo)函數(shù)zAxBy所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，z取得最大值，使直線的

縱截距最小的角點(diǎn)處，z取得最小值；

②若B0,則使目標(biāo)函數(shù)zAxBy所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，z取得最小值，使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處，z取得最大值.

⑷常見的目標(biāo)函數(shù)的類型：①“截距”型：zAxBy;

②“斜率”型：zyx或zybxa;

條件.

Ⅱ、從集合與集合之間的關(guān)系上看：

22③“距離”型：zxy或z22xy;

已知Axx滿足條件p，Bxx滿足條件q：①若AB,則p是q充分條件；

z(xa)(yb)或z22(xa)(yb).

22②若BA,則p是q必要條件；

在求該“三型”的目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)，可結(jié)合線性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意義求解，從而使問題簡(jiǎn)單化.

③若AB，則p是q充分而不必要條件;

④若BA，則p是q必要而不充分條件;⑤若AB，則p是q的充要條件；

⑥若AB且BA，則p是q的既不充分也不必要條件.

4、復(fù)合命題⑴復(fù)合命題有三種形式：p或q（pq）；p且q（pq）；非p（p）.

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選修數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)專題一：常用邏輯用語1、命題：可以判斷真假的語句叫命題；邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；

簡(jiǎn)單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題;

復(fù)合命題：由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題.

⑵復(fù)合命題的真假判斷

“p或q”形式復(fù)合命題的真假判斷方法：一真必真；“p且q”形式復(fù)合命題的真假判斷方法：一假必假；“非p”形式復(fù)合命題的真假判斷方法：真假相對(duì).5、全稱量詞與存在量詞⑴全稱量詞與全稱命題短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“”表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.

⑵存在量詞與特稱命題

短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做

存在量詞，并用符號(hào)“”表示.含有存在量詞的命題，

叫做特稱命題.

⑶全稱命題與特稱命題的符號(hào)表示及否定

①全稱命題p：x,p(x)，它的否定p：

x0,p(x0).全稱命題的否定是特稱命題．

②特稱命題p：x0,p(x0),，它的否定p：

x,p(x).特稱命題的否定是全稱命題.

專題二：圓錐曲線與方程1．橢圓焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形xa22ya22標(biāo)準(zhǔn)方程yb221ab0xb221ab0第一定義第二定義范圍F2的距離之和等于常數(shù)2a，即|MF1||MF2|2a（2a|F1F2|）到兩定點(diǎn)F1、與一定點(diǎn)的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)e，即axa且bybMFde(0e1)bxb且aya1a,0、2a,010,a、20,a1b,0、2b,0頂點(diǎn)10,b、20,b軸長(zhǎng)對(duì)稱性焦點(diǎn)焦距長(zhǎng)軸的長(zhǎng)2a短軸的長(zhǎng)2b關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱F1c,0、F2c,0F1F22ccaca22F10,c、F20,c(cab)2222離心率eaba221ba22(0e1)準(zhǔn)線方程xa2cya2c焦半徑M(x0,y0)左焦半徑：MF1aex0右焦半徑：MF2aex0SMF1F2btan2下焦半徑：MF1aey0上焦半徑：MF2aey02(F1MF2)焦點(diǎn)三角形面積通徑過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：HHb2a（焦點(diǎn)）弦長(zhǎng)公式A(x1,y1),B(x2,y2)，AB1k2x1x21k2(x1x2)4x1x22焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程xa22ya22yb221a0,b0xb221a0,b0第一定義第二定義范圍頂點(diǎn)軸長(zhǎng)對(duì)稱性焦點(diǎn)焦距F2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a，即|MF1||MF2|2a（02a|F1F2|）到兩定點(diǎn)F1、與一定點(diǎn)的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)e，即xa或xa，yRMFde(e1)ya或ya，xR1a,0、2a,010,a、20,a實(shí)軸的長(zhǎng)2a虛軸的長(zhǎng)2b關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱F1c,0、F2c,0F1F22ccaca222F10,c、F20,c(cab)2222離心率eaba21ba22(e1)準(zhǔn)線方程xa2cbaya2cab漸近線方程yxyx焦半徑M(xy)圖形0,0MF1ex0a左焦：M在右支MF2ex0a右焦：MF1ex0a左焦：M在左支右焦：MFexa20MF1ey0a左焦：M在上支MF2ey0a右焦：MF1ey0a左焦：M在下支MF2ey0a右焦：焦點(diǎn)三角形面積標(biāo)準(zhǔn)方程通徑定義頂點(diǎn)y22pxy2p02px2SMF1F2bcot2p0x2py(F1MF2)2x22pyp0p0b過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：HHl上)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)F不在定直線a20,02．雙曲線

3．拋物線離心率對(duì)稱軸范圍x0pF,02x軸e1y軸x0pF,02y0y0焦點(diǎn)pF0,2pF0,2準(zhǔn)線方程焦半徑M(x0,y0)xp2p2xp2p2yp2p2yp2p2MFx0MFx0MFy0MFy0通徑焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式參數(shù)p的幾何意義過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑：HH2pABx1x2p參數(shù)p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p越大，開口越闊關(guān)于拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)結(jié)論：B(x2,y2)，直線AB的傾斜角為，則設(shè)AB為過拋物線y22px(p0)焦點(diǎn)的弦，A(x1,y1)、⑴x1x2p24,y1y2p;⑵AB22psin2;

⑶以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；⑷焦點(diǎn)F對(duì)A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為

1|FA|1|FB|2P2；

⑸.專題三：定積分1、定積分的概念如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，用分點(diǎn)

Lnnni1f(i)xi1ban當(dāng)n時(shí)，上f(i),，

述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在

ax0x1xi1xixnb將區(qū)間[a,b]dx，即區(qū)間[a,b]上的定積分.記作f(x)ab等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間[xi1,xi]上任取一點(diǎn)i(i1,2,,n)，作和式

banf(x)dxlimni1banf(i)，這里，a與b分別叫

做積分下限與積分上限，區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間，函

數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式.

說明：

（1）定積分的值是一個(gè)常數(shù)，可正、可負(fù)、可為零；（2）用定義求定積分的四個(gè)基本步驟：①分割；②近似代替；③求和；④取極限.

2、微積分基本定理(牛頓-萊布尼茲公式)如果F(x)f(x)，且f(x)在[a,b]上可積，則

⑷利用函數(shù)的奇偶性求定積分:若f(x)是[a,a]上的奇函數(shù),則f(x)dx0;若f(x)是[a,a]上的偶

aa函數(shù),則f(x)dx2f(x)dx.

a0aa5、定積分的幾何意義定積分f(x)dx表示在區(qū)間[a,b]上的曲線

abbaf(x)dxF(x)aF(b)F(a)，

byf(x)與直線xa、xb以及x軸所圍成的平面

圖形（曲邊梯形）的面積的代數(shù)和，即

【其中F(x)叫做f(x)的一個(gè)原函數(shù)，因?yàn)?/p>

baf(x)dxSx軸上方－Sx軸下方.（在x軸上方的面積取

F(x)CF(x)f(】x)

正號(hào),在x軸下方的面積取負(fù)號(hào)）

6、求曲邊梯形面積的方法與步驟⑴畫出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖像；

⑵借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限；

⑶寫出定積分表達(dá)式；

⑷求出曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對(duì)值的和.

3、常用定積分公式⑴0dxc（c為常數(shù)）⑵1dxxc

x1⑶xdx⑷1xx1c(1)

7、定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用⑴定積分在幾何中的應(yīng)用：

幾種常見的曲邊梯形面積的計(jì)算方法:（1）x型區(qū)域：

①由一條曲線yf(x)(其中f(x)0）與直線

xa,xb(ab)以及x軸所圍成的曲邊梯形的面

dxlnxc

x⑸edxec

x⑹adxaxlnac(a0,a1)

b積：S＝af(x)dx（如圖（1））；

⑺sinxdxcosxc⑻cosxdxsinxc⑼sinaxdx⑽cosaxdx1a1acosaxc(a0)(a0)

圖（1）

②由一條曲線yf(x)(其中f(x)0）與直線xa,xb(ab)以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積：S＝f(x)dx＝－f(x)dx（如圖（2））；

aabbsinaxc4、定積分的性質(zhì)⑴kf(x)dxkf(x)dx（k為常數(shù)）；

aabb⑵f(x)g(x)dxabbaf(x)dxbag(x)dx；

⑶f(x)dxabcaf(x)dxbcf(x)dx（其中acb);

圖（2）

③由一條曲線yf(x)【當(dāng)axc時(shí)，f(x)0當(dāng)cxb時(shí)，f(x)0

圖（5）

②由一條曲線yf(x)(其中x0）與直線

ya,yb(ab)以及y軸所圍成的曲邊梯形的面

cabcf(x)dx0;f(x)dx0.】

積，可由yf(x)先求出xh(y)，然后利用

S＝bah(y)dy＝－）；h(y)dy求出（如圖（6）

ab與直線xa,xb(ab)以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積：S＝f(x)dxacbcf(x)dx

＝f(x)dxf(x)dx.（如圖（3））；

accb

圖（3）

④由兩條曲線yf(x)，yg(x)（f(x)g(x))與直線xa,xb(ab)所圍成的曲邊梯形的面積：S

圖（6）

③由兩條曲線yf(x)，yg(x)與直線

ya,yb(ab)所圍成的曲邊梯形的面積，可由

yf(x)，yg(x)先分別求出xh1(y)，

b然后利用S＝xh2(y)，圖（7））；

|h(y)－h(huán)a12(（如y)|dy求出

baf(x)dxg(x)dxabf(x)g(x)dx.（如

ab圖（4））

圖（4）

（2）y型區(qū)域：

①由一條曲線yf(x)(其中x0）與直線

ya,yb(ab)以及y軸所圍成的曲邊梯形的面積,可由yf(x)得xh(y)，然后利用S＝h(y)dy求

ab圖（7）

⑵定積分在物理中的應(yīng)用：①變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程S，等于其速度函數(shù)vv(t)(v(t)0)在時(shí)間區(qū)間a,b上的定積分，即Sbav(t)dt..

②變力作功

物體在變力F(x)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與F(x)相同的方向從xa移動(dòng)到xb(ab)，那么變力F(x)所作的功W出（如圖（5））；

-3-baF(x)dx.

專題四：推理與證明

知識(shí)結(jié)構(gòu)

合情推理推理推理與證明證明間接證明數(shù)學(xué)歸納法直接證明演繹推理歸納推理類比推理⑶結(jié)論-----據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷．

用集合的觀點(diǎn)來理解：若集合M中的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的一個(gè)子集,那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P.

比較法綜合法分析法反證法

MaS從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確.

5、直接證明與間接證明⑴綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.

框圖表示：要點(diǎn)：順推證法；由因?qū)Ч?

⑵分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.

框圖表示：要點(diǎn)：逆推證法；執(zhí)果索因.

⑶反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立.的證明方法.它是一種間接的證明方法.反證法法證明一個(gè)命題的一般步驟：(1)（反設(shè)）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

1、歸納推理把從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納).

簡(jiǎn)言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。

歸納推理的一般步驟：

通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）；證明（視題目要求，可有可無）.

2、類比推理由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比）．

簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.類比推理的一般步驟：

找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；

用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想；檢驗(yàn)猜想。

3、合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理.

歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理，通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演繹推理從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理．

簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.演繹推理的一般模式“三段論”，包括⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情況；

-4-

(2)（推理）根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到導(dǎo)出矛盾為止；(3)（歸謬）斷言假設(shè)不成立；

(4)（結(jié)論）肯定原命題的結(jié)論成立.6、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟;

*（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N)時(shí)命題成立；

*（2）（歸納遞推）假設(shè)nk(kn0,kN)時(shí)命題成立，推證當(dāng)nk1時(shí)命題也成立.只要完成了這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.

用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，其中包括恒等式、不等式、數(shù)列通項(xiàng)公式、幾何中的計(jì)算問題等.

專題五：數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)1、復(fù)數(shù)的概念⑴虛數(shù)單位i；

⑵復(fù)數(shù)的代數(shù)形式zabi(a,bR)；

10，23n1,3n2,3n31

⑶復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部，虛數(shù)與純虛數(shù).2、復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)zabi6、復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)平面：用來表示復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)系，其中x軸叫做復(fù)平面的實(shí)軸，y軸叫做復(fù)平面的虛軸.

復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a,b)一一對(duì)應(yīng)a,bR

實(shí)數(shù)(b0)純虛數(shù)(a0,b0)虛數(shù)(b0)非純虛數(shù)(a0,b0)復(fù)數(shù)zabi平面向量OZ一一對(duì)應(yīng)3、相關(guān)公式⑴abicdiab,且cd⑵abi0ab0⑶zabiab

22

專題六：排列組合與二項(xiàng)式定理1、基本計(jì)數(shù)原理⑴分類加法計(jì)數(shù)原理：(分類相加)

做一件事情，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方

⑷zabi

z，z指兩復(fù)數(shù)實(shí)部相同，虛部互為相反數(shù)（互為共軛復(fù)數(shù)）.4、復(fù)數(shù)運(yùn)算⑴復(fù)數(shù)加減法：abicdiacbdi；⑵復(fù)數(shù)的乘法：

法在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事情共有Nm1m2mn種不同的方法.⑵分步乘法計(jì)數(shù)原理：(分步相乘)

做一件事情，完成它需要n個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有m1種不同的方法，做第二個(gè)步驟有m2種不同的方

法做第n個(gè)步驟有mn種不同的方法.那么完成這件事情共有Nm1m2mn種不同的方法.

2、排列與組合⑴排列定義：一般地，從n個(gè)不同的元素中任取mmn個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從

abicdiacbdbcadi；

⑶復(fù)數(shù)的除法：

abicdiabicdi

cdicdiacbdcd22n個(gè)不同的元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)排列.

2acbdbcadicd22bcadcd2i

⑵組合定義：一般地，從n個(gè)不同的元素中任取mmn個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同的元素中

（類似于無理數(shù)除法的分母有理化虛數(shù)除法的分

母實(shí)數(shù)化）5、常見的運(yùn)算規(guī)律(1)zz;(3)zzz2任取m個(gè)元素的一個(gè)組合.

⑶排列數(shù)：從n個(gè)不同的元素中任取mmn個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同的元素中任取m個(gè)元素的排列數(shù)，記作An.

⑷組合數(shù)：從n個(gè)不同的元素中任取mmn個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同的元素中任取mm(2)zz2a,zz2bi;

z4n22ab;(4)zz;(5)zzzR

4n322(6)i4n1i,i1,ii,i4n41;

(7)1i21ii;(8)i,i,i

1i1i2123i1i1i2個(gè)元素的組合數(shù)，記作Cn.⑸排列數(shù)公式：

m①Annn1n2nm1

m(9)設(shè)是1的立方虛根，則

Amnn！nm!；

CnbnnnN.

⑵二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：

Tr1Cnarnr②Annn!，規(guī)定0!1.⑹組合數(shù)公式：①CnmCnmnb0rn,rN,nN.主要用途

rnn1n2nm1m!或

mn！m!nm!nmn；

是求指定的項(xiàng).

⑶項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)

項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是不同的兩個(gè)概念，但當(dāng)二項(xiàng)式的兩個(gè)項(xiàng)的系數(shù)都為1時(shí)，系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù).如

在(axb)n的展開式中，第r1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

1x②CC，規(guī)定C1.

0n為Cnr，第r1項(xiàng)的系數(shù)為Cnranrbr；而(x)的

n⑺排列與組合的區(qū)別：排列有順序，組合無順序.

m⑻排列與組合的聯(lián)系：AnmCnmAm，即排列就是先

展開式中的系數(shù)等于二項(xiàng)式系數(shù)；二項(xiàng)式系數(shù)一定為

正，而項(xiàng)的系數(shù)不一定為正.⑷1x的展開式：

n組合再全排列.

CnmAAmnmmn(n1)(nm1)m(m1)21n!m!nm!1xn(mn)CnxCnx0n1n1Cnx2n2Cnx，

n0若令x1，則有

⑼排列與組合的兩個(gè)性質(zhì)性質(zhì)

mmm1mmm1排列An1AnmAn；組合Cn1CnCn.

11n2CnCnCnCn.

n012n二項(xiàng)式奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和等于二項(xiàng)式偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)

13n1Cn2的和.即Cn0Cn2Cn⑽解排列組合問題的方法

①特殊元素、特殊位置優(yōu)先法（元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）.

②間接法（對(duì)有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉）.

③相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）.④不相鄰(相間)問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）.⑤有序問題組合法.

⑥選取問題先選后排法.⑦至多至少問題間接法.

⑧相同元素分組可采用隔板法.

⑨分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n！.3、二項(xiàng)式定理⑴二項(xiàng)展開公式：

⑸二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：

（1）對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)

mnm式系數(shù)相等，即CnCn；

（2）增減性與最大值：當(dāng)rr數(shù)Cn的值逐漸增大，當(dāng)rn12r時(shí)，二項(xiàng)式系

n12時(shí),Cn的值逐漸減小，

n2且在中間取得最大值。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)（第

n＋1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)Cn2取得最大值.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)（第

n1n1n12和

n12＋1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)

Cn2Cn2相等并同時(shí)取最大值.

⑹系數(shù)最大項(xiàng)的求法

ArAr1A設(shè)第r項(xiàng)的系數(shù)r最大，由不等式組

AAr1r可確定r.

⑺賦值法

n2n若(axb)a0a1xa2x...anx,

ab

nCnaCna0n1n1bCna2n2bCna2rnrbr

則設(shè)f(x)(axb)n.有：①a0f(0);

②a0a1a2...anf(1);

③a0a1a2a3...(1)nanf(1);④a0a2a4a6...⑤a1a3a5a7...f(1)f(1)2f(1)f(1)2;.

⑶相互獨(dú)立事件：事件A（或B）是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，（即其中一個(gè)事件是否發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響）.這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.

當(dāng)A、B是相互獨(dú)立事件時(shí)，那么事件AB發(fā)生（即A、B同時(shí)發(fā)生）的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率的積.即

P(AB)P(A)P(B).

若A、B兩事件相互獨(dú)立，則A與B、A與B、A與B也都是相互獨(dú)立的.⑷獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

①一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).

專題七：隨機(jī)變量及其分布知識(shí)結(jié)構(gòu)

②獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)試驗(yàn)恰好發(fā)生k次的概率

Pn(k)Cnpkk(1pn)k0,,12n,.

k⑸條件概率：對(duì)任意事件A和事件B，在已知事件A

發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，叫做條件概率.記作P(B|A)，讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率.

1、基本概念⑴互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件.

如果事件A、B、C，其中任何兩個(gè)都是互斥事件，則說事件A、B、C彼此互斥.

當(dāng)A、B是互斥事件時(shí)，那么事件AB發(fā)生（即A、B中有一個(gè)發(fā)生）的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率的和，即

P(AB)P(A)公式：P(BA)P(AB)P(A),P(A)0.

2、離散型隨機(jī)變量⑴隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用

字母X,Y,,等表示.

⑵離散型隨機(jī)變量:對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.

⑶連續(xù)型隨機(jī)變量:對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.

⑷離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系:離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出.

若X是隨機(jī)變量，則YYaXb(a,b是常數(shù)）也是隨機(jī)變量并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型）.3、離散型隨機(jī)變量的分布列.P(B⑵對(duì)立事件：其中必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)互斥事件.事件

A的對(duì)立事件通常記著A.

對(duì)立事件的概率和等于1.P(A)1P(A).

特別提醒：“互斥事件”與“對(duì)立事件”都是就兩個(gè)事件而言的，互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)

事件，而對(duì)立事件是其中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件，因此，對(duì)立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，也就是說“互斥”是“對(duì)立”的必要但不充分的條件.

⑴概率分布（分布列）

設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1,x2，，xi，，xn，

X的每一個(gè)值xi（i1,2,,n）的概率P(Xxi)pi，則稱表XPn件,其中恰有X件次品數(shù),則事件Xk發(fā)生的

概率為P(Xk)CMCNMCNnknk(k0,1,2,,m),于

x1p1x2p2xipixnpn是得到隨機(jī)變量X的概率分布如下：

X0CMCNMCNn0n011CMCNMCNnn1mP為隨機(jī)變量X的概率分布，簡(jiǎn)稱X的分布列.

nmnmCMCNMnCN性質(zhì)：①pi0,i1,2,...n;②pi1.

i1其中mminM,n,n≤N,M≤N,n,M,NN*.我們稱這樣的隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列,

⑵兩點(diǎn)分布

如果隨機(jī)變量X的分布列為

XP01p1p且稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

注:⑴超幾何分布的模型是不放回抽樣；

⑵超幾何分布中的參數(shù)是M,N,n.其意義分別是總體中的個(gè)體總數(shù)、N中一類的總數(shù)、樣本容量.4、離散型隨機(jī)變量的均值與方差⑴離散型隨機(jī)變量的均值

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

XP

則稱X服從兩點(diǎn)分布，并稱pP(X1)為成功概率.

⑶二項(xiàng)分布

如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是

P(Xk)Cnp(1p)kknkx1p1x2p2xipixnpn.

其中k0,1,2,...,n,q1p，于是得到隨機(jī)變量X的概率分布如下：X01kn則稱

EXx1p1x2p2xipixnpn為離散型

PCnpq00nCnpq11n1CnpqkknkCnpqnn0隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱期望）.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.性質(zhì)：①E(aXb)aE(X)b.②若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)p.③若X~Bn,p，則E(X)np.⑵離散型隨機(jī)變量的方差

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

XP我們稱這樣的隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X~Bn,p，并稱p為成功概率.

判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有三點(diǎn)：①對(duì)立性：即一次試驗(yàn)中事件發(fā)生與否二者必居其一；②重復(fù)性：即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次;

③等概率性：在每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率均相等.注：⑴二項(xiàng)分布的模型是有放回抽樣；

⑵二項(xiàng)分布中的參數(shù)是p,k,n.⑷超幾何分布

一般地,在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取

-8-

x1p1x2p2xipixnpn則稱

nni2E(X))pi為離散型隨機(jī)變量X的

D(X)(xi1xyiinxyni1

n方差，并稱其算術(shù)平方根D(X)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度.

D(X)越小，X的穩(wěn)定性越高，波動(dòng)越小，取值2222xnxynyiii1i12、獨(dú)立性檢驗(yàn)假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的值域分另為{x1,x2}和{y1,y2}，其樣本頻數(shù)22列聯(lián)表為：

x1y1ay2bdb+d總計(jì)a+bc+da+b+c+d越集中；D(X)越大，X的穩(wěn)定性越差，波動(dòng)越大，取值越分散.

性質(zhì)：①D(aXb)a2D(X).②若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)p(1P).③若X~Bn,p，則D(X)np(1P).5、正態(tài)分布正態(tài)變量概率密度曲線函數(shù)表達(dá)式：fx12x2c總計(jì)a+c若要推斷的論述為H1：“X與Y有關(guān)系”，可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考察兩個(gè)變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度.

具體的做法是，由表中的數(shù)據(jù)算出隨機(jī)變量K2的值K2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)，其中

x222nabcd為樣本容量，K2的值越大，說明“X

e,xR，其中,是參數(shù)，與Y有關(guān)系”成立的可能性越大.

隨機(jī)變量K2越大，說明兩個(gè)分類變量，關(guān)系越強(qiáng)；反之，越弱。

K3.841時(shí)，X與Y無關(guān)；K22且0,.記作N(,2).如下圖：

3.841時(shí)，X

與Y有95%可能性有關(guān)；K26.635時(shí)X與Y有99%可能性有關(guān).

專題八：統(tǒng)計(jì)案例1、回歸分析abx，回歸直線方程ynxixyiybi1n2其中xixi1aybxn專題九：坐標(biāo)系與參數(shù)方程1、平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在xx,(0),變換:的作用下，點(diǎn)P(x,y)對(duì)

yy,(0).應(yīng)到點(diǎn)P(x,y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸

xyii1ninxynx2xi12i

縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換。2、極坐標(biāo)系的概念在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方

nx相關(guān)系數(shù)：ri1nix2yiny

xii1xyii1y2向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。

M(,)

-9-

O圖1

x

點(diǎn)M的極坐標(biāo)：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為。有序數(shù)對(duì)(,)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為M(,).

注：極坐標(biāo)(,)與(,2k)(kZ)表示同一個(gè)點(diǎn)。極點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,)(R).

若0,則0,規(guī)定點(diǎn)(,)與點(diǎn)(,)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱，即(,)與(,)表示同一點(diǎn)。

如果規(guī)定0,02，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)(,)表示（即一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系）；同時(shí)，極坐標(biāo)(,)表示的點(diǎn)也是唯一確定的。

極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)都是一對(duì)有序?qū)崝?shù)確定平面上一個(gè)點(diǎn)，在極坐標(biāo)系下，一對(duì)有序?qū)崝?shù)、對(duì)應(yīng)惟一點(diǎn)P(，)，但平面內(nèi)任一個(gè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)不惟一．一個(gè)點(diǎn)可以有無數(shù)個(gè)坐標(biāo)，這些坐標(biāo)又有規(guī)律可循的，P(，)（極點(diǎn)除外）的全部坐標(biāo)為(,＋2k)或（，＋(2k1)），(kZ)．極點(diǎn)的極徑為0，而極角任意�。�若對(duì)、的取值范圍加以限制．則除極點(diǎn)外，平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)就惟一了，如限定>0，0≤＜2或M（，）M（2）橢圓

Mxa22yb221(ab0)的參數(shù)方程為

0OxOaaO圖10xacos（為參數(shù)）；ybsin圖2acos圖3acos橢圓

ya22xb221(ab0)的參數(shù)方程為

M（，）MaOMOxbcos（為參數(shù)）；yasinaaON(a,)

p圖4asin圖5asin圖6acos()（3）雙曲線

xa22yb221(ab0)的參數(shù)方程

5、柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系⑴柱坐標(biāo)：空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x,y,z)與柱坐標(biāo)xcos(,,z)的變換關(guān)系為：ysin.zzxasec（為參數(shù)）；ybtan雙曲線

ya22xb221(ab0)的參數(shù)方程

⑵球坐標(biāo)系空間點(diǎn)P直角坐標(biāo)(x,y,z)與球坐標(biāo)(r,,)的變x2y2z2r2xrsincos換關(guān)系：.yrsinsinzrcostxbco（為參數(shù)）；yacsc

2x2pt（4）拋物線y22px參數(shù)方程(t為參

y2pt數(shù)，t1tan參數(shù)t的幾何意義：拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)

）；

6、參數(shù)方程的概念在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)xf(t),并且對(duì)于t的x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)yg(t),每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程所確定的點(diǎn)M(x,y)都在與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù).

（6）過定點(diǎn)P(x0,y0)、傾斜角為(2)的直線

這條曲線上，那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。7、常見曲線的參數(shù)方程（1）圓(xa)(yb)r的參數(shù)方程為xarcos（為參數(shù)）；ybrsin222xx0tcos的參數(shù)方程（t為參數(shù)）.

yy0tsin8、參數(shù)方程與普通方程之間的互化在建立曲線的參數(shù)方程時(shí)，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x,y的取值范圍保持一致.

參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參數(shù)，并且要保證等價(jià)性。若不可避免地破壞了同解變形，則一定要通過xf(t),yg(t)。根據(jù)t的取值范圍導(dǎo)出x,y的取值范圍.

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