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初三《圓》章節(jié)知識點歸納總結

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初三《圓》章節(jié)知識點歸納總結

《圓》章節(jié)知識點復習

《圓》章節(jié)知識點復習

1、圓:到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心,定長為半徑的圓;

(補充)2、垂直平分線:到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線(也叫

中垂線);

3、角的平分線:到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線;

4、到直線的距離相等的點的軌跡是:平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線;

5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是:平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。

二、點與圓的位置關系

1、點在圓內dr點C在圓內;2、點在圓上dr點B在圓上;3、點在圓外dr點A在圓外;

三、直線與圓的位置關系

1、直線與圓相離dr無交點;2、直線與圓相切dr有一個交點;3、直線與圓相交dr有兩個交點;

ArBdCdOrdd=rrd

四、圓與圓的位置關系

外離(圖1)無交點dRr;外切(圖2)有一個交點dRr;相交(圖3)有兩個交點RrdRr;內切(圖4)有一個交點dRr;

《圓》章節(jié)知識點復習

內含(圖5)無交點dRr;

dR圖1rRdr圖2dR圖3r

d

五、垂徑定理

圖4RrdrR圖5垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。

推論1:(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條。唬2)弦的垂直平分線經過圓心,并且平分弦所對的兩條;

(3)平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧以上共4個定理,簡稱2推3定理:此定理中共5個結論中,只要知道其中2個即可推出其它3個結論,即:

①AB是直徑②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2個條件推出其他3個結論。推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即:在⊙O中,∵AB∥CD∴弧AC弧BD

六、圓心角定理

圓心角定理:同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弦相等,所對的弧相等,弦心距相等。此定理也稱1推3定理,即上述四個結論中,只要知道其中的1個相等,則可以推出其它的3個結論,即:①AOBDOE;②ABDE;

AODCEFACOADOBCBEDB《圓》章節(jié)知識點復習

③OCOF;④弧BA弧BD

七、圓周角定理

1、圓周角定理:同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即:∵AOB和ACB是弧AB所對的圓心角和圓周角∴AOB2ACB2、圓周角定理的推論:

推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧是等。

即:在⊙O中,∵C、D都是所對的圓周角∴CD

推論2:半圓或直徑所對的圓周角是直角;圓周角是直角所對的弧是半圓,所對的弦是直徑。

即:在⊙O中,∵AB是直徑或∵C90∴C90∴AB是直徑

推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形。

即:在△ABC中,∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

注:此推論實是初二年級幾何中矩形的推論:在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。

八、圓內接四邊形

圓的內接四邊形定理:圓的內接四邊形的對角互補,外角等于它的內對角。即:在⊙O中,

∵四邊形ABCD是內接四邊形

∴CBAD180BD180

B-3-

BOACCBOADCBOACBOACDAE《圓》章節(jié)知識點復習

DAEC

九、切線的性質與判定定理

(1)切線的判定定理:過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;兩個條件:過半徑外端且垂直半徑,二者缺一不可即:∵MNOA且MN過半徑OA外端∴MN是⊙O的切線

O(2)性質定理:切線垂直于過切點的半徑(如上圖)推論1:過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2:過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理:

即:①過圓心;②過切點;③垂直切線,三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。

十、切線長定理切線長定理:

從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等,這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

即:∵PA、PB是的兩條切線∴PAPB

PBMANOPO平分BPA

十一、圓冪定理

(1)相交弦定理:圓內兩弦相交,交點分得的兩條線段的乘積相等。即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于點P,∴PAPBPCPD

(2)推論:如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的

BOEDCBOPADACA《圓》章節(jié)知識點復習

兩條線段的比例中項。

即:在⊙O中,∵直徑ABCD,∴CEAEBE

(3)切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即:在⊙O中,∵PA是切線,PB是割線∴PAPCPB

(4)割線定理:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等(如上圖)。

即:在⊙O中,∵PB、PE是割線∴PCPBPDPE

十二、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理:兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的公共弦。

如圖:O1O2垂直平分AB。

即:∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點∴O1O2垂直平分AB十三、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式:

(1)公切線長:RtO1O2C中,AB2CO12O1O22CO22;

(2)外公切線長:CO2是半徑之差;內公切線長:CO2是半徑之和。十四、圓內正多邊形的計算(1)正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形,有關計算在RtBOD中進行:

OBAC22ADPCOBEAO1BO2的

ACO2BO1OD:BD:OB1:3:2;

D《圓》章節(jié)知識點復習

(2)正四邊形

同理,四邊形的有關計算在RtOAE中進行,OE:AE:OA1:1:2:

(3)正六邊形

同理,六邊形的有關計算在RtOAB中進行,AB:OB:OA1:3:2.

BOABODCE

十五、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式1、扇形:(1)弧長公式:lAAnR;180OSlnR21lR(2)扇形面積公式:S3602Bn:圓心角R:扇形多對應的圓的半徑l:扇形弧長S:扇形面積

2、圓柱:

(1)圓柱側面展開圖

2S表S側2S底=2rh2r

ADD1母線長底面圓周長B(2)圓柱的體積:Vrh

(2)圓錐側面展開圖

O2CB1C1(1)S表S側S底=Rrr

212(2)圓錐的體積:Vrh

3ARCrB

擴展閱讀:初三《圓》章節(jié)知識點總結201*.11.4

《圓》章節(jié)知識點復習

《圓》章節(jié)知識點復習

一、圓的概念

集合形式的概念:1、圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合;2、圓的外部:可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合;3、圓的內部:可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念:

1、圓:到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心,定長為半徑的圓;

(補充)2、垂直平分線:到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線(也叫

中垂線);

3、角的平分線:到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線;

4、到直線的距離相等的點的軌跡是:平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線;

5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是:平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。

二、點與圓的位置關系

1、點在圓內dr點C在圓內;2、點在圓上dr點B在圓上;3、點在圓外dr點A在圓外;

三、直線與圓的位置關系

1、直線與圓相離dr無交點;2、直線與圓相切dr有一個交點;3、直線與圓相交dr有兩個交點;

ArBdCdOrdd=rrd

《圓》章節(jié)知識點復習

四、圓與圓的位置關系

外離(圖1)無交點dRr;外切(圖2)有一個交點dRr;相交(圖3)有兩個交點RrdRr;內切(圖4)有一個交點dRr;內含(圖5)無交點dRr;

dR圖1rRdr圖2dR圖3r

d

五、垂徑定理

圖4RrdrR圖5垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。

推論1:(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條。唬2)弦的垂直平分線經過圓心,并且平分弦所對的兩條弧;

(3)平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧以上共4個定理,簡稱2推3定理:此定理中共5個結論中,只要知道其中2個即可推出其它3個結論,即:

①AB是直徑②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2個條件推出其他3個結論。推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即:在⊙O中,∵AB∥CD∴弧AC弧BD

COABCBADOED《圓》章節(jié)知識點復習

六、圓心角定理

圓心角定理:同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弦相等,所對的弧相等,弦心距相等。此定理也稱1推3定理,即上述四個結論中,

只要知道其中的1個相等,則可以推出其它的3個結論,即:①AOBDOE;②ABDE;

③OCOF;④弧BA弧BD

七、圓周角定理

1、圓周角定理:同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即:∵AOB和ACB是弧AB所對的圓心角和圓周角∴AOB2ACB2、圓周角定理的推論:

推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧是等弧;

即:在⊙O中,∵C、D都是所對的圓周角∴CD

推論2:半圓或直徑所對的圓周角是直角;圓周角是直角所對的弧是半圓,所對的弦是直徑。

即:在⊙O中,∵AB是直徑或∵C90∴C90∴AB是直徑

推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形。

即:在△ABC中,∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

注:此推論實是初二年級幾何中矩形的推論:在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。

BOACAODCEFBCBOADCBOACBOA《圓》章節(jié)知識點復習

八、圓內接四邊形

圓的內接四邊形定理:圓的內接四邊形的對角互補,外角等于它的內對角。即:在⊙O中,

CD∵四邊形ABCD是內接四邊形

∴CBAD180BD180DAEC

九、切線的性質與判定定理

(1)切線的判定定理:過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;兩個條件:過半徑外端且垂直半徑,二者缺一不可即:∵MNOA且MN過半徑OA外端∴MN是⊙O的切線

OBAE(2)性質定理:切線垂直于過切點的半徑(如上圖)推論1:過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2:過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理:

即:①過圓心;②過切點;③垂直切線,三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。

十、切線長定理切線長定理:

從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等,這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

BMAN即:∵PA、PB是的兩條切線∴PAPB

POPO平分BPA

A《圓》章節(jié)知識點復習

十一、圓冪定理

(1)相交弦定理:圓內兩弦相交,交點分得的兩條線段的乘積相等。即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于點P,∴PAPBPCPD

(2)推論:如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。

即:在⊙O中,∵直徑ABCD,∴CE2AEBE

(3)切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即:在⊙O中,∵PA是切線,PB是割線∴PAPCPB

(4)割線定理:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等(如上圖)。

即:在⊙O中,∵PB、PE是割線∴PCPBPDPE

十二、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理:兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的公共弦。

如圖:O1O2垂直平分AB。

即:∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點∴O1O2垂直平分AB十三、圓的公切線

兩圓公切線長的計算公式:

(1)公切線長:RtO1O2C中,AB2CO12O1O22CO22;

CO22BOPCADCBOEDAADPCOBEAO1BO2的

ABO1《圓》章節(jié)知識點復習

(2)外公切線長:CO2是半徑之差;內公切線長:CO2是半徑之和。十四、圓內正多邊形的計算(1)正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形,有關計算在RtBOD中進行:

OD:BD:OB1:3:2;

BOACD

(2)正四邊形

同理,四邊形的有關計算在RtOAE中進行,OE:AE:OA1:1:2:

(3)正六邊形

同理,六邊形的有關計算在RtOAB中進行,AB:OB:OA1:3:2.

BOABODCE

十五、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式1、扇形:(1)弧長公式:lnR180AA;

OSl(2)扇形面積公式:SnR360212lR

Bn:圓心角R:扇形多對應的圓的半徑l:扇形弧長S:扇形面積

《圓》章節(jié)知識點復習

2、圓柱:

(1)圓柱側面展開圖

S表S側2S底=2rh2r2

(2)圓柱的體積:Vr2h

(2)圓錐側面展開圖

(1)S表S側S底=Rrr2(2)圓錐的體積:V13r2h

ADD1母線長底面圓周長BCC1B1ORCArB

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