高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 第六章不等式

高中數(shù)學(xué)第六章-不等式

考試內(nèi)容：

不等式．不等式的基本性質(zhì)．不等式的證明．不等式的解法．含絕對值的不等式．考試要求：

（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明．

（2）掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應(yīng)用．

（3）掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式．（4）掌握簡單不等式的解法．

（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

06.不等式知識要點

1.不等式的基本概念

（1）不等（等）號的定義：ab0ab;ab0ab;ab0ab.（2）不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式與異向不等式.

（4）同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質(zhì)

（1）abba（對稱性）

（2）ab,bcac（傳遞性）

（3）abacbc（加法單調(diào)性）

（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）（5）ab,cdacbd（異向不等式相減）（6）a.b,c0acbc

（7）ab,c0acbc（乘法單調(diào)性）

（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）

(9)ab0,0cdabcd（異向不等式相除）

(10)ab,ab011（倒數(shù)關(guān)系）ab（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法則）（12）ab0nanb(nZ,且n1)（開方法則）

3.幾個重要不等式

（1）若aR,則|a|0,a20

（2）若a、bR,則a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（當僅當a=b時取等號）（3）如果a,b都是正數(shù)，那么abab.（當僅當a=b時取等號）

2極值定理：若x,yR,xyS,xyP,則：1如果P是定值,那么當x=y時，S的值最小；○

2如果S是定值,那么當x=y時，P的值最大.○

利用極值定理求最值的必要條件：一正、二定、三相等.

(4)若a、b、cR,則abc3abc（當僅當a=b=c時取等號）ba(5)若ab0,則2（當僅當a=b時取等號）

ab(6)a0時，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

（7）若a、bR,則||a||b|||ab||a||b|4.幾個著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么

211abababa2b2（當僅當

.22a=b時

取等號）即：平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：

2222abababab22特別地，ab(（當a=b時，())ab）

2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc時取等)3322...an冪平均不等式：a12a221(a1a2...an)2n注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).

1111111常用不等式的放縮法：①2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)

（2）柯西不等式：若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;則（a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa當且僅當123n時取等號b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)

（3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對于定義域中任意兩點x1,x2(x1x2),有

f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)

).22則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).

5.不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.

6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根軸法）.

步驟：正化，求根，標軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

2

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.

（2）分式不等式的解法：先移項通分標準化，則

f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解○1f(x)g(x)g(x)0定義域

f(x)g(x)f(x)0○2

f(x)0f(x)0○3f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)]f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)]（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)

af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb（5）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)（6）含絕對值不等式

1應(yīng)用分類討論思想去絕對值；○2應(yīng)用數(shù)形思想；○

3應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化○

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同時為0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：①x(1x)211242x(1x)(1x)()32232722x2(1x2)(1x2)123423②yx(1x)y()y2232792類似于ysinxcosxsinx(1sinx)，③|x1||x||1|(x與1同號，故取等)2

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擴展閱讀：高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)_第六章不等式[1]

高中數(shù)學(xué)第六章-不等式

考試內(nèi)容：

不等式．不等式的基本性質(zhì)．不等式的證明．不等式的解法．含絕對值的不等式．考試要求：

（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明．

（2）掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應(yīng)用．

（3）掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式．（4）掌握簡單不等式的解法．

（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

06.不等式知識要點

1.不等式的基本概念

（1）不等（等）號的定義：ab0ab;ab0ab;ab0ab.（2）不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式與異向不等式.

（4）同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質(zhì)

（1）abba（對稱性）

（2）ab,bcac（傳遞性）

（3）abacbc（加法單調(diào)性）

（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）（5）ab,cdacbd（異向不等式相減）（6）a.b,c0acbc

（7）ab,c0acbc（乘法單調(diào)性）

（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）

(9)ab0,0cdabcd（異向不等式相除）

(10)ab,ab011（倒數(shù)關(guān)系）ab（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法則）（12）ab0nanb(nZ,且n1)（開方法則）

3.幾個重要不等式

（1）若aR,則|a|0,a20

（2）若a、bR,則a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（當僅當a=b時取等號）（3）如果a,b都是正數(shù)，那么abab.（當僅當a=b時取等號）

2極值定理：若x,yR,xyS,xyP,則：1如果P是定值,那么當x=y時，S的值最�。弧�

2如果S是定值,那么當x=y時，P的值最大.○

利用極值定理求最值的必要條件：一正、二定、三相等.

(4)若a、b、cR,則abc3abc（當僅當a=b=c時取等號）ba(5)若ab0,則2（當僅當a=b時取等號）

ab(6)a0時，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

（7）若a、bR,則||a||b|||ab||a||b|4.幾個著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么

211abababa2b2（當僅當

.22a=b時

取等號）即：平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：

2222abababab22特別地，ab(（當a=b時，())ab）

2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc時取等)3322...an冪平均不等式：a12a221(a1a2...an)2n注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).

1111111常用不等式的放縮法：①2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)

（2）柯西不等式：若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;則（a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa當且僅當123n時取等號b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)

（3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對于定義域中任意兩點x1,x2(x1x2),有

f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)

).22則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).

5.不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.

6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根軸法）.

步驟：正化，求根，標軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

2

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.

（2）分式不等式的解法：先移項通分標準化，則

f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解○1f(x)g(x)g(x)0定義域

f(x)g(x)f(x)0○2

f(x)0f(x)0○3f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)]f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)]（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)

af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb（5）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)（6）含絕對值不等式

1應(yīng)用分類討論思想去絕對值；○2應(yīng)用數(shù)形思想；○

3應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化○

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同時為0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：①x(1x)211242x(1x)(1x)()32232722x2(1x2)(1x2)123423②yx(1x)y()y2232792類似于ysinxcosxsinx(1sinx)，③|x1||x||1|(x與1同號，故取等)2

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