九年級(jí)數(shù)學(xué)圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全

第四章：《圓》

一、知識(shí)回顧

圓的周長(zhǎng)：C=2πr或C=πd、圓的面積：S=πr

圓環(huán)面積計(jì)算方法：S=πR-πr或S=π（R-r）(R是大圓半徑，r是小圓半徑）

二、知識(shí)要點(diǎn)一、圓的概念

集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：

1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；

固定的端點(diǎn)O為圓心。連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點(diǎn)之間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧。

2、垂直平分線(xiàn)：到線(xiàn)段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；3、角的平分線(xiàn)：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線(xiàn)；

4、到直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線(xiàn)且到這條直線(xiàn)的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線(xiàn)；5、到兩條平行線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線(xiàn)且到兩條直線(xiàn)距離都相等的一條直線(xiàn)。

二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1、點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn)C在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上dr點(diǎn)B在圓上；3、點(diǎn)在圓外dr點(diǎn)A在圓外；三、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

1、直線(xiàn)與圓相離dr無(wú)交點(diǎn)；2、直線(xiàn)與圓相切dr有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線(xiàn)與圓相交dr有兩個(gè)交點(diǎn)；

ArBdCdOrdd=rrd

四、圓與圓的位置關(guān)系

外離（圖1）無(wú)交點(diǎn)dRr；外切（圖2）有一個(gè)交點(diǎn)dRr；相交（圖3）有兩個(gè)交點(diǎn)RrdRr；內(nèi)切（圖4）有一個(gè)交點(diǎn)dRr；內(nèi)含（圖5）無(wú)交點(diǎn)dRr；

dR圖1rRdr圖2dR圖3r

d

五、垂徑定理

圖4RrdrR圖5垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；（2）弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；

（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱(chēng)2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即：

①AB是直徑②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD

六、圓心角定理

頂點(diǎn)到圓心的角，叫圓心角。

圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。此定理也稱(chēng)1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，

2

COABCBADOED只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④弧BA弧BD

七、圓周角定理

頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫圓周角。1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的即：∵AOB和ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角∴AOB2ACB2、圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，的弧是等��；

即：在⊙O中，∵C、D都是所對(duì)的圓周角∴CD

推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所所對(duì)的弦是直徑。

即：在⊙O中，∵AB是直徑或∵C90∴C90∴AB是直徑

推論3：若三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形。

即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

BOACACBOEFDC角的一半。

BOADC相等的圓周角所對(duì)

BOAC對(duì)的弧是半圓，

BOA角形是直角三

注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半的逆定理。

八、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。

即：在⊙O中，

CD∵四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形∴

BD180

CBAD180

BAEDAEC

九、切線(xiàn)的性質(zhì)與判定定理

（1）切線(xiàn)的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線(xiàn)是切線(xiàn)；兩個(gè)條件：過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵M(jìn)NOA且MN過(guò)半徑OA∴MN是⊙O的切線(xiàn)（2）性質(zhì)定理：切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論1：過(guò)圓心垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)切推論2：過(guò)切點(diǎn)垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)圓以上三個(gè)定理及推論也稱(chēng)二推一定理：

MAO外端

N點(diǎn)。心。

即：①過(guò)圓心；②過(guò)切點(diǎn)；③垂直切線(xiàn)，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。

十、切線(xiàn)長(zhǎng)定理切線(xiàn)長(zhǎng)定理：

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。即：∵PA、PB是的兩條切線(xiàn)

B∴PAPBPO平分BPA

AOP十一、圓冪定理

（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線(xiàn)段的乘即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于點(diǎn)P，∴PAPBPCPD

CBOPCAD積相等。

（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑

B所成的兩條線(xiàn)

OEDA段的比例中項(xiàng)。

即：在⊙O中，∵直徑ABCD，∴CE2AEBE

（3）切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即：在⊙O中，∵PA是切線(xiàn)，PB是割線(xiàn)∴PAPCPB

2ADPCOBE線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這

（4）割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等（如上圖）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割線(xiàn)∴PCPBPDPE

十二、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理：兩圓圓心的連線(xiàn)垂直并且平分這如圖：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)∴O1O2垂直平分AB十三、圓的公切線(xiàn)兩圓公切線(xiàn)長(zhǎng)的計(jì)算公式：（1）公切線(xiàn)長(zhǎng)：RtO1O2C中，AB2CO12AO1BO2兩個(gè)圓的的公共弦。

ACO2BO1O1O2CO222；

（2）外公切線(xiàn)長(zhǎng)：CO2是半徑之差；內(nèi)公切線(xiàn)長(zhǎng)：CO2是半徑之和。十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在RtBOD中進(jìn)

O:D:OB3C行

:A2：

；B1D:OBD

BCOAD（2）正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在

OE:A:EOA1:1：:2RtOAE中進(jìn)行，

E

（3）正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在RtOA中進(jìn)行，OAB:O:BOA1:.3:2B

A十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式A1、扇形：（1）弧長(zhǎng)公式：lnR180；

OSl2（2）扇形面積公式：SnR13602lR

Bn：圓心角R：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑l：扇形弧長(zhǎng)S：扇形面積

2、圓柱：

（1）A圓柱側(cè)面展開(kāi)圖

ADD1S表S側(cè)2S底=2rh2r2

母線(xiàn)長(zhǎng)底面圓周長(zhǎng)Br2h

CC1B圓柱的體積：VB1（2）A圓錐側(cè)面展開(kāi)圖

S表S側(cè)S底=Rrr2

OB圓錐的體積：V1r23h

RCArB

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