第十八章勾股定理知識點與類題總結(jié)

別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30

人教版八年級下冊勾股定理全章

類題總結(jié)

類型一：等面積法求高

【例題】如圖，△ABC中，∠

CAC=7，BC=24，CD⊥AB于D。（1）求AB的長；（2）求CD的長。

AD

ACB=900

，

B千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費用最節(jié)省，并B

求出總費用是多少？

ACDL

【練習(xí)1】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高

類型二：面積問題

【例題】如下左圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊和長為7cm,

2

則正方形A，B，C，D的面積之和為___________cm。

CBＡＢ為4cm，ＢＣ是上底面的直徑．一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，試求出爬行的最短路程．

DA7cm【練習(xí)1】如上右圖，每個小方格都是邊長為1的正方形，（1）求圖中格點四邊形ABCD的面積和周長。（2）求∠ADC的度數(shù)。

【練習(xí)2】如圖，四邊形ABCD是正方形，A

【練習(xí)2】如圖，一個牧童在小河的南4km的A處

AE⊥BE，且AE=3，BE=4，陰影

部分的面積是______.

【練習(xí)3】如圖字母B所代表的正方形的面積是()A.12B.13C.144D.194

EB25B169牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，

他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？

小河北D牧童A東

小屋BC

類型四：判斷三角形的形狀

【例題】如果ΔABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ΔABC的形狀。

類型三：距離最短問題

【例題】如圖，A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分【練習(xí)1】已知△ABC的三邊分別為m－n,2mn,

22

類型六：構(gòu)造應(yīng)用勾股定理

【例題】如圖，已知：在

中，

，

m2+n2(m,n為正整數(shù),且m＞n),判斷△ABC是否為直角三角形.

，.求：BC的長.

【練習(xí)2】若△ABC的三邊a、b、c滿足條件

a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，試判斷△ABC的形狀.

【練習(xí)3】.已知a，b，c為△ABC三邊，且滿足

(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，則它的形狀為（）三角形

A.直角B.等腰C.等腰直角D.等腰或直角

【練習(xí)4】三角形的三邊長為

(ab)2c22ab,則這個三角形是()三角形

（A）等邊（B）鈍角（C）直角（D）銳角

類型五：直接考查勾股定理

【例題】在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.。

【練習(xí)】:如圖∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,則AB的長是多少?

【練習(xí)】四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。

類型七：利用勾股定理作長為n的線段

例1在數(shù)軸上表示的點。

作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以O(shè)C為半徑，

以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點B即為

。

【練習(xí)】在數(shù)軸上表示13的點。

類型八：勾股定理及其逆定理的一般用法

【例題】若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜

邊長是20，求此直角三角形的面積。

【練習(xí)1】等邊三角形的邊長為2，求它的面積。

【練習(xí)1】如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點D落【練習(xí)2】以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是

在BC邊的點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF

（）A、8，15，17

的長。

B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40類型九：生活問題

【例題】如下左圖，在高2米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地

毯的長至少需________米．

【練習(xí)1】種盛飲料的圓柱形杯（如上右圖），測得內(nèi)部底面半徑為2.5，高為12，吸管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要露出4.6，問吸管要做。

【練習(xí)2】如下左圖學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了__________步路（假設(shè)2步為1m），卻踩傷了花草。

【練習(xí)3】如上右圖，校園內(nèi)有兩棵樹，相距12米，一棵樹高13米，另一棵樹高8米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛___________米.

類型十：翻折問題

【例題】如圖，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長嗎？CDBEA

【練習(xí)2】如圖，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分

線交BC于D若BC=8，AD=5，求AC的長。

擴(kuò)展閱讀：第18章.勾股定理知識點與常見題型總結(jié)

第18章勾股定理復(fù)習(xí)

一．知識歸納１．勾股定理

內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；

表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2b2c2

勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理．我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方２.勾股定理的證明

勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是

①圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：1方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，4ab(ba)2c2，化簡可證．

2DHEFbAcGaBC

方法二：

bacabcbccbaa

四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．

1四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S4abc22abc2

2大正方形面積為S(ab)2a22abb2所以a2b2c2

111方法三：S梯形(ab)(ab)，S梯形2SADESABE2abc2，化簡得證

2

AaDbccBbEaC

３.勾股定理的適用范圍

勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形４.勾股定理的應(yīng)用

①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊

在ABC中，C90，則ca2b2，bc2a2，ac2b2②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系③可運用勾股定理解決一些實際問題５.勾股定理的逆定理

如果三角形三邊長a，b，c滿足a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊

①勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和a2b2與較長邊的平方c2作比較，若它們相等時，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；若a2b2c2，時，以a，b，c為三邊的三角形是鈍角三角形；若a2b2c2，時，以a，b，c為三邊的三角形是銳角三角形；

②定理中a，b，c及a2b2c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c滿足a2c2b2，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊

③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形６.勾股數(shù)

①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2b2c2中，a，b，c為正整數(shù)時，稱a，b，c為一組勾股數(shù)

②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：n21,2n,n21（n2,n為正整數(shù)）；2n1,2n22n,2n22n1（n為正整數(shù)）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n為正整數(shù)）

７．勾股定理的應(yīng)用

勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題．在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運用勾股定理進(jìn)行計算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解．

８.．勾股定理逆定理的應(yīng)用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體

推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論．９.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用

勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體．通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決．常見圖形：

CCC30°ABADBBDA

CBDA

題型一：直接考查勾股定理例１.在ABC中，C90．

⑴已知AC6，BC8．求AB的長⑵已知AB17，AC15，求BC的長分析：直接應(yīng)用勾股定理a2b2c2解：⑴ABAC2BC210

⑵BCAB2AC28

題型二：應(yīng)用勾股定理建立方程例２.

⑴在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，CD＝⑵已知直角三角形的兩直角邊長之比為3:4，斜邊長為15，則這個三角形的面積為⑶已知直角三角形的周長為30cm，斜邊長為13cm，則這個三角形的面積為

分析：在解直角三角形時，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．有時可根據(jù)勾股定理列方程求解解：

⑴ACAB2BC24，CDAACBC2.4ABDBC

⑵設(shè)兩直角邊的長分別為3k，4k(3k)2(4k)2152，k3，S54

1⑶設(shè)兩直角邊分別為a，b，則ab17，a2b2289，可得ab60Sab302cm2

例３.如圖ABC中，C90，12，CD1.5，BD2.5，求AC的長

CD12EAB

分析：此題將勾股定理與全等三角形的知識結(jié)合起來解：作DEAB于E，12，C90DECD1.5在BDE中

BED90,BEBD2DE22

RtACDRtAEDACAE

在RtABC中，C90

AB2AC2BC2，(AEEB)2AC242AC3

例4.如圖RtABC，C90AC3,BC4,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積

CAB

答案：6

題型三：實際問題中應(yīng)用勾股定理

例5.如圖有兩棵樹，一棵高8cm，另一棵高2cm，兩樹相距8cm，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢，至少飛了m

AEBDC

分析：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，如圖AB8m，CD2m，BC8m，過點D作DEAB，垂足為E，則AE6m，DE8m

在RtADE中，由勾股定理得ADAE2DE210

答案：10m

題型四：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個三角形是否是直角三角形

例6.已知三角形的三邊長為a，b，c，判定ABC是否為Rt①a1.5，b2，c2.5②a52，b1，c43解：①a2b21.52226.25，c22.526.25

ABC是直角三角形且C90

②b2c21325，a2，b2c2a2ABC不是直角三角形916例7.三邊長為a，b，c滿足ab10，ab18，c8的三角形是什么形狀？

解：此三角形是直角三角形

理由：a2b2(ab)22ab64，且c264a2b2c2所以此三角形是直角三角形

題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用

例8.已知ABC中，AB13cm，BC10cm，BC邊上的中線AD12cm，求證：ABAC

證明：

ABDC

AD為中線，BDDC5cm

在ABD中，AD2BD2169，AB2169AD2BD2AB2，ADB90，AC2AD2DC2169，AC13cm，ABAC

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