高中數(shù)學(xué)二項(xiàng)式定理題型總結(jié)

二項(xiàng)式定理

知識(shí)點(diǎn)歸納

1．二項(xiàng)式定理及其特例：

（1）(ab)CnaCnabCnan1rrn0n1nrnrbCnb(nN)，

rnn（2）(1x)1CnxCnxx2．二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：Tr1Cnarnrrnb(r0，1，2，n)3．常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)：

求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，要根據(jù)通項(xiàng)公式討論對(duì)r的限制；求有理項(xiàng)時(shí)要注意到指數(shù)及項(xiàng)數(shù)的整數(shù)性4二項(xiàng)式系數(shù)表（楊輝三角）

(ab)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n依次取1,2,3時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)表，表中每行兩端都是1，除1以

外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和5．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：

n(ab)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)是Cn，Cn，Cn，，Cn．Cn可以看成以r為自變量的函數(shù)f(r)，

定義域是{0,1,2,,n}，例當(dāng)n6時(shí)，其圖象是7個(gè)孤立的點(diǎn)（如圖）（1）對(duì)稱性．

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等（CnCnn2nmnmn012nr）直線rn2是圖象的對(duì)稱軸n12n1（2）增減性與最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)C取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)Cn（3）各二項(xiàng)式系數(shù)和：∵(1x)1CnxCnxx，令x1，則2CnCnCnCnCn，Cn2取得最大值n1rrnn012rn題型講解

例1如果在（x+

12x4）n的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng)解：展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，

r=C8r1n2，

n(n1)8，由題意得2×

n2=1+

n(n1)8358，得n=8設(shè)第r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，

T

1r163rx

42點(diǎn)評(píng)：求展開式中某一特定的項(xiàng)的問題常用通項(xiàng)公式，用待定系數(shù)法確定r

，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8，有理項(xiàng)為T1=x4，T5=

x，T9=1256x2例2求式子（｜x｜+解法一：（｜x｜+

1|x|1|x|－2）3的展開式中的常數(shù)項(xiàng)

－2）3=（｜x｜+

1|x|－2）（｜x｜+

1|x|1|x|－2）（｜x｜+

1|x|－2）得到常數(shù)項(xiàng)的情況有：①三個(gè)括號(hào)

11中全取－2，得（－2）3；②一個(gè)括號(hào)�。黿｜，一個(gè)括號(hào)取

3

，一個(gè)括號(hào)取－2，得C3C2（－2）=－12，∴常數(shù)項(xiàng)為（－2）

r+（－12）=－20解法二：（|x|+

1|x|－2）3=（|x|－

1|x|）6設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則Tr1=C6（－1）r（

1|x|）r|x|

6r=

（－1）6C6|x|

r62r，得6－2r=0，r=3∴T3+1=（－1）3C6=－203例3⑴求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展開式中x4的系數(shù)；⑵求（x+⑶求（1+x）+（1+x）++（1+x）的展開式中x的系數(shù)4x－4）4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；

34503

解：⑴原式=

4

1x441x（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展開式中x4的系數(shù)為（－1）4C

846－1=14⑵（x+

4x－4）

=

(x4x4)x42=

(2x)x4，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C

4824（－1）4=1120

⑶方法一：原式

348513=

(1x)[(1x)1](1x)1=

(1x)(1x)x4展開式中x3的系數(shù)為C51方法二：原展開式中x3的系數(shù)為

44C3+C3+C3++C3=C4+C3++C3=C5+C3++C3==C51505050444355點(diǎn)評(píng)：把所給式子轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開式形式是解決此類問題的關(guān)鍵129例4求x展開式中x的系數(shù)

2x解：Tr19Crr9x29r31r1183r令1r182rr12193C9xxC9x183r9,則r3,故x的系數(shù)為:C9＝－22x222rrr點(diǎn)評(píng)：①Cnanrb是ab展開式中的第r1項(xiàng)，r0,1,2,n②注意二項(xiàng)式系數(shù)與某項(xiàng)系數(shù)的區(qū)別在本題中，rn1第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C，第4項(xiàng)x的系數(shù)為C，二者并不相同2393939例5求

3xr32100展開所得x的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)數(shù)

解：Tr1C1003x100r23r100rrC100xr100r3223依題意：

100r2,r3Z，r為3和2的倍數(shù)，即

為6的倍數(shù)，又0r100，rN，r0,6,,96，構(gòu)成首項(xiàng)為0，公差為6，末項(xiàng)為96的等差數(shù)列，由

960(n1)6得n17，故系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有17項(xiàng)點(diǎn)評(píng)：有理項(xiàng)的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征解法一：x051例6求x223x2展開式中x的系數(shù)

53x2x1x2

4505144455555C5xC5xC5xC5C5xC5x2C5x2C524故展開式中含

x的項(xiàng)為

5C5xC52C5C5x2Tr1C5x1r455544240x，故展開式中x的系數(shù)為240，解法二：x3x2252x23x52245r3x0r5,rN，要使x指數(shù)為1，只有r1才有可能，即

rT2C5x22，故x的系數(shù)為152240，解法三：

x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2，由多項(xiàng)式的乘法法則，從

23x15xx42x64x48x222228642442以上5個(gè)括號(hào)中，一個(gè)括號(hào)內(nèi)出現(xiàn)x，其它四個(gè)括號(hào)出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，則積為x的一次項(xiàng)，此時(shí)系數(shù)為C53C42240

點(diǎn)評(píng)：此類問題通常有兩個(gè)解法：化三項(xiàng)為二項(xiàng)，乘法法則及排列、組合知識(shí)的綜合應(yīng)用

144例7設(shè)an=1+q+q2++q

n1（n∈N*，q≠±1），An=Cna1+Cna2++Cnan

12n（1）用q和n表示An；（2）（理）當(dāng)－3

012nn024135n1點(diǎn)評(píng)：①記住課本結(jié)論：CnCnCnCn2，CnCnCnCnCnCn2②注意所求式中缺少一項(xiàng)，不能直接等于2

例9已知2x解：令x1時(shí)，有22

634a0a1xa2xa3xa4x，求a0a2a4a1a32342234a0a1a2a3a4，令x1時(shí)，有2234a0a1a2a3a4

∵a0a2a4a1a3a0a1a2a3a4a0a1a2a3a4∴a0a2a4a1a32223243411

4點(diǎn)評(píng)：賦值法是由一般到特殊的一種處理方法，在高考題中屢見不鮮，特別在二項(xiàng)式定理中的應(yīng)用尤為明顯賦值法是給代數(shù)式（或方程或函數(shù)表達(dá)式）中的某些字母賦予一定的特殊值，從而達(dá)到便于解決問題的目的望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中舉一反三

例10求x2y展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)

7rrr1r1Tr1項(xiàng)系數(shù)Tr項(xiàng)系數(shù)C72C72解：設(shè)第r1項(xiàng)系數(shù)最大，則有，即

rrr1r1Tr1項(xiàng)系數(shù)Tr2項(xiàng)系數(shù)C72C727!7!rr1116222rr!7r!r1!7r1!r8r3又0r7,rN,r57!7!1312rr1r22r!7r!3r17rr1!7r1!故系數(shù)最大項(xiàng)為T6C7x2y5255672xy

25點(diǎn)評(píng)：二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最大的項(xiàng)不同二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)也即中間項(xiàng)：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)中間項(xiàng)Tn的二項(xiàng)式系數(shù)最

12大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)Tn121，Tn12的二項(xiàng)式系數(shù)相等且為最大

1小結(jié)：

1在使用通項(xiàng)公式Tr1=Cnarnrbr時(shí)，要注意：①通項(xiàng)公式是表示第r＋1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)②展開式中第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)

式系數(shù)Cn與第r+1項(xiàng)的系數(shù)不同③通項(xiàng)公式中含有a，b，n，r，T

rr1五個(gè)元素，只要知道其中的四個(gè)元素，就可以求出第五

個(gè)元素在有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題中，常常遇到已知這五個(gè)元素中的若干個(gè)，求另外幾個(gè)元素的問題，這類問題一般是利用通項(xiàng)公式，把問題歸納為解方程（或方程組）這里必須注意n是正整數(shù)，r是非負(fù)整數(shù)且r≤n2證明組合恒等式常用賦值法學(xué)生練習(xí)

1已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2++a9x9，則｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜等于A29B49C39D1解析：x的奇數(shù)次方的系數(shù)都是負(fù)值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜=a0－a1+a2－a3+－a9∴已知條件中只需賦值x=－1即可答案：B

22x+x）4的展開式中x3的系數(shù)是A6B12

C24

D48解析：（2x+3（2x3－

x）4=x2（1+2x）4，在（1+2

2

x）4中，x的系數(shù)為C242=24答案：C

1x

）7的展開式中常數(shù)項(xiàng)是

3

A14

B－14

C42

D－42

解析：設(shè)（2x－

1x）的展開式中的第r+1項(xiàng)是T

7

r=C7r1（2x）

3

7r（－

1x）

r=C72

7r（－1）x

r23(7x)，

24一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個(gè)燈泡，只要有一只燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為

A20B219C220D220－1

當(dāng)－

r+3（7－r）=0，即r=6時(shí)，它為常數(shù)項(xiàng)，∴C7（－1）621=14答案：A

解析：C1+C2++C20=220－1答案：D2020205已知（x－

ax）8展開式中常數(shù)項(xiàng)為1120，其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是B38

A28

C1或38

D1或28

rr4解析：Tr1=C8x8－r（－ax－1）r=（－a）rC8x8－2r，令8－2r=0，∴r=4，∴（－a）4C8=1120∴a=±2當(dāng)a=2時(shí)，令x=1，則（1－2）8=1，當(dāng)a=－2時(shí)，令x=－1，則（－1－2）8=38答案：C

36已知（x2+x

13）n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128，則展開式中x5的系數(shù)是_____________（以數(shù)字作答）

3解析：∵（x2+x

r713）n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為128，∴令x=1，即得所有項(xiàng)系數(shù)和為2n=128，∴n=7設(shè)該二項(xiàng)展開式中

3的r+1項(xiàng)為Tr1=C（x2）

7r6nn32*

7若（x+1）=x++ax+bx+cx+1（n∈N），且a∶b=3∶1，那么n=________

（x

136311r）r=Cx

r76，令

6311r=5即r=3時(shí)，x5項(xiàng)的系數(shù)為C7=35答案：35

3解析：a∶b=Cn∶Cn=3∶1，n=11答案：11

328（x－

1x）8展開式中x5的系數(shù)為_____________解析：設(shè)展開式的第r+1項(xiàng)為Tr1=C8x8－r（－答案：28

9若（x3+

r1xrr）=（－1）C8x

r83r2令8－

3r22

=5得r=2時(shí)，x5的系數(shù)為（－1）C8=2821xx）n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為84，則n=_____________

解析：T

rr=Cnr1（x）

3n－r

（x

32）=Cx

rn3n92r，令3n－

92r=0，∴2n=3r∴n必為3的倍數(shù)，r為偶數(shù)試驗(yàn)可知n=9，

r=6時(shí)，Cn=C9=84答案：9

610已知（x

lgx+1）n展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于22，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為201*0，求x的值

解：由題意Cnn2＋Cnn1＋Cn=22，即Cn＋Cn＋Cn=22，∴n=6∴第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大∴C6（x

n2103lgx）3=201*0，即

x3lgx=1000∴x=10或x=

1011若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11求：（1）a1+a2+a3++a11；（2）a0+a2+a4++a10解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11令x=1，得a0+a1+a2++a11=－26，①又a0=1，

所以a1+a2++a11=－26－1=－65（2）再令x=－1，得

a0－a1+a2－a3+－a11=0②

1①+②得a0+a2++a10=

12點(diǎn)評(píng)：在解決此類奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和的問題中常用賦值法，令其中的字母等于1或－112在二項(xiàng)式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展開式里最大系數(shù)項(xiàng)恰是常數(shù)項(xiàng)

（－26+0）=－32（1）求它是第幾項(xiàng)；（2）求

rab－

的范圍

解：（1）設(shè)Tr1=C12（axm）12r（bxn）r=C12a12rbrxm

∴r=4，它是第5項(xiàng)（2）∵第5項(xiàng)又是系數(shù)最大的項(xiàng)，

－

r（12－r）+nr

為常數(shù)項(xiàng)，則有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，

∴有C12a8b4≥C12a9b3①C12a8b4≥C12a7b5②由①得

43451211109432a8b4≥

12111032a9b3，

∵a＞0，b＞0，∴由②得

94b≥a，即

ab≤94ab≥

85，∴

854≤

ab≤9413在二項(xiàng)式（

x+

1）n的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng)2x分析：根據(jù)題意列出前三項(xiàng)系數(shù)關(guān)系式，先確定n，再分別求出相應(yīng)的有理項(xiàng)解：前三項(xiàng)系數(shù)為Cn，

012解得n=8或n=1（舍去）Cn，

114Cn，由已知Cn=Cn+

3r421014Cn，即n2－9n+8=0，

2T

r=C8r1（x）

8－r

（2

4x）

－r

r=C8

12rx

4

∵4－

3r4∈Z且0≤r≤8，r∈Z，

∴r=0，r=4，r=8∴展開式中x的有理項(xiàng)為T1=x4，T5=

358x，T9=

1256x－2點(diǎn)評(píng)：展開式中有理項(xiàng)的特點(diǎn)是字母x的指數(shù)4－14求證：2

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二項(xiàng)式定理

知識(shí)點(diǎn)歸納

1．二項(xiàng)式定理及其特例：

0n1nrnrrnn（1）(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)，

1rr（2）(1x)n1CnxCnxxn2．二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：Tr1Cnranrbr(r0，1，2，n)3．常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)：

求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，要根據(jù)通項(xiàng)公式討論對(duì)r的限制；求有理項(xiàng)時(shí)要注意到指數(shù)及項(xiàng)數(shù)的整數(shù)性4二項(xiàng)式系數(shù)表（楊輝三角）

(ab)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n依次取1,2,3時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)表，表中每行兩端都是1，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和5．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：

01，Cn，Cn2，，Cnn．Cnr可以看成以r為自變量(ab)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)是Cn的函數(shù)f(r)，定義域是{0,1,2,,n}，例當(dāng)n6時(shí)，其圖象是7個(gè)孤立的點(diǎn)（如圖）（1）對(duì)稱性．

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等（CnmCnnm）直線r是圖象的對(duì)稱軸n2（2）增減性與最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)C取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)C，C取得最大值1rr（3）各二項(xiàng)式系數(shù)和：∵(1x)n1CnxCnxxn，

012rn令x1，則2nCnCnCnCnCn題型講解

n2nn12nn12n例1如果在（的有理項(xiàng)x+

124x）n的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中

解：展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，n，n(n1)，由題意得2×n=1+n(n1)，

2828得n=8設(shè)第r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，Tr1=C

r81r2x

163r4

，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，

8，有理項(xiàng)為T1=x4，T5=35x，T9=81256x2點(diǎn)評(píng)：求展開式中某一特定的項(xiàng)的問題常用通項(xiàng)公式，用待定系數(shù)法確定r例2求式子（｜x｜+

1－2）3的展開式中的常數(shù)項(xiàng)|x|

解法一：（｜x｜+

1111－2）3=（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）（｜x｜+－|x||x||x||x|3

2）得到常數(shù)項(xiàng)的情況有：①三個(gè)括號(hào)中全�。�2，得（－2）；②一個(gè)括號(hào)�。黿｜，

1，一個(gè)括號(hào)取－2，得C13C12（－2）=－12，∴常數(shù)項(xiàng)為（－2）3+|x|1（－12）=－20解法二：（|x|+－2）3=（|x|－1）6設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則

|x||x|一個(gè)括號(hào)取

rTr1=C6（－1）r（

1r）r|x|6r=（－1）6C6|x|62r，得|x|6－2r=0，r=3∴T3+1=

（－1）3C36=－20

例3⑴求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展開式中x4的系數(shù)；⑵求（x+4－4）4

x的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；

⑶求（1+x）3+（1+x）4++（1+x）50的展開式中x3的系數(shù)1x4解：⑴原式=（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展開式中x4的系數(shù)為（－1）

1x24(2x)84444(x4x4)44C6－1=14⑵（x+－4）==4，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C8（－1）24xxx(1x)3[(1x)481](1x)51(1x)344=1120⑶方法一：原式==展開式中x3的系數(shù)為C51x(1x)1方法二：原展開式中x3的系數(shù)為

3333434334C33+C4+C5++C50=C4+C4++C50=C5+C5++C50==C51點(diǎn)評(píng)：把所給式子轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開式形式是解決此類問題的關(guān)鍵192例4求x展開式中x的系數(shù)

2x9解

9：

339Tr1Cxr929r1r1183r1r182rrC9xxC9x2x22rrr令

211183r9,則r3,故x的系數(shù)為:C＝－22

3nnrr點(diǎn)評(píng)：①Cr是展開式中的第r1項(xiàng)，r0,1,2,n②注意二項(xiàng)式系數(shù)與ababn1某項(xiàng)系數(shù)的區(qū)別在本題中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C，第4項(xiàng)x的系數(shù)為C，

239939二者并不相同10033x2例5求展開所得x的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)數(shù)

100rr,Z，r為3和232的倍數(shù)，即為6的倍數(shù)，又0r100，rN，r0,6,,96，構(gòu)成首項(xiàng)為0，

解：Tr1Cr1003x100r23rCxr100100r3100r22依題意：

r3公差為6，末項(xiàng)為96的等差數(shù)列，由960(n1)6得n17，故系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有17項(xiàng)

點(diǎn)評(píng)：有理項(xiàng)的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征

例6求x23x2展開式中x的系數(shù)

555解法一：x23x2x1x2

5145C50x5C5xC54xC5C50x5C51x42C54x24C5525故展開式中含x的項(xiàng)為

4554C5xC525C5C5x2424x0，故展開式中x的系數(shù)為240，解法二：

TCx23x0r5,rN，要使x指數(shù)為1，只有r1才有可能，即TCx23x15xx42x64x48x2，故x的系數(shù)為152240，解法三：x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2，由多項(xiàng)式的x23x2x223x

r115r525rr248556424422522222乘法法則，從以上5個(gè)括號(hào)中，一個(gè)括號(hào)內(nèi)出現(xiàn)x，其它四個(gè)括號(hào)出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，則

14積為x的一次項(xiàng)，此時(shí)系數(shù)為C53C424240

點(diǎn)評(píng)：此類問題通常有兩個(gè)解法：化三項(xiàng)為二項(xiàng)，乘法法則及排列、組合知識(shí)的綜合應(yīng)用n例7設(shè)an=1+q+q2++qn1（n∈N*，q≠±1），An=C1na1+C2na2++Cnan（1）用q和n表示An；（2）（理）當(dāng)－3

∴a0a2a42a1a322323141

點(diǎn)評(píng)：賦值法是由一般到特殊的一種處理方法，在高考題中屢見不鮮，特別在二項(xiàng)式定理中的應(yīng)用尤為明顯賦值法是給代數(shù)式（或方程或函數(shù)表達(dá)式）中的某些字母賦予一定的特殊值，從而達(dá)到便于解決問題的目的望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中舉一反三

例10求x2y7展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)

44rrr1r1Tr1項(xiàng)系數(shù)Tr項(xiàng)系數(shù)C72C72解：設(shè)第r1項(xiàng)系數(shù)最大，則有，即rrr1r1Tr1項(xiàng)系數(shù)Tr2項(xiàng)系數(shù)C72C727!7!rr1121622rr!7r!r1!7r1!r8r3又0r7,rN,r57!7!1312r2r2r17rr13r1!7r1!r!7r!52故系數(shù)最大項(xiàng)為T6C7x25y5672x2y5點(diǎn)評(píng)：二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最大的項(xiàng)不同二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)也即中間項(xiàng)：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)中間項(xiàng)Tn的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)Tn1，Tn1

21212

1

的二項(xiàng)式系數(shù)相等且為最大小結(jié)：

1在使用通項(xiàng)公式Tr1=Crnanrbr時(shí)，要注意：①通項(xiàng)公式是表示第r＋1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)②展開式中第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Crn與第r+1項(xiàng)的系數(shù)不同③通項(xiàng)公式中含有a，b，n，r，Tr1五個(gè)元素，只要知道其中的四個(gè)元素，就可以求出第五個(gè)元素在有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題中，常常遇到已知這五個(gè)元素中的若干個(gè)，求另外幾個(gè)元素的問題，這類問題一般是利用通項(xiàng)公式，把問題歸納為解方程（或方程組）這里必須注意n是正整數(shù)，r是非負(fù)整數(shù)且r≤n

2證明組合恒等式常用賦值法課堂練習(xí)

1已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2++a9x9，則｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜等于

A29B49C39D1

解析：x的奇數(shù)次方的系數(shù)都是負(fù)值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜=a0－a1+a2－a3+－a9∴已知條件中只需賦值x=－1即可答案：B

22x+x）4的展開式中x3的系數(shù)是

A6B12C24D482

解析：（2x+x）4=x2（1+2x）4，在（1+2x）4中，x的系數(shù)為C22=24答4案：C

3（2x3－

1x）7的展開式中常數(shù)項(xiàng)是

B－14

A14

C42

D－42

解析：設(shè)（2x3－

r=C72

7r

1xr）7的展開式中的第r+1項(xiàng)是Tr1=C7（2x3）7r（－

1x）

（－1）x

2r

r3(7x)2，

61

當(dāng)－r+3（7－r）=0，即r=6時(shí)，它為常數(shù)項(xiàng)，∴C67（－1）2=14答案：

A

4一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個(gè)燈泡，只要有一只燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為

A20B219C220D220－1

2020解析：C120+C2++C=2－1答案：D20205已知（x－a）8展開式中常數(shù)項(xiàng)為1120，其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各

x項(xiàng)系數(shù)的和是

A28B38C1或38D1或28

rr解析：Tr1=C8x8－r（－ax－1）r=（－a）rC8x8－2r，令8－2r=0，∴r=4，4∴（－a）4C8=1120∴a=±2當(dāng)a=2時(shí)，令x=1，則（1－2）8=1，當(dāng)a=－2時(shí)，令x=－1，則（－1－2）8

=38答案：C

6已知（x+x）n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128，則展開式中x5的系數(shù)是_____________（以數(shù)字作答）

3213解析：∵（x+x）n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為128，∴令x=1，即得所有項(xiàng)

r系數(shù)和為2=128，∴n=7設(shè)該二項(xiàng)展開式中的r+1項(xiàng)為Tr1=C7（x）7r（x）

3213n

3213r

r=C7x

6311r6，令6311r=5即r=3時(shí)，x5項(xiàng)的系數(shù)為C37=35答案：35

7若（x+1）=x++ax3+bx2+cx+1（n∈N*），且a∶b=3∶1，那么n=________

2解析：a∶b=C3n∶Cn=3∶1，n=11答案：11

nn

68（x－

1x）8展開式中x5的系數(shù)為_____________r解析：設(shè)展開式的第r+1項(xiàng)為Tr1=C8x

8－r

（－

1xr）=（－1）C8x

83r2令8－

3r22=5得r=2時(shí)，x5的系數(shù)為（－1）2C8=28答案：28

9若（x3+

1xx）n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為84，則n=_____________解析：Tr1=Crn（x3）n－r（x）r=Crnx

3293nr2，令3n－9r=0，∴2n=3r∴n必

26為3的倍數(shù)，r為偶數(shù)試驗(yàn)可知n=9，r=6時(shí)，Crn=C9=84答案：9

10已知（xlgx+1）n展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于22，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為201*0，求x的值

2n1n10解：由題意Cn即C2∴n=6∴第4項(xiàng)的二項(xiàng)n＋Cn＋Cn=22，n＋Cn＋Cn=22，

33lgxlgx式系數(shù)最大∴C3（x）=201*0，即x=1000∴x=10或x=611若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11求：（1）a1+a2+a3++a11；（2）a0+a2+a4++a10解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11令x=1，得a0+a1+a2++a11=－26，①又a0=1，

所以a1+a2++a11=－26－1=－65（2）再令x=－1，得

a0－a1+a2－a3+－a11=0②

110①+②得a0+a2++a10=1（－26+0）=－322點(diǎn)評(píng)：在解決此類奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和的問題中常用賦值法，令其中的字母等于1或－112在二項(xiàng)式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展開式里最大系數(shù)項(xiàng)恰是常數(shù)項(xiàng)（1）求它是第幾項(xiàng)；（2）求a的范圍rr解：（1）設(shè)Tr1=C12（axm）12－r（bxn）r=C12a12－rbrxm（12－r）+nr為常數(shù)項(xiàng)，則有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5項(xiàng)（2）∵第5項(xiàng)又是系數(shù)最大的項(xiàng)，

4345∴有C12a8b4≥C12a9b3①C12a8b4≥C12a7b5②

b由①得1211109a8b4≥121110a9b3，

43232∵a＞0，b＞0，∴9b≥a，即a≤94b4由②得a≥8，∴8≤a≤9b55b413在二項(xiàng)式（x+

124x）n的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中

的有理項(xiàng)分析：根據(jù)題意列出前三項(xiàng)系數(shù)關(guān)系式，先確定n，再分別求出相應(yīng)的有理項(xiàng)

111212210解：前三項(xiàng)系數(shù)為C0，C，C，由已知C=C+C，即n－9n+8=0，nnnnnn244解得n=8或n=1（舍去）rTr1=C8（

x）

8－r

（24x）

－r

1r=C8r2x

43r4∵4－3r∈Z且0≤r≤8，r∈Z，

∴r=0，r=4，r=8∴展開式中x的有理項(xiàng)為T1=x4，T5=35x，T9=

8點(diǎn)評(píng)：展開式中有理項(xiàng)的特點(diǎn)是字母x的指數(shù)4－3r∈Z即可，而不需要指數(shù)4

41256x－2

－3r∈N414求證：2

友情提示：本文中關(guān)于《高中數(shù)學(xué)二項(xiàng)式定理題型總結(jié)》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，高中數(shù)學(xué)二項(xiàng)式定理題型總結(jié)：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

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