高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)_不等式的性質(zhì)與證明

要點(diǎn)重溫之不等式的性質(zhì)與證明

1．在不等式兩邊非負(fù)的條件下能同時(shí)平方或開方，具體的：當(dāng)a>0,b>0時(shí)，a>ban>bn；

2222

當(dāng)a|b|。在不等式兩邊同號(hào)的條件下能同時(shí)取倒數(shù)，但不等號(hào)的方向要改變，如：由0b；⑤若a>b,則lg(a21)lg(b21),⑥若ab；⑦若a0,則

acabcbbaab3

322

；⑨若a>b且

1a1b,則a>0,bb>c且a+b+c=0，則：①a>ab，②b>bc，③bc由⑤×9+⑥得：

163≤9a+c≤13⑦，即

163≤f(3)≤13。錯(cuò)誤的原因在于：

當(dāng)且僅當(dāng)1=－a－c且2=4a+c時(shí)⑤式中的1=a成立，此時(shí)，a=1，c=－2；當(dāng)且僅當(dāng)－4a－4c=8且4a+c=3時(shí)⑥式中的可見⑤⑥兩式不可能同時(shí)成立，所以⑦中的正解是待定系數(shù)得f(3)=∴7≤f(3)≤

34353163113=c成立，此時(shí)，a=

53，c=113；

=9a+c不成立；同理，9a+c=13也不成立。

53f(1)+

83f(2)，又：≤53f(1)≤

103；

163≤

83f(2)≤8

。在此過程中雖然也用了“同向不等式相加”，但由錯(cuò)解分析知：當(dāng)a=1，

53c=－2時(shí)，不等式c=113≤5353f(1)和

103163≤

8383f(2)中的等號(hào)同時(shí)成立，即f(3)=7成立；而當(dāng)a=

34353，

時(shí)，不等式f(1)≤和f(2)≤8中的等號(hào)同時(shí)成立，即f(3)=成立；所以這

個(gè)解法是沒有問題的�？梢�，在求變量范圍時(shí)也并非絕對(duì)不能用“同向不等式相加”，只要“等號(hào)”能同時(shí)成立即可；對(duì)不含等號(hào)的同向不等式相加時(shí)則需它們能同時(shí)“接近”。

注：本題還可以用“線性規(guī)劃”求解：在約束條件－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3下求目標(biāo)函數(shù)f(3)的最大、最小值。

[鞏固]設(shè)正實(shí)數(shù)a、b、c、x、y，且a、b、c為常數(shù)，x、y為變量，若x+y=c，則的最大值是：A．(ab)cB．

abc2ax+byC．

a2bcD．

(ab)22

3．關(guān)注不等式||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|及其等號(hào)成立的條件；具體的：xy≥0

|x+y|=|x|+|y|；xy≥0且|x|≥|y||x-y|=|x|-|y|；xy≥0且|x|≤|y||x-y|=|y|-|x|；xy≤0|x-y|=|x|+|y|；xy≤0且|x|≥|y||x+y|=|x|-|y|；xy≤0且|x|≤|y||x+y|=|y|-|x|。

[舉例1]若m>0,則|x-a|其中包含常用不等式：ab≥

ab222(ab)22；(ab)(1a1b)≥4以及基本不等式：

ab2≥ab，基本不等式還有另外兩種形式：若a≤0、b≤0，則≤ab；

若：a、b∈R，則a2b2≥2ab；用基本不等式求最值時(shí)要關(guān)注變量的符號(hào)、放縮后是否為定值、等號(hào)能否成立（即：一正、二定、三相等，積定和小、和定積大）。[舉例1]若直線ax+2by-2=0(a,b>0)始終平分圓x+y-4x-2y-8=0的周長(zhǎng)，則值為。

解析：圓心（2，1），“直線始終平分圓”即圓心在直線上，∴a+b=1,

1a2baba2a2bbba2ab122

2

1a2b的最小

=3322,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立。

[舉例2]正數(shù)a,b滿足a+3=b(a-1),則ab的最小值是，a+b的最大值是。解析：ab=a+b+3≥2ab+3ab-2ab-3≥0等號(hào)成立。a+b=ab-3≤(

ab≥3ab≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)

ab2)-3(ab)4(ab)120a+b≥6,當(dāng)且僅當(dāng)

22a=b=3時(shí)等號(hào)成立。

注：該方法的實(shí)質(zhì)是利用基本不等式將等式轉(zhuǎn)化為不等式后，解不等式；而不是直接用基本不等式放縮得到最值，因此不存在放縮后是否為定值的問題。[鞏固1]在等式119中填上兩個(gè)自然數(shù)，使它們的和最小。

[鞏固2]某工廠第一年年產(chǎn)量為A，第二年的年增長(zhǎng)率為a，第三年的年增長(zhǎng)率為b，這兩年的平均增長(zhǎng)率為x，則

A．xab2

ab2

ab2（）

ab2B．xC．xD．x

[遷移]甲、乙兩人同時(shí)從寢室到教室，甲一半路程步行、一半路程跑步，乙一半時(shí)間步行、

一半時(shí)間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則：

A．甲先到教室B．乙先到教室C．兩人同時(shí)到教室D．不能確定誰(shuí)先到教室5．比較大小的方法有：①比差：判斷“差”的正負(fù)，因式分解往往是關(guān)鍵；②比商：判斷“商”與1的大小，兩個(gè)式子都正才能比商，常用于指數(shù)式的比較；③變形：如平方（需為正數(shù)）、有理化（根式的和、差）等；④尋求中間變量，常見的有0，1等；⑤數(shù)形結(jié)合。用定義證明單調(diào)性的過程就是已知自變量的大小比較函數(shù)值的大小的過程。[舉例1]已知ab0且ab1，若0c1,plogp、q的大小關(guān)系是（）

abc222,qlogc(1ab),則

2A．pq解析：記x=

ab222B．pqC．pqD．pq,y=(

1ab)2,直接比較x、y的大小將大費(fèi)周章，但：x>

2ab2=1,y=

1ab2ab1ab2x

12ab2=

14，∴x>y，又0[遷移]已知an=2n-1,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，bn=對(duì)一切自然數(shù)n，恒有Tn

擴(kuò)展閱讀：高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第六章不等式

高中數(shù)學(xué)第六章-不等式

考試內(nèi)容：

不等式．不等式的基本性質(zhì)．不等式的證明．不等式的解法．含絕對(duì)值的不等式．考試要求：

（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明．

（2）掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用．

（3）掌握分析法、綜合法、比較法證明簡(jiǎn)單的不等式．（4）掌握簡(jiǎn)單不等式的解法．

（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

06.不等式知識(shí)要點(diǎn)

1.不等式的基本概念

（1）不等（等）號(hào)的定義：ab0ab;ab0ab;ab0ab.（2）不等式的分類：絕對(duì)不等式；條件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式與異向不等式.

（4）同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質(zhì)

（1）abba（對(duì)稱性）

（2）ab,bcac（傳遞性）

（3）abacbc（加法單調(diào)性）

（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）（5）ab,cdacbd（異向不等式相減）（6）a.b,c0acbc

（7）ab,c0acbc（乘法單調(diào)性）

（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）

(9)ab0,0cdabcd（異向不等式相除）

(10)ab,ab011（倒數(shù)關(guān)系）ab（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法則）（12）ab0nanb(nZ,且n1)（開方法則）

3.幾個(gè)重要不等式

（1）若aR,則|a|0,a20

（2）若a、bR,則a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）（3）如果a,b都是正數(shù)，那么abab.（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

2極值定理：若x,yR,xyS,xyP,則：1如果P是定值,那么當(dāng)x=y時(shí)，S的值最��；○

2如果S是定值,那么當(dāng)x=y時(shí)，P的值最大.○

利用極值定理求最值的必要條件：一正、二定、三相等.

(4)若a、b、cR,則abc3abc（當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）ba(5)若ab0,則2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

ab(6)a0時(shí)，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

（7）若a、bR,則||a||b|||ab||a||b|4.幾個(gè)著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么

211abababa2b2（當(dāng)僅當(dāng)

.22a=b時(shí)

取等號(hào)）即：平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：

2222abababab22特別地，ab(（當(dāng)a=b時(shí)，())ab）

2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc時(shí)取等)3322...an冪平均不等式：a12a221(a1a2...an)2n注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).

1111111常用不等式的放縮法：①2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)

（2）柯西不等式：若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;則（a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa當(dāng)且僅當(dāng)123n時(shí)取等號(hào)b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)

（3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)x1,x2(x1x2),有

f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)

).22則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).

5.不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.

6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根軸法）.

步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

2

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.

（2）分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則

f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解○1f(x)g(x)g(x)0定義域

f(x)g(x)f(x)0○2

f(x)0f(x)0○3f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)]f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)]（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)

af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb（5）對(duì)數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)（6）含絕對(duì)值不等式

1應(yīng)用分類討論思想去絕對(duì)值；○2應(yīng)用數(shù)形思想；○

3應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化○

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同時(shí)為0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：①x(1x)211242x(1x)(1x)()32232722x2(1x2)(1x2)123423②yx(1x)y()y2232792類似于ysinxcosxsinx(1sinx)，③|x1||x||1|(x與1同號(hào)，故取等)2

22xxx

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