八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)定義總結(jié)人教版

八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)定義總結(jié)人教版1過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線2兩點(diǎn)之間線段最短3同角或等角的補(bǔ)角相等4同角或等角的余角相等

5過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直

6直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短

7平行公理經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行8如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行9同位角相等，兩直線平行10內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行11同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行12兩直線平行，同位角相等13兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等14兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

15定理三角形兩邊的和大于第三邊16推論三角形兩邊的差小于第三邊

17三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°18推論1直角三角形的兩個(gè)銳角互余

19推論2三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和20推論3三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角21全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等

22邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等23角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等24推論(AAS)有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等25邊邊邊公理(SSS)有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

26斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等27定理1在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

28定理2到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上29角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合

30等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個(gè)底角相等(即等邊對(duì)等角）31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（等角對(duì)等邊）

35推論1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

40逆定理和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上

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41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合42定理1關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形43定理2如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線

44定理3兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上

45逆定理如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系a^2+b^2=c^2，那么這個(gè)三角形是直角三角形

48定理四邊形的內(nèi)角和等于360°49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）×180°51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對(duì)角相等53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對(duì)邊相等54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對(duì)角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形57平行四邊形判定定理2兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形58平行四邊形判定定理3對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形59平行四邊形判定定理4一組對(duì)邊平行相等的四邊形是平行四邊形60矩形性質(zhì)定理1矩形的四個(gè)角都是直角全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等

邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等推論(AAS)有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等邊邊邊公理(SSS)有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等定理1在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

定理2到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合

等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個(gè)底角相等(即等邊對(duì)等角）

八年級(jí)數(shù)學(xué)人教版

第十六章分式如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式（fraction）。分式的分子與分母同乘或除以一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。

分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為分母。

2

分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

分式乘方要把分子、分母分別乘方。

a^-n=1/a^n(a≠0)這就是說(shuō)，a^-n(a≠0)是a^n的倒數(shù)。分式方程檢驗(yàn)方法：將整式方程的解帶入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解。第十七章反比例函數(shù)形如y=k/x（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)(inverseproportionalfunction)。

反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線（hyperbola）。

當(dāng)k＞0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小；

當(dāng)k＜0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大。

第十八章勾股定理

勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a^2+b^2=c^2

勾股定理逆定理：如果三角形三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a^2+b^2=c^2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

經(jīng)過(guò)證明被確認(rèn)正確的命題叫做定理(theorem)。我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）

第十九章四邊形

有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等；平行四邊形的對(duì)角相等。平行四邊形的對(duì)角線互相平分。平行四邊形的判定：

1.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；2.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；3.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；4.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

矩形的性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是直角；矩形的對(duì)角線平分且相等。矩形判定定理：

1.有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。3.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。

菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

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菱形的判定定理：

1.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(rhombus)。2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。3.四條邊相等的四邊形是菱形。

S菱形=1/2×ab（a、b為兩條對(duì)角線）

正方形的性質(zhì)：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角。正方形既是矩形，又是菱形。正方形判定定理：

1.鄰邊相等的矩形是正方形。

2.有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。

一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形（trapezium）。等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底邊上的兩個(gè)角相等；等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。

等腰梯形判定定理：同一底上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。線段的重心就是線段的中點(diǎn)。

平行四邊形的重心是它的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)。

三角形的三條中線交于疑點(diǎn)，這一點(diǎn)就是三角形的重心。

寬和長(zhǎng)的比是（根號(hào)5-1）/2（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形。

第二十章數(shù)據(jù)的分析

將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(median)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)（mode）。

一組數(shù)據(jù)中的最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差叫做這組數(shù)據(jù)的極差(range)。方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小，就越穩(wěn)定。數(shù)據(jù)的收集與整理的步驟：1.收集數(shù)據(jù)2.整理數(shù)據(jù)3.描述數(shù)據(jù)4.分析數(shù)據(jù)5.撰寫調(diào)查報(bào)告6.交流

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第十一章全等三角形

一、全等三角形形的定義

1、能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。注意：

（１）兩個(gè)三角形全等，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)

應(yīng)角。

（２）“能夠完全重合”是指在一定的疊放下，可以完全重合，不是胡亂擺放都能重合。

２、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等

３、三角形全等的識(shí)別方法

（１）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”和“ＳＳＳ”。

（２）兩邊和他們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“邊角邊”和“ＳＡＳ”。（３）兩角和他們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角邊角”和“ＡＳＡ”。

（４）兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角角邊”和“ＡＡＳ”。（５）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”和“ＨＬ”。注意：

ＳＳＡ、ＡＡＡ不能識(shí)別兩個(gè)三角形全等，識(shí)別兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，如果有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角。

4、三角形全等的證明思路

找?jiàn)A角ＳＡＳ（１）已知兩邊找直角ＨＬ

找另一邊ＳＳＳ

找邊的對(duì)角ＡＡＳ

（２）已知一邊一角邊為角的鄰邊找?jiàn)A角的另一邊ＳＡＳ找?jiàn)A邊的另一角ＡＳＡ邊為角的對(duì)邊找任意一角ＡＡＳ（３）已知兩角找?jiàn)A邊ＡＳＡ

找任意一邊ＡＡＳ

5、全等變換

一個(gè)圖形與另一個(gè)圖形的形狀一樣，大小相等，只是位置不同，我們稱這個(gè)圖形是另一個(gè)圖形的全等變換，三種基本全等變換：（１）旋轉(zhuǎn)；（２）翻折；（３）平移。二、角平分線的性質(zhì)定理及逆定理

１、性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。注意：（１）定理作用：a.證明線段相等；b.為證明三角形全等準(zhǔn)備條件。

（２）點(diǎn)到直線的距離，即點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度。

２、逆定理：在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上。

３、三角形的內(nèi)心

利用角的平分線的性質(zhì)定理可以導(dǎo)出：三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線交于一點(diǎn)Ｉ，此點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，它到三邊的距離相等。說(shuō)明：（１）三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三邊的距離相等。

（２）三角形兩個(gè)外角的角平分線也交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三邊所在的直線的距離相等。

（３）三角形外角角平分線的交點(diǎn)共有３個(gè)，所以到三角形三邊所在的直線的距離相等的點(diǎn)共有４個(gè)。

第十二章軸對(duì)稱

一、軸對(duì)稱圖形的概念：

如果一個(gè)圖形沿著某一條直線對(duì)折，對(duì)折的兩部分能完全重合，那么就稱這樣的圖形為軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做這個(gè)圖形的對(duì)稱軸。這時(shí)，我們就說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（或軸）對(duì)稱。

如：正方形、長(zhǎng)方形、圓形一定是軸對(duì)稱圖形；三角形、四邊形、梯形不一定是軸對(duì)稱圖形；平行四邊形一定不是軸對(duì)稱圖形。注意：

（１）一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不一定只有一條，如正方形有４條對(duì)稱軸、長(zhǎng)方形有２條對(duì)稱軸、圓形

有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸、正三角形有３條對(duì)稱軸、正n邊形有n條對(duì)稱軸。

（２）軸對(duì)稱圖形需要注意的重點(diǎn)：①一個(gè)圖形；

②沿一條直線折疊，對(duì)折的兩部分能完全重合（即重合到自身上）。

二、軸對(duì)稱的概念：

把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折過(guò)去，如果它能夠和另一個(gè)圖形完全重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線就是對(duì)稱軸。兩個(gè)圖形中經(jīng)過(guò)翻折之后互相重合的點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱點(diǎn)。注意：（１）兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的概念，前提不一樣，前者是兩個(gè)圖形，后者是一個(gè)圖形。（２）成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形不僅大小、形狀一樣而且與位置有關(guān)。

三、軸對(duì)稱的性質(zhì)：

１、關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形是全等形；

２、如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；３、兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上；４、如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分，那么，這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。注意：（１）全等的圖形不一定是軸對(duì)稱的，軸對(duì)稱的圖形一定是全等的。

（２）性質(zhì)４的作用是判定兩個(gè)圖形是否關(guān)于某直線對(duì)稱，它是作對(duì)對(duì)稱圖形的主要依據(jù)。

四、軸對(duì)稱作（畫）圖：１、畫圖形的對(duì)稱軸

（１）觀察分析圖形，找出軸對(duì)稱圖形的任意一組對(duì)稱點(diǎn)；（２）連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)；

（３）畫出以對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線。

２、如果一個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱點(diǎn)之間的線段的垂直平分線就是該圖形的對(duì)稱軸。注意：

對(duì)于（１）來(lái)說(shuō)，對(duì)稱點(diǎn)要找準(zhǔn)，特別是較復(fù)雜的軸對(duì)稱圖形，要認(rèn)真地觀察、分析，必要時(shí)要?jiǎng)邮植僮鲗?shí)踐一下；對(duì)于對(duì)稱軸有兩條或兩條以上的圖形，要從各個(gè)角度找對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)于（２）是找一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸的方法。

３、畫某點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法

（１）過(guò)已知點(diǎn)作已知直線的（對(duì)稱軸）的垂線，標(biāo)出垂足；

（２）在這條直線的另一側(cè)從垂足出發(fā)截取相等的線段，那個(gè)截點(diǎn)就是這點(diǎn)關(guān)于該直線的對(duì)稱點(diǎn)。

４、畫已知圖形關(guān)于某直線的對(duì)稱圖形

（１）畫出圖形的某些點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)；

（２）把這些對(duì)稱點(diǎn)順次連結(jié)起來(lái)，就形成了一個(gè)符合條件的對(duì)稱圖形。注意：

“某些點(diǎn)”是指能確定圖形形狀和大小及位置的關(guān)鍵點(diǎn)。如果是多邊形，“某些點(diǎn)”就是指所有的頂點(diǎn)；如果是線段，“某些點(diǎn)”就是指線段的兩個(gè)端點(diǎn)；如果是直角，“某些點(diǎn)”就是指角的頂點(diǎn)與角兩邊上每一邊一個(gè)任意點(diǎn)，其余類推。

五、軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系：軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形區(qū)①指兩個(gè)圖形而言；①對(duì)一個(gè)圖形而言；別②指兩個(gè)圖形的一種形狀與位置關(guān)系。②指一個(gè)圖形的特殊形狀。聯(lián)①都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合；系②把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形看成一個(gè)整體，就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；反過(guò)來(lái)，把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩部分，這兩部分關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱。

六、軸對(duì)稱幾何圖形的對(duì)稱軸：名稱是否是軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸有幾條對(duì)稱軸的位置線段是２條垂直平分線或線段所在的直線角是１條角平分線所在的直線長(zhǎng)方形是２條對(duì)邊中線所在的直線正方形是４條對(duì)邊中線所在的直線和對(duì)角線所在的直線圓是無(wú)數(shù)條直徑所在的直線平行四邊形不是０條

七、軸對(duì)稱變換的概念：

由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換。

八、軸對(duì)稱變換的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)：

規(guī)律：對(duì)稱軸方向、位置發(fā)生變化，得到的圖形的方向、位置也發(fā)生變化；

性質(zhì)：１、由一個(gè)平面圖形可以得到它關(guān)于一條直線l對(duì)稱的圖形，這個(gè)圖形與原圖形的形狀、大

小完全相同；

２、新圖形上的每一點(diǎn)，都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)；３、連結(jié)任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分；

４、成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)可以看做由另一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換后得到的；５、一個(gè)軸對(duì)稱圖形也可以看做以它的一部分為基礎(chǔ)，經(jīng)軸對(duì)稱變換擴(kuò)展而成的。九、線段垂直平分線的概念：

１、垂直于一條線段，并平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線；２、線段的垂直平分線可以看做和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。

十、線段垂直平分線的性質(zhì)定理：

線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)距離相等。

注意：１、“線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)距離相等”的作用是：證明兩條線段相等；

２、若ＣＤ垂直平分線段ＡＢ，可得到：①△ＡＢＣ是等腰三角形；

②ＣＯ是△ＡＢＣ底邊ＡＢ上的高和中線，也是頂角∠ＢＣＡ的平分線；③不僅ＡＣ＝ＣＢ，�。茫纳先我庖稽c(diǎn)Ｐ都有ＰＡ＝ＰＢ。

十一、線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：

和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

注意：（１）“和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上�！钡淖饔檬牵号卸ㄒ稽c(diǎn)在線段的垂

直平分線上；

（２）等腰三角形的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上；

（３）如果兩點(diǎn)到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么，這兩點(diǎn)所在直線是該線段的垂直平分線。

十二、三角形三邊垂直平分線的性質(zhì)：

三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。

注意：（１）“三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。”的作用是：證明

線段相等；

（２）三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)必在第三邊的垂直平分線上；

（３）證明三線共點(diǎn)，可先找到兩直線交點(diǎn)，再證明第三條直線也過(guò)這一點(diǎn)即可；（４）銳角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，直角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)恰是斜

邊中點(diǎn)，鈍角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形外部；

（５）此定理給出了作一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)不共線的點(diǎn)距離相等的作圖方法，只需順次連結(jié)這三點(diǎn)組成一

個(gè)三角形，作這個(gè)三角形的兩邊的垂直平分線，交點(diǎn)即為所求。

十三、等腰三角形的概念、性質(zhì)、判定：1、概念：

有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，在等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角，頂角是直角的等腰三角形叫做直角等腰三角形，三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。

2、性質(zhì)：

（１）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，有一條對(duì)稱軸，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在直

線是對(duì)稱軸；

（２）等腰三角形的兩底角相等（簡(jiǎn)寫為“等邊對(duì)等角”）；

（３）等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）。（４）等腰三角形的兩邊相等，即兩腰相等。

3、判定：（１）有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形；

（２）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么，這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）。注意：

（１）等腰三角形的判定和性質(zhì)的關(guān)系：等腰三角形的定義既體現(xiàn)了等腰三角形的性質(zhì)，也可以作為

判定，等腰三角形的性質(zhì)定理“等邊對(duì)等角”和等腰三角形的判定定理“等角對(duì)等邊”互為逆定理；

（２）“等角對(duì)等邊”在同一三角形內(nèi)證兩條邊相等的應(yīng)用極為廣泛，往往通過(guò)計(jì)算三角形各角的度

數(shù)得角相等，則可得邊相等；

（３）底角為頂角２倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形。

十四、等邊三角形的定義、性質(zhì)、判定：1、定義：

三條邊相等的三角形叫做等邊三角形。

注意：

（１）由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形，也就是說(shuō)等腰三角形包括等邊三角形，因

而等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)；

（２）等邊三角形有三條對(duì)稱軸，故三邊上均有“三線合一”的性質(zhì)，其三條中線交于一點(diǎn)，稱其為“中

心”。

2、性質(zhì)：

等邊三角形的三邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于６０°，每一個(gè)外角都等

于１２０°。

3、判定：（１）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

（２）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

（３）有一個(gè)內(nèi)角是６０°的等腰三角形是等邊三角形；（４）任意一腰和底邊相等的等腰三角形是等邊三角形。注意：（１）四個(gè)判定定理的前提不同，判定（１）和判定（２）是在三角形的條件下，判定（３）和

判定（４）是在等腰三角形的條件下；

（２）計(jì)算出三角形的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都相等（或都為６０°），然后根據(jù)“等角對(duì)等邊”可說(shuō)明

一個(gè)三角形是等邊三角形。

十五、含３０°角的直角三角形的性質(zhì)：

如果在直角三角形中有一個(gè)銳角為３０°，那么３０°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

注意：

性質(zhì)是由等邊三角形的性質(zhì)得出的，它的主要作用是能解決直角三角形中的有關(guān)線段長(zhǎng)度、線段關(guān)系、角的度數(shù)等的計(jì)算問(wèn)題，特別在以后的學(xué)習(xí)中應(yīng)用更廣泛。

第十三章實(shí)數(shù)

一、平方根、算術(shù)平方根的概念及其性質(zhì)１、算術(shù)平方根的概念及其性質(zhì)

（１）一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，a的算

術(shù)平方根記為a，讀作“根號(hào)a”，a叫做被開(kāi)方數(shù)。

（２）一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù)；0的算術(shù)平方根仍為0；負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，也就是說(shuō)，

當(dāng)式子

a有意義時(shí)，a一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)。

２、平方根的概念及其性質(zhì)

（１）如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根或二次方根，這就是說(shuō)，如果x=a，

那么x叫做a的平方根。

正數(shù)a的正的平方根表示為“指數(shù)（一般可省去不寫）；“根表示為“－aaa”或“aa”，其中a叫做被開(kāi)放數(shù)；“a”中的2叫做根

”或“”讀作“二次根號(hào)a”或“根號(hào)a”；正數(shù)a的負(fù)的平方

a”或“－a”；正數(shù)a的平方根表示為±，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”。

（２）一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)且它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

３、開(kāi)平方運(yùn)算

求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方，其中a叫做被開(kāi)方數(shù)。

注意：（１）被開(kāi)方數(shù)a是非負(fù)數(shù)（非負(fù)數(shù)即指正數(shù)和零）；

（２）平方運(yùn)算與開(kāi)平方運(yùn)算是互為逆運(yùn)算的關(guān)系。４、平方根（或算術(shù)平方根）的幾個(gè)公式

（１）式子±a有意義的條件為ａ≥０。

（２）ａ表示ａ的算術(shù)平方根，ａ是非負(fù)數(shù)，即ａ≥０。ａａ≥０（３）ａ＝ａ＝０ａ＝０－ａａ＜０（４）√（ａ）＝ａ（ａ≥０），（－ａ）＝ａ（ａ≥０）。

二、立方根的概念及其性質(zhì)

１、如果一個(gè)數(shù)ｘ的立方等于ａ，即ｘ＝ａ，那么就稱這個(gè)數(shù)ｘ為ａ的立方根（或三次方根）。

ａ的立方根（或三次方根）表示為ａ，其中ａ為被開(kāi)方數(shù)，“”符號(hào)中的３為根指數(shù)（這個(gè)數(shù)不能省略）；ａ讀作“三次根號(hào)ａ”或“ａ的立方根”。

２、任意數(shù)都有立方根，正數(shù)有一個(gè)正的立方根；負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根仍為零。

３、有關(guān)立方根的補(bǔ)充說(shuō)明和兩個(gè)公式

（１）在ａ中，被開(kāi)方數(shù)ａ可為正數(shù)、零，也可為負(fù)數(shù)。即ａ的正負(fù)與ａ一致。（２）－ａ=－ａ（３）(a)=a＝ａ４、開(kāi)立方運(yùn)算

求一個(gè)數(shù)ａ的立方根的運(yùn)算叫做開(kāi)立方運(yùn)算。開(kāi)立方運(yùn)算與立方運(yùn)算是互為逆運(yùn)算的關(guān)系。

三、實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)

（１）實(shí)數(shù)ａ的相反數(shù)為－ａ，零的相反數(shù)是其本身，若ａ與ｂ互為相反數(shù)，則ａ＋ｂ＝０；反之亦然。

（２）實(shí)數(shù)ａ的倒數(shù)為１/ａ（ａ≠０）。若ａ與ｂ互為倒數(shù)，則ａｂ＝１；反之亦然。

（３）實(shí)數(shù)ａ的絕對(duì)值表示為ａ，正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，零的絕對(duì)值是零，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是

它的相反數(shù)。

ａａ≥０

即ａ＝０ａ＝０－ａａ＜０

（４）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，數(shù)軸上每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)都

可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。

已知實(shí)數(shù)ａ、ｂ在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Ａ、Ｂ，則有ａ、ｂ分別表示點(diǎn)Ａ、點(diǎn)Ｂ到原點(diǎn)的距離；ａ－ｂ表示點(diǎn)Ａ到點(diǎn)Ｂ的距離，這正是絕對(duì)值的幾何意義。

在數(shù)軸上，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大；正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，０大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，正實(shí)數(shù)都大于０；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小，即對(duì)于負(fù)數(shù)ａ、ｂ，有ａ＜ｂ＝ａ＞ｂ。

四、實(shí)數(shù)的概念及其分類

實(shí)數(shù)是有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的統(tǒng)稱，有如下分類：（１）按定義分類

整數(shù)實(shí)數(shù)有理數(shù)分?jǐn)?shù)有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)無(wú)理數(shù)：即無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

（２）按正負(fù)分類

正整數(shù)正有理數(shù)正分?jǐn)?shù)正實(shí)數(shù)

正無(wú)理數(shù)實(shí)數(shù)

零

負(fù)整數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)無(wú)理數(shù)

五、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，可進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算和它們之間的混合運(yùn)算；有理數(shù)范圍

內(nèi)的運(yùn)算律、運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍適用，且滿足運(yùn)算律。交換律：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ，ａｂ＝ｂａ結(jié)合律：（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ），（ａｂ）ｃ＝ａ（ｂｃ）分配率：ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ六、實(shí)數(shù)的大小比較①數(shù)軸比較法；②代數(shù)比較法；

③差值比較法；④商值比較法；

⑤倒數(shù)比較法：若1/a＞1/b,a＞0,b＞0,則a＜b；

⑥平方比較法：ａ＞０，ｂ＞０，ａ＞ｂ，則ａ＞ｂ；⑦開(kāi)方比較法：若a＞0，b＞0，ａ＞ｂ，則ａ＞ｂ；

七、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)

（１）已知實(shí)數(shù)ａ，則ａ≥0，ａ≥0，ａ≥0（ｎ為正整數(shù)）。ｎ

（２）任意非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根和偶次方根還是非負(fù)數(shù)，即ａ≥0，ａ≥0（ｎ為正整數(shù)）。ｎ（３）若兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為０，那么這兩個(gè)數(shù)一定都為０，常見(jiàn)以下幾種形式：ａ＝０，

若ａ＋ｂ＝０，則ｂ＝０，反之亦然。

ａ＝０，

若ａ＋ｂ＝０，則ｂ＝０，反之亦然。

ａ＝０，

若ａ＋ｂ＝０，則ｂ＝０，反之亦然。

ａ＝０，

若ａ＋ｎｎｂ＝０，則ｂ＝０，反之亦然。

可推廣位：ｎ個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)之和為０，則這ｎ個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)一定都為零。

第十四章一次函數(shù)

一、函數(shù)的有關(guān)概念

（１）變量與常量

在某一變化過(guò)程中，可以取不同的量叫做常量，保持不變的量叫做常量。

注意：變量和常量往往是相對(duì)而言的，在不同研究過(guò)程中，常量和變量的身份是可以相互轉(zhuǎn)換的。

（２）函數(shù)與自變量

一般地，如果在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量，例如ｘ和ｙ，對(duì)于ｘ的每一個(gè)值，ｙ都

有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，我們就說(shuō)ｘ是自變量，ｙ是因變量，此時(shí)也稱ｙ是ｘ的函數(shù)。

注意：函數(shù)體現(xiàn)的是一個(gè)變化的過(guò)程，在這一變化過(guò)程中，要著重把握以下三點(diǎn)：（１）只能有兩個(gè)變量。

（２）一個(gè)變量的數(shù)值隨著另一個(gè)變量的數(shù)值變化而變化。

（３）對(duì)于自變量的每一個(gè)確定的值，函數(shù)都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)。

二、函數(shù)的表示方法

函數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法和圖像法。

（１）解析法：

兩個(gè)變量之間的關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量的等式表示，這種表示方法叫做解析式。用解析式表示一個(gè)函數(shù)關(guān)系時(shí)，因變量ｙ放在等式的左邊，自變量ｘ的代數(shù)式放在右邊，其實(shí)質(zhì)是用ｘ的代數(shù)式表示ｙ。

注意：解析法簡(jiǎn)單明了，能準(zhǔn)確地反應(yīng)整個(gè)變化過(guò)程中自變量與因變量的關(guān)系，但不直觀，且有的函數(shù)

關(guān)系不一定能用解析法表示出來(lái)。

（２）列表法：

把自變量ｘ的一系列值和函數(shù)ｙ的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法。

注意：列表法優(yōu)點(diǎn)是一目了然，使用方便，但其列出的對(duì)應(yīng)值是有限的而且從表中不易看出自變量和函

數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。

（３）圖像法：

用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。

注意：圖像法形象直觀，是研究函數(shù)的一種很重要的方法。

在解決問(wèn)題時(shí)，我們常常綜合運(yùn)用三種方法來(lái)表示函數(shù)。

三、函數(shù)自變量取值范圍及函數(shù)值

函數(shù)自變量的取值范圍是指函數(shù)有意義的自變量的取值的全體。求自變量的取值范圍通常從兩

個(gè)方面考慮：一是要使函數(shù)的解析式有意義；二是符合客觀實(shí)際。下面給出一些簡(jiǎn)單函數(shù)解析式中自變量范圍的確定方法。

（１）當(dāng)函數(shù)的解析式是整式時(shí)，自變量取任意實(shí)數(shù)（即全體實(shí)數(shù)）。

（２）當(dāng)函數(shù)的解析式是分式時(shí)，自變量取值是使分母不為零的任意實(shí)數(shù)。

（３）當(dāng)函數(shù)的解析式是開(kāi)平方的無(wú)理式時(shí)，自變量值是使被開(kāi)放的式子為非負(fù)的實(shí)數(shù)。

（４）當(dāng)函數(shù)解析式中自變量出現(xiàn)在零次冪或負(fù)整數(shù)次冪的底數(shù)中時(shí)，自變量值取值是使底數(shù)不為

零的實(shí)數(shù)。

對(duì)于自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)值，如當(dāng)ｘ＝ａ時(shí)，函數(shù)有唯一確定的對(duì)應(yīng)值，這個(gè)值就是當(dāng)ｘ＝ａ時(shí)的函數(shù)值。

注意：若已知函數(shù)解析式及自變量的值求函數(shù)值，其實(shí)質(zhì)就是求關(guān)于自變量ｘ的代數(shù)式的值。若已知函數(shù)解析式及函數(shù)值求自變量的值，其實(shí)質(zhì)就是解關(guān)于自變量ｘ的方程。

四、函數(shù)的圖像

（１）函數(shù)圖像的意義

一般來(lái)說(shuō)，函數(shù)的圖像是由直角坐標(biāo)系中的一系列點(diǎn)組成。圖像上每一點(diǎn)的坐標(biāo)（ｘ，ｙ）代表了函數(shù)的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，他的橫坐標(biāo)ｘ表示自變量的某一個(gè)值，縱坐標(biāo)ｙ表示與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。

（２）函數(shù)圖像的畫法

在直角坐標(biāo)系中，如果描出以自變量的值為橫坐標(biāo)、相應(yīng)函數(shù)值為縱坐標(biāo)的點(diǎn)，那么所有這

樣的點(diǎn)組成的圖形叫做這個(gè)函數(shù)的圖像。

知道了函數(shù)解析式要畫出函數(shù)的圖像，一般經(jīng)歷以下三步：①列表：

取自變量的一些值，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，由這一系列的對(duì)應(yīng)值得到一系列的有序?qū)崝?shù)對(duì)。

②描點(diǎn)：

在直角坐標(biāo)系中，描出這些有序?qū)崝?shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

③連線：

用平滑的曲線依次把這些點(diǎn)連起來(lái)，即可得到這個(gè)函數(shù)的圖像。

五、數(shù)學(xué)思想方法（１）數(shù)形結(jié)合思想

本章中比較廣泛地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)研究問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合，直觀形象，由數(shù)思形，由形思數(shù)，兩者巧妙結(jié)合，為分析問(wèn)題和解決問(wèn)題創(chuàng)造了有利條件，幫助我們?nèi)シ治龊徒鉀Q問(wèn)題。

（２）函數(shù)思想

研究一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先從問(wèn)題中抽象出特定的函數(shù)關(guān)系，然后利用函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論，最后把結(jié)論應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中去，從而得到實(shí)際問(wèn)題的研究結(jié)果。將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，通過(guò)建立函數(shù)模型，利用函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。

（３）轉(zhuǎn)化思想

將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將未知轉(zhuǎn)化為已知，將抽象轉(zhuǎn)化為具體，這是數(shù)學(xué)中常用的思想方法。

六、一次函數(shù)（正比例函數(shù)）的概念

解析式是用自變量的一次整式表示的函數(shù)，我們稱之為一次函數(shù)。一次函數(shù)的一般形式為ｙ＝ｋｘ＋ｂ，其中ｋ、ｂ為常數(shù)，ｋ≠０，特別地，當(dāng)ｋ＝０時(shí)，一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ（常數(shù)ｋ≠０）也叫做正比例函數(shù)。注意：

（１）如果一個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，則含有自變量ｘ的式子是一次的，系數(shù)ｋ不等于０，而ｂ可以為

任意實(shí)數(shù)。

（２）自變量ｘ的取值范圍是任意實(shí)數(shù)。（３）ｋ≠０這個(gè)條件不可忽略。

（４）正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關(guān)系：

①正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，即一次函數(shù)包含正比例函數(shù)。

②一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)，在一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）中，當(dāng)ｂ＝０時(shí)，ｙ是ｘ的正比例函數(shù)；當(dāng)ｂ≠０時(shí)ｙ不是ｘ的正比例函數(shù)。

七、一次函數(shù)的圖像

（１）一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的圖像是一條直線，通常也稱為直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ，一方面，一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ的圖像可以用描點(diǎn)法畫出；另一方面，由于兩點(diǎn)確定一條直線，故畫一次函數(shù)的圖像時(shí)，只要先描出兩點(diǎn)，再連成直線就可以了，為了方便，常用圖像與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)（０，ｂ）和（－，０）

（２）正比例函數(shù)ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（０，０）的一條直線，通常畫正比例函數(shù)

ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的圖像只需取一點(diǎn)（１，ｋ），然后過(guò)原點(diǎn)和這一點(diǎn)畫直線。

八、對(duì)一次函數(shù)的ｙ＝ｋｘ＋ｂ中的系數(shù)ｋ、ｂ的理解

（１）直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ中ｋ表示直線向上的方向與ｘ軸正方向夾角的大小程度，即直線的傾斜程度；

ｂ是直線與ｙ軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，ｂ＞０時(shí)，直線與ｙ軸交于正半軸上；ｂ＝０時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，是正比例函數(shù)；ｂ＜０時(shí)，直線與ｙ軸交于正半軸上；ｂ＝０時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，是正比例函數(shù)；ｂ＜０時(shí)，直線與ｙ軸交于負(fù)半軸上。

（２）兩直線ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１（ｋ１≠０）與ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２（ｋ２≠０）的位置關(guān)系。①當(dāng)ｋ１＝ｋ２，ｂ１≠ｂ２時(shí)，兩直線平行。②當(dāng)ｋ１＝ｋ２，ｂ１＝ｂ２時(shí)，兩直線重合。注意：

（１）當(dāng)ｋ＞０時(shí)，直線必經(jīng)過(guò)一、三象限；ｋ＜０時(shí)，直線必經(jīng)過(guò)二、四象限。當(dāng)ｂ＞０時(shí)，直線

與ｙ軸正半軸相交，故必過(guò)一、二象限；ｂ＝０時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)；ｂ＜０時(shí)，直線與ｙ軸負(fù)半軸相交，故直線過(guò)三、四象限。

（２）ｙ隨ｘ的增大而增大，還是ｙ隨ｘ的增大而減小，只取決于ｋ的符號(hào)，與ｂ無(wú)關(guān)。

九、一次函數(shù)解析式的確定

（１）根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)律、關(guān)系確定函數(shù)解析式

①對(duì)于探索一系數(shù)、圖形個(gè)數(shù)等規(guī)律時(shí)，其關(guān)鍵是找出問(wèn)題的兩個(gè)變量之間存在的數(shù)量關(guān)系。②對(duì)于幾何圖形中的兩個(gè)量的關(guān)系，要能夠結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)確定兩個(gè)變量的關(guān)系。

③對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中的兩個(gè)量之間的關(guān)系，要分析出各個(gè)量之間存在的數(shù)量關(guān)系，并能正確用含一

個(gè)量的代數(shù)式表示另一個(gè)量，同時(shí)注意自變量的取值范圍。

（２）待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式

先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)已知條件確定解析式中未知的系數(shù)，從而具體寫出函數(shù)解析式的方法，叫做待定系數(shù)法，待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式最常用的方法，其一般步驟是：①設(shè)一次函數(shù)解析式為ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）。

②將函數(shù)圖像所經(jīng)過(guò)的任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)帶入ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）。③解此二元一次方程組，得待定系數(shù)k、b的值。④確定函數(shù)解析式。注意：

（１）在正比例函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０，且為常數(shù)）中，只有一個(gè)待定系數(shù)ｋ，確定正比例函

數(shù)關(guān)系式只需一個(gè)條件。

（２）在一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ、ｂ為常數(shù)，且ｋ≠０）中，有兩個(gè)待定系數(shù)ｋ和ｂ，因此確

定一次函數(shù)關(guān)系式需要兩個(gè)條件。

十、一次函數(shù)與方程（組）及不等式之間的關(guān)系（１）一次函數(shù)與一元一次方程

直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ與ｘ軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是一元一次方程ｋｘ＋ｂ＝０的解。

求直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ與ｘ軸的交點(diǎn)，可令ｙ＝０得方程ｋｘ＋ｂ＝０，解方程得ｘ＝－，－是直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ與ｘ軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。反之，由函數(shù)的圖像也能求出對(duì)應(yīng)的一元一次方程的解。

（２）一次函數(shù)與二元一次方程（組）一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０的解；以二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ的圖像上。

兩條直線ｌ１：ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１（ｋ１≠０）與ｌ２：ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２（ｋ２≠０）的交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)就是方程組ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２

注意：若ｋ１＝ｋ２，ｂ１≠ｂ２，則兩直線平行，無(wú)交點(diǎn)，所以方程組無(wú)解；若ｋ１＝ｋ２，ｂ１＝ｂ２，則兩直線重合，通常不研究此類情況。

（３）二元一次方程組的圖像解法

畫出方程組對(duì)應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖像，找出它們的交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)就是二元一次方程組的解，這種解方程組的方法叫做二元一次方程組的圖像解法。

（４）一次函數(shù)與一元一次不等式

使一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函數(shù)值ｙ大于０的自變量的所有值，就是一元一次不等式ｋｘ＋ｂ＞０的解集，同樣使一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函數(shù)值ｙ小于０的自變量的所有值，就是一元一次不等式ｋｘ＋ｂ＜０的解集。

第十五章整式的乘除與因式分解

一、同底數(shù)冪的乘法：

同底數(shù)冪的乘法法則：

同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即ａａ＝ａ（ｍ、ｎ都是正整數(shù)）。

注意：（１）這一運(yùn)算性質(zhì)可推廣到三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘，即ａ〃ａ〃ａ＝ａ（ｍ、ｎ、ｐ都

是正整數(shù)）。

（２）運(yùn)算性質(zhì)可以逆運(yùn)用，即ａ＝ａ〃ａ。（３）冪的底數(shù)ａ可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。

二、冪的乘方與積的乘方：１、冪的乘方法則：

冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（ａ）＝ａ（ｍ、ｎ都是正整數(shù)）。

注意：（１）不要把冪的乘方性質(zhì)與同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)混淆。冪的乘方運(yùn)算，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運(yùn)

算（底數(shù)不變）；同底數(shù)冪的乘法，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運(yùn)算（底數(shù)不變）。

（２）此性質(zhì)可以逆運(yùn)用，即ａ＝（ａ）＝（ａ）。

２、積的乘方法則：

積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積，即（ａｂ）＝ａｂ（ｎ為正整數(shù)）。注意：（１）這一運(yùn)算性質(zhì)可推廣到三個(gè)或三個(gè)以上的因數(shù)的積的乘方，即（ａｂｃ）＝ａ〃ｂ〃ｃ

（ｎ為正整數(shù)）。

（２）此性質(zhì)可以逆運(yùn)用，即ａ〃ｂ＝（ａｂ）。

三、同底數(shù)冪的除法：

同底數(shù)冪的除法法則：

同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即ａ÷ａ＝ａ（ａ≠0，ｍ、ｎ為正整數(shù)，且ｍ＞ｎ）。

注意：此性質(zhì)可以逆運(yùn)用，即ａ＝ａ÷ａ。

四、零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：

在ａ÷ａ＝ａ中，當(dāng)ｍ＝ｎ時(shí)，規(guī)定ａ÷ａ＝ａ＝１（ａ≠０）當(dāng)ｍ＜ｎ時(shí)，規(guī)定ａ÷ａ＝ａ＝。（１）零指數(shù)冪的意義：

任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于１，即ａ＝１（ａ≠０）。（２）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義：

任何不等于零的數(shù)的－ｎ（ｎ為正整數(shù)）次冪，等于這個(gè)數(shù)的ｎ次冪的倒數(shù)，即

ａ＝（ａ≠0，ｎ為正整數(shù)）。注意：（１）在這兩個(gè)冪的意義中，強(qiáng)調(diào)底數(shù)ａ都不等于零，否則無(wú)意義。

（２）學(xué)習(xí)零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪后，正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)推廣到整數(shù)指的冪。

五、科學(xué)計(jì)數(shù)法：

利用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示絕對(duì)值較大的數(shù)，即表示成ａ×１０的形式，ｎ為正整數(shù)，１≤｜ａ｜

＜１０。對(duì)于一些絕對(duì)值較小的數(shù)，我們可以仿照絕對(duì)值較大數(shù)的計(jì)法，用１０的負(fù)整數(shù)次冪表示，而將原式寫成ａ×１０的形式，其中ｎ為正整數(shù)，１≤｜ａ｜＜１０，這也稱為科學(xué)計(jì)數(shù)法。

六、單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，

則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

七、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配率用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即。

注意：?jiǎn)雾?xiàng)式乘多項(xiàng)式實(shí)際上是用分配率向單項(xiàng)式相乘轉(zhuǎn)化。

八、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，

即（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。

九、平方差公式：（１）內(nèi)容：

（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ－ｂ

（２）意義：

兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。

（３）特征：

①左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩項(xiàng)中有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；

②右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差；

③公式中的ａ和ｂ可以使有理數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。

（４）幾何意義：

平方差公式的幾何意義也就是圖形變換過(guò)程中面積相等的表達(dá)式。

（５）拓展：

①立方和公式：

（ａ＋ｂ）（ａ－ａｂ＋ｂ）＝ａ＋ｂ；②立方差公式：

（ａ－ｂ）（ａ＋ａｂ＋ｂ）＝ａ－ｂ。③（ａ－ｂ）（ａ＋ａｂ＋ａｂ＋＋ａｂ＋ａｂ＋ｂ）＝ａ－ｂ。

十、完全平方公式：（１）內(nèi)容：

（ａ＋ｂ）＝ａ＋ｂ＋２ａｂ；（ａ－ｂ）＝ａ＋ｂ－２ａｂ。（２）意義：

兩數(shù)和的平方，等于它們的平方和，加上它們積的２倍。

兩數(shù)差的平方，等于它們的平方和，減去它們積的２倍。（３）特征：

①左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，右邊是一個(gè)二次三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)是公式左邊二項(xiàng)式中每一

項(xiàng)的平方，另一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的２倍，可簡(jiǎn)記為“首平方，尾平方，積的２倍在中央�！�

②公式中的ａ、ｂ可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。（４）幾何意義：（５）推廣：

①（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ａ＋ｂ＋ｃ＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ；②（ａ＋ｂ）＝ａ＋ｂ＋３ａｂ＋３ａｂ；

③（ａ－ｂ）＝ａ－ｂ－３ａｂ＋３ａｂ。

十一、單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法則：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

注意：（１）兩個(gè)單項(xiàng)式相除，只要將系數(shù)及同底數(shù)冪分別相除即可。

（２）只在被除式里含有的字母不不要漏掉。

十二、多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除：

多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法則：

一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加，

即（ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＋ｄｍ）÷ｍ＝ａｍ÷ｍ＋÷ｂｍ÷ｍ＋ｃｍ÷ｍ＋ｄｍ÷ｍ。

注意：這個(gè)法則的使用范圍必須是多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，反之，單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式是不能這樣計(jì)算的。

十三、整式的混合運(yùn)算：

關(guān)鍵是注意運(yùn)算順序，先乘方，在乘除，后加減，有括號(hào)時(shí)，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)，先做括號(hào)里的。

十四、因式分解的意義：

把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，即多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積。

注意：（１）因式分解的要求：

①結(jié)果一定是積的形式，分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；②每個(gè)因式必須是整式；

③各因式要分解到不能分解為止。（２）因式分解與整式乘法的關(guān)系：

是兩種不同的變形過(guò)程，即互逆關(guān)系。

十五、因式分解的方法：１、提公因式法分解因式：

ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ），這個(gè)變形就是提公因式法分解因式。這里的ｍ可以代表單項(xiàng)式，也可以代表多項(xiàng)式，ｍ稱為公因式。確定公因式方法：

系數(shù)：取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)。字母（或多項(xiàng)式因式）：取各項(xiàng)都含有的字母（或多項(xiàng)式因式）的最低次冪。

２、利用公式法分解因式：

①平方差公式：ａ－ｂ＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）。②完全平方公式：ａ＋ｂ＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）；ａ＋ｂ－２ａｂ＝（ａ－ｂ）。

③立方和與立方差公式：ａ＋ｂ＝（ａ＋ｂ）（ａ－ａｂ＋ｂ）；ａ－ｂ＝（ａ－ｂ）（ａ＋ａｂ＋ｂ）。注意：（１）公式中的字母ａ、ｂ可代表一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式。

（２）選擇使用公式的方法：主要從項(xiàng)數(shù)上看，若多項(xiàng)式是二項(xiàng)式應(yīng)考慮平方差或立方和、立方差

公式；若多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，可考慮用完全平方公式。

３、分組分解法：

①將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)?shù)姆纸M后，組與組之間能提公因式或運(yùn)用公式分解。②適用范圍：適合四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式的分解。

分組的標(biāo)準(zhǔn)為：分組后能提公因式或分組后能運(yùn)用公式。

４、其他方法：

①十字相乘法：ｘ＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）。

②求根公式法：若ａｘ＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的兩根是ｘ１、ｘ２，ａｘ＋ｂｘ＋ｃ＝ａ

（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）。

十六、因式分解的一般步驟及注意問(wèn)題：

１、對(duì)多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式時(shí)，應(yīng)先提供因式。

２、多項(xiàng)式各項(xiàng)沒(méi)有公因式時(shí)，如果是二項(xiàng)式就考慮是否符合平方差公式；如果是三項(xiàng)式就考慮是否符

合完全平方公式或二次三項(xiàng)式的因式分解；如果是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，通常采用分組分解法。分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止。

十七、添括號(hào)法則：

添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括

到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)。

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