九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 26.2二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 人教新課標(biāo)版

人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下二次函數(shù)最全的中考知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

相關(guān)概念及定義

二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常數(shù)，a0）的函數(shù)，

叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a0，而b，c可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)．二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．⑵a，b，c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．

二次函數(shù)各種形式之間的變換

二次函數(shù)yax2bxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中

2hb2a，k4acb4a2.

二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①yax2；②yax2k；

③yaxh；④yaxhk；⑤yax2bxc.

22二次函數(shù)解析式的表示方法

一般式：yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）；頂點(diǎn)式：ya(xh)2k（a，h，k為常數(shù)，a0）；

兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)

都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b24ac0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

二次函數(shù)yax2bxc圖象的畫法

五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc化為頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k，

確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0，c、以及0，c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2h，c、與x軸的交點(diǎn)x1，0，x2，0（若與x軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.

畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交

點(diǎn).

二次函數(shù)yax的性質(zhì)

a的符號(hào)a02開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸向上性質(zhì)x00，00，0y軸時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨x的增大而減��；x0時(shí)，y有最小值0．時(shí)，y隨x的增大而減��；x0時(shí)，y隨a0向下yx0軸x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值0．1

二次函數(shù)yax2c的性質(zhì)

a的符號(hào)a0開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸向上性質(zhì)x00，c0，c2y軸時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨x的增大而減��；x0時(shí)，y有最小值c．時(shí)，y隨x的增大而減小；x0時(shí)，y隨a0向下y軸x0x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值c．二次函數(shù)yaxh的性質(zhì)：

a的符號(hào)a0開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸向上性質(zhì)xhh，0h，02時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，yX=h隨x的增大而減小；xh時(shí)，y有最小值0．xha0向下X=h時(shí)，y隨x的增大而減小；xh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值0．二次函數(shù)yaxhk的性質(zhì)

a的符號(hào)a0開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸向上性質(zhì)xhh，kh，k時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，yX=h隨x的增大而減��；xh時(shí)，y有最小值k．xh時(shí)，y隨x的增大而減��；xh時(shí)，ya0向下X=h隨x的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值k．拋物線yax2bxc的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).

a的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)a0時(shí)，開口向上；當(dāng)a0時(shí)，開口向下；

b2aa相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

對(duì)稱軸：平行于y軸（或重合）的直線記作x4acb（，）頂點(diǎn)坐標(biāo)：

2a4ab2.特別地，y軸記作直線x0.

頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物

線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.

拋物線yaxbxc中，a,b,c與函數(shù)圖像的關(guān)系

二次項(xiàng)系數(shù)a

二次函數(shù)yax2bxc中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a0．

⑴當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向上，a越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大；⑵當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向下，a越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大．

總結(jié)起來(lái)，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大�。�

一次項(xiàng)系數(shù)b

2在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸．⑴在a0的前提下，

當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，b2ab2ab2a000，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)．

⑵在a0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，b2ab2ab2a000，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)．

總結(jié)起來(lái)，在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置．總結(jié)：

常數(shù)項(xiàng)c

⑴當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；⑵當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；⑶當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．總結(jié)起來(lái)，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．

總之，只要a，b，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法

公式法：

b2yax22b4acbbxcax2a4a2，∴頂點(diǎn)是

b4acb，對(duì)稱軸是直線x.（，）2a2a4a配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為yaxhk的形式，得

2到頂點(diǎn)為(h,k)，對(duì)稱軸是直線xh.

運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的

連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).

用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

一般式：yaxbxc.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式.頂點(diǎn)式：yaxhk.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

22交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點(diǎn)式：

yaxx1xx2.

直線與拋物線的交點(diǎn)

y軸與拋物線yax2bxc得交點(diǎn)為(0,c).

與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個(gè)交點(diǎn)

(h,ah2bhc).

拋物線與x軸的交點(diǎn):二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)x1、x2，是對(duì)應(yīng)一元二次方程ax2bxc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與x軸相交；

②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）0拋物線與x軸相切；③沒有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離.

平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱

坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是ax2bxck的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像

ykxnG的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來(lái)確定：①方程組有兩組不同2yaxbxc的解時(shí)l與G有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)l與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)l與G沒有交點(diǎn).

拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線yax2bxc與x軸兩交點(diǎn)為

Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程axbxc0的兩個(gè)根，故

2x1x2ba,x1x22ca2ABx1x2x1x2x1x24x1x224cbaab4aca2a

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱:二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表

達(dá)

關(guān)于x軸對(duì)稱

yax2bxc關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk2關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk；

2關(guān)于y軸對(duì)稱

yax2bxc關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk2關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk；

2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

yax2bxc關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc；yaxhk關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk；

關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱

yaxbxc關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxbxcyaxhk222222b22a；

關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk．

4

關(guān)于點(diǎn)m，n對(duì)稱

yaxhk2關(guān)于點(diǎn)m，n對(duì)稱后，得到的解析式是yaxh2m2nk

2總結(jié)：根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變

化，因此a永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式．

二次函數(shù)圖象的平移

平移步驟：

2⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h，k；⑵保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，k處，具體平移方法如下：

y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k定點(diǎn)Q，直線y(a2)x2經(jīng)過點(diǎn)Q,求拋物線的解析式。

2，拋物線y=x2+(2m-1)x-2m與x軸的一定交點(diǎn)經(jīng)過直線y=mx+m+4，求拋物線的解析式。3，拋物線y=ax2+ax-2過直線y=mx-2m+2上的定點(diǎn)A，求拋物線的解析式。平移式。

1，把拋物線y=-2x2向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線

y=a(x-h)+k,求此拋物線解析式。

2，拋物線yx2x3向上平移,使拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0,2),求拋物線的解析式.距離式。

1，拋物線y=ax+4ax+1(a0)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，求拋物線的解析式。2，已知拋物線y=mx2+3mx-4m(m0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，且AB=BC,求此拋物線的解析式。對(duì)稱軸式。

1、拋物線y=x2-2x+(m2-4m+4)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的距離等于拋物線頂點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的2倍，求拋物線的解析式。

2、已知拋物線y=-x+ax+4,交x軸于A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,且

OB-OA=

342

22

OC，求此拋物線的解析式。

對(duì)稱式。

1，平行四邊形ABCD對(duì)角線AC在x軸上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y軸于

E，將三角形ABC沿x軸折疊，點(diǎn)B到B1的位置，求經(jīng)過A,B,E三點(diǎn)的拋物線的解析式。2，求與拋物線y=x2+4x+3關(guān)于y軸（或x軸）對(duì)稱的拋物線的解析式。切點(diǎn)式。

1，已知直線y=ax-a2(a≠0)與拋物線y=mx2有唯一公共點(diǎn)，求拋物線的解析式。2，直線y=x+a與拋物線y=ax2+k的唯一公共點(diǎn)A（2，1）,求拋物線的解析式。判別式式。

1、已知關(guān)于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求拋物線y=-x2+(m+1)x+3解析式。

2、已知拋物線y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的頂點(diǎn)在x軸上,求拋物線的解析式。3、已知拋物線y=(m+1)x2+(m+2)x+1與x軸有唯一公共點(diǎn)，求拋物線的解析式。

擴(kuò)展閱讀：九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 26.2二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 人教新課標(biāo)版

人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下二次函數(shù)最全的中考知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

相關(guān)概念及定義

二次函數(shù)的概念：一般地，形如yaxbxc（a，b，c2是常數(shù)，a0）的函數(shù)，

叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a0，而b，c可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)．二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．⑵a，b，c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．

二次函數(shù)各種形式之間的變換

二次函數(shù)yaxhb2a，k2bxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中

224acb4a.

22二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①yax；②yax③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc.

二次函數(shù)解析式的表示方法

一般式：yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）；

2k；

22頂點(diǎn)式：ya(xh)k2（a，h，k為常數(shù)，a0）；

兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)

都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b24ac0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.二次函數(shù)yax2bxc圖象的畫法

五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc化為頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k，

確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0，c、以及0，c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱

的點(diǎn)2h，c、與x軸的交點(diǎn)x1，0，x2，0（若與x軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.

畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交

點(diǎn).二次函數(shù)yax的性質(zhì)

a2的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0性質(zhì)x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨x的增大而減��；x0時(shí)，y有最小值0．x0時(shí)，y隨x的增大而減�。粁0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值0．向上0，0y軸a0向下axc20，0的性質(zhì)

y軸二次函數(shù)y

a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0性質(zhì)x0向上0，cy軸時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨x的增大而減�。粁0時(shí)，y有最小值c．時(shí)，y隨x的增大而減��；x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值c．a(chǎn)0向下axh0，c2y軸x0二次函數(shù)ya的性質(zhì)：

性質(zhì)時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的增大而減小；xh時(shí)，y有最小值0．xh的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0向上h，0X=ha0向下h，02X=h時(shí)，y隨x的增大而減�。粁h時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值0．xh二次函數(shù)yaaxhk的性質(zhì)

性質(zhì)時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的增大而減小；xh時(shí)，y有最小值k．xh的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0向上h，kX=ha0向下2h，kX=h時(shí)，y隨x的增大而減�。粁h時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值k．xh拋物線yaxbxc的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).

a的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)a0時(shí)，開口向上；當(dāng)a0時(shí)，開口向下；a相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

對(duì)稱軸：平行于y軸（或重合）的直線記作x

4acb（，）頂點(diǎn)坐標(biāo)：

2a4ab2b2a.特別地，y軸記作直線x0.

頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物

線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.拋物線yaxbxc中，a,b,c與函數(shù)圖像的關(guān)系二次項(xiàng)系數(shù)a

二次函數(shù)yax2bxc中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a0．

⑴當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向上，a越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大；⑵當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向下，a越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大．

總結(jié)起來(lái)，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大�。�

一次項(xiàng)系數(shù)b

在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸．⑴在a0的前提下，

當(dāng)b當(dāng)b002時(shí)，時(shí)，b2ab2a00，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；

當(dāng)b⑵在a當(dāng)b當(dāng)b當(dāng)b0000時(shí)，b2ab2ab2ab2a0，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)．

的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即時(shí)，時(shí)，時(shí)，000，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)．

0總結(jié)起來(lái)，在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置．總結(jié)：

常數(shù)項(xiàng)c

⑴當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；⑵當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；⑶當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．總結(jié)起來(lái)，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．

總之，只要a，b，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法

公式法：

byax22b4acbbxcax2a4a22，∴頂點(diǎn)是

4acbb（，），對(duì)稱軸是直線x.

2a4a2a配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為yaxhk的形式，得

2到頂點(diǎn)為(h,k)，對(duì)稱軸是直線xh.

運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的

連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).

用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

一般式：yax2bxc.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式.

2頂點(diǎn)式：yaxhk.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點(diǎn)式：

yaxx1xx2.

直線與拋物線的交點(diǎn)

y軸與拋物線yax2bxc得交點(diǎn)為(0,c).

2與y軸平行的直線xh與拋物線yax(h,ah2bxc有且只有一個(gè)交點(diǎn)

bhc).

2拋物線與x軸的交點(diǎn):二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)x1、x2，是對(duì)應(yīng)一元二次方程axbxc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與x軸相交；

②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）0拋物線與x軸相切；③沒有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離.

平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱

坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是ax

2bxck的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像

ykxnG的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來(lái)確定：①方程組有兩組不同2yaxbxc的解時(shí)l與G有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)l與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③

方程組無(wú)解時(shí)l與G沒有交點(diǎn).

拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線yaxAx1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程axx1x2ba,x1x2222bxc與x軸兩交點(diǎn)為

bxc0的兩個(gè)根，故

ca2ABx1x2x1x2x1x24x1x224cbaab24acaa

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱:二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表

達(dá)

關(guān)于x軸對(duì)稱

yax2bxc關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk2關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是y軸對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk2；

關(guān)于y軸對(duì)稱yaxbxc關(guān)于y22axbxc22；；

yaxhk關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

yax2bxc關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yyaxhk2axbxc2；；

2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱yaxbxc關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxbxc222b2a；

yaxhk關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk2．

2關(guān)于點(diǎn)m，n對(duì)稱

yaxhk2關(guān)于點(diǎn)m，n對(duì)稱后，得到的解析式是yaxh2m2nk

總結(jié)：根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變

化，因此a永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式．

二次函數(shù)圖象的平移

平移步驟：

⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)⑵保持拋物線yax2axhk2，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h，k；

的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，k處，具體平移方法如下：

y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k

2，求與拋物線y=x+4x+3關(guān)于y軸（或x軸）對(duì)稱的拋物線的解析式。切點(diǎn)式。

22

1，已知直線y=ax-a(a≠0)與拋物線y=mx有唯一公共點(diǎn)，求拋物線的解析式。

2

2，直線y=x+a與拋物線y=ax+k的唯一公共點(diǎn)A（2，1）,求拋物線的解析式。判別式式。

2

1、已知關(guān)于X的一元二次方程（m+1）x+2(m+1)x+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求拋物線

2

y=-x+(m+1)x+3解析式。

2

2、已知拋物線y=(a+2)x-(a+1)x+2a的頂點(diǎn)在x軸上,求拋物線的解析式。

2

3、已知拋物線y=(m+1)x+(m+2)x+1與x軸有唯一公共點(diǎn)，求拋物線的解析式。

2

一、平行線分線段成比例定理及其推論：

1.定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

2.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

3.推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條線段平行于三角形的第三邊。二、相似預(yù)備定理：

平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例。三、相似三角形：

1.定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。2.性質(zhì)：（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；

（2）相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(邊、高、中線、角平分線)成比例；（3）相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方。說(shuō)明：①等高三角形的面積比等于底之比，等底三角形的面積比等于高之比；②要注意兩個(gè)圖形元素的對(duì)應(yīng)。3.判定定理：

（1）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；

（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等，兩三角形相似；（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；

（4）如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。四、三角形相似的證題思路：

五、利用相似三角形證明線段成比例的一般步驟：一“定”：先確定四條線段在哪兩個(gè)可能相似的三角形中；二“找”：再找出兩個(gè)三角形相似所需的條件；三“證”：根據(jù)分析，寫出證明過程。

如果這兩個(gè)三角形不相似，只能采用其他方法，如找中間比或引平行線等。六、相似與全等：

全等三角形是相似比為1的相似三角形，即全等三角形是相似三角形的特例，它們之間的區(qū)別與聯(lián)系：

1.共同點(diǎn)它們的對(duì)應(yīng)角相等，不同點(diǎn)是邊長(zhǎng)的大小，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，而相似三角形的對(duì)應(yīng)的邊成比例。

2.判定方法不同，相似三角形只求形狀相同的，大小不一定相等，所以改“對(duì)應(yīng)邊相等”成“對(duì)應(yīng)邊成比例”。

常見考法

（1）利用判定定理證明三角形相似；（2）利用三角形相似解決圓、函數(shù)的有關(guān)問題。

銳角三角比

tanA=角A的對(duì)邊/鄰邊cotA=角A的鄰邊/對(duì)邊sinA=角A的對(duì)邊/斜邊cosA=角A的鄰邊/斜邊

三角比值

tan30=√3/3cot30=√3sin30=1/2cos30=√3/2tan60=√3cot60=√3/3sin60=√3/2cos60=1/2tan45=1cot45=1sin45=√2/2cos45=√2/2(√為根號(hào))

友情提示：本文中關(guān)于《九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 26.2二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 人教新課標(biāo)版》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 26.2二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 人教新課標(biāo)版：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

來(lái)源：網(wǎng)絡(luò)整理 免責(zé)聲明：本文僅限學(xué)習(xí)分享，如產(chǎn)生版權(quán)問題，請(qǐng)聯(lián)系我們及時(shí)刪除。

《九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 26.2二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 人教新課標(biāo)版》由互聯(lián)網(wǎng)用戶整理提供,轉(zhuǎn)載分享請(qǐng)保留原作者信息,謝謝!
鏈接地址：http://www.seogis.com/gongwen/475135.html

• 上一篇：五年級(jí)語(yǔ)文教學(xué)總結(jié)
• 下一篇：蘇教版九年級(jí)下數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)