初二上冊數(shù)學知識總結

全等三角形

知識與技能目標考點課標要求了解理解掌握用畫出任意三角形的角平分線、中線和高全等三角形的概念三角形全等的條件三角形的中位線三角形等腰三角形、直角三角形、等邊三角形的概念等腰三角形的性質和成為等腰三角形的條件直角三角形的性質和成為直角三角形的條件等邊三角形的性質運用勾股定理及其逆定理解決簡單問題∨∨∨∨∨∨∨∨∨靈活應軸對稱

知識與技能目標考課標要求點了解理解掌握用認識軸對稱，探索它的基本性質對應點所連的線段被對稱軸垂直平分的性質作出簡單平面圖形經過一次或兩次軸對稱后的圖形圖探索簡單圖形之間的軸對稱關系，并能指出對稱軸形的對稱探索基本圖形(等腰三角形，矩形。菱形．等腰梯形，正多邊形，圓)的軸對稱性及其相關性質欣賞現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形欣賞物體的鏡面對稱利用軸對稱進行圖案設計對應點連線平行且相等的性質∨∨∨∨∨∨∨∨∨靈活應按要求作出簡單平面圖形平移后的圖形利用平移進行圖案設計∨∨數(shù)據的描述

知識與技能目標考點課標要求會用扇形統(tǒng)計圖表示數(shù)據理解頻數(shù)、頻率的概念數(shù)據的描述了解頻率分布的意義和作用會列頻數(shù)分布表，畫頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)折線圖能解決簡單的實際問題了解∨∨理解掌握∨∨靈活應用∨

2.頻數(shù)分布

當一組數(shù)據有n個數(shù)時，頻數(shù)之和=n，頻率=，頻率之和=1，小長方形的高代表頻數(shù)。

一次函數(shù)

知識與技能目標考課標要求點理解一次函數(shù)(包括正比例函數(shù))的概念一次函會畫一次函數(shù)(包括正比例函數(shù))的圖像理解一次函數(shù)的性質并會應用了解理解∨∨∨∨∨掌握應用∨∨∨靈活能根據實際問題列出一次函數(shù)及用待定系數(shù)法確數(shù)定一次函數(shù)的解析式用一次函數(shù)的圖像求二元一次方程組的近似解

1.正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關系：正比例函數(shù)是當y=kx+b中b=0時特殊的一次函數(shù)。

2.待定系數(shù)法確定正比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式：通常已知一點便可用待定系數(shù)法確定出正比例函數(shù)的解析式，已知兩點便可確定一次函數(shù)解析式。

3.一次函數(shù)的圖像：正比例函數(shù)y=kx(k≠0)是過(0，0)，(1，k)兩點的一條直線；一

次函數(shù)y=kx+b(k≠0)是過(0,b),(

,0)兩點的一條直線。4.直線y=kx+b(k≠0)的位置與k、b符號的關系：當k>0是直線y=kx+b過第一、三象限，當k0直線交y軸于正半軸，b是負數(shù)時，要特別注意符號。

3．公式的探求與應用：探求公式時要先觀察其中的規(guī)律，通過嘗試，歸納出公式，再加以驗證，這幾個環(huán)節(jié)都是必不可少的，再就是靈活運用公式解決實際問題。

4．正確理解整式的概念：整式的系數(shù)、次數(shù)、項、同類項等概念必須清楚，是今后學習方程、整式乘除、分式和二次函數(shù)的基礎。

5．熟練掌握合并同類項、去（添）括號法則：要處理好合并同類項及去（添）括號中各項符號處理，式的運算是數(shù)的運算的深化，加強式與數(shù)的運算對比與分析，體會其中滲透的轉化思想。

6．能熟練地運用冪的運算性質進行計算：冪的運算是整式的乘法的基礎，也是考試的重點內容，要求熟練掌握。運算中注意“符號”問題和區(qū)分各種運算時指數(shù)的不同運算。

7．能熟練運用整式的乘法法則進行計算：整式運算常以混合運算出現(xiàn)，其中單項式乘法是關鍵，其他乘除都要轉化為單項式乘法。

8．能靈活運用乘法公式進行計算：乘法公式的運用是重點也是難點，計算時，要注意觀察每個因式的結構特點，經過適當調整后，表面看來不能運用乘法公式的式子就可以運用乘法公式，從而使計算大大簡化。

9．區(qū)分因式分解與整式的乘法：它們的關系是意義上正好相反，結果的特征是因式分解是積的形式，整式的乘法是和的形式，抓住這一特征，就不容易混淆因式分解與整式的乘法。

10．因式分解的兩種方法的靈活應用：對于給出的多項式，首先要觀察是否有公因式，有公因式的話，首先要提公因式，然后再觀察運用公式還是分組。分解因式要分解到不能分解為止。

擴展閱讀：人教版初二數(shù)學(上)知識點歸納

初二數(shù)學（上）應知應會的知識點

因式分解

1.因式分解：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解；注意：因式分解與乘法是相反的兩個轉化.

2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分組分解法”、“十字相乘法”.3．公因式的確定：系數(shù)的最大公約數(shù)相同因式的最低次冪.

注意公式：a+b=b+a；a-b=-(b-a)；(a-b)2=(b-a)2；(a-b)3=-(b-a)3.4．因式分解的公式：

(1)平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；

(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.5．因式分解的注意事項：

（1）選擇因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分組、四十字；（2）使用因式分解公式時要特別注意公式中的字母都具有整體性；（3）因式分解的最后結果要求分解到每一個因式都不能分解為止；（4）因式分解的最后結果要求每一個因式的首項符號為正；（5）因式分解的最后結果要求加以整理；

（6）因式分解的最后結果要求相同因式寫成乘方的形式.

6．因式分解的解題技巧：（1）換位整理，加括號或去括號整理；（2）提負號；（3）全變號；（4）換元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整體；（7）靈活分組；（8）提取分數(shù)系數(shù)；（9）展開部分括號或全部括號；（10）拆項或補項.

7．完全平方式：能化為（m+n）2的多項式叫完全平方式；對于二次三項式x2+px+q，有“x2+px+q是完全平方式分式

Apq22”.

1．分式：一般地，用A、B表示兩個整式，A÷B就可以表示為B的形式，如果B

A中含有字母，式子B叫做分式.

整式有理式分式2．有理式：整式與分式統(tǒng)稱有理式；即.

3．對于分式的兩個重要判斷：（1）若分式的分母為零，則分式無意義，反之有意義；（2）若分式的分子為零，而分母不為零，則分式的值為零；注意：若分式的分子為零，而分母也為零，則分式無意義.4．分式的基本性質與應用：

（1）若分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不為零的整式，分式的值不變；

（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變；即

分子分母分子分母分子分母分子分母

（3）繁分式化簡時，采用分子分母同乘小分母的最小公倍數(shù)的方法，比較簡單.5．分式的約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分；注意：分式約分前經常需要先因式分解.

6．最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式，這個分式叫做最簡分式；注意：分式計算的最后結果要求化為最簡分式.

acac,bdbd7．分式的乘除法法則：

nna

bcdadadbcbc.

aan.（n為正整數(shù)）b8．分式的乘方：b.

9．負整指數(shù)計算法則：

1（1）公式：a0=1(a≠0),a-n=a(a≠0)；（2）正整指數(shù)的運算法則都可用于負整指數(shù)計算；

a（3）公式：bnnbananm，bbamn；

（4）公式：（-1）-2=1，（-1）-3=-1.

10．分式的通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先確定最簡公分母.11．最簡公分母的確定：系數(shù)的最小公倍數(shù)相同因式的最高次冪.

abcabcabcdadbdbcbdadbcbd12．同分母與異分母的分式加減法法則：

c;.

13．含有字母系數(shù)的一元一次方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知數(shù),a和b是用字母表示的已知數(shù)，對x來說，字母a是x的系數(shù)，叫做字母系數(shù)，字母b是常數(shù)項，我們稱它為含有字母系數(shù)的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知數(shù)，用x、y、z等表示未知數(shù).

14．公式變形：把一個公式從一種形式變換成另一種形式，叫做公式變形；注意：公式變形的本質就是解含有字母系數(shù)的方程.特別要注意：字母方程兩邊同時乘以含字母的代數(shù)式時，一般需要先確認這個代數(shù)式的值不為0.

15．分式方程：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程；注意：以前學過的，分母里不含未知數(shù)的方程是整式方程.

16．分式方程的增根：在解分式方程時，為了去分母，方程的兩邊同乘以了含有未知數(shù)的代數(shù)式，所以可能產生增根，故分式方程必須驗增根；注意：在解方程時，方程的兩邊一般不要同時除以含未知數(shù)的代數(shù)式，因為可能丟根.

17．分式方程驗增根的方法：把分式方程求出的根代入最簡公分母（或分式方程的每個分母），若值為零，求出的根是增根，這時原方程無解；若值不為零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判斷，使分母的值為零的未知數(shù)的值可能是原方程的增根.18．分式方程的應用：列分式方程解應用題與列整式方程解應用題的方法一樣，但需要增加“驗增根”的程序.數(shù)的開方

1．平方根的定義：若x2=a,那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意：（1）a叫x的平方數(shù)，（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫開方，乘方與開方互為逆運算.2．平方根的性質：

（1）正數(shù)的平方根是一對相反數(shù)；（2）0的平方根還是0；（3）負數(shù)沒有平方根.

3．平方根的表示方法：a的平方根表示為也可以認為是一個數(shù)開二次方的運算.

4．算術平方根：正數(shù)a的正的平方根叫a的算術平方根，表示為平方根還是0.

5．三個重要非負數(shù)：a2≥0,|a|≥0，0.

6．兩個重要公式：（1）aa2a和a.注意：

a可以看作是一個數(shù)，

a.注意：0的算術

a≥0.注意：非負數(shù)之和為0，說明它們都是

2a;(a≥0)

（2）

(a0)aaa(a0)

.

7．立方根的定義：若x3=a,那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意：（1）a叫x的立方數(shù)；（2）a的立方根表示為8．立方根的性質：

（1）正數(shù)的立方根是一個正數(shù)；（2）0的立方根還是0；

-3-

3a；即把a開三次方.（3）負數(shù)的立方根是一個負數(shù).9．立方根的特性：

3a3a.

10．無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).注意：和開方開不盡的數(shù)是無理數(shù).11．實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù).

有理數(shù)實數(shù)無理數(shù)12．實數(shù)的分類：（1）

正有理數(shù)0負有理數(shù)有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)正無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)負無理數(shù)（2）

.

13．數(shù)軸的性質：數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應.

14．無理數(shù)的近似值：實數(shù)計算的結果中若含有無理數(shù)且題目無近似要求，則結果應該用無理數(shù)表示；如果題目有近似要求，則結果應該用無理數(shù)的近似值表示.注意：（1）近似計算時，中間過程要多保留一位；（2）要求記憶：21.414

52.236.

31.732

正實數(shù)實數(shù)0負實數(shù)三角形

幾何A級概念：（要求深刻理解、熟練運用、主要用于幾何證明）1．三角形的角平分線定義：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線.（如圖）2．三角形的中線定義：在三角形中，連結一個頂點和它的對邊的中點的線段叫做三角形的中線.（如圖）3．三角形的高線定義：從三角形的一個頂點向它的對邊畫垂-4-

BDCA幾何表達式舉例：(1)∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CADBDC(2)∵∠BAD=∠CAD∴AD是角平分線幾何表達式舉例：A(1)∵AD是三角形的中線∴BD=CD(2)∵BD=CD∴AD是三角形的中線幾何表達式舉例：(1)∵AD是ΔABC的高線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高線.（如圖）※4．三角形的三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊.（如圖）5．等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.（如圖）6．等邊三角形的定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形.（如圖）BBBA∴∠ADB=90°(2)∵∠ADB=90°∴AD是ΔABC的高BDC幾何表達式舉例：(1)∵AB+BC＞AC∴(2)∵AB-BC＜ACAC∴幾何表達式舉例：A(1)∵ΔABC是等腰三角形∴AB=AC(2)∵AB=ACC∴ΔABC是等腰三角形幾何表達式舉例：(1)∵ΔABC是等邊三角形∴AB=BC=AC(2)∵AB=BC=ACAC∴ΔABC是等邊三角形幾何表達式舉例：(1)∵∠A+∠B+∠C=180°∴∴∠A+∠B=90°∴7．三角形的內角和定理及推論：（1）三角形的內角和180°；（如圖）（2）直角三角形的兩個銳角互余；（如圖）（如圖）角.BCA（3）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；(2)∵∠C=90°※（4）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(3)∵∠ACD=∠A+∠B(4)∵∠ACD＞∠A∴CBBCDAA（1）（2）（3）（4）8．直角三角形的定義：有一個角是直角的三角形叫直角三角形.（如圖）CBA幾何表達式舉例：(1)∵∠C=90°∴ΔABC是直角三角形(2)∵ΔABC是直角三角形∴∠C=90°9．等腰直角三角形的定義：腰直角三角形.（如圖）A幾何表達式舉例：(1)∵∠C=90°CA=CB∴ΔABC是等腰直角三角形(2)∵ΔABC是等腰直角三角CB兩條直角邊相等的直角三角形叫等形∴∠C=90°CA=CB10．全等三角形的性質：（1）全等三角形的對應邊相等；（如圖）（2）全等三角形的對應角相等.（如圖）BAE幾何表達式舉例：(1)∵ΔABC≌ΔEFG∴AB=EF(2)∵ΔABC≌ΔEFG∴∠A=∠ECFG幾何表達式舉例：(1)∵AB=EF∵∠B=∠F又∵BC=FG∴ΔABC≌ΔEFG(2)(3)在RtΔABC和RtΔEFG中∵AB=EF又∵AC=EG∴RtΔABC≌RtΔEFG11．全等三角形的判定：“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”.（如圖）BCFG（1）（2）CBF（3）GAEAE12．角平分線的性質定理及逆定理：（1）在角平分線上的點到角的兩邊距離相等；（如圖）（2）到角的兩邊距離相等的點在角平分線上.（如圖）13．線段垂直平分線的定義：-6-

OEBDCA幾何表達式舉例：(1)∵OC平分∠AOB又∵CD⊥OACE⊥OB∴CD=CE(2)∵CD⊥OACE⊥OB又∵CD=CE∴OC是角平分線幾何表達式舉例：垂直于一條線段且平分這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.（如圖）14．線段垂直平分線的性質定理及逆定理：（1）線段垂直平分線上的點和這條線段的兩個端點的距離相等；（如圖）（2）和一條線段的兩個端點的距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.（如圖）15．等腰三角形的性質定理及推論：AAOE(1)∵EF垂直平分AB∴EF⊥ABOA=OBB(2)∵EF⊥ABOA=OB∴EF是AB的垂直平分線幾何表達式舉例：(1)∵MN是線段AB的垂直平FMP分線∴PA=PBBC(2)∵PA=PB∴點P在線段AB的垂直平分線上幾何表達式舉例：N（1）等腰三角形的兩個底角相等；（即等邊對等角）（如圖）(1)∵AB=AC（2）等腰三角形的“頂角平分線、底邊中線、底邊上的高”∴∠B=∠C三線合一；（如圖）（3）等邊三角形的各角都相等，并且都是60°.（如圖）A(2)∵AB=AC又∵∠BAD=∠CAD∴BD=CDAAAD⊥BC(3)∵ΔABC是等邊三角形CBC（1）BDC（2）B（3）∴∠A=∠B=∠C=60°幾何表達式舉例：∴AB=AC(2)∵∠A=∠B=∠C16．等腰三角形的判定定理及推論：也相等；（即等角對等邊）（如圖）（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（如圖）（1）如果一個三角形有兩個角都相等，那么這兩個角所對邊(1)∵∠B=∠C（3）有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；（如圖）∴ΔABC是等邊三角形（4）在直角三角形中，如果有一個角等于30°，那么它所對(3)∵∠A=60°的直角邊是斜邊的一半.（如圖）A又∵AB=AC∴ΔABC是等邊三角形AA(4)∵∠C=90°∠B=30°1CBC（1）B（2）（3）CB（4）∴AC=2AB17．關于軸對稱的定理（1）關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；（如圖）（2）如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線.（如圖）18．勾股定理及逆定理：的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2；（如圖）（2）如果三角形的三邊長有下面關系:a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.（如圖）19．RtΔ斜邊中線定理及逆定理：是斜邊的一半；（如圖）（2）如果三角形一邊上的中線是這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.（如圖）

MAOCFE幾何表達式舉例：(1)∵ΔABC、ΔEGF關于MN軸對稱∴ΔABC≌ΔEGFGNB(2)∵ΔABC、ΔEGF關于MN軸對稱∴OA=OEMN⊥AE幾何表達式舉例：(1)∵ΔABC是直角三角形A（1）直角三角形的兩直角邊a、b∴a2+b2=c2(2)∵a2+b2=c2∴ΔABC是直角三角形CB幾何表達式舉例：∵ΔABC是直角三角形∵D是AB的中點A（1）直角三角形中，斜邊上的中線D1∴CD=CB2AB(2)∵CD=AD=BD∴ΔABC是直角三角形幾何B級概念：（要求理解、會講、會用，主要用于填空和選擇題）一基本概念：

三角形、不等邊三角形、銳角三角形、鈍角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分線的集合定義、原命題、逆命題、逆定理、尺規(guī)作圖、輔助線、線段垂直平分線的集合定義、軸對稱的定義、軸對稱圖形的定義、勾股數(shù).二常識：

1．三角形中，第三邊長的判斷：另兩邊之差＜第三邊＜另兩邊之和.

2．三角形中，有三條角平分線、三條中線、三條高線，它們都分別交于一點，其中前兩個交點都在三角形內，而第三個交點可在三角形內，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分線、中線、高線都是線段.

3．如圖，三角形中，有一個重要的面積等式，即：若CD⊥AB，BE⊥CA，則CDAB=BECA.

4．三角形能否成立的條件是：最長邊＜另兩邊之和.

5．直角三角形能否成立的條件是：最長邊的平方等于另兩邊的平方和.

-8-

BDECA6．分別含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.

7．如圖，雙垂圖形中，有兩個重要的性質，即：（1）ACCB=CDAB；（2）∠1=∠B，∠2=∠A.8．三角形中，最多有一個內角是鈍角，但最少有兩個外角是鈍角.邊是對應邊.

10．等邊三角形是特殊的等腰三角形.

11．幾何習題中，“文字敘述題”需要自己畫圖，寫已知、求證、證明.12．符合“AAA”“SSA”條件的三角形不能判定全等.

13．幾何習題經常用四種方法進行分析：（1）分析綜合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）圖形觀察法.

14．幾何基本作圖分為：（1）作線段等于已知線段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分線；（4）過已知點作已知直線的垂線；（5）作線段的中垂線；（6）過已知點作已知直線的平行線.

15．會用尺規(guī)完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等邊三角形”、“等腰直角三角形”的作圖.

16．作圖題在分析過程中，首先要畫出草圖并標出字母，然后確定先畫什么，后畫什么；注意：每步作圖都應該是幾何基本作圖.

17．幾何畫圖的類型：（1）估畫圖；（2）工具畫圖；（3）尺規(guī)畫圖.※18．幾何重要圖形和輔助線：（1）選取和作輔助線的原則：

①構造特殊圖形，使可用的定理增加；②一舉多得；

③聚合題目中的分散條件，轉移線段，轉移角；④作輔助線必須符合幾何基本作圖.

（2）已知角平分線.（若BD是角平分線）

①在BA上截取BE=BC構造全等，轉②過D點作DE∥BC交AB于E，構造等移線段和角；

（3）已知三角形中線（若AD是BC的中線）

①過D點作DE∥AC交AB②延長AD到E，使DE=AD③∵AD是中線

-9-

BEDEDAAD12CB9．全等三角形中，重合的點是對應頂點，對應頂點所對的角是對應角，對應角所對的

腰三角形.ACBCABDC于E，構造中位線；

BDCAE連結CE構造全等，轉移線段和角；∴SΔABD=SΔADC（等底等高的三角形等面積）ABDC(4)已知等腰三角形ABC中，AB=AC

①作等腰三角形ABC底邊的中線AD②作等腰三角形ABC一邊的平行線DE，構造（頂角的平分線或底邊的高）構造全等三角形；

（5）其它作等邊三角形ABC一邊的平行線DE，構造新的等邊三角形；

④多邊形轉化為三角⑤延長BC到D，使⑥若a∥b,AC,BC是角平形；

BCEADOBDCBDC新的等腰三角形.AAAEDEBC②作CE∥AB，轉移角；③延長BD與AC交于E，AE不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形；BCDDAEAEBDCBCCD=BC，連結AD，直角三角形轉化為等腰三角形；ABCD分線,則∠C=90°.BAaCb

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