橢圓 雙曲線 經(jīng)典結(jié)論總結(jié)11

橢圓雙曲線經(jīng)典結(jié)論總結(jié)

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一．切線問(wèn)題（一）

x0xy0yx2y221.11.若P在橢圓上，則過(guò)的橢圓的切線方程是(x,y)P0000222ababx2y22.若P0(x0,y0)在雙曲線221（a＞0,b＞0）上，則過(guò)P0的雙曲線的切線方程是

abx0xy0y21.2ab

二.切線問(wèn)題（二）

x2y23.若P0(x0,y0)在橢圓221外，則過(guò)Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)

abxxyy弦P1P2的直線方程是02021.

abx2y24.若P0(x0,y0)在雙曲線221（a＞0,b＞0）外，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)

abxxyy為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是02021

ab

三.面積

x2y25.橢圓221(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)

abF1PF2，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為SF1PF2b2tan.

2x2y26.雙曲線221（a＞0,b＞o）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)

abb2F1PF2，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為SF1PF2tan2

四.焦半徑

x2y27.橢圓221（a＞b＞0）的焦半徑公式：

ab|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0),F2(c,0)M(x0,y0)).x2y28.雙曲線221（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：(F1(c,0),F2(c,0)

ab當(dāng)M(x0,y0)在右支上時(shí)，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.

當(dāng)M(x0,y0)在左支上時(shí)，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

五.中點(diǎn)弦

x2y29.AB是橢圓221的不平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦，M(x0,y0)為AB的中點(diǎn)，則

abb2kOMkAB2，

ab2x0即KAB2.

ay0x2y210.AB是雙曲線221（a＞0,b＞0）的不平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦，M(x0,y0)為AB的中

abb2x0b2x0點(diǎn)，則KOMKAB2，即KAB2。

ay0ay0

六.離心率

x2y211.設(shè)橢圓221（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上任意

ab一點(diǎn)，在△PF1F2中，記F1PF2,PF1F2,F1F2P，則有

since.

sinsina

x2y212.設(shè)雙曲線221（a＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為雙曲線

ab上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記F1PF2,PF1F2,F1F2P，則有

since.

sinsina

七.焦半徑之積

x2y213.設(shè)P點(diǎn)是橢圓221（a＞b＞0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記

ab2b2.F1PF2，則(1)|PF1||PF2|1cosx2y214.設(shè)P點(diǎn)是雙曲線221（a＞0,b＞0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記

ab2b2..F1PF2，則(1)|PF1||PF2|1cos

擴(kuò)展閱讀：解圓錐曲線問(wèn)題常用方法+橢圓與雙曲線的經(jīng)典結(jié)論+橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)總結(jié)

A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)則有

解圓錐曲線問(wèn)題常用以下方法：

1、定義法

（1）橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r2=2a。第二定義中，r1=ed1r2=ed2。

（2）雙曲線有兩種定義。第一定義中，

x0y02k02ab（3）y2=2px（p>0）與直線l相交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0),則有2y0k=2p,即y0k=p.

【典型例題】

例1、(1)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)P到點(diǎn)A(3,42)與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____________

(2)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為。分析：（1）A在拋物線外，如圖，連PF，則PHPF，因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。（2）B在拋物線內(nèi)，如圖，作QR⊥l交于R，則當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。解：（1）（2，2）

連PF，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，HPFAQBr1r22a，當(dāng)r1>r2時(shí)，注意r2的最小值為c-a：第

二定義中，r1=ed1，r2=ed2，尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將半徑與“點(diǎn)到準(zhǔn)線距離”互相轉(zhuǎn)化。（3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問(wèn)題用定義解決更直接簡(jiǎn)明。

2、韋達(dá)定理法

因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用。

3、解析幾何的運(yùn)算中，常設(shè)一些量而并不解解出這些量，利用這些量過(guò)渡使問(wèn)題得以解決，這種方法稱(chēng)為“設(shè)而不求法”。設(shè)而不求法對(duì)于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點(diǎn)問(wèn)題，常用“點(diǎn)差法”，即設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)，將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點(diǎn)與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見(jiàn)的“設(shè)而不求”法，具體有：

APPHAPPF最小，此時(shí)AF的方程為y420(x1)即y=22(x-1),代入y2=4x得

311,2)，它為直線AF2P(2,22)，（注：另一交點(diǎn)為(

與拋物線的另一交點(diǎn)，舍去）

（2）（

1,1）4過(guò)Q作QR⊥l交于R，當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，BQQFBQQR最小，此時(shí)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，

x2y2（1）221(ab0)與直線相交于A、

abB，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)，則有

代入y2=4x得x=

x0y02k0。2ab11，∴Q(,1)44點(diǎn)評(píng)：這是利用定義將“點(diǎn)點(diǎn)距離”與“點(diǎn)線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個(gè)典型例題，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)。

x2y2（2）221(a0,b0)與直線l相交于

ab

x2y21的右焦點(diǎn)，A(1,1)為例2、F是橢圓43橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)。

（1）PAPF的最小值為（2）PA2PF的最小值為分析：PF為橢圓的一個(gè)焦半徑，常需將另一焦半徑PF或準(zhǔn)線作出來(lái)考慮問(wèn)題。解：（1）4-5設(shè)另一焦點(diǎn)為F，則F(-1,0)連AF,PFF0′yAFPHx分析：作圖時(shí)，要注意相切時(shí)的“圖形特征”：兩個(gè)圓心與切點(diǎn)這三點(diǎn)共線（如圖中的A、M、C共線，B、D、M共線）。列式的主要途徑是動(dòng)圓的“半徑等于半徑”（如圖中的MCMD）。

解：如圖，MCMD，∴yMDC5xA0BACMAMBDB即6MAMB2∴MAMB8（*）∴點(diǎn)M的軌跡為橢圓，2a=8，a=4，c=1，b2=15

x2y21軌跡方程為PAPFPA2aPF2a(PFPA)2aAF451615當(dāng)P是FA的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí),

點(diǎn)評(píng)：得到方程（*）后，應(yīng)直接利用橢圓的定義寫(xiě)出方程，而無(wú)需再用距離公式列式求解，即列出

PAPF取得最小值為4-5。

（2）3

作出右準(zhǔn)線l，作PH⊥l交于H，因a=4，b=3，c2=1，a=2，c=1，e=

∴PF2

2

(x1)2y2(x1)2y24，再移項(xiàng)，平

方，相當(dāng)于將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)了一遍，較繁瑣！

例

4、△ABC

中，B(-5,0),C(5,0),且

1，2sinC-sinB=

1PH,即2PFPH23sinA,求點(diǎn)A的軌跡方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2R（R為外接圓半徑），可轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的關(guān)系。

∴PA2PFPAPH

當(dāng)A、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，其和最小，最小值為

a2xA413c

例3、動(dòng)圓M與圓C1:(x+1)2+y2=36內(nèi)切,與圓C2:(x-1)+y=4外切,求圓心M的軌跡方程。

222

解：sinC-sinB=

35sinA

2RsinC-2RsinB=

32RsinA53BC5∴ABAC

即ABAC6（*）

∴點(diǎn)A的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點(diǎn)）∵2a=6，2c=10∴a=3，c=5，b=4

≥2915,y054當(dāng)4x02+1=3即x0時(shí)M(52時(shí)，(y0)min此

42x2y21（x>3）所求軌跡方程為

916點(diǎn)評(píng)：要注意利用定義直接解題，這里由（*）式直接用定義說(shuō)明了軌跡（雙曲線右支）例5、定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在y=x2上移動(dòng)，AB中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到x軸的最短距離。分析：（1）可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè)A(x1,x12)，B(x2，X22)，又設(shè)AB中點(diǎn)為M(x0y0)用弦長(zhǎng)公式及中點(diǎn)公式得出y0關(guān)于x0的函數(shù)表達(dá)式，再用函數(shù)思想求出最短距離。

（2）M到x軸的距離是一種“點(diǎn)線距離”，可先考慮M到準(zhǔn)線的距離，想到用定義法。解法一：設(shè)A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中點(diǎn)M(x0，y0)

22(x1x2)2(x12x2)9①則②x1x22x0③22x1x22y025,)24yMAA1A20M1M2B1B2xB，2MM2AA2BB2AFBFAB3∴MM2313，即MM1，2425，當(dāng)AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)取得最小值。454∴MM1∴M到x軸的最短距離為

點(diǎn)評(píng)：解法一是列出方程組，利用整體消元思想消x1，x2，從而形成y0關(guān)于x0的函數(shù)，這是一種“設(shè)

由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9

即[(x1+x2)2-4x1x2][1+(x1+x2)2]=9④由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入④得[(2x0)

202

而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點(diǎn)M到x軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為A、B到準(zhǔn)線的距離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊（當(dāng)三角形“壓扁”時(shí)，兩邊之和等于第三邊）的屬性，簡(jiǎn)捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點(diǎn)，即沒(méi)有驗(yàn)證AB是否能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，而且點(diǎn)M的坐標(biāo)也不能直接得出。、、、

-(8x02-4y0)][1+(2x0)2]=9

9∴4y04x，214x09924y04x2(4x01)21

4x04x0120

x2y21(2m5)過(guò)其左焦點(diǎn)例6、已知橢圓

mm1且斜率為1的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次變于A、B、C、D、設(shè)f(m)=ABCD,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。

分析：此題初看很復(fù)雜，對(duì)f(m)的結(jié)構(gòu)不知如何運(yùn)算，因A、B來(lái)源于“不同系統(tǒng)”，A在準(zhǔn)線上，B在橢圓上，同樣C在橢圓上，D在準(zhǔn)線上，可見(jiàn)直接求解較繁，將這些線段“投影”到x軸上，立即可得防

（2）f(m)22m1112(1)

2m12m1∴當(dāng)m=5時(shí)，f(m)min1029423當(dāng)m=2時(shí)，f(m)max點(diǎn)評(píng)：此題因最終需求xBxC，而B(niǎo)C斜率已知為1，故可也用“點(diǎn)差法”設(shè)BC中點(diǎn)為M(x0,y0),通過(guò)將B、C坐標(biāo)代入作差，得

x0y0k0，將mm1f(m)(xBxA)2(xDxC)22(xBxA)(xDXC)

y0=x0+1，k=1代入得x0x010，mm12(xBxC)(xAxD)

∴x0m2m，可見(jiàn)xBxC

2m12m12(xBXC)

當(dāng)然，解本題的關(guān)鍵在于對(duì)f(m)ABCD的認(rèn)識(shí)，通過(guò)線段在x軸的“投影”發(fā)現(xiàn)此時(shí)問(wèn)題已明朗化，只需用韋達(dá)定理即可。

解：（1）橢圓

2

xy1中，a2=m，b2=m-1，mm122f(m)xBxC是解此題的要點(diǎn)。

c=1，左焦點(diǎn)F1(-1,0)

則2

yCF10F2DBC:y=x+1,

2

代入橢圓方程即

AB(m-1)x+my-m(m-1)=0

得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0∴(2m-1)x+2mx+2m-m=0

22

x設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則x1+x2=-

2m(2m5)

2m1

f(m)ABCD2(xBxA)(xDxC)2(x1x2)(xAxC)2x1x22

2m2m1

【同步練習(xí)】

x2y21、已知：F1，F(xiàn)2是雙曲線221的左、右

ab焦點(diǎn)，過(guò)F1作直線交雙曲線左支于點(diǎn)A、B，若

x2y21上一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為5、已知雙曲線

9164，則點(diǎn)M到左焦點(diǎn)的距離是

6、拋物線y=2x2截一組斜率為2的平行直線，所得弦中點(diǎn)的軌跡方程是

ABm，△ABF2的周長(zhǎng)為（）

7、已知拋物線y2=2x的弦AB所在直線過(guò)定點(diǎn)

A、4aB、4a+mC、4a+2m

p(-2，0)，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是

D、4a-m

2、若點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的

8、過(guò)雙曲線x2-y2=4的焦點(diǎn)且平行于虛軸的弦長(zhǎng)

距離小1，則P點(diǎn)的軌跡方程是

為

9、直線y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)只有

（）

一個(gè)，則k=

A、y2=-16xB、y2=-32xC、y2=16xD、y=32x

3、已知△ABC的三邊AB、BC、AC的長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，且ABAC，點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(-1，0)，(1，0)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（）

2

x2y21上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，10、設(shè)點(diǎn)P是橢圓

259F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求sin∠F1PF2的最大值。

11、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)、右焦點(diǎn)、右準(zhǔn)線的距離依次成等差數(shù)列，若直線l與此橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)M為(-2，1)，AB43，求直線l的方程和橢圓方程。

12、已知直線

l

和雙曲線

x2y21B、A、43x2y21(x0)43x2y21(x0)D、C、43x2y21(x0且y0)434、過(guò)原點(diǎn)的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1，0)，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，則橢圓中心的軌跡方程是

（）

1292A、(x)y(x1)B、

24x2y221(a0,b0)及其漸近線的交點(diǎn)從左到2ab右依次為A、B、C、D。求證：ABCD。

5

19(x)2y2(x1)

241292C、x(y)(x1)D、

2419x2(y)2(x1)

【參考答案】

1、C

將x

11

代入y=2x2得y，軌跡方程是22

AF2AF12a,BF2BF12a，

∴x

11(y>)227、y2=x+2(x>2)

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)M(x，y)，則

22y122x1,y22x2,y12y22(x1x2),AF2BF2AB4a,AF2BF2AB4a2m,選C

2、C

點(diǎn)P到F與到x+4=0等距離，P點(diǎn)軌跡為拋物線

y1y2(y1x1x2p=8開(kāi)口向右，則方程為y2=16x，選C

3、D

∵ABAC22，且ABAC

∵點(diǎn)A的軌跡為橢圓在y軸右方的部分、又A、B、C三點(diǎn)不共線，即y≠0，故選D。

4、A

設(shè)中心為(x，y)，則另一焦點(diǎn)為(2x-1，2y)，則原點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離和為4得

1(2x1)2(2y)24，∴(x1)2y2924①又c

4b22b2∴1+cosθ=∵r1+r22r1r2，2r1r2r1r2∴r1r2的最大值為a2

12、證明：設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，AD中點(diǎn)為M(x0，y0)直線l的斜率為k，則

x12y1221①2①-②得ab22x2y21②a2b2182b2∴1+cosθ的最小值為2，即1+cosθ

25acosθ2x02y02k02ab77，0arccos則當(dāng)2525③

,y1),C(x2,y2),BC中點(diǎn)為M(x0,y0)，設(shè)B(x1x12y121④1202則ab122y1x2220⑤2ba12y02x1④-⑤得22k0⑥

ab2時(shí)，sinθ取值得最大值1，

即sin∠F1PF2的最大值為1。

x2y211、設(shè)橢圓方程為221(ab0)

aba2c成等差數(shù)列，由題意：C、2C、ca2c即a22c2，∴4ccc∴a2=2(a2-b2),∴a2=2b2橢圓方程為y2)

22x12y12x2y21②則221①

2bb2b2b222x12x2y12y20①-②得222bb22由③、⑥知M、M均在直線l:上，而M、M又在直線l上，

2x2yk0a2b2若l過(guò)原點(diǎn)，則B、C重合于原點(diǎn)，命題成立若l與x軸垂直，則由對(duì)稱(chēng)性知命題成立若l不過(guò)原點(diǎn)且與x軸不垂直，則M與M重合∴ABCD

xy1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，2b2b2橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)總結(jié)

橢圓

1.點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角.2.PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線

PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).

3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線

相離.

，

4.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.

xyk0∴m2m22bb2k0∴k=1即2直線AB方程為y-1=x+2即y=x+3，代入橢圓方程即x2+2y2-2b2=0得x2+2(x+3)2-2b2=0

∴

3x2+12x+18-2b2=0

112212(182b2)243x2y25.若P30(x0,y0)在橢圓221上，則過(guò)P0的橢

ab

x0xy0y2221.圓的切線方程是2xy2ab1，直線解得b=12，∴橢圓方程為

2412x2y26.若P0(x0,y0)在橢圓221外，則過(guò)Po作

l方程為x-y+3=0abABx1x211

橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的

直線方程是

x0xy0ya2b21.橢圓x2y27.a2b21(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為

F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)F1PF2，則

橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為S2F1PF2btan2.

8.橢圓x2y2a2b21（a＞b＞0）的焦半徑公式：

|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0),

F2(c,0)M(x0,y0)).

9.設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交P、Q兩點(diǎn)，

A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF.

10.過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q,

A1、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF.

AB是橢圓x2y211.a2b21的不平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦，

M(x的中點(diǎn)，則kb20,y0)為ABOMkABa2，

b2即Kx0ABa2y。

0若P(xx2y212.00,y0)在橢圓a2b21內(nèi)，

則被Po所平x2分的中點(diǎn)弦的方程是0xy0yx20y0a2b2a2b2.

13.若Px2y20(x0,y0)在橢圓a2b21內(nèi)，

則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是x2y2x0xy0ay2b2a2b2.

雙曲線

1.點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)

角.

2.PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在

直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).

3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.4.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直

8

徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）

在雙曲線x2y25.若P0(x0,y0)a2b21（a＞0,b

＞0）上，則過(guò)P0的雙曲線的切線方程是x0xa2y0yb21.Px2y26.若0(x0,y0)在雙曲線a2b21（a＞0,b

＞0）外，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是

x0xa2y0yb21.雙曲線x2y27.a2b21（a＞0,b＞o）的左右焦點(diǎn)

分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)

F1PF2，

則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為SF1PF2b2cot2.

8.雙曲線x2y2a2b21（a＞0,b＞o）的焦半徑公

式：(F1(c,0),F2(c,0)

當(dāng)

M(x0,y0)在右支上時(shí)，

|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.

當(dāng)M(x0,y0)在左支上時(shí)，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

9.設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交P、

Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF.

10.過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩

點(diǎn)P、Q,A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF.

x211.AB是雙曲線y2a2b21（a＞0,b＞0）的不

平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦，M(x0,y0)為AB的中

2點(diǎn)

，則

KOMKbx0ABa2y，即

02Kbx0ABa2y。

若Px2y212.0(x0,y0)在雙曲線a2b21（a＞0,b

＞0）內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是

x220xa2y0yx0y0b2a2b2.13.若Px2y20(x0,y0)在雙曲線a2b21（a＞0,b

＞0）內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是

x2a2y2x0xy0yb2a2b2.橢圓與雙曲線的經(jīng)典結(jié)論

橢圓

橢圓x2y21.a2b21（a＞b＞o）的兩個(gè)頂點(diǎn)為

A1(a,0),A2(a,0)，

與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是

x2y2a2b21.x22.過(guò)橢圓y2a2b21(a＞0,b＞0)上任一點(diǎn)

A(x0,y0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交

橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且

2kbx0BCa2y（常數(shù)）.0x2y23.若P為橢圓a2b21（a＞b＞0）上異于

長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1,F

2

是焦點(diǎn),PF1F2,

PF2F1，

則

acactaco2n2.t設(shè)橢圓x2y24.a2b21（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)

為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記F1PF2,

PF1F2,

F1F2P，則有

sincsinsinae.

x2y25.若橢圓a2b21（a＞b＞0）的左、右焦

9

點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng)，則當(dāng)0＜e≤

21時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P，使得PF1

是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).

P為橢圓x2y26.a2b21（a＞b＞0）上任一

點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則

2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,當(dāng)且

僅當(dāng)A,F2,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.

7.橢圓(xx0)2(yy0)2a2b21與直線AxByC0有公共點(diǎn)的充要條件是

A2a2B2b2(Ax0By0C)2.

x28.已知橢圓ay22b21（a＞b＞0），O為坐標(biāo)

原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OPOQ.

（1）1|OP|21|OQ|21a21b2;（2）2

2

的最大值為4a2b2|OP|+|OQ|a2b2（;3）SOPQ的最小值是a2b2a2b2.

x29.過(guò)橢圓y2a2b21（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F

作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則

|PF||MN|e2.

已知橢圓x2ay210.2b21（a＞b＞0）,A、B、

是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x

軸相交于點(diǎn)P(x0,0),則

a2b2a2b2ax0a.

設(shè)P點(diǎn)是橢圓x2y211.a2b21（a＞b＞0）上異

于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記

F1PF2，則(1)

PF2b2|1||PF2|1cos.(2)

S2PF1F2btan2.

2212.設(shè)A、B是橢圓

xa2yb21（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，

PAB,PBA,BPA，c、e分別是橢圓的

半焦距離心率，則

有(1)|PA|2ab2|cos|a2c2cos2.(2)tantan1e2.(3)

2a2b2SPABb2a2cot.已知橢圓x2y213.a2b21（a＞b＞0）的右準(zhǔn)線

l與x軸相交于點(diǎn)E，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直

線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BCx軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).

14.過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)

軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.

15.過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)

線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.

16.橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以

該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).

（注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱(chēng)為內(nèi)、外點(diǎn).）17.橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連

線段分成定比e.

10

18.橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓

中心的比例中項(xiàng).

雙曲線

雙曲線x2y21.a2b21（a＞0,b＞0）的兩個(gè)

頂點(diǎn)為A1(a,0),A2(a,0)，與y軸平行

的直線交雙曲線于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2

x2y2交點(diǎn)的軌跡方程是a2b21.

x22.過(guò)雙曲線y2a2b21（a＞0,b＞o）上任

一點(diǎn)A(x0,y0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)

的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kb2x0BCa2y（常數(shù)）.

03.若P為雙曲線x2y2a2b21（a＞0,b＞0）

右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn),PF1F2,PF2F1，則

cacatan2cot2（或

cacatacon22）.t4.設(shè)雙曲線x2y2a2b21（a＞0,b＞0）的兩

個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記

F1PF2,

PF1F2,F1F2P，則有

sin(sinsin)cae.

若雙曲線x2y25.a2b21（a＞0,b＞0）的左、

右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng)，則當(dāng)1＜e≤21時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d

與PF2的比例中項(xiàng).

P為雙曲線x2y26.a2b21（a＞0,b＞0）上

任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則|AF2|2a|PA||PF1|,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點(diǎn)共線且P和A,F2在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.

x227.雙曲線

a2yb21（a＞0,b＞0）與直線AxByC0有公共點(diǎn)的充要條件

是A2a2B2b2C2.

已知雙曲線x2y28.a2b21（b＞a＞0），O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且OPOQ.（1）

11|OP|2|OQ|21a21b2;（2）2|OP|2

+|OQ|2

的最小值為4ab2b2a2（;3）SOPQ的a2b2最小值是b2a2.

x29.過(guò)雙曲線y2a2b21（a＞0,b＞0）的右

焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，

則

|PF||MN|e2.2210.已知雙曲線

xa2yb21（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直

平分線與x軸相交于點(diǎn)P(x0,0),則

a2b2a2b2x0a或x0a.

設(shè)P點(diǎn)是雙曲線x2y211.a2b21（a＞0,b＞

0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記F1PF2，則(1)

2b2|PF1||PF2|1cos.(2)

SPF1F2b2cot2.

11

設(shè)A、B是雙曲線x2y212.a2b21（a＞0,b

＞0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一

點(diǎn)，PAB,

PBA,BPA，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有

(1)|PA|2ab2|cos||a2c2cos2|.

(2)tantan1e2.(3)

2a2b2SPABb2a2cot.13.已知雙曲線x2y2a2b21（a＞0,b＞0）的

右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E，過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BCx軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).14.過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切

線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15.過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線

交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.

16.雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距

離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).

(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱(chēng)為內(nèi)、外點(diǎn)).17.雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心

將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18.雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)

到雙曲線中心的比例中項(xiàng).

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