中小學(xué)課改實驗教材初中數(shù)學(xué)學(xué)科培訓(xùn)總結(jié)

中小學(xué)課改實驗教材初中數(shù)學(xué)學(xué)科培訓(xùn)總結(jié)

劉鳳英

經(jīng)過這次中小學(xué)課改實驗教材初中數(shù)學(xué)學(xué)科培訓(xùn)，我感觸很深，我的積極性被培訓(xùn)老師調(diào)動的很高，我把我所學(xué)到的東西總結(jié)如下：

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課的教法，往往是老師講例題、分析過程、講完后讓學(xué)生練習(xí)鞏固，反復(fù)循環(huán)，學(xué)生的練習(xí)無非是例題的再版，使學(xué)生的學(xué)習(xí)乏味無趣，那么怎樣才能吸引學(xué)生呢？

1、新課的引入：創(chuàng)造豐富的問題情境，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣。如平行線的引入時，可以引入鐵軌、滑雪、雙杠等實例。

2、注重知識的獲得過程，給予足夠的時間和空間，為學(xué)生提供探索的機會。新課改提倡學(xué)生合作學(xué)習(xí)、自主探究，我們在實踐中也作了嘗試，深感：（1）對小組的分工與合作，要多加以方法的指導(dǎo)和習(xí)慣的培養(yǎng)，使學(xué)生知道該如何與人合作；（2）對內(nèi)容要進行選擇，應(yīng)該有一定的思維層次，有一定的挑戰(zhàn)性，突出方法和能力的問題作為合作的內(nèi)容；（3）對合作的方式要有設(shè)計。要有獨立的思考，使每個人在合作中都有話說；要有合作，使每個人在合作中都能從別人種學(xué)到東西；要有問題，是每個組合作的目的比較明確。

3、充分利用好教材，真正理解教材的編寫意圖。對于課本中的討論、思考、探究等欄目，不能只流于形式，要想好、做透徹、議透徹，給予學(xué)生充足的時間，真正做到做中學(xué)和學(xué)中做。

4、創(chuàng)建和諧的教學(xué)氛圍：教師要抓住討論、思考、探究的環(huán)節(jié)，積極地深入到學(xué)生之中，與學(xué)生進行情感的溝，詢問、指導(dǎo)，也要讓學(xué)生發(fā)表自己的不同見解，可以向老師質(zhì)疑，老師要以心對心，以情對情，真誠平等的時學(xué)生自由的想象和創(chuàng)造，從而愉快的學(xué)習(xí)知識，發(fā)展能力。

5、校本課程的開發(fā)：我們的教師在每一章學(xué)習(xí)結(jié)束后，綜合各種練習(xí)冊，編制專題訓(xùn)練題，以達到復(fù)習(xí)鞏固的目的。如一次函數(shù)的學(xué)習(xí)結(jié)束后，我們編制了以下幾個專題：①專題1：求函數(shù)自變量的取值范圍；②專題2：函數(shù)的圖像；③專題3：正比例函數(shù)；④專題4：一次函數(shù)；⑤一次函數(shù)的應(yīng)用。

總之，我們廣大的一線教師都在努力的嘗試著、認真的總結(jié)著，在今后的工作實踐中，我們會繼續(xù)用新的理念武裝自己，使自己的教學(xué)水平更適應(yīng)新時代的要求，做新時代合格的人民教師。

成績只能說明過去，課改并沒有結(jié)束，我將繼續(xù)努力，用新的理念指導(dǎo)著實際工作，為課改工作做出應(yīng)有的貢獻。

擴展閱讀：初中數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ) 重點 總結(jié)

第一章數(shù)與代數(shù)

數(shù)”的產(chǎn)生成為人類文明發(fā)展的一個重要的標志。人類從識別事物多寡的原始的數(shù)覺能力，到抽象的“數(shù)”概念的形成，經(jīng)歷了一個緩慢漸進的過程。第一次擴充：分數(shù)的引進；第二次擴充：0的引進；第三次擴充：負數(shù)的引進；第四次擴充：無理數(shù)的引進；第五次擴充：復(fù)數(shù)的引進。

從原有數(shù)集擴充到新數(shù)集所遵循的原則：原數(shù)集是擴充后新數(shù)集的真子集；原數(shù)集定義的元素間的關(guān)系和運算在新數(shù)集中同樣地被定義；原數(shù)集中的元素在新數(shù)集中定義的運算結(jié)果與在原數(shù)集中的運算結(jié)果一致，且基本運算律保持；在原數(shù)集中不能施行或不能完全施行的某種運算，在新數(shù)集中能夠施行；新數(shù)集是滿足上述四條的數(shù)集中的最小數(shù)集。擴充方法：一種是把新引進的數(shù)加到已建立的數(shù)系中而擴充。另一種是從理論上創(chuàng)造一個集合，即通過定義等價類來建立新數(shù)系，然后指出新數(shù)系的一個部分集合與以前數(shù)，一種新的數(shù)，也就實現(xiàn)了數(shù)系的一次擴張。引入了負數(shù)，就實現(xiàn)了這個數(shù)系關(guān)于加減運算的自封閉。

有理數(shù)有一種簡單的幾何解釋在一條水平的直線上，確定一段線段為單位長度，把它的左、右端點分別標設(shè)為0和1。正整數(shù)在0的右邊，負整數(shù)在0的左邊。對于分母q的有理數(shù)，就可以用把單位區(qū)間q等分的那些分點表示。每一個有理數(shù)都可以找到數(shù)軸上的一點與之對應(yīng)。

無理數(shù)的引入正方形的邊長和對角線不可公度。實現(xiàn)了數(shù)系的又一次擴張，可以滿足數(shù)學(xué)上開方運算的需要，實現(xiàn)了實數(shù)系關(guān)于加減運算的封閉性。戴德金闡述了有理數(shù)的有序性、稠密性和戴德金分割。戴德金分割是指,每個有理數(shù)都將全部有理數(shù)分為兩類，使得第一類中每個數(shù)都小于第二類中的任一個數(shù)，這個分類的有理數(shù)可以算在兩類的任何一類中。利用這個分割法可以得到無理數(shù)的定義。

所建立的數(shù)系是同構(gòu)的。

自然數(shù)的兩大基本理論：基數(shù)理論和序數(shù)理論

基數(shù)理論當我們把所有表示數(shù)量的符號放在一起就得到了一個集合，我們稱之為“數(shù)集”，為了度量“數(shù)集”當中表示數(shù)量的符號個數(shù)，我們首先要定義一個概念就是“基數(shù)”。19世紀中葉，數(shù)學(xué)家康托以集合理論為基礎(chǔ)提出了自然數(shù)的基數(shù)理論。等價集合的共同特征稱為基數(shù)。對于有限集合來說，基數(shù)就是元素的個數(shù)。自然數(shù)就有有限集合A的基數(shù)叫做自然數(shù)。記作“”。當集合是有限集時，該集合的基數(shù)就是自然數(shù)。空集的基數(shù)就是0。而一切自然數(shù)組成的集合，我們稱之為自然數(shù)集，記為N。

序數(shù)理論皮亞諾1889年建立了自然數(shù)的序數(shù)理論，進而完全確立了數(shù)系的理論。是根據(jù)一個集合里某些元素之間有“后繼”這一基本關(guān)系和五條公理（皮亞諾公理），把自然數(shù)集里的元素按1、2、……這樣一種基本關(guān)系而完全確定下來。

定義非空集合N*中的元素叫做自然數(shù),如果N*的元素之間有一個基本關(guān)系“后繼”(b后繼于a,記為b=a′)，并滿足下列公理：（1）0∈N*；（2）0不是N*中任何元素的后繼元素；（3）對N*中任何元素a，有唯一的a′∈N；（4）對N*中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后繼于N*中某一元素b；（5）（歸納公理）如果MN*，而且滿足條件:①0∈M；②若a∈M，則a′∈M.那么，M=N*.這樣，所構(gòu)成的系統(tǒng)稱為皮亞諾公理系統(tǒng)，它就是自然數(shù)系。

自然數(shù)0是作為空集的標記。在空集中，“0”作為記數(shù)法中的空位，在位置制記數(shù)中是不可缺少的。

自然數(shù)系所蘊含的思想

對應(yīng)思想（可數(shù)的集合）自然數(shù)建立在對應(yīng)概念之上，而且對應(yīng)的思想也成為自然數(shù)的一個重要性質(zhì)。一一對應(yīng)關(guān)系是集合論中建立兩個集合“相等”關(guān)系的一個重要概念。（導(dǎo)致了俗稱“理發(fā)師悖論”的羅素悖論的發(fā)現(xiàn)）德國策梅羅提出七條公理，建立了一種不會產(chǎn)生悖論的集合論，后又經(jīng)過德國弗芝克爾改進形成了一個無矛盾的集合論公理系統(tǒng)（ZF公理系統(tǒng)）。數(shù)位思想

位置制記數(shù)法，就是運用少量的符號，通過它們不同個數(shù)的排列，以表示不同的數(shù)。用十個記號來表示一切的數(shù)，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值。十進位位置制記數(shù)之產(chǎn)生于中國，是與算籌的使用與籌算制度的演進分不開的。

負數(shù)的數(shù)學(xué)含義至少包括如下幾個方面：+a與-a表示一對相反意義的量。引入負

數(shù)學(xué)符號有兩種重要屬性：抽象性和形象性。數(shù)學(xué)符號的意義在于：有了數(shù)學(xué)符號，才使得抽象的數(shù)學(xué)概念有了具體的表現(xiàn)形式，才使得具有一般意義的推理和運算、抽象的數(shù)學(xué)思維能以直觀的、簡約的形式表現(xiàn)出來。

字母代表數(shù)代數(shù)，原意就是指“文字代表數(shù)”的學(xué)問。使得許多算術(shù)問題可以轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程問題求解。根本的內(nèi)涵是“未知數(shù)的符號x可以和數(shù)一樣進行四則運算。文字代表數(shù)的真正價值在于：字母能夠和數(shù)字一起進行四則運算和乘方、開方，進行指數(shù)、對數(shù)、三角等運算，乃至對字母進行微分、積分運算等等。

解析式數(shù)字、字母、運算符號按照一定規(guī)律有意義地結(jié)合而成的符號組合。解析式中的字母可以有不同的含義不同的含義不影響它基本運算規(guī)律和變形規(guī)則。解析式可以區(qū)分為兩大類：一類是只含有代數(shù)運算的解析式叫代數(shù)式，沒有開方運算的代數(shù)式稱為有理式，否則稱為無理式；沒有除法運算的有理式稱為整式，否則稱為分式；沒有加、減運算的整式稱為單項式，否則稱為多項式。另一類是包含初等超越運算的解析式統(tǒng)稱為初等超越式，簡稱超越式。它包括指數(shù)式、對數(shù)式、三角函數(shù)式、反三角函數(shù)式。

解析式的恒等變形把一個給定的解析式變換為另一個與它恒等的解析式，叫做解析式的恒等變形。恒等是相對的。式的恒等變形也是可以連寫的，因為它們對一切數(shù)，代入式都相等。但是，解方程時的同解變形，不是恒等變形，。代數(shù)式數(shù)學(xué)的符號語言

代數(shù)式是在數(shù)系基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。在初等代數(shù)中，所涉及的運算可分為兩大類：1代數(shù)運算2初等超越運算：指數(shù)是無理數(shù)的乘方、對數(shù)、三角、反三角運算。

定義，在一個解析式中，如果對字母只進行有限次代數(shù)運算，那么這個解析式就稱為代數(shù)式；如果對字母進行了有限次的初等超越運算，那么這個解析式就稱為初等超越式，簡稱超越式。還可以進一步分類：只含有加、減、乘、除、指數(shù)為整數(shù)的乘方運算的代數(shù)式稱為有理式；其余的代數(shù)式稱為無理式；在有理式中，只含有加、減、乘運算稱為整式（或多項式），其余的有理式稱為分式。

“數(shù)”發(fā)展到“式”的意義導(dǎo)致了運算形式化、程序化及規(guī)則的公理化，包含了計算對象擴大化，即數(shù)系的擴大化問題。將抽象的符號運算應(yīng)用到更一般的對象上，開辟了構(gòu)造數(shù)學(xué)的新方向，為抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展埋下了伏筆，成為近代數(shù)學(xué)的顯著特征。

數(shù)學(xué)符號具有重要的屬性一是它的抽象性。符號代表了事物本質(zhì)的特征，從而具有代表性和一般性。另一個重要的屬性在于它的形象性。數(shù)學(xué)符號不但精確地表示數(shù)學(xué)抽象，而且是抽象內(nèi)涵的簡約形象。等式和方程

（一）方程的含義“含有未知數(shù)的等式叫方程”。這個定義簡單明了，為大家所習(xí)用。不過，這個定義有不足。“方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系。”把方程的核心價值提出來了，即為了尋求未知數(shù)。

判斷一個代數(shù)式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知數(shù)。方程的概念一般用于兩個領(lǐng)域：“求某個未知數(shù)的數(shù)”和“曲線與方程”在這兩個領(lǐng)域中“方程”的概念本身并沒有變化，而是研究的問題有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者則希望研究的是這些解的分布情況。方程解的個數(shù)（或解集的大小）與方程的存在域的大小有直接關(guān)系。

方程的分類依照方程解的個數(shù)分，可將方程分為無解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多個解、有無窮多個解和全體實數(shù)解等。方程按照它所含有的未知數(shù)的個數(shù)來分類：集。兩個不等式的解集相同，則稱這兩個不等式是同解的。

不等式有三個基本性質(zhì)：1不等式兩邊同時加或減去同一個整式，不等號方向不變，2不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個大于0的整式，不等號方向不變3不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個小于0的整式，不等號方向改變。不等式的實際應(yīng)用在運動變化過程中，如果用函數(shù)模型刻畫運動變化的兩個變量x、y之間的關(guān)系，那么.方程模型刻畫的是x、y變化過程中某一瞬間的情況，而不等式模型刻畫的是變化過程中x、y之間的大小關(guān)系，是更普遍存在的狀態(tài)。不等式尤其在解決“最值”問題上具有廣泛的應(yīng)用。不等式蘊含的思想

（一）模型思想與相等現(xiàn)象相比，不等現(xiàn)象是現(xiàn)實世界中更為普遍的現(xiàn)象，不等式是一元方程、二元方程、多元方程等。

方程借助用字母表示數(shù)的代數(shù)思想，將未知數(shù)同已知數(shù)一起描述問題的代數(shù)表達形式，形成了方程的基本思想。

方程思想具有很豐富的含義，其核心體現(xiàn)在：一是模型思想，二是化歸思想。學(xué)習(xí)方程內(nèi)容最主要的事情集中在兩個方面。一方面是建模，另一方面是會解方程。關(guān)于方程建模大自然的許多客觀規(guī)律都表現(xiàn)為量與量之間的某種關(guān)系，將它表示出來往往就是一個方程式。初中方程的教學(xué)不能過分地停留在數(shù)學(xué)層面上必須使學(xué)生真正體會到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活密不可分的聯(lián)系。體會方程是一種用數(shù)學(xué)符號提煉現(xiàn)實生活中的特定關(guān)系的過程。必須學(xué)會抽象將關(guān)系抽象為數(shù)學(xué)符號。

方程設(shè)計思想的思路先進行生活中的提煉，然后到數(shù)學(xué)表達，到形式化的方程，再到最終解決方程問題。

初中數(shù)學(xué)方程的常見解法：換元法、因式分解法、圖像法、求根公式法。

等式與方程的關(guān)系建立方程是借助等式作為其上位概念來完成的。方程是一種特殊的等式，是在說明相等是怎么回事，等式可以是數(shù)字之間的相等，可以是恒等，而方程刻畫的可以是兩件事情之間的相等，可以是有條件的相等，也可以使一種隨機的相等。不等式

學(xué)習(xí)的意義不等式可以表示一種界限，本身就是一種規(guī)律。其次，研究不等式可以導(dǎo)致等式。最后，不等式在幾何上可以表示一個區(qū)域。

不等關(guān)系與相等關(guān)系既是矛盾獨立的，也是相互統(tǒng)一的。不等關(guān)系往往可以等價地轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系加以解決。

不等式的含義兩個實數(shù)或代數(shù)式用符號連接起來的所得到的式子叫做不等式。如果不論用什么實數(shù)代替不等式中的字母，它都能夠成立，這樣的不等式叫絕對不等式，如果只用某些范圍內(nèi)的實數(shù)代替不等式中的字母，它才能夠成立，這樣的不等式叫條件不等式。如果不論用什么樣的實數(shù)值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，這樣的不等式叫矛盾不等式。當不等號兩邊的解析式都是代數(shù)式時，稱為代數(shù)不等式；兩邊的解析式至少有一個是超越式時，稱為超越不等式。不等式解集表示方法

不等式所有解的集合，叫做解集。求不等式解集的過程叫解不等式。不等式組中每一個不等式解集的交集叫做不等式組的解集。

一個不等式的解集表示方法1數(shù)軸表示法即在數(shù)軸上把不等式的解集表示出來。2集合表示法即用集合來表示不等式的解集。3區(qū)間表示法即用區(qū)間來表示不等式的解

刻畫不等現(xiàn)象的有力模型。通過分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，列出不等式，通過解不等式得到實際問題的答案，這就體現(xiàn)了不等式的模型思想。同時，這種模型經(jīng)常與函數(shù)、方程聯(lián)系在一起，三者都是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間變化規(guī)律的重要模型，在解決實際問題時，要合理選擇這三種重要的數(shù)學(xué)模型。（二）辯證思想通過c=a-b的媒介作用，不等式a>b與等式a=b+c建立了一種“等價”關(guān)系。這是一種辯證關(guān)系。恰當?shù)剡\用這種思想可以輕松地化解相當多的問題。（三）數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)題意可列出不等式組，運用數(shù)軸表示不等式組的解集，可以直觀形象地解決問題。這種思想正是數(shù)形結(jié)合思想。函數(shù)

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。

1755年，歐拉首次給出了函數(shù)變量定義：“如果某些變量，以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當后面的變量變化時，前者的這些量也隨之變化，則將前面的變量稱之為后一些變量的函數(shù)�！庇纱搜葑�?yōu)槟壳暗暮瘮?shù)的“變量說”黎曼在1851定義：“我們假定z是一個變量，如果對它的每一個值，都有未知量W的每一個值與之對應(yīng)，則稱W是Z的函數(shù)�！薄�1939年，布爾巴基學(xué)派主借用了笛卡兒積建立關(guān)系，進而定義函數(shù)：

1）對

中每一個元素

，存在

，使

；

（2）若且，則。函數(shù)記作：”分別稱以上函數(shù)定義為變量說、對應(yīng)說和關(guān)系說。函數(shù)概念的核心思想

數(shù)學(xué)的核心是研究關(guān)系，即數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系和隨機關(guān)系。函數(shù)研究的是兩個變量之間的數(shù)量關(guān)系：一個變量的取值發(fā)生了變化，另一個變量的取值也發(fā)生變化，這就是函數(shù)表達的數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系。其中有三點是重要的，一是變量的取值是實數(shù)；二是因變量的取值是唯一的；三是必須借助數(shù)字以外的符號表示函數(shù)。函數(shù)的表達方式一般有三種：解析式法，表格法，圖像法。

解析式是最常用的方法，適用于表示連續(xù)函數(shù)或者分段函數(shù)。解析式有利于研究函數(shù)性質(zhì)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，但對初學(xué)者來說也是抽象的。列表法適用于表達變量取值是離散的情況。利用圖像法可以直觀地表述函數(shù)的形態(tài)，有利于分析函數(shù)的性質(zhì)，但作圖是比較困難的，用何種方法表達函數(shù)可因題而議。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的函數(shù)性質(zhì)

數(shù)學(xué)中研究函數(shù)主要是研究函數(shù)的變化特征。中學(xué)階段主要研究函數(shù)的周期性，也涉及

奇偶性；在高中階段主要研究函數(shù)的單調(diào)性、周期性，也討論某些函數(shù)的奇偶性。（一）函數(shù)的周期性周期性反映了函數(shù)變化周而復(fù)始的規(guī)律。是中學(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)的一個基本的性質(zhì)。周期函數(shù)是刻畫周期變化的基本函數(shù)模型，使我們集中研究函數(shù)在一個周期里的變化，了解函數(shù)在整個定義域內(nèi)的變化情況。

（二）函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性也是我們在中學(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)時要研究的函數(shù)的性質(zhì)，但它不是最基本的性質(zhì)。奇偶性反應(yīng)了函數(shù)圖形的對稱性質(zhì)，可以幫助我們用對稱思想來研究函數(shù)的變化規(guī)律。

（三）函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性是討論函數(shù)“變化”的一個最基本的性質(zhì)。從幾何的角度看，就是研究函數(shù)圖像走勢的變化規(guī)律。函數(shù)與其它內(nèi)容的聯(lián)系

（一）函數(shù)與方程用函數(shù)的觀點看待方程可以把方程的根看成函數(shù)與x軸交點的橫坐．解析幾何的產(chǎn)生與發(fā)展

笛卡爾提出了平面坐標系的概念，實現(xiàn)了點與數(shù)對的對應(yīng)，將圓錐曲線用含有兩面三刀個求知數(shù)的方程來表示，并且形成了一系列全新的理論與方法，解析幾何就這樣產(chǎn)生了。現(xiàn)代幾何的產(chǎn)生與發(fā)展

人們不斷發(fā)現(xiàn)《幾何原本》在邏輯上不夠嚴密之處，在嘗試用其他公理、公設(shè)證明第五公設(shè)“的失敗，促使人們重新考察幾何學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，并取得了兩方面的突出研究成果。初中數(shù)學(xué)課程中的幾何學(xué)內(nèi)容

（一）直觀幾何幾何學(xué)是其中研究“形”的分支。幾何圖形可以直觀地表示出來，人們認識圖形的初級階段，主要依靠形象思維�！靶蜗笏季S”也就是強調(diào)幾何直觀。

（二）演繹幾何幾何圖形本身具有抽象性和一般性，一種幾何概念可能包含無限多種不同的情形，因此，研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系時，不能僅僅依靠直觀實驗的方法，標，即零點的橫坐標。方程可看作函數(shù)的局部性質(zhì)，求方程的根就變成了求函數(shù)圖形與x軸的交點問題。

（二）函數(shù)與數(shù)列數(shù)列是特殊的函數(shù)。它的定義域一般是指非負的正整數(shù)集，有時也可以為自然數(shù)集，或者自然數(shù)集的子集。數(shù)列通常稱為離散函數(shù)。等差數(shù)列是線性函數(shù)的離散化，而等比數(shù)列是指數(shù)函數(shù)的離散化。

（三）函數(shù)與不等式我們首先確定函數(shù)圖像與x軸的交點（方程f(x)=0的解），再根據(jù)函數(shù)的圖像來求解不等式。

（四）函數(shù)與線性規(guī)劃是最優(yōu)化問題的一部分，從函數(shù)的觀點看，首先，要確定目標函數(shù)，用目標函數(shù)來刻畫“好、壞”或“大、小”等，接著，需要確定目標函數(shù)的可行域。最后，討論目標函數(shù)在可行域（由約束條件確定的定義域）內(nèi)的最值問題。

解線性規(guī)劃問題，可歸結(jié)為以下算法：第一步，確定目標函數(shù)；第二步，確定目標函數(shù)的可行域；第三步，確定目標函數(shù)在可行域內(nèi)的最值。函數(shù)模型

函數(shù)是對現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的抽象，是建立思想模型的基礎(chǔ)，具有良好的普適性和代表意義�，F(xiàn)實生活中，普遍存在著最優(yōu)化問題----最佳投資、最小成本等，常常歸結(jié)為函數(shù)的最值問題，通過建立相應(yīng)的目標函數(shù)，確定變量的限制條件，運用函數(shù)建模的思想進行解決。在運用一次函數(shù)知識和方法建模解決時，有時要涉及到多種方案，通過比較，從中挑選出最佳的方案。

在實際的教學(xué)中，除了使學(xué)生了解所學(xué)習(xí)的函數(shù)在現(xiàn)實生活中有豐富的“原型”之外，還應(yīng)通過實例介紹或讓學(xué)生通過運算來體驗函數(shù)模型的多樣性。

通過實例，讓學(xué)生體會、感受數(shù)據(jù)擬合在預(yù)測、規(guī)劃等方面的重要作用，使學(xué)生們學(xué)會用數(shù)學(xué)的知識、思想方法、數(shù)學(xué)模型解決實際問題，提高運用數(shù)學(xué)的能力．要鼓勵學(xué)生收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型的實例進行探索實踐．第二章圖形與幾何四個基本階段。

實驗幾何的形成和發(fā)展

人們在觀察、實踐、實驗的基礎(chǔ)上積累了豐富的幾何經(jīng)驗，形成了一批粗略的概念，反映了某些經(jīng)驗事實之間的聯(lián)系，形成了實驗幾何。理論幾何的形成和發(fā)展

柏拉圖把邏輯學(xué)的思想方法引入幾何學(xué)，確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學(xué)的基礎(chǔ)，歐幾里德按照嚴密的邏輯系統(tǒng)編寫的《幾何原本》奠定了理論幾何的基礎(chǔ)。而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括邏輯推理。

以一些原始概念和公理為出發(fā)點，逐步對一些幾何概念做比較邏輯化的描述，進行一些基本推理和論證。雖然也借助直觀和少量代數(shù)公理，但是，主要立足邏輯進行幾何概念及其性質(zhì)的分析研究，這就是演繹幾何。

（三）度量幾何對一些圖形進行度量，包括長度，面積，體積，角度等，適當?shù)难由臁＃ㄋ模┳儞Q幾何也叫運動幾何。這個領(lǐng)域主要討論平移、旋轉(zhuǎn)、反射等剛體運動，以及相似變換、拓撲變換，并借以研究圖形的全等、對稱等概念，了解變換之下的不變量。（五）坐標幾何即解析幾何。在解析幾何中，首先是建立坐標系。坐標系將幾何對象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以對空間形式的研究歸結(jié)成比較成熟也容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究了。

經(jīng)驗幾何所謂經(jīng)驗幾何，通常是直觀幾何、實驗幾何的通稱，它特別關(guān)注學(xué)生幾何活動經(jīng)驗的積累，以及幾何直覺的發(fā)展。經(jīng)驗幾何的作用

幾何學(xué)是研究現(xiàn)實世界物體的形狀、大小和位置關(guān)系的學(xué)科,而后發(fā)展成為研究一般空間結(jié)構(gòu)、圖形關(guān)系的學(xué)科。

（一）經(jīng)驗幾何則是發(fā)現(xiàn)幾何命題和定理的有效工具，在培養(yǎng)人的直覺思維和創(chuàng)造性思維方面起著重大的作用，而論證幾何在培養(yǎng)人的邏輯思維能力方面起著重要作用。（二）經(jīng)驗幾何是學(xué)習(xí)推理論證幾何的必要前提。

學(xué)習(xí)的內(nèi)容是由非形式化的推理逐漸提升到形式化的推理，透過直觀幾何與實驗幾何的充分學(xué)習(xí)，對幾何對象的熟悉及非形式化的推理，達到知覺性的了解、操作性的了解，進而形成幾何推理。

另一方面，我們用來作為推理基礎(chǔ)的幾何性質(zhì)，一部分是利用實驗歸納的方法得來的，另一部分則是利用已知的幾何性質(zhì)進行“推論”而導(dǎo)出的結(jié)果。

（三）實驗幾何是幾何學(xué)習(xí)的一個階段和一種認知水平，更是一種幾何學(xué)習(xí)方法�？傊�，實驗幾何作為幾何學(xué)習(xí)的一個階段，在學(xué)生幾何學(xué)習(xí)過程中起到承上啟下的銜接作用；同時，實驗幾何是貫穿從直觀幾何到論證幾何學(xué)習(xí)的一種有益于發(fā)現(xiàn)真理、幾何直觀幾何直觀具有發(fā)現(xiàn)功能，同時也是理解數(shù)學(xué)的有效渠道。數(shù)學(xué)概念經(jīng)過多級抽象充分形式化后，有必要以相對直觀可信的數(shù)學(xué)對象為基礎(chǔ)進行理性重建，從而達到思維直觀化的理想目標和可應(yīng)用性要求,這要求數(shù)學(xué)的直觀與形式的統(tǒng)一，才使得數(shù)學(xué)的完美。

幾何直觀及其作用《數(shù)學(xué)課程標準》（修訂稿）指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述

和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。

幾何直觀對于學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展非常重要：

首先，幾何直觀是一種創(chuàng)造性思維，是一種很重要的科學(xué)研究方式，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中起到不可磨滅的作用。對于數(shù)學(xué)中的很多問題，靈感往往來自于幾何直觀。數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借用的幾何直觀問題，使他們成為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)�，隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，幾何直觀在計算機圖形學(xué)、圖象處理、圖象控制等領(lǐng)域都有誘人的前景。

其次，幾何直觀是認識論問題，是認識的基礎(chǔ),有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。

借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路,可以幫助我們理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學(xué)生創(chuàng)造了一個自己主動思考一般地，周長指封閉曲線一周的長度。（二）面積

物體的表面是一個二維的圖形，直觀地感覺它所占有的區(qū)域具有一定的大小，對一個二維圖形的表面進行度量以后，用一個“數(shù)”標志它的大小，稱這個數(shù)為該圖形的面積。人們約定，將邊長為1米的正方形的面積規(guī)定為1平方米。

于是，對于邊長為整數(shù)a米、b米的矩形，總可以將其剖分為若干個邊長為1米的正方形，進而，這個矩形就由ab個單位正方形組成，從而，這個矩形的面積為ab平方米（整數(shù)）。如果矩形的邊長A，B是無理數(shù)，而且仍用邊長為1的正方形去度量，那么，還要使用極限過程，用一列有理數(shù)逼近無理數(shù)，an→A,bn→B。依據(jù)anbn→AB，以及有理數(shù)邊長的矩形面積公式，最后得出，矩形的面積也是AB。

這個過程實際上論證了“邊長相等的兩個矩形的面積的比，等于它們不相等邊的長度的的機會，揭示經(jīng)驗的策略，創(chuàng)設(shè)不同的數(shù)學(xué)情景，使學(xué)生從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程；使學(xué)生從非形式化的、算法的、直覺相互作用與矛盾中形成數(shù)學(xué)觀。

最后，幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)本質(zhì)的有力工具，有助于形成科學(xué)正確的世界觀和方法論。借助幾何直觀，揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，使思維很容易轉(zhuǎn)向更高級更抽象的空間形式，使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作歷程，能夠開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質(zhì)。

直觀幾何主要包含哪些內(nèi)容

以大量豐富的實例為背景，通過觀察、操作來探索認識基本圖形的性質(zhì)。這些基本圖形主要包括點、線、面、角、平行線、相交線、三角形四邊形、圓等，除此之外，還包括尺規(guī)作圖、視圖和投影等。這些內(nèi)容構(gòu)成直觀幾何的重要組成部分。經(jīng)驗幾何的具體研究內(nèi)容

初中幾何的主要課程教學(xué)目標在于，“積累幾何活動經(jīng)驗，發(fā)展幾何直觀、空間觀念，進一步感受幾何推理的魅力，體會幾何的美，初步掌握幾何推理的基本形式”，而發(fā)展幾何直觀、積累幾何活動經(jīng)驗、培養(yǎng)空間觀念，則是經(jīng)驗幾何的核心目標。按照初中階段的經(jīng)驗幾何認識過程的不同，通�？梢詫⒔�(jīng)驗幾何的學(xué)習(xí)內(nèi)容，分成認識圖形、進行立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)換、在運動與變換中研究幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)三部分。度量幾何幾何學(xué)起源于圖形大小的度量。根據(jù)圖形的維數(shù)，把度量一維圖形大小的數(shù)稱為長度，而將二維圖形的大小用面積來表示，體積則是標志三維圖形大小的數(shù)。線段長度是一切度量的出發(fā)點。

長度的含義線段“兩端之間的距離”。所謂距離。羅蘭德（Rowland）首先使用光柵測量一公尺長度中的波長數(shù)。1960年以后，用激光定義“米”。

目前，國際上采用的長度單位，是在1983年10月確定的，即第十七屆國際權(quán)度大會重新把國際標準制（SI）中的長度單位──“米（meter）”定義為：光于299,792,458分之1秒內(nèi)在真空中所走的長度，稱為“米”。

如果可以用一個線段e衡量兩條線段M，N，使得M，N都是e的整數(shù)倍，我們稱兩個線段M，N是可公度的。

輾轉(zhuǎn)相除方法，用后次的an截取前次的an-1，即較長的那個線段減去短的那個線段，如此輾轉(zhuǎn)截取，直到兩個線段一樣長，這個長度就是公度量。古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派，發(fā)現(xiàn)正方形的邊與其對角線不可公度3.周長“圓、橢圓或其它閉合的曲線的周界長度�！�

比”。

海倫-秦九韶公式

劉徽用割圓法求圓面積大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數(shù)學(xué)證明。將圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷加倍，則它們與圓面積的差越來越小，其極限值就是所要求的圓面積。印度圓取兩個相等的圓，把它們等分成相同的若干個全等扇形，然后把它們沿半徑剖開（但扇形的圓弧仍然連著）、展平成鋸齒條形然后，把兩個鋸齒形互相嵌入即成一個近似的矩形。份數(shù)分得愈多，其結(jié)果愈接近矩形，這個矩形的高為圓半徑r，底為圓周長c，面積為rc，從而得圓面積為.體積是指物質(zhì)或物體所占空間的大小。

（1）直接度量法。把一種叫做“單位正方體”的空間圖形盡可能地堆放在要度量的幾何體內(nèi)，如果被度量的幾何體恰好被a個正方體填滿，那么這個幾何體的體積就等于幾個單位體積。（2）間接度量法。量出被度量的幾何體中某些線段的長度，再利用有關(guān)公式計算出這個幾何體的體積�！懊娣e公理”與測度公理

既然圖形是一個集合，而相應(yīng)的圖形的面積是一個數(shù)，所以，面積是定義在“集合族”之上的一個函數(shù)。這個集合函數(shù)顯然是非負函數(shù)，而且正方形的面積是1。當然，兩個不重疊的圖形之并的面積，必須等于兩個圖形的面積之和。最后，如果圖形經(jīng)過移動、旋轉(zhuǎn)、反射，其面積應(yīng)該不變。這些性質(zhì)放在一起，就成為面積公理的內(nèi)容。對于周長一定的矩形來說，邊長相等時矩形面積最大，即正方形的面積最大。（2）對于面積一定的矩形來說，邊長相等時矩形周長最小，即正方形的周長最小。事實上，這個結(jié)論可以推廣為：在周長相等的情況下，越接近圓的圖形面積就越大，如，第四節(jié)變換幾何

變換就是一個集合到另一個集合的映射。幾何變換、變換群的概念

幾何變換，就是將幾何圖形按照某種法則或規(guī)律變成另一種幾何圖形的過程。它對于幾何學(xué)的研究有重要作用。

變換群。實際上是滿足一定條件的若干變換組成的集合：如果某種幾何變換的全體組成一個群，就有相應(yīng)的幾何學(xué)，而討論在某種幾何變換群下圖形保持不變的性質(zhì)與不變量，就是相應(yīng)幾何學(xué)的主要內(nèi)容。

在初等幾何中，變換主要包括全等變換，相似變換，反演變換。

全等變換

如果從平面(空間)到其自身的映射，對于任意兩點A、B和它們的像A/，B/總有A/B/=AB。則這個映射叫做平面（空間）的全等變換，或叫做合同變換。在平面內(nèi)存在兩種全等變換，第一種叫做正常全等變換第二種叫做反常全等變換（鏡像全等變換）,它把一個圖形變成與它反常全等的圖形,即對于兩個全等的圖形上每兩個對應(yīng)三角形有相反的方向，并且每兩個對應(yīng)的有向角有相反的方向。相似變換，第一種叫做真正相似變換（正相似變換），第二種叫做鏡像相似變換（負相似變換）。真正相似變換把一個圖形變換成與它真正相似(正相似)的圖形,即使得兩個相似圖形的每對對應(yīng)三角形有同一的方向,每對對應(yīng)角有同一方向。反演變換

在平面內(nèi)設(shè)有一半徑為R，中心為O的圓，對于任一個異于O點的點P，將其變從認知規(guī)律看，幾何學(xué)習(xí)的基本途徑,主要是四步：直觀感知→操作確認→演繹推理→度量計算。

歐幾里得與演繹幾何

公理化方法淵源于幾何學(xué)，而幾何學(xué)起源于埃及。

希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得編成了《幾何原本》一書。這本書內(nèi)容豐富，結(jié)構(gòu)嚴謹，對于幾何學(xué)的發(fā)展和幾何學(xué)的教學(xué)都起了巨大的作用，它被人們贊譽為歷史上的科學(xué)杰作。歐幾里得《原本》，原說有15卷，經(jīng)后人多方面考證，公認只有13卷。歐幾里得《原本》對于幾何直觀、演繹推理進行處理的利弊得失

《原本》作為教科書使用了兩千多年。在形成文字的教科書之中，無疑它是最成功的。歐幾里得的杰出工作，使以前類似的東西黯然失色。該書問世之后，很快取代了以前的幾何教科書，而后者也就很快在人們的記憶中消失了。在訓(xùn)練人的邏輯推理思維方面，換成該射線OP上一點P/，且使OP/OP=R，這個變換叫做平面反演變換。圓O叫做反演基圓，圓心O叫做反演中心或反演極，R叫做反演半徑或反演冪，反演變換將過反演中心的射線變成自身，且在此射線上建立對合對應(yīng)，它使位于圓內(nèi)的點變成圓外的點,位于圓外的點變成圓內(nèi)的點，反演中心變成平面內(nèi)的無限遠點。而反演圓上的點則保持不變�？臻g反演變換可以看作是平面反演變換繞反演基圓的直徑旋轉(zhuǎn)而得。反演變換下，將不過反演中心的直線或平面，分別變成過反演中心的圓或球面；將不過反演中心的圓或球面，分別變成另一個不過反演中心的圓或球面。反之，也成立。演變換是反向保角的，即使兩線（或兩面）所成的角度的大小保持不變，但方向相反。合同變換：平移，旋轉(zhuǎn)，反射平移、旋轉(zhuǎn)與反射的初步描述

圖形相似的思想方法體現(xiàn)在圖形相似的概念、性質(zhì)和處理問題的手段之中。我們可以將其歸結(jié)為如下五個方面：（1）圖形相似問題的核心往往在于三角形相似與成比例線段，體現(xiàn)出化歸思想（2）圖形相似是反映大自然奧秘的一個窗口，圖形相似在自然、社會和人類生活中具有廣泛的普適性。（3）結(jié)構(gòu)相同，即“同構(gòu)”，是圖形相似的重要特征之一。相似可以幫助我們從局部來研究整體。（4）圖形相似提供了認識三角形的另一個途徑，三角形相似的判別方法可以強化我們對三角形構(gòu)成元素的認識。（5）借助必要的工具和手段是學(xué)好圖形相似的必要前提。平面圖形初等變換之間的關(guān)系

（一）平移、旋轉(zhuǎn)、反射變換是全等變換（二）平移、旋轉(zhuǎn)都可以由若干次反射（軸對稱）的復(fù)合而得到。

對于平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱（反射）來說，雖然三者都是全等變換，但是，容易發(fā)現(xiàn)，其中，軸對稱（變換）更為基本。

（1）對同一個圖形連續(xù)進行兩次軸對稱，如果兩個對稱軸互相平行，那么，這兩次軸對稱的結(jié)果等同于一次平移；

（2）對同一個圖形連續(xù)進行兩次軸對稱，如果兩個對稱軸相交，那么，這兩次軸對稱的結(jié)果等同于一次旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中心就是兩條對稱軸的交點。反過來，對一個圖形實施一次平移，都可以通過連續(xù)的兩次軸對稱來替代完成；對一個圖形實施一次旋轉(zhuǎn)，可以通過連續(xù)的兩次軸對稱來完成。

（3）任意一個合同變換至多可表示為三個反射的乘積。第五節(jié)演繹幾何《原本》比亞里土多德的任何一本有關(guān)邏輯的著作影響都大得多。在完整的演繹推理結(jié)構(gòu)方面，這是一個十分杰出的典范。正因為如此，自本書問世以來，思想家們?yōu)橹�而傾倒。公正地說，歐幾里得的這本著作是現(xiàn)代科學(xué)產(chǎn)生的一個主要因素�？茖W(xué)絕不僅僅是把經(jīng)過細心觀察的東西和小心概括出來的東西收集在一起而已�？茖W(xué)上的偉大成就，就其原因而言，一方面是將經(jīng)驗同試驗進行結(jié)合；另一方面，需要細心的分析和演繹推理�？梢钥隙ǖ卣f，這并非偶然。毫無疑問，像牛頓、加利略、白尼和凱普勒這樣的卓越人物所起的作用是極為重要的。也許一些基本的原因，可以解釋為什么這些出類拔革的人物都出現(xiàn)在歐洲，而不是東方�；蛟S，使歐洲人易于理解科學(xué)的一個明顯的歷史因素，是希臘的理性主義以及從希臘人那里流傳下來的數(shù)學(xué)知識。對于歐洲人來講，只要有了幾個基本的物理原理，其他都可以由此推演而來的想法似乎是很自然的事。因為在他們之前有歐里得作為典范。

歐幾里得對牛頓的影響尤為明顯。牛頓的《數(shù)學(xué)原理》一書，就是按照類似于《原本》的“幾何學(xué)”的形式寫成的。自那以后，許多西方的科學(xué)家都效仿歐幾里得，說明他們的結(jié)論是如何從最初的幾個假設(shè)邏輯地推導(dǎo)出來的。許多數(shù)學(xué)家，像伯莎德羅素、阿爾弗雷德懷特海，以及一些哲學(xué)家，如斯賓諾莎也都如此。同中國進行比較，情況尤為令人矚目。多少個世紀以來，中國在技術(shù)方面一直領(lǐng)先于歐洲。但是，從來沒有出現(xiàn)一個可以同歐幾里得對應(yīng)的中國數(shù)學(xué)家。其結(jié)果是，中國從未擁有過歐洲人那樣的數(shù)學(xué)理論體系（中國人對實際的幾何知識理解得不錯，但他們的幾何知識從未被提高到演繹體系的高度）。直到1600年，歐幾里得才被介紹到中國來。此后，又用了幾個世紀的時間，他的演繹幾何體系才在受過教育的中國人之中普遍知曉。

如今，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)認識到，歐幾里得的幾何學(xué)并不是能夠設(shè)計出來的惟一的一種內(nèi)在統(tǒng)一的幾何體系。在過去的150年間，人們已經(jīng)創(chuàng)立出許多非歐幾里得幾何體系。自從愛因斯坦的廣義相對論被接受以來，人們的確已經(jīng)認識到，在實際的宇宙之中，歐幾里得的幾何學(xué)并非總是正確的。便如，在黑洞和中子星的周圍，引力場極為強烈。在這種情況下，歐幾里得的幾何學(xué)無法準確地描述宇宙的情況。但是，這些情況是相當特殊的。在大多數(shù)情況下，歐幾里得的幾何學(xué)可以給出十分近似于現(xiàn)實世界的結(jié)論。不管怎樣，人類知識的這些最新進展都不會水削弱歐幾里得學(xué)術(shù)成就的光芒。也不會因此貶低他在數(shù)學(xué)發(fā)展和建立現(xiàn)代科學(xué)必不可少的邏輯框架方面的歷史重要性。愛因斯坦更是認為，“如果歐幾里得未激發(fā)你少年時代的科學(xué)熱情，那你肯定不是天才科學(xué)家�！庇纱丝梢�，《原本》一書對人類科學(xué)思維的影響是何等巨大。

從數(shù)學(xué)教育的角度看，歐幾里得的邏輯結(jié)構(gòu)是串聯(lián)型而不是放射型的，《原本》的每一節(jié)都那么重要，一節(jié)學(xué)不好，繼續(xù)前進的路就斷了，更令人頭痛的是它沒有提供一套強有力的、通用的解題方法。主要解題工具是三角形的全等和相似，而許多幾何圖形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作輔助線，從而幾何被公認為難學(xué)的一門課程。值得一提的是，歐式幾何幾乎是歷次中外數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的焦點�！对�本》幾乎包括了中小學(xué)所學(xué)習(xí)的平面幾何、立體幾何的全部內(nèi)容。如此古老的幾何內(nèi)容，自然成了歷次數(shù)學(xué)課程改革關(guān)注的焦點。其中，最為激進的，如法國布爾巴基學(xué)派主要人物狄奧東尼，甚至喊出了“歐幾里得滾出去”的口號。但是，改來改去，歐幾里得幾何的一些內(nèi)容，仍然構(gòu)成了多數(shù)國家中小學(xué)數(shù)學(xué)幾何部分的主要內(nèi)容。有人稱之為“不倒翁現(xiàn)象”。這是因為，歐氏幾何從數(shù)學(xué)的視角，提供了現(xiàn)實世界的一個基本模型，非常直觀地反映了我們?nèi)祟惖纳�存空間，刻畫了我們視覺所觀察到的物體形狀及其相互位置關(guān)系。所以，這個模型的基本內(nèi)容是學(xué)生能夠理解和掌握的，而且應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)知識。它比三種幾何的關(guān)系

歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。因此，這三種幾何都是正確的。在我們這個不大不小、不遠不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準確一些。

義務(wù)教育階段幾何課程內(nèi)容的基本定位義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計的特點簡析義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計的特點與以往的綜合幾何課程設(shè)計風格相比，《數(shù)學(xué)課程標準》下的幾何已經(jīng)將直觀幾何和實驗幾何的觸角伸向了小學(xué)低年級，同時歐氏幾何的體系和內(nèi)容整體上還是基本保留的。只不過，具體的要求有所降低了，這種降低一方面體現(xiàn)在對推理幾何的難度要求有所限較適合中小學(xué)生學(xué)習(xí)，也有利于引導(dǎo)中小學(xué)生從形的角度去認識我們周圍的物體和生活空間。

盡管歐氏幾何仍然具有難以替代的學(xué)習(xí)價值，但在以往的教學(xué)中，它又確實逐步暴露出一些問題，例如，內(nèi)容體系比較封閉，脫離實際，教學(xué)代價太大等等。①這些問題需要數(shù)學(xué)課程的設(shè)計者與數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐者共同去面對、去解決。一條途徑是教學(xué)法方面的改進。首先是內(nèi)容的精簡與演繹體系的通俗化。如精選一些具有實用價值和對繼續(xù)學(xué)習(xí)發(fā)揮基礎(chǔ)作用的內(nèi)容，打破封閉的公理體系，擴大公理系統(tǒng)，降低證明難度等等。其次是突出幾何事實與幾何應(yīng)用，重視幾何直觀，以及合情推理對于演繹推理的互補作用等非形式化策略。另一條途徑是，用近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點，高屋建瓴地處理傳統(tǒng)的內(nèi)容。其中幾何圖形的運動變換觀點就是這樣的重要觀點之一。

從國際上數(shù)學(xué)課程改革的歷程來看，第二次世界大戰(zhàn)以后，特別是在上世紀60年代的“新數(shù)學(xué)”改革的浪潮中，將運動觀點引入幾何，成了一種時尚。確實，圖形的變換是研究幾何問題的有效工具，引進變換能使圖形動起來，有助于發(fā)現(xiàn)圖形的幾何性質(zhì)。相關(guān)的許多實驗，有的因觀點太高而失敗，但也有許多成功的嘗試。特別是平移、旋轉(zhuǎn)以及軸對稱、中心對稱等觀念已被不少國家的中小學(xué)教材所吸收，并放在比較重要的位置。如果說，集合與對應(yīng)思想的滲透，在某種意義上給傳統(tǒng)算術(shù)與代數(shù)注入了新的血液，那么，運動變換觀點的滲透，則在一定程度上給歐氏幾何提供了更高的數(shù)學(xué)觀點和更新的研究視野。

對第五公設(shè)是否獨立的研究導(dǎo)致了非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。

非歐幾何，即非歐幾里得幾何，是一門大的數(shù)學(xué)分支，一般來講，它有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。廣義式泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。羅巴切夫斯基幾何

家羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)非歐幾何--羅氏幾何為止，肯定了第五公設(shè)與歐氏系統(tǒng)的其余公理是獨立無關(guān)的。黎曼幾何

歐氏幾何與羅氏幾何中關(guān)于結(jié)合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學(xué)中不承認平行線的存在，它的另一條公設(shè)講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經(jīng)過適當“改進”的球面。制，另一方面體現(xiàn)在，弱化了相似形和圓的證明部分。同時，弱化了的部分也還會在高中繼續(xù)出現(xiàn)。

新理念下義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計的突出特點體現(xiàn)為：以“立體平面立體”為主要線索，強調(diào)與學(xué)生生活的聯(lián)系；適當?shù)赝貙捇顒宇I(lǐng)域，包括圖形的認識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強調(diào)學(xué)生的直觀體驗學(xué)習(xí)的方法；注重發(fā)展的空間觀念，發(fā)展對圖形的審美能力；強調(diào)幾何真理的發(fā)現(xiàn)和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的幾何推理的學(xué)習(xí)。

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，而且在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。

推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）出發(fā)，按照規(guī)定的法則證明（包括邏輯和運算）結(jié)論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性。

直觀幾何、實驗幾何課程設(shè)計特點與綜合幾何的差異

與綜合幾何相比，直觀幾何、實驗幾何有著更現(xiàn)實的意義和課程設(shè)計的特色：1．不同的課程目標和價值取向

從課程設(shè)計的角度看，直觀幾何與實驗幾何更接近于認知發(fā)展取向的課程設(shè)計模式，而綜合幾何屬于典型的學(xué)術(shù)主義價值取向的課程設(shè)計模式。2．不同的教育學(xué)、心理學(xué)基礎(chǔ)和不同的師生關(guān)系

以論證為主的綜合幾何課程設(shè)計，立足于行為主義心理學(xué)，主張師生之間建立“以教為主、以教促學(xué)”的師生關(guān)系。相比之下，直觀幾何、實驗幾何課程設(shè)計觀認為，有意義的幾何教學(xué)應(yīng)當建立在學(xué)生的主觀意愿和知識、經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，依賴學(xué)生的動手實踐、自主探索和交流合作，教師在教學(xué)中的角色應(yīng)該定位在學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者、參與者，注意學(xué)生在學(xué)習(xí)中所處的不同文化環(huán)境、教室文化、社區(qū)文化、家庭文化及自身思維模式的共性與差異，師生之間、學(xué)生之間應(yīng)該努力構(gòu)建一種和諧、互動的新關(guān)系。3．不同的課程設(shè)計風格

在課程論中，課程有學(xué)科型課程與經(jīng)驗型課程之分。除了學(xué)科型課程和經(jīng)驗型課程外，大多數(shù)課程介于兩者之間。直觀幾何、實驗幾何屬于典型的經(jīng)驗型課程，而綜合幾何屬于典型的學(xué)科型課程。當前，我國實行的義務(wù)教育課程標準實驗教科書大多介于學(xué)科型課程與經(jīng)驗型課程之間，只不過，有的更靠近后者，即比較“前衛(wèi)”，而有的更靠近前者，“中規(guī)中矩”。4．不同的教學(xué)要求

在直觀幾何、實驗幾何課程實施過程中，學(xué)生的直觀感受和幾何活動經(jīng)驗是學(xué)習(xí)的基本出發(fā)點和必不可少的載體，而且直觀教學(xué)變得十分重要。在這種課程設(shè)計時，有的是在抽象的學(xué)科主線中不斷閃現(xiàn)出內(nèi)容豐富的情景問題，有的是把豐富的情景問題沿幾何的主線逐步鑲嵌與展開。幾何學(xué)是研究平面圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的科學(xué)，培養(yǎng)和提高學(xué)生識圖、作圖能力是學(xué)好幾何的必要環(huán)節(jié)。因而，在直觀幾何、實驗幾何課程設(shè)計模式下，采用直觀教學(xué)至關(guān)重要，可使學(xué)生一開始便進入到直觀教學(xué)所創(chuàng)設(shè)的情盡管全國初中數(shù)學(xué)課程標準實驗教科書彼此之間都有差異，但是，發(fā)展幾何直觀與推理

能力是普遍趨勢。第三章統(tǒng)計與概率

準確理解數(shù)學(xué)、概率、統(tǒng)計之間的關(guān)系

（一）研究問題的出發(fā)點不同數(shù)學(xué)研究的對象是從現(xiàn)實生活中抽象出來的數(shù)和圖形。數(shù)學(xué)研究問題必須有定義，即數(shù)學(xué)研究問題的出發(fā)點是定義，沒有定義無法進行數(shù)學(xué)的研究。統(tǒng)計研究所依賴的是模型，構(gòu)建一些模型的基礎(chǔ)上進行研究。但是，統(tǒng)計與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我們拿來數(shù)學(xué)的很多知識、思想方法作為統(tǒng)計分析的工具。

（二）研究問題的立論基礎(chǔ)不同從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系這個角度考慮，數(shù)學(xué)是建立在概念和符號的基礎(chǔ)上的。而統(tǒng)計學(xué)是建立在數(shù)據(jù)和模型的基礎(chǔ)上，雖然概念和符號對于統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展也是重要的，但是統(tǒng)計學(xué)在本質(zhì)上是通過數(shù)據(jù)和模型進行推斷的。

境之中，耳濡目染，受到感染，教師若采用圖片直觀，便可展現(xiàn)情景，給學(xué)生以鮮明生動的形象，學(xué)生的注意力很快被吸引到圖片所展示的情境中。如何理解初中幾何及推理

新理念下義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計的突出特點體現(xiàn)為：以“立體平面立體”為主要線索，強調(diào)與學(xué)生生活的聯(lián)系；適當?shù)赝貙捇顒宇I(lǐng)域，包括圖形的認識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強調(diào)學(xué)生的直觀體驗（幾何課與實際活動課有天然的聯(lián)系）學(xué)習(xí)的方法（即“操作”+“推理”）；注重發(fā)展的空間觀念，發(fā)展對圖形的審美能力；強調(diào)幾何真理的發(fā)現(xiàn)和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的幾何推理的學(xué)習(xí)。

初中階段屬于從直觀幾何、實驗幾何逐步過渡到綜合幾何、論證幾何的關(guān)鍵階段，七年級仍是直觀幾何、實驗幾何，但包含一點點說理，而九年級已經(jīng)是綜合幾何、推理幾何，雖然其公理體系與歐式公理體系有所不同。

在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準下，“圖形與幾何”主要內(nèi)容有：空間和平面基本圖形的認識，圖形的性質(zhì)、分類和度量；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似和投影；平面圖形基本性質(zhì)的證明；運用坐標描述圖形的位置和運動。

在“圖形與幾何”的核心課程教學(xué)在于：幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。

如何理解初中幾何的核心目標發(fā)展幾何直觀與推理能力

在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力�？臻g觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言描述畫出圖形等。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，而且在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。演繹推理是從已有的事實出發(fā)，按照規(guī)定的法則證明結(jié)論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性�；�于此，《數(shù)學(xué)課程標準》把認識或把握空間與圖形作為主旋律，以圖形的認識、圖形與變換、圖形與位置（坐標）、圖形與證明四條線索展開空間與圖形的內(nèi)容。（三）研究問題的方法不同與概念和符號相對應(yīng)，數(shù)學(xué)的推理依賴的是公理和假設(shè)，是一個從一般到特殊的方法，而統(tǒng)計學(xué)的推斷依賴的是數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，強調(diào)根據(jù)背景尋找合適的推斷方法，是一個從特殊到一般的方法。

（四）研究問題的判斷原則不同數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是確定性的，它對結(jié)果的判斷標準是對與錯，從這個意義上說，數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，而統(tǒng)計學(xué)是通過數(shù)據(jù)來推斷數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，即便是同樣的數(shù)據(jù)，也允許人們根據(jù)自己的理解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結(jié)果，統(tǒng)計學(xué)對結(jié)果的判斷標準是好與壞，從這個意義上說，統(tǒng)計學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一門藝術(shù)。

數(shù)理統(tǒng)計方法的基本步驟建立數(shù)學(xué)模型，收集整理數(shù)據(jù)，進行統(tǒng)計推斷、預(yù)測和決策。當然，這些環(huán)節(jié)不能截然分開，也不一定按上述次序，有時是互相交錯的。

（1）模型的選擇和建立。模型是指關(guān)于所研究總體的某種假定，一般是給總體分布規(guī)定一定的類型。建立模型要依據(jù)概率的知識、所研究問題的專業(yè)知識、以往的經(jīng)驗以及從總體中抽取的樣本。（2）數(shù)據(jù)的收集。其方法主要包括全面觀測、抽樣觀測和安排特定的實驗3種方式。全面觀測又稱普查，即對總體中每個個體都加以觀測，測定所需要的指標。抽樣觀測又稱抽查，是指從總體中抽取一部分，測定其有關(guān)的指標值。這方面的研究內(nèi)容構(gòu)成數(shù)理統(tǒng)計的一個分支學(xué)科。叫抽樣調(diào)查。

（3）安排特定實驗以收集數(shù)據(jù)，這些特定的實驗要有代表性，并使所得數(shù)據(jù)便于進行分析。（4）數(shù)據(jù)整理。目的是把包含在數(shù)據(jù)中的有用信息提取出來。一種形式是制定適當?shù)膱D表，如散點圖，以反映隱含在數(shù)據(jù)中的粗略的規(guī)律性或一般趨勢。另一種形式是計算若干數(shù)字特征，以刻畫樣本某些方面的性質(zhì)，如樣本均值、樣本方差等簡單描述性統(tǒng)計量。（5）統(tǒng)計推斷。指根據(jù)總體模型以及由總體中抽出的樣本，做出有關(guān)總體分布的某種論斷。數(shù)據(jù)的收集和整理是進行統(tǒng)計推斷的必要準備，統(tǒng)計推斷是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的主要任務(wù)。（6）統(tǒng)計預(yù)測。統(tǒng)計預(yù)測的對象，是隨機變量在未來某個時刻所取的值，或設(shè)想在某種條件下對該變量進行觀測時將取的值。（7）統(tǒng)計決策。依據(jù)所做的統(tǒng)計推斷或預(yù)測，并考慮到行動的后果而制定的一種行動方案。初中統(tǒng)計與概率的課程內(nèi)容主要內(nèi)容包括：

描述統(tǒng)計的進一步擴展----描述統(tǒng)計的基本目標在于以最簡單而直觀的形式最大限度地容納有用的數(shù)據(jù)。

滲透數(shù)理統(tǒng)計思想----數(shù)理統(tǒng)計與描述統(tǒng)計的根本區(qū)別在于總體與樣本概念的引入，它的基本思想是通過對樣本的分析來推斷總體的特性。這部分的一個核心的內(nèi)容是抽樣，如何抽樣、抽樣的過程、樣本的多少是收集數(shù)據(jù)的一個關(guān)鍵問題。學(xué)習(xí)概率的初步內(nèi)容-----包括運用列表、畫樹狀圖、制作面積模型、簡單計算等方法得到一些事件發(fā)生的概率；通過實驗，獲得事件發(fā)生的頻率；知道大量重復(fù)實驗時頻率可作為事件發(fā)生概率的估計值；通過大量豐富的實例，進一步豐富對概率的認識，并能解決一些實際的問題。

普查：為了一定的目的而對考察對象進行的全面調(diào)查，稱為普查.總體：所考察對象的全體稱為總體。個體：組成總體的每一個考察對象稱為個體。抽樣調(diào)查：從總體中抽取部分個體進行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查。樣本：從總體中抽取部分個體叫做總體的一個樣本。樣本容量：樣本中個體的數(shù)量叫樣本容量。隨機事件和樣本空間

在一定條件實現(xiàn)后，可能產(chǎn)生也可能不產(chǎn)生的現(xiàn)象，人們稱之為隨機現(xiàn)象。具備以下三個特點的試驗稱為隨機試驗：

信息。眾數(shù)只與其在數(shù)據(jù)中重復(fù)的次數(shù)有關(guān)，而且往往不是唯一的。但不能充分利用所有的數(shù)據(jù)信息，而且當各個數(shù)據(jù)的重復(fù)次數(shù)大致相等時，眾數(shù)往往沒有特別的意義。數(shù)據(jù)的離散程度

極差是指一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差。它可以反映一組數(shù)據(jù)的變化范圍。方差是指一組數(shù)據(jù)中的平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)之差的平方和的平均數(shù)。

樣本數(shù)據(jù)的方差和標準差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標準差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動就越大。加權(quán)平均數(shù)的概念

加權(quán)平均數(shù)是不同比重數(shù)據(jù)的平均數(shù)，加權(quán)平均數(shù)就是把原始數(shù)據(jù)按照合理的比例來計算，即一組數(shù)據(jù)的每個數(shù)乘以它的權(quán)重后所得積的總和。平均數(shù)稱之為算術(shù)平均數(shù)，是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊情況，加權(quán)平均數(shù)包含算術(shù)平均數(shù)，(1)可在相同條件下重復(fù)進行；〔2)每次試驗可出現(xiàn)不同的結(jié)果，最終出現(xiàn)哪種結(jié)果，試驗之前不能確定；(3)事先知道試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果。隨機事件隨機試驗的每一個可能的結(jié)果稱為一個隨機事件

樣本空間由樣本空間的子集可描述隨機試驗中所對應(yīng)的一切隨機事件。數(shù)據(jù)的收集

數(shù)據(jù)收集方法有兩種：調(diào)查和實驗。在現(xiàn)實生活中原來就有的數(shù)據(jù)，人們通過調(diào)查獲得，例如，普查，即為一特定目的而對所有考察對象的全面調(diào)查；抽樣調(diào)查，即為一特定目的而對部分考察對象作調(diào)查。三種常用抽樣方法是：隨機抽樣法、分層抽樣法和系統(tǒng)抽樣法。

數(shù)據(jù)的隨機性主要有兩層涵義：一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的；另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)的整理和分析

數(shù)據(jù)分析觀念主要體現(xiàn)在三個方面：第一，了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析作出判斷，體會數(shù)據(jù)中是蘊含著信息的；第二，了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以用多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；第三，通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性。

理解兩種估計方法，一種是用樣本的頻率分布來估計總體的分布，另一種是用樣本的集中趨勢（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）和離散程度（極差、方差、標準差）來估計總體的集中程度和離散程度。頻數(shù)和頻率

我們稱每個對象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，也稱次數(shù)。頻數(shù)也稱“次數(shù)”，對總數(shù)據(jù)按某種標準進行分組，統(tǒng)計出各個組內(nèi)含個體的個數(shù)。而頻率則每個小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值。數(shù)據(jù)的集中趨勢在統(tǒng)計學(xué)中是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數(shù)據(jù)中心點的位置所在。反映數(shù)據(jù)集中趨勢的度量包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等。平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是用這組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的總個數(shù)得到的值。中位數(shù)，就是將這組數(shù)據(jù)從小到達排列后，位于正中間的數(shù)（或中間兩個數(shù)的平均數(shù)）。眾數(shù)，是指一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)就是這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻數(shù)最多的數(shù)。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系：從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。區(qū)別：計算平均數(shù)時，所有數(shù)據(jù)都參加運算，它能充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息，但容易受極端值的影響。它應(yīng)用最為廣泛。中位數(shù)的優(yōu)點是計算簡單，只與其在數(shù)據(jù)中的位置有關(guān)。但不能充分利用所有的數(shù)據(jù)當加權(quán)平均數(shù)中的權(quán)相等時，就是算術(shù)平均數(shù)。

統(tǒng)計表不僅反映某一類事物的具體數(shù)據(jù)，而且還能說明有關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。統(tǒng)計圖是借助于幾何線、形(線段、長方形、三角形、圓形等)以及事物的形象等形式，顯示收集到的數(shù)據(jù)信息，直觀地反映其規(guī)模、水平、構(gòu)成、相互關(guān)系、發(fā)展變化趨勢和分布狀況，即是根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)所繪制的圖形。條形圖是以簡單的幾何圖形，即等寬條形的長短或高低來比較數(shù)據(jù)所隱含信息的統(tǒng)計圖示法分為單式條形圖、復(fù)式條形圖、分段條形圖、對稱條形圖、距限條形圖、累積條形圖等。

直方圖有兩種，頻數(shù)直方圖和頻率直方圖。頻數(shù)直方圖與頻率直方圖既有聯(lián)系，又有區(qū)別。

扇形圖用圓和扇形分別表示關(guān)于總體和各個組成部分數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖叫做扇形統(tǒng)計圖。扇形圖能直觀地、生動地反映各部分在總體中所占的比例。

扇形統(tǒng)計圖具有四個特點：一是利用圓和扇形來表示總體和部分的關(guān)系，二是圓代表總體，各個扇形分別表示總體中不同的部分；三是扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，四是各個扇形所占的百分比之和為1；最后，在不同的統(tǒng)計圖中，不能簡單地根據(jù)百分比的大小來比較部分量的大小。折線統(tǒng)計圖

用一個單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點，然后把各點用線段順次連接起來，折線統(tǒng)計圖不但可以表示出數(shù)量的多少，還能夠清楚地表示出數(shù)量的增減變化情況，并且可以進行簡單的預(yù)測。折線統(tǒng)計圖可分為單式折線圖或復(fù)式折線圖。統(tǒng)計是對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律歸納的研究，而概率是對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律演繹的研究，在解決實際問題時，二者是相輔相成、互相關(guān)聯(lián)的

隨機事件的概率，實質(zhì)上是指在客觀世界中，這個事件發(fā)生可能性大小的一個數(shù)量刻畫。

概率的定義

頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)在全部試驗次數(shù)中占的比例，所以頻率能夠反映該事件發(fā)生的可能性大小。即一般地，在大量重復(fù)進行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率總是趨近某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).概率的公理化定義樣本點全集叫做必然事件，空集叫做不可能事件。正確理解隨機性與概率

（1）隨機性和規(guī)律性。2）概率和機會。從某種意義說來，概率描述了某件事

情發(fā)生的機會（3）有些概率是無法精確推斷的。（4）有些概率是可以估計的。隨機結(jié)果也具有規(guī)律，而且有可能通過試驗等方法來推測其規(guī)律。我們就是要通過觀測數(shù)據(jù)，在隨機性中尋找用概率和數(shù)學(xué)模型描述的規(guī)律性

小概率原理是統(tǒng)計檢驗（統(tǒng)計中的反證法）的基礎(chǔ)和依據(jù)。小概率原理是指在一次試驗中，小概率事件幾乎不可能發(fā)生�！稊�(shù)學(xué)課程標準》認為，“統(tǒng)計與概率”應(yīng)當是初中課程內(nèi)容的重要組成部分。不僅如此，《數(shù)學(xué)課程標準》將“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容從第一學(xué)段連續(xù)編排到初中，并且規(guī)定，在初中，學(xué)生將從事數(shù)據(jù)的收集、整理與描述的過程，體會抽樣的必要性以及用樣本估計總體的思想，進一步學(xué)習(xí)描述數(shù)據(jù)的方法，進一步體會概率的意義，能計算簡單事件發(fā)生的概率�！洞缶V》沒有涉及“概率”內(nèi)容，僅僅在初中階段引入“統(tǒng)計初步”，并且將“統(tǒng)計初步”放入“代數(shù)的第（十三）部分”在《大綱》中，“統(tǒng)計初步”的定位是：使學(xué)生了解統(tǒng)計的展這一活動，有以下幾個步驟：

第一，學(xué)生觀察一件物體或一種現(xiàn)象，或者操作某些學(xué)具。

第二，學(xué)生在研究所觀察的物體或現(xiàn)象的過程中進行思考，與同伴進行討論和交流，以彌補他們在單純的觀察和操作活動中的不足。

第三，老師按一定的順序給學(xué)生們推薦活動，學(xué)生可從中作出選擇并實施這些活動，學(xué)生在選擇中有較強的自主性。

第四，這一活動可以以課內(nèi)外相結(jié)合的形式進行，學(xué)生每周至少花兩個小時進行同一個主題的活動，并應(yīng)保證這些活動在整個學(xué)習(xí)進程中的持續(xù)性和穩(wěn)定性。

第五，每個學(xué)生都記錄活動過程。通過這一活動，學(xué)生逐漸學(xué)會操作，同時加強和鞏固口頭和書面表達能力，發(fā)展解決問題的能力，增進對數(shù)學(xué)的理解力。如何理解數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)

思想，掌握一些常用的數(shù)據(jù)處理方法，能夠用統(tǒng)計的初步知識解決一些簡單的實際問題。簡單的平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)

所謂加權(quán)平均數(shù)，是指各個數(shù)據(jù)的“份量”不同，有的重要些，有的輕些，將它們的重要性用“權(quán)重”表示，即加上各個數(shù)據(jù)在全體數(shù)據(jù)中占有的比例（頻率）再作和。數(shù)學(xué)期望的定義事前預(yù)期的好處，就叫做這件事情的期望值。第四章實踐與綜合

設(shè)置“實踐與綜合”領(lǐng)域目的在于體現(xiàn)其橋梁作用（即，數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域之間的橋梁作用以及數(shù)學(xué)與外部之間橋梁作用）和綜合價值，綜合運用數(shù)學(xué)知識、技能、思想、方法等解決現(xiàn)實問題，幫助學(xué)生積累直接的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的綜合能力。關(guān)于“實踐與綜合”的教育價值和課程目標

教育價值實踐與綜合領(lǐng)域的存在，溝通了現(xiàn)實世界中的數(shù)學(xué)與課堂上的數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。另一方面，綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題也必將給學(xué)生的學(xué)習(xí)方式帶來改變。使學(xué)生發(fā)展了意志力、自信心和不斷質(zhì)疑的態(tài)度，發(fā)展了運用數(shù)學(xué)進行思考和交流的能力。

課程目標《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》對這個領(lǐng)域的課程設(shè)計提出了的總的要求：幫助學(xué)生綜合運用已有的知識和經(jīng)驗，經(jīng)過自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗密切聯(lián)系的、具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問題，以發(fā)展他們解決問題的能力，加深對“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容的理解，體會各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系�！皩嵺`與綜合”在不同階段不同的呈現(xiàn)形式第一學(xué)段以“實踐活動”為主題，第二學(xué)段以“綜合應(yīng)用”為主題，第三學(xué)段(即初中階段)以“課題學(xué)習(xí)”為主題。

在初中數(shù)學(xué)中，課題學(xué)習(xí)的主要形式有三種基本方式：

數(shù)學(xué)小調(diào)查。數(shù)學(xué)小調(diào)查是指學(xué)生在教師指導(dǎo)下，從學(xué)習(xí)生活和社會生活中選擇和確定調(diào)查專題，主動獲得信息、分析信息并做出決策的學(xué)習(xí)活動。數(shù)學(xué)調(diào)查可以包括三個階段，第一，進入問題情境階段；第二，收集信息的階段；第三，表達和交流階段。這種活動具有開放性、問題性和社會性的特點。

小課題研究�；顒踊�本過程如下：各小組確定活動目標；根據(jù)目標確定本組活動內(nèi)容；在老師指導(dǎo)下實際調(diào)查。合作交流。

動手做(Handson)的活動。意思是動手活動，目的在于讓學(xué)生以更科學(xué)的方法學(xué)習(xí)知識，尤其強調(diào)對學(xué)生學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的培養(yǎng)�；�本過程是：提出問題動手做實驗觀察記錄解釋討論得出結(jié)論表達陳述。具體地說，開

數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)主要針對我國中學(xué)教育中出現(xiàn)的若干弊端，為實施以創(chuàng)新精神和實踐能力為重點的素質(zhì)教育而提出來的，其根本目的是讓學(xué)生親歷研究過程，獲得對客觀世界的體驗和正確認識，通過自由、自主的探究過程，綜合性地提高整體素質(zhì)和能力。因此，研究性學(xué)習(xí)的重點在“學(xué)習(xí)”，研究是手段、途徑，而不是目的。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的內(nèi)涵

以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識和實踐能力為目的，它主要通過與數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容相關(guān)的課題，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生為主體地參與、體驗問題提出和解決的全過程。使學(xué)生不但發(fā)展了思維能力，而且逐漸領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)科學(xué)研究的基本過程和方法，提高學(xué)生的科數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的目的

1.讓學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)研究的過程，獲得親身參與研究和探索的體驗。2.了解科學(xué)研究的方法，提高發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。3.學(xué)會與人溝通和合作，學(xué)會分享。合作的意識和能力，是現(xiàn)代人所應(yīng)具備的基本素質(zhì)，而研究性學(xué)習(xí)提供了一個有利于人際溝通與合作的良好空間。4.增強探究和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度、科學(xué)精神和科學(xué)道德。在研究性學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生不可避免地會遇到一系列的問題和困難，學(xué)生必須學(xué)會從實際出發(fā)，通過認真踏實地探究，事實求是地得出結(jié)論，并且養(yǎng)成尊重他人的想法和成果的正確態(tài)度，同時培養(yǎng)不斷追求的進取精神、嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度、克服困難的意志品質(zhì)等。5.培養(yǎng)學(xué)生對社會的責任心和使命感形成積極的人生態(tài)度。6.促進學(xué)生學(xué)習(xí)，掌握和運用一種現(xiàn)代學(xué)習(xí)方式。7.激活各科學(xué)習(xí)中的知識儲備，嘗試相關(guān)知識的綜合運用。8.促進教師教學(xué)觀念和教學(xué)行為的變化，提升教師的綜合素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力，推進素質(zhì)教育的全面實施。

初中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)主題分為建模探究型、圖表探究型、調(diào)查探究型、開放探究型四種類型。

（1）建模探究型：以學(xué)生動手操作、合作探討、設(shè)計制作模型為主，教師給予指導(dǎo)、總結(jié)、評價。（2）圖表探究型：以學(xué)生觀察、分析數(shù)學(xué)圖表、探究解決問題的方法為主，教師提示結(jié)合相關(guān)知識分析、探究、解決問題。例如，數(shù)學(xué)圖表的制作：“制作人口圖”。（3）開放探究型：以學(xué)生自主分析、小組討論交流、大膽猜想、探究論證為主，教師給予必要的概括、提升和拓展。例如，趣味數(shù)學(xué)問題：猜想、證明、拓廣。（4）調(diào)查探究型：以學(xué)生調(diào)查實踐、自主分析、探究實踐的方式和方法為主，教師適時引導(dǎo)、提示、總結(jié)。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的特點

1.探究性。探究是人類認識世界的一種基本方式，處于基礎(chǔ)教育階段的初中生對外部

世界仍充滿強烈的新奇感和探究欲，數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)正好適應(yīng)學(xué)習(xí)者個體發(fā)展的需要和認識規(guī)律。2.全員參與性。研究性學(xué)習(xí)主張全體學(xué)生的積極參與，它有別于培養(yǎng)天才兒童的超常教育。全員參與的另一層含義是共同參與。研究性學(xué)習(xí)的組織形式是獨立學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)的結(jié)合，其中合作學(xué)習(xí)占有重要的地位。3.開放性。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)是一種開放性、參與性的教學(xué)形式，為了研究有關(guān)生活中的數(shù)學(xué)問題或從數(shù)學(xué)角度對其它學(xué)科中出現(xiàn)的問題進行研究。4.過程性。要求學(xué)生把自己所得出的結(jié)論運用到現(xiàn)實生活中去，解決現(xiàn)實生活中涉及到的數(shù)學(xué)問題，強調(diào)學(xué)生參與的過程。5.應(yīng)用性。學(xué)以致用是研究性學(xué)習(xí)的又一基本特征。研究性學(xué)習(xí)重在知識技能的應(yīng)用，而不在于掌握知識的量。6.體驗性。研究性學(xué)習(xí)不僅重視學(xué)習(xí)過程中的理性認識，如方法的掌握、能力的提高等，還十分重視感性認識，即學(xué)習(xí)的體驗。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的實施保持和進一步提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

（3）在實施過程中，要采取有效的手段對學(xué)習(xí)活動進行監(jiān)控；指導(dǎo)學(xué)生寫好研究數(shù)學(xué)日記，及時記載研究情況，真實記錄個體體驗，為以后進行和評價提供依據(jù)。

（4）要爭取家長和社會有關(guān)方面的關(guān)心、理解和參與，與學(xué)生一起開發(fā)對實施研究性學(xué)習(xí)有價值的校內(nèi)外教育資源，為學(xué)生開展研究性學(xué)習(xí)提供良好條件。

（5）能夠根據(jù)學(xué)校與班級實施研究性學(xué)習(xí)的不同目標定位和主客觀條件，在不同時段選擇不同的切入口，形成不同年級的操作特點。

數(shù)學(xué)模型一般是指由數(shù)字、字母或其它數(shù)學(xué)符號組成的，描述現(xiàn)實對象(原型)數(shù)量規(guī)律和空間特征的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型可以敘述為：對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了實施要求：①全員參與，而非只關(guān)注少數(shù)數(shù)學(xué)尖子學(xué)生競爭，給每個學(xué)生有鍛煉與參與的機會；②任務(wù)驅(qū)動。要向?qū)W生提出有明確具體要求的任務(wù)，發(fā)揮它對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的引導(dǎo)作用；③重在學(xué)習(xí)過程而非研究的結(jié)果；④重在知識技能的應(yīng)用而非掌握知識的數(shù)量；⑤重在親身參與探索性實踐活動，獲得感悟和體驗，而非一般地接受別人傳授的經(jīng)驗；⑥形式上靈活多樣，強調(diào)課內(nèi)外結(jié)合。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)模式有三種：

（1）理論實踐模式。是指師生在共同學(xué)習(xí)研究性學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)上，學(xué)生運用數(shù)學(xué)理論來研究、解決數(shù)學(xué)問題，體驗研究性學(xué)習(xí)課程理論的價值，提高綜合能力的一種教學(xué)模式。

（2）數(shù)學(xué)問題探討模式。師生圍繞數(shù)學(xué)問題的分析與探討展開的教學(xué)活動，構(gòu)成了問題探討教學(xué)模式。其基本理念在于：以激勵、強化學(xué)生在教學(xué)過程中的主體參與意識為著眼點，以幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會發(fā)現(xiàn)和分析問題，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性解決問題的能力為宗旨，創(chuàng)設(shè)一種開放而又活潑的學(xué)習(xí)氛圍。其教學(xué)策略是：將問題或案例呈現(xiàn)給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生共同探討，構(gòu)建師生平等、互動的學(xué)習(xí)環(huán)境。一般來說，教師要選擇典型的數(shù)學(xué)問題或案例，不可平鋪直敘地搬給學(xué)生，而要創(chuàng)造性地加以取舍，主動設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能力。

3）數(shù)學(xué)課題研究模式。數(shù)學(xué)課題研究模式是指教師提供課題或由學(xué)生根據(jù)興趣設(shè)計研究課題，并在教師的指導(dǎo)下自主探索、實施研究計劃、完成課題目標、提高社會實踐能力的一種教學(xué)模式。（

組織形式有三種類型：小組合作研究、個人獨立研究、全班集體研究。其中一致認為小組合作研究是最基本、最有效、經(jīng)常被采用的一種組織形式。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實施的一般程序

一般可以分為三個階段：1）進入問題情境階段（準備階段）。主要任務(wù)是背景知識的準備；指導(dǎo)學(xué)生確定數(shù)學(xué)研究課題；組織課程小組、制定研究方案。（2）實踐體驗階段（實施階段）。本階段學(xué)生要進入具體的解決問題過程。（3）表達交流階段（結(jié)題階段）。學(xué)生將自己或小組經(jīng)過實踐、體驗所取得的收獲進行歸納整理、總結(jié)提煉，形成書面或口頭報告材料，得出結(jié)論，并進行成果交流和總結(jié)反思。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實施中的教師指導(dǎo)

（1）在初中不同的學(xué)段和年級，教師的指導(dǎo)工作內(nèi)容和方法應(yīng)該有所不同。

（2）在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實施過程中，教師要及時了解學(xué)生開展活動的情況，有針對性地進行指導(dǎo)、點撥；要組織靈活多樣的交流、研討活動，促進學(xué)生自我教育，幫助他們

一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)后，運用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目

使學(xué)生體會數(shù)學(xué)與自然及人類社會的密切聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，增進對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心；使學(xué)生學(xué)會運用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活中的問題，進而形成勇于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神；使學(xué)生學(xué)會以數(shù)學(xué)建模為手段，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，團結(jié)合作，建立良好的人際關(guān)系、相互合作的工作能力；以數(shù)學(xué)建模方法為載體，使學(xué)生獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)事實以及基本的思想方法和必要的應(yīng)用技能。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)意義

1.培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力合作能力是信息社會中每個人必須具備的基本素質(zhì)。2.培養(yǎng)學(xué)生處理信息的能力數(shù)學(xué)建�；顒觿t為學(xué)生學(xué)習(xí)如何選擇信息、獲取信息和加工信息提供了一個有效的途徑。3.有利于學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀數(shù)學(xué)建�；顒拥拈_展使學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀成為可能。4.有利于學(xué)生體驗數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系5.激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣6.發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識數(shù)學(xué)建模的具體實施1.選題

鼓勵學(xué)生自主提出問題，可以從以下幾個方面人手：①讓學(xué)生了解選題的重要性和基本要求，②指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗尋找課題，也可由教師介紹往屆學(xué)生的選題并加以點評，或者請本班同學(xué)介紹自己的選題計劃，教師和學(xué)生一起分析其可行性，③教師創(chuàng)設(shè)一個問題環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生自主提出問題、確定課題。這時教師的指導(dǎo)應(yīng)該是有啟發(fā)性的，不要代替學(xué)生確定課題，而是啟發(fā)學(xué)生自己去延展、開拓問題鏈，讓學(xué)生自己提出要解決的問題和解決問題的方案。2.實施

在課題學(xué)習(xí)的實施中，我們強調(diào)開放學(xué)生的思維，強化過程體驗，師生和生生的情感交流和成果共享。3.指導(dǎo)

在課題學(xué)習(xí)中，教師如何指導(dǎo)學(xué)生，這是一個令不少教師感到困惑甚至苦惱的問題。課題學(xué)習(xí)過程中，問題形式與內(nèi)容的變化，問題解決方法的多樣性、新奇性，問題解決過程的不確定性，結(jié)果呈現(xiàn)層次的豐富性，無疑是對參與者創(chuàng)造力的一種激發(fā)、挑戰(zhàn)和有效的鍛煉。教師在陌生的問題面前感到困難，失去相對于學(xué)生的優(yōu)勢是自然的、常常出現(xiàn)的。4.評價

評價過程具體涉及以下幾個方面：①調(diào)查、求解的過程和結(jié)果要合理、清楚、簡捷；②要有自己獨到的思考和發(fā)現(xiàn)；③能夠恰當?shù)厥褂霉ぞ?如網(wǎng)絡(luò)和計算工具)；④采用合理、簡捷的算法；⑤提出有價值的求解設(shè)計和有見地的新問題；⑥發(fā)揮每個組員的特長，合作學(xué)習(xí)得有效果。5.建立和擴張資源

對教育資源的認識應(yīng)該走出靜態(tài)的誤區(qū)，要看到身邊許多動態(tài)的教育教學(xué)資源。此外，通過查找相關(guān)的刊物和網(wǎng)站也可以發(fā)現(xiàn)大批的可用資源。我們還應(yīng)有意識地建立自己個性化的信息資源庫，它包括：前幾屆學(xué)生做的課題成果，如論文、研究報告、程序、制作的作品，以及活動過程的照片、研究課的錄音或錄像、其它學(xué)校學(xué)生的優(yōu)秀成果等。生和發(fā)展而成。這種抽象可以脫離具體的實物模型，形成一種具有層次性的體系。形式化使用特定的數(shù)學(xué)符號來表示數(shù)學(xué)概念，使概念形式化。邏輯化在一個特定的數(shù)學(xué)體系中，孤立的數(shù)學(xué)概念是不存在的，它們之間往往存在著某種關(guān)系；這些關(guān)系稱之為數(shù)學(xué)概念的邏輯關(guān)系。這種邏輯關(guān)系使得數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)化、公理化。簡明化數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，借助數(shù)學(xué)符號語言，使得一定事物的本質(zhì)簡明的形式表現(xiàn)出來，這種簡明化使人們在較短時間內(nèi)領(lǐng)會。概念的外延與內(nèi)涵

概念反映了事物的本質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。

一個概念所反映的對象的總和，稱為這個概念的外延是指適合這個概念的一切對象，即符合這一概念所有對象的集合。換言之，是指這個概念的延用范圍。一個概念所反映的對象的本質(zhì)屬性的總和稱為這個概念的內(nèi)涵。概念的內(nèi)涵是說一個概念所反映的事物培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

實際教學(xué)中要強調(diào)學(xué)生的自主探索、合作交流和操作實踐等學(xué)習(xí)方式。

1）充分發(fā)揮學(xué)生的主體性。在學(xué)習(xí)過程中，教師可以向?qū)W生推薦活動，讓學(xué)生在選擇中有較強的自主性；同時，讓學(xué)生獨立思考和合作交流，在此基礎(chǔ)上教師進行有針對性的指導(dǎo)。

（2）強凋?qū)W生學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的養(yǎng)成，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。課題學(xué)習(xí)活動強調(diào)學(xué)生主動學(xué)習(xí)，不宜強調(diào)對知識的學(xué)習(xí)，而且更重要的是強調(diào)學(xué)生對學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的養(yǎng)成。

（3）創(chuàng)設(shè)恰當?shù)膯栴}情景，鼓勵學(xué)生思考方法的多樣化。在課題學(xué)習(xí)活動過程中，教師應(yīng)當鼓勵與尊重學(xué)生的獨立思考，引導(dǎo)學(xué)生進行討論與交流，培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣和合作意識。鼓勵算法多樣化，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新思維是十分必要的。（4）對課題學(xué)習(xí)的評價應(yīng)該以質(zhì)的評價為主。一般說來，對學(xué)生實踐與綜合應(yīng)用活動的評價要強調(diào)過程性評價。重點在于促進學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)和實踐能力的提高，具備與人溝通及有良好的人際交往能力。而不是把學(xué)生貼上優(yōu)秀、良好、不及格的標簽。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的評價對建立學(xué)生發(fā)展性評價有哪些有益的啟示

（1）研究性學(xué)習(xí)評價更重視過程。研究性學(xué)習(xí)評價學(xué)生研究成果的價值取向重點是學(xué)生的參與研究過程。（2）研究性學(xué)習(xí)評價更重視理解中的應(yīng)用。強調(diào)的是學(xué)生把學(xué)到的基礎(chǔ)知識、掌握的基本技能，應(yīng)用到實際問題的提出和解決中去既促進學(xué)生對知識價值的反思，又加深對知識內(nèi)涵理解和掌握，形成知識的網(wǎng)絡(luò)和結(jié)構(gòu)。3）研究性學(xué)習(xí)評價強調(diào)學(xué)生在探究過程中的體驗。（4）研究性學(xué)習(xí)評價更重視全員參與。研究性學(xué)習(xí)的價值取向強調(diào)每個學(xué)生都有充分學(xué)習(xí)的潛能，為他們進行不同層次的研究性學(xué)習(xí)提供了可能性，也為個別化的評價方式創(chuàng)造了條件。第五章初中數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)

客觀事物都有各自的許多性質(zhì)，或者稱為屬性。經(jīng)過比較、分析、綜合、概括，抽象出一種事物所獨有而其它事物所不具有的屬性，稱為這種事物的本質(zhì)屬性。反映事物本質(zhì)屬性的思維形式叫做概念。數(shù)學(xué)研究的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系。反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的思維形式叫做數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念具有抽象化、形式化等鮮明的特點。

抽象化數(shù)學(xué)概念反映一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性。有些可以直接從客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映得來，而大多數(shù)概念排除對象具體的物質(zhì)內(nèi)容，抽象出內(nèi)在的、本質(zhì)的屬性，甚至在已有數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多級的抽象過程才產(chǎn)的本質(zhì)屬性。

概念的內(nèi)涵和外延之間相互依存，二者是一對矛盾，共處于統(tǒng)一體的概念之中。它們之間有著相互依存、相互制約的關(guān)系。概念反映了事物的本質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。一個概念所反映的對象的總和，稱為這個概念的外延。一個概念所反映的對象的本質(zhì)屬性的總和稱為這個概念的內(nèi)涵。一個概念的內(nèi)涵和外延分別從質(zhì)和量兩個方面刻劃了這個概念，每個概念都是其內(nèi)涵與外延的統(tǒng)一體．概念的內(nèi)涵嚴格確定了概念的外延，反之，概念的外延完全確定了概念的內(nèi)涵。概念的外延和內(nèi)涵是主觀對客觀的認識，由于人們對客觀事物的認識是發(fā)展變化的，概念的外延和內(nèi)涵必然相應(yīng)地發(fā)生變化，但是在發(fā)展變化的過程中有其相對的穩(wěn)定性．在數(shù)學(xué)科學(xué)體系的確定的階段，每一個數(shù)學(xué)概念的外延和內(nèi)涵都是確定的，二者是相互確定的。初中數(shù)學(xué)概念的特點1、初中數(shù)學(xué)概念并非都是通過定義給出的2.初中數(shù)學(xué)概念的層次性數(shù)學(xué)概念本身具有層次性。3.數(shù)學(xué)概念是理想概念4.數(shù)學(xué)概念是“過程”與“對象”的統(tǒng)一體數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系

1.同一關(guān)系兩個外延完全相同的概念之間的關(guān)系，叫做同一關(guān)系。同一關(guān)系，敘述上常用連接詞“即”、“就是”等表示。在一個判斷過程中，具有同一關(guān)系的兩個概念可以互相代替。

2.交叉關(guān)系兩個外延部分相同的概念之間的關(guān)系，叫做交叉關(guān)系.敘述上常用“有的”、“有些”等表示。

3.從屬關(guān)系兩個外延具有包含關(guān)系的概念之間的關(guān)系，叫做從屬關(guān)系。其中外延范圍大的概念A(yù)叫做上位概念或種概念，外延范圍小的概念B叫做下位概念或類概念。4.矛盾關(guān)系兩個概念的外延互相排斥，但外延之和等于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個概念之間的關(guān)系，叫做矛盾關(guān)系。

5.對立關(guān)系兩個概念的外延互相排斥，但外延之和小于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個概念之間的關(guān)系，叫做對立關(guān)系。

把一個屬概念分成若干個種概念，揭示概念外延的邏輯方法叫做概念的劃分。在數(shù)學(xué)中常用劃分把概念系統(tǒng)化。正確的劃分應(yīng)符合下列條件：

第一，所分成的種概念之間應(yīng)是全異關(guān)系，即任兩個種概念的外延的交集應(yīng)是空集；第二，劃分應(yīng)是相稱的，即是說所分成的全異種概念的外延的并集等于屬概念的外延；第三，每次劃分都應(yīng)按照同一個標準進行。在一次劃分中用不同的根據(jù)就造成了混亂；第四，劃分不應(yīng)越級。應(yīng)把屬概念分為最鄰近的種概念

數(shù)學(xué)概念的定義與要求

定義是建立概念的邏輯方法人們在認識事物的過程中，經(jīng)過抽象，形成概念，就要借助語言或符號，加以明確、固定和傳遞，這就要給概念下定義。定義的功能是為了明確討論問題的對象。常常是在抽象出事物的本質(zhì)屬性之后，運用邏輯的方法和精練的語言或符號揭示出對象的本質(zhì)屬性。常用的定義方法:

1.“種+類差”定義法屬概念加種差定義法就是，用被定義概念最鄰近的屬概念，連同被定義的概念與同一屬概念下其它種概念之間的差別（即種差），來進行定義的方法。2.發(fā)生式定義法不直接揭示概念的基本內(nèi)涵或外延，而是通過指出概念所反映的對象產(chǎn)生的過程，由此來定義概念的方法，叫做發(fā)生式定義法。

3.外延定義法這是一種給出概念外延的定義法，又叫歸納定義法。真時，P假；當P假時，P真。

2.選言判斷。選言判斷是由兩個或兩個以上判斷用連接詞“或者”構(gòu)成的判斷，一般記成AVB，讀作“A或B”。

3.聯(lián)言判斷。聯(lián)言判斷是用連接詞“且”構(gòu)成的判斷，表明幾個事物情況都存在，一般記成A∧B，讀作“A且B”。4假言判斷。假言判斷又叫蘊含判斷，它是判斷P為另一判斷Q存在條件的判斷，P、Q分別叫做該假言判斷的前件和后件(或題設(shè)和題斷，條件和結(jié)論)，一般用“若……，則……”，或“如果……，那么……”的形式表示，記成P→Q。解命題的涵義

關(guān)于數(shù)學(xué)對象及其屬性的判斷叫做數(shù)學(xué)判斷。判斷要借助于語句，表示判斷的語句叫命題。

4.約定式定義法由于某種特殊的需要，通過約定的方法來定義的。

5．關(guān)系定義法這是以事物間的關(guān)系作為種差的定義，它指出這種關(guān)系是被定義事物所具有而任何其他事物所不具有的特有屬性。

此外，中學(xué)數(shù)學(xué)中還有描述性定義法(如現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于等式、極限的定義)、遞推式定義法(如n階行列式、n階導(dǎo)數(shù)、n重積分的定義)，借助另一對象來進行定義(如借助指數(shù)概念定義對數(shù)概念)等等。定義數(shù)學(xué)概念的基本要求

1.定義應(yīng)當相稱。即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能擴大也不能縮小2.定義不能循環(huán)。即在同一個科學(xué)系統(tǒng)中，不能以A概念來定義B概念，而同時又以B概念來定義A概念。

3.定義應(yīng)清楚、簡明。定義中列舉的屬性對于揭示概念反映的對象的本質(zhì)屬性來說應(yīng)是必不可少的。所謂必不可少是指每一個屬性都是獨立的，不能由列舉出的其它屬性推出。

定義要揭示概念所反映對象的本質(zhì)屬性，而否定形式一般不能做到這一點。數(shù)學(xué)概念的形成

數(shù)學(xué)概念形成是從大量的實際例子出發(fā)，經(jīng)過比較、分類，從中找出一類事物的本質(zhì)屬性，然后通過具體的例子對所發(fā)現(xiàn)的屬性進行檢驗與修正，最后通過概括得到定義并用符號表達出來。

數(shù)學(xué)概念形成的過程有以下幾個階段：

1.觀察實例。2.分析共同屬性。分析所觀察實例的屬性，通過比較得出各實例的共同屬性。3.抽象本質(zhì)屬性。從上面得出的共同屬性中提出本質(zhì)屬性的假設(shè)。4.確認本質(zhì)屬性。通過比較正例和反例檢驗假設(shè)。確認本質(zhì)屬性。5.概括定義。在驗證假設(shè)的基礎(chǔ)上，從具體實例中抽象出本質(zhì)屬性推廣到一切同類事物，概括出概念的定義。6.符號表示。7.具體運用。使新概念與已有認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念建立起牢固的實質(zhì)性聯(lián)系。把所學(xué)的概念納入到相應(yīng)的概念體系中。

判斷是人們對事物情況有所肯定或否定的比概念高一級的思維形式。判斷是屬于主觀對客觀的認識，因此，判斷有真有假，其真假要由實踐來檢驗，在數(shù)學(xué)中要進行證明。如實反映事物情況的判斷，叫真判斷；不符合事物情況的判斷，叫假判斷。在一個判斷中，如果不包含其他的判斷，叫做簡單判斷。簡單判斷又分為性質(zhì)判斷和關(guān)系判斷。復(fù)合判斷是由兩個或兩個以上的簡單判斷用連接詞構(gòu)成的判斷。1.負判斷。負判斷是用連接詞“非”構(gòu)成的判斷，一般記為┑P，讀作“非P”，當P如何理解命題的分類

所謂性質(zhì)命題，是指斷定某事物具有（或不具有）某種性質(zhì)的命題。性質(zhì)命題由主項、謂項、量項和聯(lián)項四部分組成。關(guān)系命題關(guān)系命題是斷定事物與事物之間關(guān)系的命題，關(guān)系命題由主項、謂項和量項三部分組成.復(fù)合命題命題真值的概念。

對于命題A、B，如果A是一個真命題，我們就說A的真值等于1，記成A=1；如果B是一個假命題，我們就說B的真值等于0，記成B=0。一個命題或真或假，而不能既真又假。因此，一個命題的真值只能是1或0，不能既為1，又為0，或非l又非0。

復(fù)合命題的分類

復(fù)合命題由于所采用的連接詞不同，可分為下列五種形式。

否定式。給定一個命題A，用連接詞“非”組成一個復(fù)合命題“非A”，

析取式。給定兩個命題A與B，用連接詞“或”組成一個復(fù)合命題“A或B”，合取式。給定兩個命題A與B，用連接詞“且”組成一個復(fù)合命題“A且B”蘊含式。給定兩個命題A與B，用連接詞“若……，則……”組成一個復(fù)合命題“若A則B”，記作AB

等值式。給定兩個命題A與B，用連接詞“等值”組成一個復(fù)合命題“A等值B”，記作“AB”公理與定理

不加證明而被承認其真實性的命題叫做“公理”。原始概念和公理是組成數(shù)學(xué)理論的主要基礎(chǔ)。公理雖然不能加以證明，但有其合理性，它是從大量客觀事物與現(xiàn)象中抽象出來的，符合客觀規(guī)律。

任何公理體系都必須滿足相容性、完備性和獨立性。相容性是指該體系的各公理之間沒有矛盾。完備性是指該分支的形成除了相應(yīng)的公理體系外，不依賴于任何別的東西。獨立性是指該體系中各公理是相互獨立的，沒有一個可以由其他公理推出。獨立性對整個公理體系而言，具有錦上添花的作用。

經(jīng)過證明為真實的命題叫做定理，可由定理直接得出的真命題叫做推論。推論和定理的含義沒有什么本質(zhì)的區(qū)別。一個定理的逆命題、偏逆命題都未必為真，如果證明了是真實的，則分別稱為原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。形式邏輯的基本規(guī)律

1.同一律：在同一時間、同一地點、同一思維的過程中，所使用的概念和判斷必須確

定，且前后保持一致。公式是：A→A，即A是A。它有兩點具體要求：一是思維的對象應(yīng)保持同一。二是表示同一事物的概念應(yīng)保持同一。

2.矛盾律：在同一時間，同一地點，同一思維的過程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思維過程中的兩個互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假。公式是：A∧A，即A不是A。

3.排中律：在同一時間、同一地點、同一思維的過程中，對同一對象，必須作出明確的肯定或否定的判斷。即在同一思維過程中，兩個互相矛盾的概念或判斷不能同假，必有一真，而排除第三種可能。公式是：A∨，即A或。

排中律和矛盾律既有聯(lián)系，又有區(qū)別。其聯(lián)系在于：它們都是關(guān)于兩個互相矛盾的判斷，都指出兩個矛盾判斷不能同時并存，其中必有一個是假。但如何進一步確定誰真誰假，它們本身都無能為力，只有借助其他知識，進行具體分析，才能正確地予以回答。3．演繹推理是一種由一般到特殊的推理，即以某類事物的一般判斷為前提，作出這類事物的個別、特殊事物判斷的思維形式。

演繹推理的前提與結(jié)論之間有必然的聯(lián)系，只要前提是真實的，推理是合乎邏輯的，就一定能得到正確的結(jié)論。因此。演繹推理可以作為數(shù)學(xué)中一種嚴格的推理方法使用。簡單的演繹推理往往是通過三段論的形式來實現(xiàn)的。三段論的結(jié)構(gòu)包括大前提反映一般原理的判斷，小前提反映個別對象與一般原理聯(lián)系的判斷，以及結(jié)論三個判斷。

數(shù)學(xué)中的證明

應(yīng)用邏輯方法來判斷數(shù)學(xué)命題真實性的過程叫做數(shù)學(xué)證明。數(shù)學(xué)證明的過程往往表現(xiàn)為一系列的推理。

任何邏輯證明都是由論題、論據(jù)、論證三個部分組成的。

其區(qū)別在于：矛盾律指出兩個互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假；排中律則指出兩個互相矛盾的判斷，不能同假，必有一真。矛盾律只能由真推假，不能由假推真；而排中律既能由真推假，也能由假推真，所以，矛盾律是否定判斷的邏輯基礎(chǔ)，而排中律是反證法的邏輯基礎(chǔ)。

4.充足理由律是：任何一個真判斷，必須有充足理由，即對于任何事物的肯定或否定，都要有充分的理由和根據(jù)�？杀硎緸椋喝粲蠦，則必有A，使得由B可以推出A。充足理由律是進行推理和證明的邏輯基礎(chǔ)，它與判斷有著密切的聯(lián)系。

充足理由律和前面三個規(guī)律有著密切的聯(lián)系。同一律、矛盾律和排中律是為了保持同一判斷(或概念)本身的確定性和無矛盾性；充足理由律則是為了保持判斷之間的聯(lián)系有充分根據(jù)和說服力。因此，在思維過程中，如果違反了同一律、矛盾律和排中律，那么就必然導(dǎo)致違反充足理由律。

數(shù)學(xué)推理、證明必須要求對象確定(同一律)，判斷不自相矛盾(矛盾律)，不模棱兩可(排中律)，有充分根據(jù)(充足理由律)。數(shù)學(xué)推理的類別

1．歸納推理是一種由特殊到一般的推理，且根據(jù)前提與結(jié)論所作判斷的范圍是否相同，又分為完全歸納法與不完全歸納法。

完全歸納法如果歸納推理的前提中一個或幾個判斷范圍的總和等于結(jié)論中判斷的范圍，這種歸納推理叫做完全歸納法。

不完全歸納法如果歸納推理的前提判斷范圍的總和小于結(jié)論判斷的范圍，這種歸納推理叫做不完全歸納法。

因為完全歸納法是在考察事物的各種情形之后得出有關(guān)事物的結(jié)論的，所以只要考察各種情形得出的結(jié)論是真實的，則最后所得結(jié)論也必定是真實的。因此，完全歸納法可以作為數(shù)學(xué)的嚴格推理方法。用完全歸納法進行推理時，要注意對考察事物的各種特殊情形都要進行討論，不要重復(fù)也不要遺漏。在完全歸納法的實施過程中，分類是最為重要、往往也是最為困難的，關(guān)于分類問題的詳細地討論可以在附錄中找到。

用不完全歸納法作為邏輯推理是不嚴密的，因而在數(shù)學(xué)證明中并不采用。但不完全歸納法在探索的過程中能幫助我們比較迅速地去發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，給我們提供研究方向和線索的作用是不容忽視的。科學(xué)上的很多發(fā)現(xiàn)，往往就是通過觀察、分析、歸納、猜想得出，然后又加以證明驗證得到的。2．類比推理是一種由特殊到特殊的推理，即根據(jù)兩個(或兩類)事物的某些相同或相似的性質(zhì)，判斷它們在別的性質(zhì)上也可能相同或相似。數(shù)學(xué)證明習(xí)慣上分成已知、求證、證明三個部分來寫。其中論據(jù)是包括論題給定的條件和證明論題時所引用的那些論據(jù)，以及已知的公理、定理、公式、定義、法則、性質(zhì)等命題；求證就是論題的結(jié)論，即有待于證明具有真實性的命題；證明就是論證，即證明論題真實性的推理過程。數(shù)學(xué)中常用的證明方法1.分析法與綜合法

在數(shù)學(xué)證明中，如果推理方向是從求證追溯到已知，或者是從未知到已知，這種思考方法叫做分析法，簡謂“由果索因”。反之，如果推理的方向是從已知到求證，或者是從已知到未知，這種思考方法叫做綜合法，簡謂“由因?qū)Ч�”�?/p>

2.直接證法與間接證法從正面證明論題真實性的證明方法，叫做直接證法。凡是用演繹法證明命題真實性的都是直接證法。不是直接證明論題的真實性，而是通過證明論題的否定論題不真實，或者證明它的等效命題成立，從而肯定論題真實性的證明方法，叫做間接證法。間接證法主要有反證法與同一法。反證法欲證命題“A→B”為真，從反面人手，改證明其反命題“→B”為假，從而肯定“A→B”為真；或改證明其等效命題“→”為真，這種證明的方法叫做反證法。同一法兩個互逆或互否的命題不一定是等效的，只有當一個命題的條件和結(jié)論都唯一存在，且它們所指的概念是同一概念時，該命題與其逆命題(或否命題)才等效，這個原理叫做同一原理。對于符合同一原理的命題，當直接證明有困難時，可以改證與它等效的逆命題，這種證明方法叫做同一法。反證法與同一法都是間接證法的主要區(qū)別：①方法不同。反證法先否定結(jié)論，然后再予以反駁；同一法先作出(設(shè)定)符合命題結(jié)論的圖形(或算式)，然后推證所作圖形(或算式)與已知圖形(或關(guān)系式)相同。②根據(jù)不同。反證法的邏輯依據(jù)是排中律，利用原命題與其逆否命題的等價性來證明的；同一法的邏輯依據(jù)是同一律，利用原命題與其逆命題的等價性來證明的。③適用范圍不同。反證法是從否定命題的結(jié)論出發(fā)，只要能推出矛盾就行，而這個矛盾不一定是由于圖形(或關(guān)系式)的“唯一存在性”引起的。因此，反證法可適用于各種命題，而同一法只適用于符合同一法則的命題。第六章數(shù)學(xué)抽象

具體是指對客觀存在著的各種事物或在認識中的整體的反映，是特定事物多方面屬性、特點、聯(lián)系和關(guān)系的統(tǒng)一。抽象指從具體事物中被抽象出來的相對獨立的各個屬性、特征、聯(lián)系和關(guān)系。抽象是正確反映客觀事物本質(zhì)，形成概念、范疇的一種思維方法。它是在對事物的屬性進行分析、綜合、比較的基礎(chǔ)上，抽取出事物的本質(zhì)屬性，撇開非本

質(zhì)屬性，從而形成對某一事物的概念

科學(xué)的抽象必須具備客觀性、實在性和可檢驗性，都是客觀事物所具有的某種屬性、關(guān)系的反映，不是空洞的、荒謬的、神秘的虛構(gòu)。數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)的抽象程度大大超過了其他科學(xué)，全部數(shù)學(xué)都具有抽象的特征。數(shù)學(xué)的抽象，主要是指思維運動中的抽象。數(shù)學(xué)的抽象具有明顯的層次性，這也是數(shù)學(xué)抽象與一般抽象的本質(zhì)區(qū)別。

數(shù)學(xué)抽象的層次性

就數(shù)學(xué)抽象的深度而言，大體上分為三個層次：1）把握事物的本質(zhì)，把繁雜問題簡單化、條理化，能夠清晰地表達，我們稱其為簡約階段。2）去掉具體的內(nèi)容，利用概等加以描述。可以認為，拓撲結(jié)構(gòu)就是能夠描述極限的一種結(jié)構(gòu)。

結(jié)構(gòu)主義數(shù)學(xué)的抽象的弱點（1）數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法不可能統(tǒng)一數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法并不是數(shù)學(xué)的唯一方法。（2）數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義重視結(jié)構(gòu)，不崇尚技巧，象數(shù)論中的技巧方法、函數(shù)論的精密估值、概率統(tǒng)計中的詳細計算都不能納入布爾巴其學(xué)派的體系，這種現(xiàn)象也對數(shù)學(xué)發(fā)展帶來影響。（3）過份提升結(jié)構(gòu)主義，在教學(xué)中尤其在中小學(xué)的數(shù)學(xué)教育中運用結(jié)構(gòu)主義觀點，會忽略對學(xué)生認知心理的正確判斷。在美國上世紀50年代到60年代興起的“新數(shù)學(xué)”運動中，就在初中的數(shù)學(xué)中運用結(jié)構(gòu)主義的觀點進行教學(xué)的改革，結(jié)果表明“新數(shù)學(xué)”運動并不符合學(xué)生的心理發(fā)展水平，脫離了社會和學(xué)生的生活實際。

圖形與圖形關(guān)系的抽象數(shù)學(xué)在本質(zhì)上表現(xiàn)為對概念的抽象和對證明的抽象。圖形抽象的典范（一）歐式幾何念、圖形、符號、關(guān)系表述包括已經(jīng)簡約化了的事物在內(nèi)的一類事物，我們稱其為符號階段。（3）通過假設(shè)和推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般意義上解釋具體事物，我們稱其為普適階段。數(shù)學(xué)抽象的方法

1．理想化的抽象。由實際的事物或現(xiàn)象引出抽象概念的方法，其中包括對于真實事物或現(xiàn)象的簡化與完善化，從而得出的數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)實原型未必完全符合。

2．強抽象與弱抽象。弱抽象也可以稱作“概念擴張式抽象”，即從原型（或已有概念）中選取某一特征（側(cè)面）加以抽象，從而獲得比原結(jié)構(gòu)更廣的結(jié)構(gòu)，使原結(jié)構(gòu)成為后者的特例。

3．存在性抽象。作為人類思維能動性的一種重要表現(xiàn)形式，有時可以假設(shè)一個原先認為不存在的“對象”的存在性，也即引進所謂的“理想元素”，并由此而發(fā)展起一定的數(shù)學(xué)理論。

數(shù)學(xué)研究對象的抽象性

數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，因為只有通過抽象才能得到抽象的東西。對于數(shù)學(xué)的抽象而言，我們應(yīng)重點關(guān)注數(shù)量關(guān)系的抽象、空間形式的抽象、論證形式的抽象和模型模式的抽象。

數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象

數(shù)量的本質(zhì)是多與少，數(shù)來源于對數(shù)量本質(zhì)的抽象，而其過程可以分為計數(shù)和符號兩個抽象過程。數(shù)量關(guān)系的抽象一）加法的抽象過程（二）乘法、減法和除法法則的抽象過程（三）從算術(shù)到代數(shù)的抽象過程，抽象到符號體系后的結(jié)果具有一般性，因而也就具有了廣泛的適用性。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的抽象

在完成數(shù)量和數(shù)量運算法則的抽象歷史過程中，實數(shù)理論經(jīng)過了漫長的完善過程。與此同時又抽象出負數(shù)、四元數(shù)、八元數(shù)以及其運算法則等等，最終發(fā)展到數(shù)量在整個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)意義上的抽象。

（一）代數(shù)結(jié)構(gòu)一般是指一個集合的代數(shù)運演體系，即一個集合上規(guī)定了一種運算，并且能夠使兩個元素按照運算得到另外一個元素，這種結(jié)構(gòu)就稱之為代數(shù)結(jié)構(gòu)。二）序結(jié)構(gòu)集合中的某些元素之間有了先后的排序關(guān)系，就稱為有了序結(jié)構(gòu)。

（三）拓撲結(jié)構(gòu)鄰域、連續(xù)、極限、連通性、維數(shù)等構(gòu)成一般拓撲學(xué)的研究對象。拓撲結(jié)構(gòu)用來表述連續(xù)性、分離性、附近、邊界等這些空間位置。拓撲結(jié)構(gòu)是在一個集合A中分出一族子集作鄰域，用鄰域去研究極限過程。這種結(jié)構(gòu)可用鄰域公理、開集公理歐幾里得的《原本》吸收了當時古希臘數(shù)學(xué)的許多成果，它是當時數(shù)學(xué)成果的系統(tǒng)整理�！对�本》獨特的演繹結(jié)構(gòu)表現(xiàn)，被后世稱之為公理化方法或公理化模式的典范，這無疑是歐幾里得的巨大貢獻。歐幾里得的《原本》奠定了幾何學(xué)的公理體系的基本結(jié)構(gòu)，其影響是深遠的，給后來的數(shù)學(xué)甚至物理學(xué)等自然科學(xué)的確立做出了楷模。從公理化方法的角度看，《原本》還是一種實質(zhì)公理學(xué)的代表作2.非歐幾何

對《原本》及公理化方法的研究，尤其是對第五公設(shè)的研究，引起了數(shù)學(xué)家們極大的興趣�？梢哉f，在歐幾里得之后的兩千多年時間里，大數(shù)學(xué)家們幾乎都在這個問題上花費了自己不少的心血。在尋求對于這個公設(shè)更合理的解釋的過程中，往往需要更加一般的抽象，這便是數(shù)學(xué)的第二步抽象。而這第二步抽象使人們恍然大悟，可以人為地建立起不同的幾何體系，而這些幾何體系又都是合理的、現(xiàn)實的。1．歐幾里得幾何：過直線外一點有且只有一條平行線。2．羅巴切夫斯基幾何（雙曲幾何）：過直線外一點有無數(shù)多條平行線。3．黎曼幾何（橢圓幾何）：過直線外一點不存在平行線。非歐幾何的的影響。

第一，在非歐幾何建立的過程中，由公設(shè)的不可證明使人們認識到，作為公理體系中的獨立命題，人們可以采取一個與之相反的公理并發(fā)展成為另一個新的公理體系。這種方法是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個重要的方法。

第二，非歐幾何的建立，為公理化方法的推廣和建立新的理論提供了依據(jù)，大大提高了公理化方法在數(shù)學(xué)中的地位。公理化方法受到了人們的高度重視，許多數(shù)學(xué)家開始致力于公理化方法的研究。第三，非歐幾何已經(jīng)不像《原本》那樣依賴感性直觀的實質(zhì)性公理系統(tǒng)。非歐幾何的建立標志著從實質(zhì)性公理化方法向形式化公理化方法的過渡。第四，非歐幾何的成功，使人們對數(shù)學(xué)的認識從直觀空間上升到抽象空間，人們開始改變那種“一個公理系統(tǒng)只有一個論域”的觀念。非歐幾何的成功也開始使人們對一個公理系統(tǒng)有不同的解釋，實際上人們已經(jīng)從公理化方法的過程中看到，數(shù)學(xué)中存在著一個不與任何具體直觀內(nèi)容相結(jié)合的形式化的公理系統(tǒng)。圖形抽象的升華（一）幾何的公理化

無須賦予不定義概念以明確涵義，公理雖然是由經(jīng)驗提升出來的，但它必須脫離直觀而看作是任意的，公理在表述事物或?qū)ο箨P(guān)系時，可以具有非具體意義的任意性

通常我們把《幾何基礎(chǔ)》稱為形式化公理體系，把構(gòu)成《幾何基礎(chǔ)》的公理化方法，稱為形式化公理方法。

公理體系的合理性和公理化方法提出三個基本的要求：(1)協(xié)調(diào)性要求。(2)獨立性要求。（3）完備性要求。（二）幾何的統(tǒng)一化F克萊因是近代數(shù)學(xué)史中非常有名的數(shù)學(xué)家，他的重要貢獻之一，就是透過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的方法為眾多幾何學(xué)分支找到一種內(nèi)在的結(jié)構(gòu)規(guī)律。表面互不相干的幾何學(xué)被F克萊因用變換群聯(lián)系到一起，同時變換群的任何一個分類也對應(yīng)幾何學(xué)的一種分類。F克萊因用群的結(jié)構(gòu)與理論統(tǒng)一幾何學(xué)的方法，是抽象結(jié)構(gòu)方法的重要成就，是數(shù)學(xué)第二次抽象威力的具體體現(xiàn)。。模型模式的抽象

粗略地說，數(shù)學(xué)模型是針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量關(guān)系，采用形式化數(shù)學(xué)實上，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育是一種公民教育，它給學(xué)生帶去的絕不僅僅是會解更多

的數(shù)學(xué)題了。這些學(xué)生的未來會遇到不同的挑戰(zhàn)一些人需要學(xué)習(xí)或研究更多的數(shù)學(xué)，對他們而言，是否能夠“思考數(shù)學(xué)”非常重要；另一些人（他們是受教育的學(xué)生中的絕大多數(shù)）就業(yè)以后基本上不需要解純粹的數(shù)學(xué)題（除了參加數(shù)學(xué)考試），對他們而言，“思考數(shù)學(xué)”是一種需要，但更多的或許是能夠進行“數(shù)學(xué)的思考”，即在面臨各種問題情境（特別是非數(shù)學(xué)問題）時，能夠從數(shù)學(xué)的角度去思考問題、能夠發(fā)現(xiàn)其中所存在的數(shù)學(xué)現(xiàn)象、并將之抽象為數(shù)學(xué)問題，運用數(shù)學(xué)的知識與方法去解決問題。對所有的未來公民來說，抽象思維和形象思維水平，歸納推理與演繹推理能力等都是不可缺少的。這個教學(xué)目標的實現(xiàn)也不能僅僅通過研究“純粹抽象”的數(shù)學(xué)現(xiàn)象來進行，而應(yīng)當在研究多種現(xiàn)象與問題（數(shù)學(xué)的、非數(shù)學(xué)的）的過程中逐步完成。具體說來，就是讓學(xué)生經(jīng)歷運用數(shù)學(xué)符號和圖形描述現(xiàn)實世界的過程，建立初步的數(shù)感和符號感，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象思語言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)建構(gòu)。所謂數(shù)學(xué)建構(gòu)，是指使用數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)語言等表述出來的被研究對象的純關(guān)系結(jié)構(gòu)�！凹儭笔侵敢褤P棄了一切與關(guān)系無本質(zhì)聯(lián)系的屬性，只保留與研究目的有關(guān)的本質(zhì)特征。具體地說，數(shù)學(xué)模型有廣義的解釋和狹義的解釋。

（一）廣義解釋數(shù)學(xué)模型是從現(xiàn)實世界中抽象出來的，是客觀事物的某些屬性的一種近似反映。（二）狹義解釋數(shù)學(xué)模型是將具體屬性抽象出來構(gòu)成一種特定的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，只有那些反映特定問題或特定事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)才叫數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型的抽象過程

具體的抽象過程我們可以總結(jié)為如下幾個關(guān)鍵步驟：

首先，分析問題的各種關(guān)系，全面地掌握了問題中各種因素之間的聯(lián)系。其次，確定了各關(guān)系之間的本質(zhì)屬性。第三，建立一筆畫的數(shù)學(xué)模型，第四，把數(shù)學(xué)模型返回到實際問題之中。檢驗正確，那么這個抽象的數(shù)學(xué)模型就可以廣泛地加以應(yīng)用。中小學(xué)數(shù)學(xué)常見數(shù)學(xué)模型的抽象(一)經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型的抽象

在人類的生產(chǎn)生活中，有許多實際問題可以用初等數(shù)學(xué)來解決，對這些具體問題的抽象處理就形成了許多有關(guān)這些方面的數(shù)學(xué)模型。這些問題主要表現(xiàn)在工程進度、人口增長、收入變等方面。這些問題運用的數(shù)學(xué)工具大多是代數(shù)方程、指數(shù)函數(shù)以及其它相關(guān)的函數(shù)概念。這一類的數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實生活中隨處可見，中小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以這些為例深入淺出地抽象、構(gòu)造及運用這些模型。（二）運動數(shù)學(xué)模型的抽象

一些事物在運動中表現(xiàn)出速度、加速度、時間、距離之間的關(guān)系，這類問題構(gòu)成了帶有運動特征的數(shù)學(xué)模型。

（三）邏輯程序數(shù)學(xué)模型的抽象

邏輯推理形式一直是數(shù)學(xué)運用的最基本的思想方法，從數(shù)學(xué)模型的抽象角度把它看作是一種數(shù)學(xué)方法和結(jié)構(gòu)模型還是近代才引起人們重視的。對于初等數(shù)學(xué)教育而言，我們以前的數(shù)學(xué)教育只是在學(xué)習(xí)幾何知識時才開始強化邏輯推理方面的教育，這種數(shù)學(xué)教育也由于對定義、定理的推導(dǎo)而忽視對邏輯程序自身的注意。近年來，由于計算機的迅速普及使得邏輯程序方面（或算法）的教育就顯得越來越重要。結(jié)合初中教學(xué)實際談一談你對數(shù)學(xué)抽象的理解。

數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)應(yīng)當直接指向?qū)W生在與數(shù)學(xué)相關(guān)問題上的一般思維水平方面的發(fā)展。事維。

教學(xué)的主要目的在于使學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)的語言去刻畫現(xiàn)實世界，去發(fā)現(xiàn)隱藏在具體事物背后的一般性規(guī)律。相對于不同學(xué)段的學(xué)生而言著重點不一樣：

對第一學(xué)段的學(xué)生來說，能夠用數(shù)和簡單的圖表刻畫一些現(xiàn)實生活中的簡單現(xiàn)象，就是目標；對第二學(xué)段的學(xué)生而言，應(yīng)當包括既能夠用數(shù)和簡單的圖表刻畫一些現(xiàn)實生活中的現(xiàn)象，還應(yīng)當包含對某些數(shù)字信息做出合理的解釋；對于第三學(xué)段的學(xué)生來說，除去在較復(fù)雜的層面上能夠完成前面的任務(wù)，重點應(yīng)當是能夠用各種數(shù)學(xué)關(guān)系（方程、不等式、函數(shù)等）去刻畫具體問題，建立合適的數(shù)學(xué)模型。第七章數(shù)學(xué)推理

思維模式下對推理的理解哲學(xué)對推理的理解為：推理是從一個或幾個判斷推出一個新的判斷的思維形式。常見的推理有歸納推理，演繹推理和類比推理。

推理模式下對推理的理解對于數(shù)學(xué)而言，本質(zhì)上有兩種推理模式，一種是演繹推理，一種是歸納推理。

基本推理是指由一個命題或者幾個命題出發(fā)，得到另一個命題的思維路徑，其中所謂的命題是指一種可以肯定或者否定的語句。

推理的基礎(chǔ)一個數(shù)學(xué)論證過程是由一系列基本推理構(gòu)成的，討論基本推理是分析數(shù)學(xué)論證過程的基礎(chǔ)�；�本推理中所涉及的基本概念包括語言、命題和定義，其中，語言是推理的工具，命題是推理的對象，定義是命題的基礎(chǔ)。

推理的工具：語言語句是指：表達一個完整思想的語言單位。如果不涉及論證過程，數(shù)學(xué)上的語句通常以命題的形式出現(xiàn)。

推理的對象：命題命題是指：或者可以通過分析，或者可以通過經(jīng)驗證實的語句，也就是說，命題是一種可以進行是非判斷的語句。數(shù)學(xué)命題的核心是敘述研究對象之間的關(guān)系，即把關(guān)系概念應(yīng)用于對象概念。數(shù)學(xué)推理過程中的命題必須簡捷準確，不能引發(fā)歧義。

命題的基礎(chǔ)：定義準確的定義對于命題的判斷是非常重要的，在這個意義上，定義是命題的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)定義大概分為兩種：一種是名義定義，一種是實質(zhì)定義。所謂名義定義是對某些事物標明符號，或者是對某類事物指明稱謂。所謂實質(zhì)定義是指揭示所研究問題對象內(nèi)涵的邏輯方法，通過對許多所要研究問題的對象進行具體分析，歸納出共性、抽象出定義。定義與命題之間的關(guān)系：定義的功能是為了明確討論問題的對象，命題的功能是為了表

述所討論問題的實質(zhì)，論證的功能是分析條件和結(jié)果之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)推理過程中需要把握三個基本原則，即同一律、矛盾律和排中律。演繹推理的一般含義

我們初步定義數(shù)學(xué)中的演繹推理為：按照某些規(guī)定了的法則所進行的、前提與結(jié)論之間有必然聯(lián)系的推理。又因為數(shù)學(xué)的結(jié)論大體上可以分為命題結(jié)論和運算結(jié)論，那么針對數(shù)學(xué)的演繹推理而言，大體就可以分成兩個部分：命題推理和運算推理。

一演繹推理在數(shù)學(xué)中有多種形式(如聯(lián)合推理、選言推理、假言推理等)，但數(shù)學(xué)中最常用的是直言三段論式的演繹推理。數(shù)學(xué)中常稱之為“三段論”式的演繹推理。直言三段論具有傳遞關(guān)系的推理

三段論是一個包括大前提、小前提和結(jié)論三個部分的論證形式，這是一個基本推理的模式。其基本模式為：

對前提的確認，通過邏輯推理帶來對結(jié)論的確認，每一步推理都是可靠的、無可置疑的，因而這種邏輯推理確認了邏輯上可靠的數(shù)學(xué)知識，同時也建立了嚴格的數(shù)學(xué)體系。實際上，這種數(shù)學(xué)的邏輯構(gòu)造只是數(shù)學(xué)建構(gòu)后的表現(xiàn)形式，而在形成這種演繹形式之前，數(shù)學(xué)的理論必有一個探索發(fā)現(xiàn)的過程。這個探索發(fā)現(xiàn)的過程作為一種思維方式，作為一種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法，是非邏輯演繹的，是一種合乎情理的、似真的推理過程，即合情推理。作為數(shù)學(xué)中的創(chuàng)造性思維，它面臨的是一個前人沒有論證過的問題。因此按照合乎情理的方向，按照自己認為可能是正確的方向去進行推理，探索可能得到的結(jié)論，探索可能運用的方法，是合情推理發(fā)揮作用的地方。對于一個想把數(shù)學(xué)作為終身事業(yè)的學(xué)生而言，它必須學(xué)會邏輯論證推理。因為這是他未來的工作，也是數(shù)學(xué)科學(xué)思維發(fā)展中的一個特征。數(shù)學(xué)家為了取得成就，也必須學(xué)會合情推理，因為這是他創(chuàng)造性工作賴以進行的那種推理。

大前提：一切M都是(或不是)P，小前提：S是M，

結(jié)論：S是(或不是)P。

數(shù)學(xué)的推理與證明過程，就是一連串的三段論式推理的有序組合。

直言三段論的本質(zhì)是命題的可傳遞性，或者說，命題所對應(yīng)的集合之間可以形成包含關(guān)系。

這樣就可以得到結(jié)論：對于數(shù)學(xué)的推理而言，全稱肯定、全稱否定、特稱否定這三種形式的直言三段論是有效的，也是經(jīng)常被使用的。

用集合的語言對直言三段論表述如下：直言三段論表述的是集合之間的包含關(guān)系，這種關(guān)系具有傳遞性。其中關(guān)于“包含關(guān)系具有傳遞性”這個命題，應(yīng)當是人們在長期的日常生活和生產(chǎn)實踐中總結(jié)出來的公理，人們從遠古的時候就會知道：一個人屬于家庭，家庭屬于族群，那么，這個人屬于族群。這個命題的正確性是不需要證明的，并且，“具有傳遞性”這個命題應(yīng)當作為人們可能進行邏輯推理的基礎(chǔ)。

歸納推理是由已知為真的命題做前提，引出可能真實命題做結(jié)論的推理。

歸納推理的前提與結(jié)論之間具有必要條件關(guān)系。首先，歸納推理的前提必須是真實的、可靠的，否則，歸納也就失去了意義。前提的真實性對于歸納推理來說是必要的。人們根據(jù)考察對象涉及的是某類事物的一部分還是全體，又把具有遞推關(guān)系的歸納推理分為不完全歸納推理和完全歸納推理。

（一）不完全歸納推理不完全歸納推理是根據(jù)某類事物的部分對象具有的(或不具有)某種屬性，推出該事物的全體具有(或不具有)這種屬性的思維方式。（二）完全歸納推理

完全歸納推理是從某類事物每個對象都具有(或不具有)某種屬性，推出這類事物的全體具有(或不具有)某種屬性的思維方法。由于這類方法考察了某類事物的全部對象，所以得出的結(jié)論必定是正確。1．窮舉法窮舉法是數(shù)學(xué)中常用的一種完全歸納法。它是對具有有限個對象的某類事物進行研究時，把所有的對象的屬性分別討論，從肯定它們都具有某一屬性得到這類事物都具有這一屬性(全稱判斷)的歸納推理。一個比窮舉法更一般的方法被稱為簡單枚舉法。2．類分法在考察中需要先對研究的對象按前提中可能存在的情況進行分類，再按類分別證明。合情推理

結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實際，談?wù)労锨橥评碓跀?shù)學(xué)上的意義

數(shù)學(xué)是一個邏輯推理構(gòu)成的體系，在思維進程的意義上它是從一般到特殊的推理論證。作為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，如果我們要求學(xué)生運用自己掌握的數(shù)學(xué)知識去解決問題，那么作為學(xué)生的個體經(jīng)驗，他必然有一個自我形式的合情推理過程，即按照自己認為可能合乎情理、可能正確的方向來試一下，嘗試一下自己的方法、想法是否正確。從這種意義上來說，對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者，對于數(shù)學(xué)的解題過程而言，合情推理就是一個必須學(xué)會運用的思維方式。

合情推理實際上強調(diào)了一種思維的主動性、情感性和試錯性。所謂主動性是說，合情推理不受數(shù)學(xué)自身嚴格演繹推理的束縛，可以向自己認為合乎情理的方向主動思考，盡管這種思考可能與數(shù)學(xué)本身的要求有差距。所謂情感性是說，合情推理可以按照自己認為似真的方向進行探索。這實際上只是一種探索性的思考，盡管這種思考可能與數(shù)學(xué)的真正演繹證明有一些差異。所謂試錯性是說，合情推理是一個學(xué)習(xí)、論證的試錯過程，正是通過不斷的主觀積極的試錯才使問題得到最終的解決。數(shù)學(xué)中合情推理的方式是各式各樣的，在這些合情推理中最常用的是類比推理和歸納推理兩種。

類比推理是指根據(jù)兩個不同對象的某些方面相同或相似，推導(dǎo)出或猜出它們在其它方面可能具有相同或相似的思維形式。它是思維進程中由特殊到特殊的推理方式。波利亞在論及類比合情推理的作用時，認為它可以在三個方面發(fā)揮作用：(1)可以提出新問題和獲得新發(fā)現(xiàn)；(2)可以在求解問題中得到應(yīng)用；(3)可以用來對猜測進行檢驗。應(yīng)當指出的是，類比推理只是一種合情推理，它不能提供嚴格準確的數(shù)學(xué)邏輯證明。它獲得的結(jié)論的正確與否，還必須經(jīng)過嚴格的證明。因此類比推理是一種創(chuàng)造性、啟發(fā)性較強而可靠性較弱的方法。合情推理中的歸納

合情推理中所說的歸納是歸納推理思維方式中的不完全歸納推理，又稱之為經(jīng)驗歸納法或稱之為實驗歸納法。這是一種從個別到一般，從經(jīng)驗事實或?qū)嶒炇聦嵉嚼碚摰囊环N尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的方法。

1．用經(jīng)驗歸納法發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論對于數(shù)學(xué)問題而言，運用經(jīng)驗歸納法可以由一個特殊的事實來猜測可能存在的結(jié)論。

2．用經(jīng)驗歸納發(fā)現(xiàn)解決數(shù)學(xué)問題的路徑在經(jīng)驗歸納的合情推理中，可以由一個特殊處理問題的數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)方法或解題思路中歸納推導(dǎo)出對一般問題的處理公式、方法或思路。

合情推理中，類比推理與歸納推理差異是明顯的。歸納推理是從特殊到一般的推理，是一種縱向思維；類比推理則是借助兩個系統(tǒng)某些部分的相似性或一致性進行的橫向思維。在實際問題中，兩種推理形式互相促進，成為合情推理中相互配合、相互利用的重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法。而作為合情推理，作出創(chuàng)造性思維有時需要不同思維方式的相互配合。

數(shù)學(xué)猜想介于歸納與演繹之間

數(shù)學(xué)猜想，是指人們根據(jù)已知的某些數(shù)學(xué)知識和某些事實，對數(shù)學(xué)的某些理論、方法等提出一些猜測性的推斷。1．由歸納提出數(shù)學(xué)猜想

由某類數(shù)學(xué)對象中的個別對象具有的屬性，進而猜想該類對象全體都具有這種屬性，這是不完全歸納的基本思維方法。利用不完全歸納的思維方法提出數(shù)學(xué)猜想是構(gòu)成創(chuàng)造性思維的一個重要方面。2．由類比產(chǎn)生的數(shù)學(xué)猜想

培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力不僅要注意層次性，而且要關(guān)注學(xué)生的差異。要使每一個學(xué)生都能體會證明的必要性，從而使學(xué)習(xí)演繹推理成為學(xué)生的自覺要求，克服“為了證明而證明”的盲目性；又要注意推理論證“量”的控制，以及要求的有序、適度。第八章數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗基本活動經(jīng)驗是近年來在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》的修訂過程中提出的新觀點、新概念，目前已經(jīng)變成支撐我國初中數(shù)學(xué)課程的“四基”之一，即基礎(chǔ)知識、基本技能、基本活動經(jīng)驗和基本思想。

“經(jīng)驗”的基本含義在通常意義下，所謂經(jīng)驗，就是按照事實原樣而感知到的內(nèi)容�！度�日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》（修訂稿）指出，“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的目標在于，獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)類比是產(chǎn)生數(shù)學(xué)猜想的一個重要思維方法，許多數(shù)學(xué)家通過類比獲得了一種靈感、一種直覺，進而提出數(shù)學(xué)猜想。

但是，我們要清楚的知道，一個數(shù)學(xué)猜想的證明歷程并不是容易的事情。演繹推理與歸納推理的關(guān)系演繹推理的定義：按照某些規(guī)定了的法則所進行的、前提與結(jié)論之間有必然聯(lián)系的推理。歸納推理的定義：按照某些法則所進行的、前提與結(jié)論之間有或然聯(lián)系的推理。比較可以看到，歸納推理比演繹推理要靈活得多，這是因為：在推理過程中，“法則”是必要的，但不需要事先規(guī)定；前提與結(jié)果之間的“聯(lián)系”是必要的，但這種聯(lián)系是或然的而不是必然的。正因為歸納推理具有這種靈活性，才可能從事物（事情和實物）的現(xiàn)實出發(fā)，對事物的過去或者未來進行推斷。雖然通過推斷得到的結(jié)論不一定是必然的，但卻是實用的，因為在日常生活和生產(chǎn)實踐中，人們對事情決策所遵循的原則并不要求必然成立，只是希望在大多數(shù)情況下成立。對于數(shù)學(xué)而言，如果說演繹推理是為了證明的推理，那么歸納推理就是為了推斷的推理，把這兩種推理模式結(jié)合起來，就得到了數(shù)學(xué)的推理的全部過程：從條件出發(fā)，借助歸納推理“推斷”數(shù)學(xué)結(jié)果的可能性，借助演繹推理“驗證”數(shù)學(xué)結(jié)果的必然性；或者進行一個相反的推理過程：從結(jié)果出發(fā)，借助歸納推理“推斷”數(shù)學(xué)條件的可能性，借助演繹推理“驗證”數(shù)學(xué)條件的必要性。談?wù)勀銓��?shù)學(xué)推理教學(xué)的理解。

長期以來數(shù)學(xué)教學(xué)注重采用“形式化”的方式，發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力，忽視了合情（歸納）推理能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)不僅需要演繹推理，同樣、甚至有時更需要合情（歸納）推理�？茖W(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)往往發(fā)端于對事物的觀察、比較、歸納、類比……，即通過合情（歸納）推理提出猜想，然后再通過演繹推理證明猜想正確或錯誤。演繹推理和合情（歸納）推理是既不相同又相輔相成的兩種推理。

《標準》對推理能力的主要表現(xiàn)作了如下的闡述：“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例”。這就是說，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)結(jié)論應(yīng)當經(jīng)歷合情（歸納）推理演繹推理的過程。合情（歸納）推理的實質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)”，因而關(guān)注歸納推理能力的培養(yǎng)有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神。當然，由合情（歸納）推理得到的猜想常常需要證實，這就要通過演繹推理給出證明或舉出反例，《標準》中對一些公式、法則、定理的證明，也規(guī)定了相應(yīng)的論證的要求。推理能力的培養(yǎng)，必須充分考慮學(xué)生的身心特點和認知水平，注意層次性。即使如此，《標準》在“學(xué)段目標”的“數(shù)學(xué)思考”部分的表述中，三個學(xué)段仍然有著一定的層次。

驗�！边@里的基本活動經(jīng)驗，實際上是指“學(xué)生親自或間接經(jīng)歷了活動過程而獲得的經(jīng)驗”。

基本活動經(jīng)驗的含義

是指，圍繞特定的數(shù)學(xué)課程教學(xué)目標，學(xué)生經(jīng)歷了與數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)的數(shù)學(xué)活動之后，所留下的、有關(guān)數(shù)學(xué)活動的直接感受、體驗和個人感悟。

基本活動經(jīng)驗是經(jīng)驗的一種，由于經(jīng)驗的層次、水平所限，個體之間的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗有較大差異，即使在同一個活動中，不同的個體所獲得的基本活動經(jīng)驗也會有所不同，這往往取決于個體對活動的感知水平與反思能力。學(xué)生的基本活動經(jīng)驗包含三類基本內(nèi)容：1．一種體驗性的內(nèi)容

這種經(jīng)驗成分更多地表現(xiàn)為，學(xué)生在經(jīng)歷了活動之后在自己的情感、意志世界所形成的有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科活動的、穩(wěn)定的心理傾向。2．一種方法性內(nèi)容

即學(xué)生獲得了這種活動經(jīng)驗之后，積累了開展類似活動的一種或幾種基本的方法。這種策略既有方法學(xué)知識的意味，更有學(xué)生對這些策略、方法的自我詮釋、自我解讀。它屬于典型的個體知識，而不是作為嚴格的數(shù)學(xué)學(xué)科知識出現(xiàn)的一般知識。

3．一種模式性、策略性的內(nèi)容這種內(nèi)容與第二類類似，都是在學(xué)生獲得了這種活動的初步經(jīng)驗之后，經(jīng)過個人反省而提升出來的、開展類似活動的一種或幾種基本模式、基本策略。它仍屬于典型的個體知識。

從哲學(xué)上講，在數(shù)學(xué)學(xué)科教、學(xué)中，讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本活動經(jīng)驗，本質(zhì)上是讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)科直觀，這是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)發(fā)展的源泉。無論是作為普適性方法而出現(xiàn)的經(jīng)驗，還是作為模式性、策略性內(nèi)容出現(xiàn)的經(jīng)驗，都是建立在直接的、感性的經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，經(jīng)過個體的自我反�。ǚ此迹┒�形成的，它們帶有明顯的“再抽象”、再加工痕跡，都是基于個體對活動過程的再現(xiàn)所致。因而，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須誘發(fā)學(xué)生主動參與，積極思考，教師的使命和責任在于幫助學(xué)生建構(gòu)其數(shù)學(xué)理解�；�本活動經(jīng)驗與相關(guān)概念的關(guān)系

基本活動經(jīng)驗與數(shù)學(xué)活動、基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想的關(guān)系

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，基本活動經(jīng)驗是對有關(guān)數(shù)學(xué)活動過程的個體反映，是個體針對相關(guān)數(shù)學(xué)活動過程的直接感知及其之上的自我反省的結(jié)果。數(shù)學(xué)課程教學(xué)不僅要教給學(xué)生知識，更要幫助學(xué)生形成智慧。知識的主要載體是書本，智慧則形成于經(jīng)驗的形成和積累的過程之中，形成于經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動之中，諸如教師為學(xué)生創(chuàng)造的思考的過程、探究的過程、抽象的過程、預(yù)測的過程、推理的過程、反思的過程等。智慧形成于學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的各類知識，發(fā)現(xiàn)問題、提出數(shù)學(xué)問題并加以分析和解決問題的各種教育教學(xué)實踐活動之中。因而，數(shù)學(xué)的基本活動經(jīng)驗直接來源于數(shù)學(xué)活動之中。在經(jīng)歷同一個數(shù)學(xué)活動過程之中，不同的人所獲得的基本活動經(jīng)驗往往有所不同，往往存在著個體差異。這些差異，一方面來自于個體的感覺、知覺的水平差異，另一方面，這些差異與個體針對感覺、知覺到的內(nèi)容的自我反省的水平和深廣度密切相關(guān)。與其同時，這些差異也與個體參與活動的參與程度有著必然的關(guān)聯(lián)�；�本活動經(jīng)驗與活動過程的關(guān)系

基本活動經(jīng)驗是對有關(guān)數(shù)學(xué)活動過程的個體反映，是個體針對相關(guān)數(shù)學(xué)活動過程的直接感知及其之上的自我反省的結(jié)果。經(jīng)歷、體驗、經(jīng)驗的區(qū)別和聯(lián)系

們帶著自己原有的知識背景、活動經(jīng)驗和理解走進學(xué)習(xí)活動，并通過自己的自主與主動的活動，包括獨立思考，與他人交流和反思等，去建構(gòu)對數(shù)學(xué)的理解。因此，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程可以說是一種再創(chuàng)造過程，而且是真正意義上的再創(chuàng)造（指主觀意義上，非客觀意義上）：學(xué)生從事對數(shù)學(xué)知識的提煉和組織---通過對低層次活動本身的分析，把低層次的知識變?yōu)楦咭患墝哟蔚某ＷR，再經(jīng)過提煉和組織而形成更高一級的知識，如此循環(huán)往復(fù)；再把數(shù)學(xué)放到現(xiàn)實中去加以使用。在這活動過程之中，獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的分析與理解，和對獲得過程以及活動方式的反思（元認知），至關(guān)重要。

（五）有些經(jīng)驗直接派生出智慧、方法、思維模式，特別是，積累學(xué)生全面的學(xué)科活動經(jīng)驗，有助于全面提高學(xué)生的思維水平，更好地培養(yǎng)創(chuàng)新性人才�；�本活動經(jīng)驗的成分與類別

基本活動經(jīng)驗與經(jīng)歷、體驗密切相關(guān)，而彼此又有一些區(qū)別和關(guān)聯(lián)。

人的經(jīng)歷可以分兩種，即直接經(jīng)歷與和間接經(jīng)歷，其中，前者是主體親身見過、做過或遭遇過某事件的過程而獲得的經(jīng)歷，后者是主體從他人處聽說或從其他媒介得到他人的經(jīng)歷。

而體驗是一種感受經(jīng)歷的過程，是通過主體親身體驗事件發(fā)生的過程，從而獲得經(jīng)歷，讓主體在實踐中實現(xiàn)自我領(lǐng)域的充實，感受經(jīng)歷的產(chǎn)生，領(lǐng)悟經(jīng)歷產(chǎn)生的意義，并在反思中進行情感的升華，因而，體驗必須從直接經(jīng)歷中得到。

體驗具有很強的、個體的情感色彩，停留在經(jīng)歷本身的感性的層面。

經(jīng)歷是為了進行體驗，而體驗不是目的，是為了獲得直接的經(jīng)驗和感受，增強對知識、技能的理解，實現(xiàn)主體在情感、態(tài)度、價值觀上的升華和發(fā)展，同時，能夠?qū)χ�識技能的理解和認識予以強化。然而，并不是所有的體驗都會抽象提升為經(jīng)驗，若沒有對體驗抽象提取，也可能只是將情感升華為信念。主體在情感升華過程中，會和其對事件的原有興趣進行對比，如果情感升華與原有興趣一致，那么，其信念將會被強化，反之，則會被弱化。也就是說，體驗其實也不是萬能的�；�本活動經(jīng)驗的教育價值與基本功能解基本活動經(jīng)驗的基本功能

（一）有些經(jīng)驗的獲得可以強化對有關(guān)知識、技能的理解，個體的基本活動經(jīng)驗是構(gòu)建個人理解、形成理解性掌握不可缺少的重要素材一方面，基本活動經(jīng)驗的獲得，時�？梢源龠M、強化有關(guān)知識的理解和掌握。另一方面，基本活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)活動的派生物，對于那些技能性的學(xué)習(xí)內(nèi)容而言，技能性的操作活動本身就可以積淀一些經(jīng)驗，而這些經(jīng)驗往往與相應(yīng)的技能密不可分。

（二）基本活動經(jīng)驗可以強化動機、情感、態(tài)度、價值觀，而有些學(xué)科的基本活動經(jīng)驗有助于凈化心靈、完善人格基本活動經(jīng)驗的課程教學(xué)價值

（一）獲得必要的學(xué)科活動經(jīng)驗和與學(xué)科學(xué)習(xí)有關(guān)的生活經(jīng)驗，是進行科學(xué)建構(gòu)、實現(xiàn)學(xué)生在學(xué)科上的全面發(fā)展的基本前提。

（二）一定數(shù)量的基本活動經(jīng)驗，是實現(xiàn)過程與方法目標的基本載體（三）獲得基本活動經(jīng)驗，是“實踐與綜合”領(lǐng)域的基本目標之一

（四）獲得基本活動經(jīng)驗，是情感態(tài)度價值觀目標實現(xiàn)的必要前提，也有助于知識技能目標的實現(xiàn)

從本質(zhì)上來說，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個自主構(gòu)建自己對數(shù)學(xué)知識的理解的過程：他我們大體上可以把經(jīng)驗分為感性經(jīng)驗和邏輯經(jīng)驗。感性經(jīng)驗也依賴思考，但更多的是依賴觀察；邏輯經(jīng)驗也依賴觀察，但更多的是依賴思考。這是關(guān)于活動經(jīng)驗的最基本的分類。

基本活動經(jīng)驗的“基本”的含義及其具體表現(xiàn)

這里的“基本”是相對于具體的學(xué)科而言的，一般而言，每個學(xué)科的基本活動經(jīng)驗都包括基本的操作經(jīng)驗、本學(xué)科特有的思維活動經(jīng)驗、綜合運用本學(xué)科內(nèi)容進行問題解決的經(jīng)驗、思考的經(jīng)驗等類型。

在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中，數(shù)學(xué)的基本活動經(jīng)驗具體表現(xiàn)在，基本的幾何操作經(jīng)驗，基本的數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的經(jīng)驗，以及思考的經(jīng)驗等若干方面。

基本活動經(jīng)驗的主要類別

數(shù)學(xué)的基本活動經(jīng)驗，按照數(shù)學(xué)內(nèi)部的分類標準，可以劃分基本的操作經(jīng)驗、數(shù)學(xué)特有的思維活動經(jīng)驗、綜合運用本數(shù)學(xué)內(nèi)容進行問題解決的經(jīng)驗、思考的經(jīng)驗等類型，按照思維科學(xué)的分類標準，可以區(qū)分為行為操作的經(jīng)驗、思考經(jīng)驗、探索的經(jīng)驗和復(fù)合經(jīng)驗。

基本的操作經(jīng)驗是數(shù)學(xué)學(xué)科所特有的活動經(jīng)驗的重要組成部分，其核心內(nèi)容在于，體現(xiàn)本學(xué)科基本思維特征，全面反映數(shù)學(xué)學(xué)科的思維方式和學(xué)科屬性。

數(shù)學(xué)學(xué)科特有的思維活動經(jīng)驗。每個學(xué)科都有其特有的思維活動，這些思維活動集中反映了本學(xué)科的學(xué)科屬性，體現(xiàn)本學(xué)科研究的側(cè)重點和研究手法。使學(xué)生獲得更為豐富的學(xué)科思維活動經(jīng)驗，是實現(xiàn)學(xué)生在本學(xué)科上的全面、可持續(xù)發(fā)展的關(guān)鍵。在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中，最具代表性的數(shù)學(xué)學(xué)科思維活動經(jīng)驗，主要包括代數(shù)歸納的經(jīng)驗，數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計推斷的經(jīng)驗，以及幾何推理的經(jīng)驗。特別地，在當前的初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，通常有三種推理方式，典型的不完全歸納推理，其結(jié)論仍是“猜想”，這種推理常常用來佐證、猜想；借助圖形直觀的操作（圖形運動），有時可以用來進行不嚴格意義下的證明，在某些條件下也可以用來進行嚴格的證明，這種推理形式常常用來說理；典型的演繹證明

數(shù)學(xué)的基本活動經(jīng)驗的復(fù)合性具體表現(xiàn)為：

（1）數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，專指對具體、形象的事物進行具體操作所獲得的經(jīng)驗，以區(qū)別于廣義的數(shù)學(xué)思維所獲得的經(jīng)驗。由于數(shù)學(xué)的研究對象是思想材料，可以完全在抽象的層面上進行。抽象的數(shù)學(xué)思維的成果，可以為更抽象的思維提供經(jīng)驗，例如，自然數(shù)為學(xué)習(xí)分數(shù)提供經(jīng)驗，矩形為平行四邊形提供經(jīng)驗。但是，這類數(shù)學(xué)活動是純粹的數(shù)學(xué)思

維活動，屬于廣義的數(shù)學(xué)活動，不是我們所要討論的與具體事物相關(guān)的“基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”。

（2）數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，是人們的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”最貼近現(xiàn)實的部分。人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，逐步形成了個人的數(shù)學(xué)現(xiàn)實。數(shù)學(xué)現(xiàn)實象一座金字塔，從與生活現(xiàn)實密切相關(guān)的底層開始，一步步抽象，直到上層的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，可以和具體的生活現(xiàn)實找不到原型，例如，哥德巴赫猜想，已經(jīng)沒有直接的生活原型了。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，要把握從生活現(xiàn)實上升為數(shù)學(xué)現(xiàn)實的完整認識過程，即從感性認識上升為理性認識的全過程，這是抽象數(shù)學(xué)活動的前提和基礎(chǔ)。

（3）數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗來源于日常生活經(jīng)驗，卻高于日常經(jīng)驗。比如，同樣是折紙，可以是美學(xué)欣賞，可以是技能訓(xùn)練，但也可以是數(shù)學(xué)操作。作為數(shù)學(xué)活動的折紙，其目的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，包括學(xué)習(xí)軸對稱概念，圖形的運動，圖形的不變特征等等。沒有數(shù)學(xué)目類比（推理）是人們經(jīng)常應(yīng)用的一種推理方法，類比推理是一種由特殊到特殊的推理，即根據(jù)兩個（或兩類）事物的某些相同或相似的性質(zhì)，判斷它們在別的性質(zhì)上也可能相同或相似。

3．思考的經(jīng)驗

主要指在思維操作中開展活動而獲得的經(jīng)驗，即，思維操作的經(jīng)驗。不借助任何直觀材料而在頭腦中進行歸納、類比、證明等思維活動而獲得的經(jīng)驗。它既可以是直接經(jīng)驗，也可以是間接經(jīng)驗。基本活動經(jīng)驗的類別（一）（行為）操作的經(jīng)驗

這里的操作主要是指行為的操作，而不是指思維的操作。這種操作是進行抽象的直接素材，一般是直接經(jīng)驗。這種操作的直接價值取向不是問題的解決，而是獲得第一手的直標的活動，不是數(shù)學(xué)活動。

正是由于數(shù)學(xué)的基本活動經(jīng)驗的復(fù)合性，才使得人們對于基本活動經(jīng)驗的生疏，其實，在初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，這種復(fù)合性幾乎是處處存在的1．代數(shù)歸納的經(jīng)驗

2.數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計推斷的經(jīng)驗

數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計推斷的過程，獲得相應(yīng)的直接經(jīng)驗，進而發(fā)展其數(shù)據(jù)分析觀念，是統(tǒng)計與概率學(xué)習(xí)的核心目標，對于學(xué)生獲得數(shù)學(xué)上的全面發(fā)展，具有其他數(shù)學(xué)內(nèi)容所不能替代的作用。

3.幾何推理的經(jīng)驗

幾何推理是幾何課程內(nèi)容的核心內(nèi)容之一，學(xué)生是否獲得了幾何推理的活動經(jīng)驗，對于掌握幾何推理的技能、形成推理能力，具有十分重要的促進作用。這里的推理包含兩部分，一是歸納推理，一個是演繹推理。

演繹推理又稱三段論推理，是由兩個前提和一個結(jié)論組成，所謂歸納推理，就是從個別性知識推出一般性結(jié)論的推理。一般地，根據(jù)前提所考察對象范圍的不同，把歸納推理分為完全歸納推理和不完全歸納推理。完全歸納推理考察了某類事物的全部對象，不完全歸納推理則僅僅考察了某類事物的部分對象。更進一步，還可以根據(jù)前提是否揭示對象與其屬性間的因果聯(lián)系，把不完全歸納推理分為簡單枚舉歸納推理和科學(xué)歸納推理。歸納推理的前提是其結(jié)論的必要條件：首先，歸納推理的前提必須是真實的，否則，歸納就失去了意義。其次，歸納推理的前提是真實的，但結(jié)論卻未必真實，而可能為假。綜合運用數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容進行數(shù)學(xué)問題解決的經(jīng)驗、思考的經(jīng)驗

這部分內(nèi)容主要包含兩層含義：一方面，綜合運用數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容發(fā)現(xiàn)問題、提出學(xué)科問題，并加以分析和解決的經(jīng)驗。這是問題解決在本學(xué)科中的綜合體現(xiàn)；二是作為各個學(xué)科所共有的思維方法層面的經(jīng)驗，諸如類比的經(jīng)驗、思考的經(jīng)驗。1．發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的直接經(jīng)驗

發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，比分析問題、解決問題更重要，難度也更高。這種發(fā)現(xiàn)對教師可能是微不足道的，但是對于學(xué)生卻是難得的，因為這是一種自我超越，可以獲得成功的體驗和必要的經(jīng)驗。學(xué)生可以在這個發(fā)現(xiàn)的過程中領(lǐng)悟很多東西，可以逐漸積累創(chuàng)新和創(chuàng)造的經(jīng)驗。更重要的是，可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，樹立進步的信心，激發(fā)創(chuàng)造的激情�？梢约ぐl(fā)學(xué)生的智慧，調(diào)動學(xué)生的身心進入活動狀態(tài)。逐漸形成創(chuàng)新意識、創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。2．類比的經(jīng)驗

接感受、體驗和經(jīng)驗，亦即，在實際的外顯操作活動中來自感官、知覺的經(jīng)驗。（二）思考的經(jīng)驗在思維操作中開展活動而獲得的經(jīng)驗，即，思維操作的經(jīng)驗，

（三）探究的經(jīng)驗這里的“探究”指的是，立足已有的問題，圍繞問題的解決而開展的活動，這里的活動既有外顯行為的操作活動，也有思維層面的操作活動，但是，無論如何，這種操作活動并沒有完全脫離行為操作，而是融行為操作與思維操作于一體。同時，這種探究的直接價值取向是問題解決，而不僅僅為了獲取第一手的直接感受、體驗和經(jīng)驗，但是，探索所獲得的經(jīng)驗一般是直接經(jīng)驗。

（四）復(fù)合的經(jīng)驗指兼有上面所述的（行為）操作的經(jīng)驗、思考的經(jīng)驗、探究的經(jīng)驗等三種類型中的兩種以上的經(jīng)驗。

基本活動經(jīng)驗在課程教材中的地位和作用

（一）使學(xué)生獲取基本活動經(jīng)驗是問題驅(qū)動式教材呈現(xiàn)方式的基本目的之一

作為義務(wù)教育課程標準實驗教科書的基本結(jié)構(gòu)之一，“問題情境→建立模型→解釋應(yīng)用→拓展反思”成為問題驅(qū)動式教材呈現(xiàn)方式的具體表現(xiàn)形式。其中的問題情境乃至整個活動設(shè)計，旨在促進學(xué)生在獨立思考、自主探索的過程之中真正理解和掌握相應(yīng)的知識、技能、思想，同時獲得廣泛的基本活動經(jīng)驗。

（二）基本活動經(jīng)驗是學(xué)生獲得學(xué)科理解的催化劑和粘合劑

基本活動經(jīng)驗作為學(xué)生親自或間接經(jīng)歷了活動過程而獲得的經(jīng)驗，它是學(xué)生獲得學(xué)科理解的重要載體，起到催化劑和粘合劑的作用。例如，（三）基本活動經(jīng)驗是過程性目標的內(nèi)容之一

作為新課程的“知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀”三維目標之一，“過程與方法”一直未能得到很好的落實，其中的一個重要原因在于，與知識與技能目標相比，這個目標沒有“抓手”，不便于課程實施中的實際把握。

事實上，過程與方法目標實際上體現(xiàn)了課程對于學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)、學(xué)科能力的要求，而這些要求完全可以通過積累基本活動經(jīng)驗來完成。

結(jié)合初中數(shù)學(xué)的不同領(lǐng)域的內(nèi)容特點，分別培養(yǎng)學(xué)生的基本活動經(jīng)驗

積累學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，需要教師精心設(shè)計，不僅需要深刻體會課程標準的有關(guān)規(guī)定要求，而且需要細心揣摩教科書的編寫意圖，在深刻了解學(xué)生原有的生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，進行恰當?shù)恼n堂教學(xué)設(shè)計。

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