初二數(shù)學(xué)上全等三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

數(shù)學(xué)第十二章第三、四周知識(shí)過關(guān)清單

全等三角形知識(shí)梳理

一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

對(duì)應(yīng)角相等性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等邊邊邊SSS全等形全等三角形邊角邊SAS應(yīng)用判定角邊角ASA角角邊AAS斜邊、直角邊HL作圖角平分線性質(zhì)與判定定理二、基礎(chǔ)知識(shí)梳理（一）、基本概念

1、“全等”的理解全等的圖形必須滿足：（1）形狀相同的圖形；（2）大小相等的圖形；

即能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等形。同樣我們把能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性質(zhì)

（1）全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；3、全等三角形的判定方法

（1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

（2）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（3）兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（4）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（5）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。

判定：到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角平分線上（二）靈活運(yùn)用定理

1、判定兩個(gè)三角形全等的定理中，必須具備三個(gè)條件，且至少要有一組邊對(duì)應(yīng)相等，因此在尋找全等的條件時(shí)，總是先尋找邊相等的可能性。

2、要善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對(duì)頂角等。3、要善于靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚�(gè)三角形全等。（1）已知條件中有兩角對(duì)應(yīng)相等，可找：

①夾邊相等（ASA）②任一組等角的對(duì)邊相等(AAS)（2）已知條件中有兩邊對(duì)應(yīng)相等，可找

①夾角相等(SAS)②第三組邊也相等(SSS)（3）已知條件中有一邊一角對(duì)應(yīng)相等，可找

①任一組角相等(AAS或ASA)②夾等角的另一組邊相等(SAS)

軸對(duì)稱知識(shí)梳理

一、基本概念

1.軸對(duì)稱圖形

如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就叫做對(duì)稱軸.折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).

2.線段的垂直平分線

經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線3.軸對(duì)稱變換

由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換.4.等腰三角形

有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.

5.等邊三角形

三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.二、主要性質(zhì)

1.如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.或者說軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

2.線段垂直平分錢的性質(zhì)

線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

3.（1）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P′（x，-y）.（2）點(diǎn)P（x,y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P″（-x，y）.4.等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱“等邊對(duì)等角”）.

（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.

（3）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在直線就是它的對(duì)稱軸.

（4）等腰三角形兩腰上的高、中線分別相等，兩底角的平分線也相等.（5）等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角是頂角的一半。（6）等腰三角形頂角的外角平分線平行于這個(gè)三角形的底邊.5.等邊三角形的性質(zhì)

（1）等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.（2）等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，共有三條對(duì)稱軸.

（3）等邊三角形每邊上的中線、高和該邊所對(duì)內(nèi)角的平分線互相重合.三、有關(guān)判定

1.與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.

2.如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡寫成“等角對(duì)等邊”）.

3.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

4.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

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全等三角形知識(shí)梳理

一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

對(duì)應(yīng)角相等性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等邊邊邊SSS全等形全等三角形邊角邊SAS判定角邊角ASA角角邊AAS斜邊、直角邊HL作圖角平分線性質(zhì)與判定定理應(yīng)用

二、基礎(chǔ)知識(shí)梳理（一）、基本概念

1、“全等”的理解全等的圖形必須滿足：（1）形狀相同的圖形；（2）大小相等的圖形；

即能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等形。同樣我們把能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性質(zhì)

（1）全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；3、全等三角形的判定方法

（1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

（2）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（3）兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（4）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（5）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。4、角平分線的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等判定：到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角平分線上

（二）靈活運(yùn)用定理

1、判定兩個(gè)三角形全等的定理中，必須具備三個(gè)條件，且至少要有一組邊對(duì)應(yīng)相等，

因此在尋找全等的條件時(shí)，總是先尋找邊相等的可能性。

2、要善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對(duì)頂角等。3、要善于靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚�(gè)三角形全等。（1）已知條件中有兩角對(duì)應(yīng)相等，可找：

①夾邊相等（ASA）②任一組等角的對(duì)邊相等(AAS)（2）已知條件中有兩邊對(duì)應(yīng)相等，可找

①夾角相等(SAS)②第三組邊也相等(SSS)（3）已知條件中有一邊一角對(duì)應(yīng)相等，可找

①任一組角相等(AAS或ASA)②夾等角的另一組邊相等(SAS)

證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟：

1.確定已知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對(duì)頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關(guān)系）；

2.回顧三角形判定公理，搞清還需要什么；3.正確地書寫證明格式（順序和對(duì)應(yīng)關(guān)系從已知推導(dǎo)出要證明的問題）。常見考法

（1）利用全等三角形的性質(zhì)：①證明線段（或角）相等；②證明兩條線段的和差等于另一條線段；③證明面積相等；（2）利用判定公理來證明兩個(gè)三角形全等；

（3）題目開放性問題，補(bǔ)全條件，使兩個(gè)三角形全等。誤區(qū)提醒

（1）忽略題目中的隱含條件；

（2）不能正確使用判定公理。

軸對(duì)稱知識(shí)梳理

一、基本概念

1.軸對(duì)稱圖形

如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就叫做對(duì)稱軸.折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).

2.線段的垂直平分線

經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線3.軸對(duì)稱變換

由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換.4.等腰三角形

有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.

5.等邊三角形

三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.二、主要性質(zhì)

1.如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.或者說軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

2.線段垂直平分錢的性質(zhì)

線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

3.（1）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P′（x，-y）.（2）點(diǎn)P（x,y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P″（-x，y）.4.等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱“等邊對(duì)等角”）.

（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.

（3）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在直線就是它的對(duì)稱軸.

（4）等腰三角形兩腰上的高、中線分別相等，兩底角的平分線也相等.（5）等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角是頂角的一半。（6）等腰三角形頂角的外角平分線平行于這個(gè)三角形的底邊.5.等邊三角形的性質(zhì)

（1）等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.（2）等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，共有三條對(duì)稱軸.

（3）等邊三角形每邊上的中線、高和該邊所對(duì)內(nèi)角的平分線互相重合.三、有關(guān)判定

1.與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.

2.如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡寫成“等角對(duì)等邊”）.

3.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

4.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

一、選擇題

1．如圖，給出下列四組條件：

①ABDE，BCEF，ACDF；②ABDE，BE，BCEF；③BE，BCEF，CF；④ABDE，ACDF，BE．其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有（）A．1組B．2組C．3組D．4組

2.如圖，D，E分別為△ABC的AC，BC邊的中點(diǎn)，將此三角形沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處．若CDE48°，則APD等于（）

3.如圖（四），點(diǎn)P是AB上任意一點(diǎn)，ABCABD，還應(yīng)補(bǔ)充一個(gè)條件，才能推出

△APC≌△APD．從下列條件中補(bǔ)充一個(gè)條件，不一定能推出△APC≌△APD的是．．．．

（）A．BCBD

B．ACADC．ACBADB

D．CABDAB

CA．42°B．48°C．52°D．58°

4

BPD

圖（四）

A

4.如圖，在△ABC與△DEF中，已有條件AB=DE，還需添加兩個(gè)條件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一組條件是()

(A)∠B=∠E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF(C)∠A=∠D，∠B=∠E（D）∠A=∠D，BC=EF5．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，若AC=10cm，則△DBE的周長等于()

A．10cmB．8cmC．6cmD．9cm

6．如圖所示，表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）

Ａ．1處Ｂ．2處Ｃ．3處Ｄ．4處

②

CD③①④AEB

7．某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎了3塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是（）

A．帶①去B．帶②去C．帶③去D．帶①②③去

8．如圖，在Rt△ABC中，B90，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC

于點(diǎn)E．已知BAE10，則C的度數(shù)為（）

A．30B．40C．50D．60

9．如圖，△ACB≌△ACB，BCB=30°，則ACA的度數(shù)為（）A．20°B．30°C．35°10．如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有（）

A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB與CD互相垂直平分

A

DBE

D．CD平分∠ACB

BCB

A

D．40°

AACB

5C

D

11．尺規(guī)作圖作AOB的平分線方法如下：以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧交OA、OB于

C、D，再分別以點(diǎn)C、D為圓心，以大于

12CD長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線

OP，由作法得△OCP≌△ODP的根據(jù)是（）

A．SASB．ASAC．AASD．SSS

12.如圖,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,則點(diǎn)D到AB的距離為()

A.5cmB.3cmC.2cmD.不能確定

13．如圖，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分別為A，B．下列結(jié)論中不一定成立的是（）

A．PAPBB．PO平分APBC．OAOBD．AB垂直平分OP14.如圖，已知ABAD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（）

A．CBCDB．∠BAC∠DACC．∠BCA∠DCAD．∠B∠D90O

ACPCDBADAPOB

ACB

BD15.觀察下列圖形，則第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是（）

第1個(gè)A．2n2二、填空題

第2個(gè)

第3個(gè)

D．4n

B．4n4C．4n4

1.如圖，已知ABAD，BAEDAC，要使△ABC≌△ADE，可補(bǔ)充的條件是（寫出一個(gè)即可）．

2.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,則△DEB的周長為________

3.如圖，BACABD，請(qǐng)你添加一個(gè)條件：，使OCOD（只添一個(gè)即可）．

4.如圖，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，則點(diǎn)D到直線AB的距離是__________厘米。

ABEODCABEDACB

5.觀察圖中每一個(gè)大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5個(gè)大三角形中白色三角形

DC有個(gè)．

第1個(gè)第2個(gè)

第3個(gè)6.已知：如圖，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，則∠AEB＝________度.7如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE、AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ.以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的結(jié)論有_______________________（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）。

8.如圖所示，AB=AD，∠1=∠2，添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使△ABC≌△ADE，則需要添加的條件是________.

OD

BOPC

DQBEAACE

A三、解答題

1.如圖，已知AB=AC，AD=AE，求證：BD=CE.

7

BDEC

2.如圖，在△ABC中，ABAC，BAC40°，分別以AB，AC為邊作兩個(gè)等腰直角三角形ABD和ACE，使BADCAE90°．（1）求DBC的度數(shù)；（2）求證：BDCE．

3.如圖，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC,BC、DE交于點(diǎn)O.求證：(1)△ABC≌△AED；(2)OB＝OE.

4.如圖，D是等邊△ABC的邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊向上作等邊△EDC，連接AE，找出圖中的一組全等三角形，并說明理由．

AEDBC

BADOCE

5.如圖，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC與DB交于點(diǎn)M．

（1）求證：△ABC≌△DCB；（2）過點(diǎn)C作CN∥BD，過點(diǎn)B作BN∥AC，CN與BN交于點(diǎn)N，試判斷線段BN與CN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

6.（如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于O點(diǎn)，12，34．求證：（1）△ABC≌△ADC；（2）BODO．B

7．如圖，在△ABC和△ABD中，現(xiàn)給出如下三個(gè)論斷：①ADBC；②CD；③12．請(qǐng)選擇其中兩個(gè)論斷為條件，另一個(gè)論斷為結(jié)論，構(gòu)造一個(gè)命題．（1）寫出所有的真命題（寫成“

：”形式，用序號(hào)表示）

ＤＣAD

MBC

N

A123O4D

C．

（2）請(qǐng)選擇一個(gè)真命題加以證明．

你選擇的真命題是：．

12

ＡＢ

證明：

8.已知：如圖，B、E、F、C四點(diǎn)在同一條直線上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C．求證：OA＝OD．

9．如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長線垂直于

過C點(diǎn)的直線于E，直線CE交BA的延長線于F．求證：BD=2CE．

10.如圖，ABAC,ADBC于點(diǎn)D，ADAE，AB平分DAE交DE于點(diǎn)F，請(qǐng)你寫出圖中三對(duì)全等三角形，并選取其中一對(duì)加以證明．．．

B

EFA郜BDAEFCDC

11．（7分）已知：如圖，DC∥AB，且DC=AE，E為AB的中點(diǎn)，

（1）求證：△AED≌△EBC．

（2）觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除△EBC外，請(qǐng)?jiān)賹懗鰞蓚�(gè)與△AED的面積

相等的三角形．（直接寫出結(jié)果，不要求證明）：

12．如圖①，E、F分別為線段AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于點(diǎn)M．（1）求證：MB=MD，ME=MF

（2）當(dāng)E、F兩點(diǎn)移動(dòng)到如圖②的位置時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成立請(qǐng)給予證明；若不成立請(qǐng)說明理由．

BEAODC

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