【人教版】初中數(shù)學(xué)九年級知識點總結(jié)：27相似

【人教版】初中數(shù)學(xué)九年級知識點總結(jié)：27相似

【編者按】相似以及相似三角形是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是重要內(nèi)容，運用相似三角形求解線段和角的問題是常見題型。通過本章內(nèi)容對相似三角形的學(xué)習，培養(yǎng)學(xué)生認識和觀察事物的能力和利用所學(xué)知識解決實際問題的能力。一、目標與要求

1．掌握相似多邊形的定義、表示法，并能根據(jù)定義判斷兩個多邊形是否相似．2．能根據(jù)相似比進行計算．

3．通過與相似多邊形有關(guān)概念的類比，得出相似三角形的定義,領(lǐng)會特殊與一般的關(guān)系．4．能根據(jù)定義判斷兩個多邊形是否相似，訓(xùn)練學(xué)生的判斷能力．5．能根據(jù)相似比求長度和角度，培養(yǎng)學(xué)生的運用能力．

6．通過與相似多邊形有關(guān)概念的類比，滲透類比的教學(xué)思想，并領(lǐng)會特殊與一般的關(guān)系．二、知識框架

三、重點、難點

1．理解并相似三角形的判定與性質(zhì)2．位似圖形的有關(guān)概念、性質(zhì)與作圖．3．利用位似將一個圖形放大或縮�。�

4．用圖形的坐標的變化來表示圖形的位似變換．

5．把一個圖形按一定大小比例放大或縮小后，點的坐標變化的規(guī)律．四、知識點、概念總結(jié)1.相似：

每組圖形中的兩個圖形形狀相同，大小不同，具有相同形狀的圖形叫相似圖形。相似圖形強調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無關(guān)。相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。

我們可以這樣理解相似形：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作是由另一個圖形放大或縮小得到的．

若兩個圖形形狀與大小都相同，這時是相似圖形的一種特例全等形．

2.相似三角形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形�；�為相似形的三角形叫做相似三角形

相似形的識別：對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等。

成比例線段（簡稱比例線段）：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即線段，簡稱比例線段。

黃金分割：用一點P將一條線段AB分割成大小兩條線段，若小段與大段的長度之比等于大段與全長之比，則可得出這一比值等于0618…。這種分割稱為黃金分割，分割點P叫做線段AB的黃金分割點，較長線段叫做較短線段與全線段的比例中項。3.相似三角形的判定方法:

根據(jù)相似圖形的特征來判斷。（對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等）

○1.平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

○2.如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等,那么這兩個三角形相似；3○.如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個三角形相似；4○.如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等,那么這兩個三角形相似；4.直角三角形相似判定定理:

1.斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似�！�

2.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成○

的兩個直角三角形也相似。5.一定相似的三角形

（1）兩個全等的三角形一定相似。（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比為1）

ac（或a：b=c：d），那么，這四條線段叫做成比例bd

（2）兩個等腰直角三角形一定相似（兩個等腰三角形，如果其中的任意一個頂角或底角相等，那么這兩個等腰三角形相似。）（3）兩個等邊三角形一定相似。6.三角形相似的判定定理推論

推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。推論二：腰和底對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相似。推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。

推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。推論五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應(yīng)部分成比例，那么這兩個三角形相似。7.相似的性質(zhì)

（1）相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。

（2）相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。（3）相似三角形周長的比等于相似比。（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

（5）相似三角形內(nèi)切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內(nèi)切圓、外接圓面積比是相似比的平方

（6）若a:c=c:b，即c=ab,則c叫做a,b的比例中項（7）c/d=a/b等同于ad=bc.9.相似的應(yīng)用：位似

（1）位似圖形：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比．

2

（2）掌握位似圖形概念，需注意：①位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；②兩個位似圖形的位似中心只有一個；③兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；④位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似．

（3）位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)．位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離等于位似比（相似比）．

（4）兩個位似圖形的主要特征是：每對位似對應(yīng)點與位似中心共線；不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行．

（5）利用位似，可以將一個圖形放大或縮小，其步驟見下面例題．作圖時要注意:①首先確定位似中心，位似中心的位置可隨意選擇；②確定原圖形的關(guān)鍵點，如四邊形有四個關(guān)鍵點，即它的四個頂點；③確定位似比，根據(jù)位似比的取值，可以判斷是將一個圖形放大還是縮小；④符合要求的圖形不惟一，因為所作的圖形與所確定的位似中心的位置有關(guān)，并且同一個位似中心的兩側(cè)各有一個符合要求的圖形。（參考教材：初中數(shù)學(xué)九年級人教版）

擴展閱讀：【人教版】初中數(shù)學(xué)九年級知識點總結(jié)：27相似[1]

【人教版】初中數(shù)學(xué)九年級知識點總結(jié)：27相似

【編者按】相似以及相似三角形是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是重要內(nèi)容，運用相似三角形求解線段和角的問題是常見題型。通過本章內(nèi)容對相似三角形的學(xué)習，培養(yǎng)學(xué)生認識和觀察事物的能力和利用所學(xué)知識解決實際問題的能力。一、目標與要求

1．掌握相似多邊形的定義、表示法，并能根據(jù)定義判斷兩個多邊形是否相似．2．能根據(jù)相似比進行計算．

3．通過與相似多邊形有關(guān)概念的類比，得出相似三角形的定義,領(lǐng)會特殊與一般的關(guān)系．4．能根據(jù)定義判斷兩個多邊形是否相似，訓(xùn)練學(xué)生的判斷能力．5．能根據(jù)相似比求長度和角度，培養(yǎng)學(xué)生的運用能力．

6．通過與相似多邊形有關(guān)概念的類比，滲透類比的教學(xué)思想，并領(lǐng)會特殊與一般的關(guān)系．二、知識框架

三、重點、難點

1．理解并相似三角形的判定與性質(zhì)2．位似圖形的有關(guān)概念、性質(zhì)與作圖．3．利用位似將一個圖形放大或縮�。�

4．用圖形的坐標的變化來表示圖形的位似變換．

5．把一個圖形按一定大小比例放大或縮小后，點的坐標變化的規(guī)律．四、知識點、概念總結(jié)1.相似：

每組圖形中的兩個圖形形狀相同，大小不同，具有相同形狀的圖形叫相似圖形。相似圖形強調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無關(guān)。相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。

我們可以這樣理解相似形：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作是由另一個圖形放大或縮小得到的．

若兩個圖形形狀與大小都相同，這時是相似圖形的一種特例全等形．

2.相似三角形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形�；�為相似形的三角形叫做相似三角形

相似形的識別：對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等。

成比例線段（簡稱比例線段）：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即線段，簡稱比例線段。

黃金分割：用一點P將一條線段AB分割成大小兩條線段，若小段與大段的長度之比等于大段與全長之比，則可得出這一比值等于0618…。這種分割稱為黃金分割，分割點P叫做線段AB的黃金分割點，較長線段叫做較短線段與全線段的比例中項。3.相似三角形的判定方法:

根據(jù)相似圖形的特征來判斷。（對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等）

○1.平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

○2.如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等,那么這兩個三角形相似；

3○.如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個三角形相似；

4○.如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等,那么這兩個三角形相似；4.直角三角形相似判定定理:

1.斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似�！�

2.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成○

的兩個直角三角形也相似。5.一定相似的三角形

ac（或a：b=c：d），那么，這四條線段叫做成比例bd

（1）兩個全等的三角形一定相似。（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比為1）（2）兩個等腰直角三角形一定相似（兩個等腰三角形，如果其中的任意一個頂角或底角相等，那么這兩個等腰三角形相似。）（3）兩個等邊三角形一定相似。6.三角形相似的判定定理推論

推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。推論二：腰和底對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相似。推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。

推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。推論五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應(yīng)部分成比例，那么這兩個三角形相似。7.相似的性質(zhì)

（1）相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。

（2）相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。（3）相似三角形周長的比等于相似比。（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

（5）相似三角形內(nèi)切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內(nèi)切圓、外接圓面積比是相似比的平方

（6）若a:c=c:b，即c=ab,則c叫做a,b的比例中項（7）c/d=a/b等同于ad=bc.9.相似的應(yīng)用：位似

（1）位似圖形：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比．

（2）掌握位似圖形概念，需注意：①位似是

一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；②兩個位似圖形的位似中心只有一個；③兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；④位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似．

（3）位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)．位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離等于位似比（相似比）．

（4）兩個位似圖形的主要特征是：每對位似對應(yīng)點與位似中心共線；不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行．

（5）利用位似，可以將一個圖形放大或縮小，其步驟見下面例題．作圖時要注意:①首先確定位似中心，位似中心的位置可隨意選擇；②確定原圖形的關(guān)鍵點，如四邊形有四個關(guān)鍵點，即它的四個頂點；③確定位似比，根據(jù)位似比的取值，可以判斷是將一個圖形放大還是縮��；④符合要求的圖形不惟一，因為所作的圖形與所確定的位似中心的位置有關(guān)，并且同一個位似中心的兩側(cè)各有一個符合要求的圖形。（參考教材：初中數(shù)學(xué)九年級人教版）

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