高一數(shù)學(xué)必修1知識點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)題

高一數(shù)學(xué)必修1各章知識點(diǎn)總結(jié)

第一章集合與函數(shù)概念

一、集合有關(guān)概念1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性：

(1)元素的確定性如：世界上最高的山

(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

3.集合的表示：{}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印

度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R

1）列舉法：{a,b,c}

2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示

集合的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}3）語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn圖:

4、集合的分類：

(1)有限集含有有限個元素的集合(2)無限集含有無限個元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2

=－5｝二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集

注意：AB有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一

集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2．“相等”關(guān)系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)

實(shí)例：設(shè)A={x|x2

-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”即：①任何一個集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作

AB(或BA)

③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1

個真子集

三、集合的運(yùn)算運(yùn)算交集并集補(bǔ)集類型定由所有屬于A且屬由所有屬于集合A或設(shè)S是一個集合，A是義于B的元素所組成屬于集合B的元素所S的一個子集，由S中的集合,叫做A,B的組成的集合，叫做A,B所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子交集．記作AB（讀的并集．記作：AB集A的補(bǔ)集（或余集）作‘A交B’），即（讀作‘A并B’），記作CSA，即AB=｛x|xA，且即AB={x|xA，xB｝．或xB})．CSA={x|xS,且xA}韋恩ABABS圖A示圖1圖2性AA=AAA=A(CuA)(CuB)AΦ=ΦA(chǔ)Φ=A=Cu(AB)AB=BAAB=BAABAABＡ(CuA)(CuB)質(zhì)ABBABB=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．

例題：

1.下列四組對象，能構(gòu)成集合的是（）

A某班所有高個子的學(xué)生B著名的藝術(shù)家C一切很大的書D倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)2.集合{a，b，c}的真子集共有個

3.若集合M={y|y=x2

-2x+1,xR},N={x|x≥0}，則M與N的關(guān)系是.4.設(shè)集合A=x1x2，B=xxa，若AB，則a的取值范圍是5.50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實(shí)驗，已知物理實(shí)驗做得正確得有40人，化學(xué)實(shí)驗做得正確得有31人，

兩種實(shí)驗都做錯得有4人，則這兩種實(shí)驗都做對的有人。6.用描述法表示圖中陰影部分的點(diǎn)（含邊界上的點(diǎn)）組成的集合M=.

7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2

-5x+6=0},C={x|

x2

-mx+m2

-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．注意：

1．定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零，

(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.

相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字

母無關(guān)）；②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時具備)(見課本21頁相關(guān)例2)2．值域:先考慮其定義域(1)觀察法(2)配方法(3)代換法

3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上.(2)畫法A、描點(diǎn)法：B、圖象變換法

常用變換方法有三種1)平移變換2)伸縮變換3)對稱變換4．區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2）無窮區(qū)間

（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．5．映射

一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應(yīng)關(guān)系）：A（原象）B（象）”對于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：

集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個；不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。6.分段函數(shù)

在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2)各部分的自變量的取值情況．

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

二．函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))（1）增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.8．函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）（1）偶函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)．（2）．奇函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)．

（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

○

1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；○

2確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；○

3作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)．

注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來判定;(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.9、函數(shù)的解析表達(dá)式

（1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.（2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：1)湊配法2)待定系數(shù)法3)換元法4)消參法10．函數(shù)最大（�。┲担ǘ�義見課本p36頁）○

1利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲怠�

2利用圖象求函數(shù)的最大（小）值○

3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担喝绻�函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；例題：

1.求下列函數(shù)的定義域：⑴yx22x15⑵x33y1(x12x1)2.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為[0，1]，則函數(shù)f(x2)的定義域為__

3.若函數(shù)f(x1)的定義域為[2，3]，則函數(shù)f(2x1)的定義域是

4.函數(shù)x2(x1)f(x)x2(1x2)，若f(x)3，則x=2x(x2)5.求下列函數(shù)的值域：

⑴yx22x3(xR)⑵yx22x3x[1,2](3)yx12x(4)yx24x56.已知函數(shù)f(x1)x24x，求函數(shù)f(x)，f(2x1)的解析式7.已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)f(x)3x4，則f(x)=。

8.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x[0,)時,f(x)x(13x),則當(dāng)x(,0)時f(x)=f(x)在R上的解析式為9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

⑴yx22x3⑵yx22x3⑶yx26x110.判斷函數(shù)yx31的單調(diào)性并證明你的結(jié)論．

11.設(shè)函數(shù)f(x)1x2判斷它的奇偶性并且求證：f(1)f(x)．

1x2x

第二章基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

1．根式的概念：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其

中n>1，且n∈N*

．

負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作n00。n是奇數(shù)時，nana，當(dāng)n是偶數(shù)時，nan|a|a(a0)

a(a0)2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：

當(dāng)mannam(a0,m,nN*,n1)，

man1m1nN*,n1)

annam(a0,m,0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

（1）ararars(a0,r,sR)；

（2）(ar)sars

(a0,r,sR)；

（3）

(ab)raras

(a0,r,sR)．（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)yax(a0,且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R．

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1．2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10如：y2log2x，ylogx5都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型

5函數(shù)．

○

2對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：(a0，且a1)．2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a>10

檢驗

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高中數(shù)學(xué)必修1知識點(diǎn)

第一章集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念：

1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。2、集合的中元素的三個特性：

（1）元素的確定性；（2）元素的互異性；（3）元素的無序性

說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。

(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。

(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示：{}如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

（Ⅰ）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。

（Ⅱ）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。

①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}（3）圖示法（文氏圖）：4、常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R5、“屬于”的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作a∈A，相反，a不屬于集合A記作aA6、集合的分類：

1．有限集含有有限個元素的集合2．無限集含有無限個元素的集合3．空集不含任何元素的集合二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系子集

對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說兩集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作AB

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA集合A中有n個元素,則集合A子集個數(shù)為2n.2．“相等”關(guān)系(5≥5，且5≤5，則5=5)

2

實(shí)例：設(shè)A={x|x-1=0}B={-1,1}“元素相同”

結(jié)論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=BAB且BA①任何一個集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)③如果AB,BC,那么AC

④如果AB同時BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運(yùn)算

1．交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．

記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩�合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集與并集的性質(zhì)：A∩A=A，A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪φ=A,A∪B=B∪A.4、全集與補(bǔ)集

（1）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。

（2）補(bǔ)集：設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集（即AS），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集）。記作：CSA，即CSA={x|xS且xA}

（3）性質(zhì)：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U

(4)(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)(5)(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．

注意：1、如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實(shí)數(shù)的集合；2、函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式．

定義域補(bǔ)充：

能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.

(注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)

2、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域注意：（1）構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）。

（2）兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：①定義域一致；②表達(dá)式相同(兩點(diǎn)必須同時具備)值域補(bǔ)充

(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2)、應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。

3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象．

C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}

圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行于Y軸的直線最多只有一個交點(diǎn)

SCsAA的若干條曲線或離散點(diǎn)組成。(2)畫法：

A、描點(diǎn)法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)P(x,y)，最后用平滑的曲線將這些點(diǎn)連接起來.B、圖象變換法：

常用變換方法有三種，即平移變換、對稱變換和伸縮變換

Ⅰ、對稱變換:

（1）將y=f(x)在x軸下方的圖象向上翻得到y(tǒng)=f(x)的圖象如：書上P21例5（2）y=f(x)和y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱。如ya與yaxx1aax（3）y=f(x)和y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱。如ylogax與ylogaxlog1x

Ⅱ、平移變換:由f(x)得到f(xa)左加右減；由f(x)得到f(x)a上加下減

(3)作用：A、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；B、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路；C、提高解題的速度；發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。

4．區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．

5．映射

定義：一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB”

給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

說明:函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，①集合A、B及對應(yīng)法則f是確定的；②對應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；③對于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

6、函數(shù)的表示法：

常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn)：

1函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)：作垂直于x軸的直線與曲線最多有一個交點(diǎn)。2解析法：必須注明函數(shù)的定義域；

3圖象法：描點(diǎn)法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；4列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征．

注意：解析法：便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值補(bǔ)充一：分段函數(shù)

在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應(yīng)寫成函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．注意：（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．補(bǔ)充二：復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)稱為f是g的復(fù)合函數(shù)。7．函數(shù)單調(diào)性

（1）．增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1都有f(x1)總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；2確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；3作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)．

注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定;(2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據(jù)是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

①奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.②奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.③若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)f(x)f(|x|).④若奇函數(shù)f(x)定義域中含有0，則必有f(0)0.

⑤定義在關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù)，都可表示成“一個奇函數(shù)F(x)與一個偶函數(shù)G(x)的和（或差）”.如設(shè)f(x)是定義域為R的任一函數(shù)，則F(x)f(x)f(x)2f(x)f(x)2，G(x).

⑥復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.

⑦既奇又偶函數(shù)有無窮多個（f(x)0，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意一個數(shù)集）.

9、函數(shù)的解析表達(dá)式

（1）函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.

（2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，A、如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時，可用待定系數(shù)法；B、已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達(dá)式時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍；當(dāng)已知表達(dá)式較簡單時，也可用湊配法；C、若已知抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)10．函數(shù)最大（�。┲担ǘ�義見課本p30頁）

（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；（2）利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；

（3）利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担喝绻�函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

第二章基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1．根式的概念：

n負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作0=0。n注意：(1)(na)a

nn(2)當(dāng)n是奇數(shù)時，aa，當(dāng)n是偶數(shù)時，a|a|nna,a0a,a0

2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

m正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：an正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：a_mnna(a0,m,nN,且n1)

m1m(a0,m,nN,且n1)

an0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

（1）aaarsrs(a0,r,sR)（2）(ar)sars(a0,r,sR)（3）(ab)rarbr(a0,b0,rR)

1注意：在化簡過程中，偶數(shù)不能輕易約分；如[(12)]2122而應(yīng)=21

（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)yax叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R．注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1．即a>0且a≠12、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)00時,0(5)指數(shù)型函數(shù)：y=N(1+p)簡寫：y=ka二、對數(shù)函數(shù)（一）對數(shù)

1．對數(shù)的概念：一般地，如果axN，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作：xlogaN（a底數(shù)，N真數(shù)，logaN對數(shù)式）

說明：1.注意底數(shù)的限制，a>0且a≠1；2.真數(shù)N>03.注意對數(shù)的書寫格式．2、兩個重要對數(shù)：

（1）常用對數(shù)：以10為底的對數(shù),log10N記為lgN；

（2）自然對數(shù)：以無理數(shù)e為底的對數(shù)的對數(shù),logeN記為lnN．3、對數(shù)式與指數(shù)式的互化

xxlogaNaN

對數(shù)式指數(shù)式對數(shù)底數(shù)←a→冪底數(shù)對數(shù)←x→指數(shù)真數(shù)←N→冪結(jié)論：（1）負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)

（2）logaa=1,loga1=0特別地，lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0

(3)對數(shù)恒等式：alogNN（二）對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果a>0，a1，M>0，N>0有：

MN）logaMlogaN兩個正數(shù)的積的對數(shù)等于這兩個正數(shù)的對數(shù)和1、log（aaxx

2、logMaNnlogaMlogaN兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于這兩個正數(shù)的對數(shù)差

3、logaMnlogaM（nR）一個正數(shù)的n次方的對數(shù)等于這個正數(shù)的對數(shù)n倍

說明:

1)簡易語言表達(dá):”積的對數(shù)=對數(shù)的和”……2)有時可逆向運(yùn)用公式

3)真數(shù)的取值必須是(0,＋∞)

4)特別注意：logaMNlogaMlogaNlogaMNlogaMlogaN注意：換底公式logablogcblogcalgblgaa0,a1,c0,c1,b0

nm利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論①logab1logba②logablogbclogcdlogad③logabmnlogab

（二）對數(shù)函數(shù)

1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)ylogax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）．注意：（1）對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如：ylogax1，ylogax2都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)．

（2）對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：a>0，且a≠1

2、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)：對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，且a≠1)圖像0＜a＜1ya＞1y0(1,0)x0(1,0)x性質(zhì)定義域：（0，＋∞）值域：R過點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x＝1時,y＝0在(0,+∞)上是減函數(shù)當(dāng)x>1時，y0當(dāng)x=1時，y=0當(dāng)00且a≠1)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對稱。

5比較兩個冪的形式的數(shù)大小的方法:

(1)對于底數(shù)相同指數(shù)不同的兩個冪的大小比較,可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷.(2)對于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個冪的大小比較,可以利用比商法來判斷.

(3)對于底數(shù)不同也指數(shù)不同的兩個冪的大小比較,則應(yīng)通過中間值來判斷.常用1和0.

6比較大小的方法

(1)利用函數(shù)單調(diào)性(同底數(shù))；(2)利用中間值（如:0,1.）；(3)變形后比較；(4)作差比較（三）冪函數(shù)

1、冪函數(shù)定義：一般地，形如yx的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)．2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納．

（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過點(diǎn)（1，1）；（2）α>0時，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在[0,+∞）上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)α>1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0（1）評價模型：給定模型利用學(xué)過的知識解模型驗證是否符合實(shí)際情況。（2）幾個增長函數(shù)模型：一次函數(shù)：y=ax+b(a>0)指數(shù)函數(shù)：y=a(a>1)指數(shù)型函數(shù)：y=ka(k>0,a>1)冪函數(shù)：y=xn（nN*)對數(shù)函數(shù)：y=logax(a>1)

二次函數(shù)：y=ax+bx+c(a>0)增長快慢：V(ax)>V(xn)>V(logax)

x22x

解不等式(1)log2x<2

（3）分段函數(shù)的應(yīng)用：注意端點(diǎn)不能重復(fù)取，求函數(shù)值先判斷自變量所在的區(qū)間。

（4）二次函數(shù)模型：y=ax+bx+c(a≠0)先求函數(shù)的定義域，在求函數(shù)的對稱軸，看它在不在定義域內(nèi)，在的話代進(jìn)求出最值，不在的話，將定義域內(nèi)離對稱軸最近的點(diǎn)代進(jìn)求最值。（5）數(shù)學(xué)建模：

(6)一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布兩個根都在（m,n)內(nèi)y兩個有且僅有一個在（m,n)內(nèi)x1∈(m,n)x2∈(p,q)2

2xx

mmnnxf(m)f(n)

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