初三下學期銳角三角函數(shù)知識點總結(jié)

初三下學期銳角三角函數(shù)知識點總結(jié)

1、勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。a2b2c22、如下圖，在Rt△ABC中，∠C為直角，則∠A的銳角三角函數(shù)為(∠A可換成∠B)：定義表達式取值范圍關(guān)系A(chǔ)的對邊0sinA1正asinAsinA斜邊c弦(∠A為銳角)A的鄰邊0cosA1余bcosAcosA斜邊c弦(∠A為銳角)A的對邊tanA0正atanAtanAA的鄰邊b切(∠A為銳角)A的鄰邊cotA0余bcotAcotAA的對邊a切(∠A為銳角)sinAcosBcosAsinBsin2Acos2A1tanAcotBcotAtanBtanA1(倒數(shù))cotAtanAcotA13、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。

B由AB90得B90AsinAcosBcosAsinB

sinAcos(90A)cosAsin(90A)斜邊c對a邊C

Ab鄰邊

4、任意銳角的正切值等于它的余角的余切值；任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。

tanAcotBcotAtanB由AB90得B90AtanAcot(90A)cotAtan(90A)5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值(重要)三角函數(shù)sin0°010不存在30°1245°2260°321290°10不存在0costancot32332211336、正弦、余弦的增減性：

當0°≤≤90°時，sin隨的增大而增大，cos隨的增大而減小。7、正切、余切的增減性：當

0°210.在Rt△ABC中，∠C為直角，sinA=2，則cosB的值是

()

1A．2；

3B．2；

C．1；

2D．2

11.當銳角A>450時，sinA的值()

22A．小于2；B．大于2；

33C．小于2D．大于2

12．若兩圓的半徑分別是1cm和5cm，圓心距為6cm，則這兩圓的位置關(guān)系是（）

A．內(nèi)切B．相交C．外切D．外離13.⊙O的半徑為5，圓心O到直線l的距離為3，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）

A．相交B．相切C．相離D．無法確定

14．在平面直角坐標系中，以點（2，3）為圓心，2為半徑的圓必定（）

A．與x軸相離、與y軸相切B．與x軸、y軸都相離C．與x軸相切、與y軸相離D．與x軸、y軸都相切15.一條弧所對的圓心角是90，半徑是R，則這條弧的長是．

16.若弧AB的長為所對的圓的直徑長，則弧AB所對的圓周角的度數(shù)為

36017.扇形的周長為16，圓心角為，則扇形的面積是（

）Ａ．16Ｂ．32Ｃ．64Ｄ．16

18.一個扇形的半徑等于一個圓的半徑的2倍，且面積相等．求這個扇形的圓心角．

19．半徑為6cm的圓中，60的圓周角所對的弧的弧長為．

20．半徑為9cm的圓中，長為12cm的一條弧所對的圓心角的度數(shù)為．

21．如圖，A是⊙O外一點，B是⊙O上一點，AO的延長線交⊙O于點C，連結(jié)BC，∠C＝22.5°，∠A=45°。求證：直線AB是⊙O的切線。

22.已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC平行于弦AD．求證：DC是⊙O的切線

擴展閱讀：初三銳角三角函數(shù)知識點總結(jié)、典型例題、練習(精選)

三角函數(shù)：

知識點一：銳角三角函數(shù)的定義：一、銳角三角函數(shù)定義：

在Rt△ABC中，∠C=900,∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，則∠A的正弦可表示為：sinA=，∠A的余弦可表示為cosA=

∠A的正切：tanA=，它們弦稱為∠A的銳角三角函數(shù)

【特別提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一個整體，是兩條線段的比，沒有，這些比值只與有關(guān)，與直角三角形的無關(guān)2、取值范圍】

例1．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．

第1題圖

①sinA②cosA③tanA(斜邊(斜邊))(斜邊(斜邊))＝______，＝______，

sinBcosBtanB＝______；＝______；

()＝______，

A的鄰邊B的對邊＝______．

()例2.銳角三角函數(shù)求值：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，則c＝______，

sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．

例3．已知：如圖，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R點，TN＝4，MN＝3．

求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．

典型例題：

類型一：直角三角形求值

31．已知Rt△ABC中，C90,tanA,BC12,求AC、AB和cosB．

4

2．已知：如圖，⊙O的半徑OA＝16cm，OC⊥AB于C點，sinAOC求：AB及OC的長．

34

3．已知：⊙O中，OC⊥AB于C點，AB＝16cm，sinAOC(1)求⊙O的半徑OA的長及弦心距OC；(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．

4.已知A是銳角，sinA

對應訓練：

（西城北）3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=5，則tanA的值為

A．358，求cosA，tanA的值171525B．C．D．25523(房山)5．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于（）.

53434A．B.C.D.

5543

類型二.利用角度轉(zhuǎn)化求值：

1．已知：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC邊上一點，DE⊥AB于E點．

DE∶AE＝1∶2．

求：sinB、cosB、tanB．

2．如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點C(0，5)和點O(0，0)，與x軸的正半軸交于點D，B是y

軸右側(cè)圓弧上一點，則cos∠OBC的值為（）A．

3134B．C．D．

2552yCOABDx第8題圖3.（201*孝感中考）如圖，角的頂點為O，它的一邊在x軸的正半軸上，另一邊OA上有一點P（3，4），則sin．

4.（201*慶陽中考）如圖，菱形ABCD的邊長為10cm，DE⊥AB，sinA的面積=cm2．

5.（201*齊齊哈爾中考）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，若⊙O的半徑為

3，則這個菱形53，AC2，則sinB的值是（）2

2334B．C．D．32436.如圖4，沿AE折疊矩形紙片ABCD，使點D落在BC邊的點F處．已知AB8，BC10，AB=8,則tan∠EFC的值為()

A．

ADE34Ａ．Ｂ．

433Ｃ．

54BＤ．

5FC

7.如圖6，在等腰直角三角形ABC中，C90，AC6，D為AC上一點，若

1tanDBA，則AD的長為()

5A．2B．2C．1D．22

8.如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分線AD=度數(shù)及邊BC、AB的長.

A163求∠B的3CDB

圖6

類型三.化斜三角形為直角三角形例1（201*安徽）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的長．

例2．已知：如圖，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，sinA(1)求AB邊上的高CD；

4

1

(2)求△ABC的面積S；(3)求tanB．

例3．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．

求：sin∠ABC的值．

對應訓練

1．（201*重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點D在BC邊上，且△ABD是等邊三角形．若AB=2，求△ABC的周長．（結(jié)果保留根號）

2．已知：如圖，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面積等于9，求sinB．

3.ABC中，∠A=60°，AB=6cm，AC=4cm，則△ABC的面積是

A.23cm2C.63cm2

B.43cm2

D.12cm2

類型四：利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形

例1（201*內(nèi)江）如圖所示，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為（）A．125510B．C．D．25510

對應練習：

1．如圖，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA=_______.

5

ABC

2．如圖，A、B、C三點在正方形網(wǎng)絡線的交點處，若將ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到

AC"B"，則tanB"的值為

A.

3．正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖放置，則tan∠AOB的值是（）

A．

OB111B.C.D.1

3425

5B.

251

C.D.252

A

特殊角的三角函數(shù)值

30°45°60°銳角sincostan

當時，正弦和正切值隨著角度的增大而余弦值隨著角度的增大而

例1．求下列各式的值．

（昌平）1）.計算：2cos302sin45tan60．

（朝陽）2）計算：tan60sin452cos30.

（201*黃石中考）計算：31+(2π－1)0－

－

23tan30°－tan45°3

31．(石景山)4．計算：2cos60sin45tan3022

(通縣)5．計算：

0tan45sin30；

1cos60

例2．求適合下列條件的銳角．

(1)cos

(3)sin2

（5）已知為銳角，且tan(30)3，求tan的值

（）在ABC中，若cosA數(shù)

例3.三角函數(shù)的增減性1．已知∠A為銳角，且sinA<

012(2)tan3322

(4)6cos(16)33

122(sinB)0，A，B都是銳角，求C的度221，那么∠A的取值范圍是2A.0°

A.0°7

例4.三角函數(shù)在幾何中的應用

1．已知：如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，sinA求此菱形的周長．

1213

2．已知：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，ACBC3，作∠DAC＝30°，AD交CB于D點，求：

(1)∠BAD；

(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．

3.已知：如圖△ABC中，D為BC中點，且∠BAD＝90°，tanB∠CAD、tan∠CAD．

1，求：sin∠CAD、cos3

4.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB的值．

3，點D在BC邊上，DC=AC=6，求tan∠BAD5A

5.（本小題5分）如圖，△ABC中，∠A=30°，tanBBDC3，2CABAC43．求AB的長.

解直角三角形：

1．在解直角三角形的過程中，一般要用的主要關(guān)系如下(如圖所示)：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，

①三邊之間的等量關(guān)系：________________________________．

②兩銳角之間的關(guān)系：__________________________________．③邊與角之間的關(guān)系：

sinAcosB______；cosAsinB_______；

tanA11_____；tanB______．

tanAtanB④直角三角形中成比例的線段(如圖所示)．

在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．

CD2＝_________；AC2＝_________；BC2＝_________；ACBC＝_________．

類型一

例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°．

(1)已知：a＝35，c352，求∠A、∠B，b；

(2)已知：a23，b2，求∠A、∠B，c；

(3)已知：sinA

(4)已知：tanB

(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面積S123,求a、b、c及∠B．

9

2，c6，求a、b；33,b9,求a、c；

例2．已知：如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的長．

例3．已知：如圖，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的長．

例4．已知：如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的長．

類型二：解直角三角形的實際應用仰角與俯角：例1．（201*福州）如圖，從熱氣球C處測得地面A、B兩點的俯角分別是30°、45°，如果此時熱氣球C處的高度CD為100米，點A、D、B在同一直線上，則AB兩點的距離是（）

A．200米B．C．D．200米220米100（）米例2．已知：如圖，在兩面墻之間有一個底端在A點的梯子，當它靠在一側(cè)墻上時，梯子的頂端在B點；當它靠在另一側(cè)墻上時，梯子的頂端在D點．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．點D到地面的垂直距離DE32m，求點B到地面的垂直距離BC．

例3（昌平）19.如圖，一風力發(fā)電裝置豎立在小山頂上，小山的高BD=30m．從水平面上一點C測得風力發(fā)電裝置的頂端A的仰角∠DCA=60°，測得山頂B的仰角∠DCB=30°，求風力發(fā)電裝置的高AB的長．

例4.如圖，小聰用一塊有一個銳角為30的直角三角板測量樹高，已知小聰和樹都與地面垂直，且相距33米，小聰身高AB為1.7米，求這棵樹的高度.

例5．已知：如圖，河旁有一座小山，從山頂A處測得河對岸點C的俯角為30°，測得岸邊點D的俯角為45°，又知河寬CD為50m．現(xiàn)需從山頂A到河對岸點C拉一條筆直的纜繩AC，求山的高度及纜繩AC的長(答案可帶根號)．

ABDEC

例5．（201*泰安）如圖，為測量某物體AB的高度，在D點測得A點的仰角為30°，朝物體AB方向前進20米，到達點C，再次測得點A的仰角為60°，則物體AB的高度為（）

A．10米B．10米C．20米D．米例6．（201*益陽）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同學嘗試用自己所學的知識檢測車速．如圖，觀測點設在A處，離益陽大道的距離（AC）為30米．這時，一輛小轎車由西向東勻速行駛，測得此車從B處行駛到C處所用的時間為8秒，∠BAC=75°．

（1）求B、C兩點的距離；

（2）請判斷此車是否超過了益陽大道60千米/小時的限制速度？

（計算時距離精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，

3≈1.732，60千米/小時≈16.7米/秒）

類型四.坡度與坡角

例．（201*廣安）如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：3，堤壩高BC=50m，則應水坡面AB的長度是（）

A．100mB．1003mC．150mD．503m

類型五.方位角

1．已知：如圖，一艘貨輪向正北方向航行，在點A處測得燈塔M在北偏西30°，貨輪以每小時20海里的速度航行，1小時后到達B處，測得燈塔M在北偏西45°，問該貨輪繼續(xù)向北航行時，與燈塔M之間的最短距離是多少?(精確到0.1海里，31.732)

2．（201*恩施州）新聞鏈接，據(jù)[僑報網(wǎng)訊]外國炮艇在南海追襲中國漁船被中國漁政逼退201*年5月18日，某國3艘炮艇追襲5條中國漁船．剛剛完成黃巖島護漁任務的“中國漁政310”船人船未歇立即追往北緯11度22分、東經(jīng)110度45分附近海域護漁，保護100多名中國漁民免受財產(chǎn)損失和人身傷害．某國炮艇發(fā)現(xiàn)中國目前最先進的漁政船正在疾速馳救

中國漁船，立即掉頭離去．（見圖1）

解決問題

如圖2，已知“中國漁政310”船（A）接到陸地指揮中心（B）命令時，漁船（C）位于陸地指揮中心正南方向，位于“中國漁政310”船西南方向，“中國漁政310”船位于陸地指揮中心南偏東60°方向，AB=

海里，“中國漁政310”船最大航速20海里/時．根據(jù)以上信息，

請你求出“中國漁政310”船趕往出事地點需要多少時間．

綜合題：

三角函數(shù)與四邊形：

（西城二模）1．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC=

6

．3

(1)求BD的長；(2)求AD的長．

（201*東一）18．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A分別作AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F．

（1）求證：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF=

13

243，sinBAE，求CF的長．

三角函數(shù)與圓：

1．如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點C(0，5)和點O(0，0)，與x軸的正半軸交于點D，B是y

軸右側(cè)圓弧上一點，則cos∠OBC的值為（）A．

3134B．C．D．

2552

yCA

ODxB第8題圖

（延慶）19.已知：在⊙O中,AB是直徑，CB是⊙O的切線，連接AC與⊙O交于點D,

C(1)求證：∠AOD=2∠C(2)若AD=8，tanC=

4，求⊙O的半徑。3D

BAO

（201*朝陽期末）21.如圖，DE是⊙O的直徑，CE與⊙O相切，E為切點.連接CD交⊙O于點B，在EC上取一個點F，使EF=BF.（1）求證:BF是⊙O的切線;（2）若cosC

作業(yè)：

（昌平）1．已知sinA4,DE=9，求BF的長．5EODBFC1，則銳角A的度數(shù)是2A．75B．60C．45D．30（西城北）2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=5，則tanA的值為

A．1525B．C．D．2552

3(房山)3．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于（）.

53434A．B.C.D.

5543

B3(大興)4.若sin，則銳角＝.

2(石景山)1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC=2，則tanB的值是

A．

（豐臺）5．將∠α放置在正方形網(wǎng)格紙中，位置如圖所示，則tanα的值是A．

AC23B．32C．255D．213132551B．2C．D．

522344D.

5B.

α(大興)5.△ABC在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖所示，則sin的值是354C.

3A.

(通縣)4．如圖，在直角三角形ABC中，斜邊AB的長為m，B40，

則直角邊BC的長是（）A．msin40C．mtan40

（通州期末））1．如圖，已知P是射線OB上的任意一點，PM⊥OA于M，且OM:OP=4:5，則cosα的值等于（）A．

（西城）6．如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，若OB長為10，cosBOD

B．mcos40D．

m

tan40Pα第1題圖B4343B．C．D．

5345OMA3，則AB的長是5A.20B.16C.12D.87.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=

4，那么tanA的值是515

A．

3534B．C．D．53433511．如圖，在△ABC中，∠ACB=∠ADC=90°，若sinA=，則cos∠BCD的值為．

13.計算：2cos302sin45tan60

13．計算2sin602cos453tan30tan45.

13．計算：2sin604cos30+sin45tan60．

14.如圖，小聰用一塊有一個銳角為30的直角三角板測量樹高，已知小聰和樹都與地面垂直，且相距33米，小聰身高AB為1.7米，求這棵樹的高度.

15．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=46，b=122.解這個直角三角形

20.如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分線，tanB=

CDBA

（延慶）19.已知：在⊙O中,AB是直徑，CB是⊙O的切線，連接AC與⊙O交于點D,

C(3)求證：∠AOD=2∠C

ABDEC2CADB

CD1，求的值．2BDD

16

AOB

(4)若AD=8，tanC=

4，求⊙O的半徑。3

（延慶期末）19．如圖，某同學在樓房的A處測得荷塘的一端B處的俯角為30，荷塘另一端D處C、B在同一條直線上，已知AC32米，CD16米，求荷塘寬BD為多少米？（結(jié)果保留根號）

18.（6分）如圖，在△ABC中，點O在AB上，以O為圓心的圓

經(jīng)過A，C兩點，交AB于點D，已知2∠A+∠B=90．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若OA=6，BC=8，求BD的長．（1）證明：

（2）解：（西城）sin∠CBD=

18．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45°方向，距離燈塔100海

里的A處，它計劃沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處.

（1）B處距離燈塔P有多遠？

（2）圓形暗礁區(qū)域的圓心位于PB的延長線上，距離燈塔200

第18題圖CAODB15．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D在AC邊上．若DB=6，AD=

1CD，22，求AD的長和tanA的值．3[來源學科網(wǎng)]

海里的O處．已知圓形暗礁區(qū)域的半徑為50海里，進入圓形暗礁區(qū)域就有觸礁的危險．請判斷若海輪到達B處是否有觸礁的危險，并說明理由．

22．已知，如圖，在△ADC中，ADC90，以DC為直徑作半圓O，交邊AC于點F，點B在CD的延長線上，連接BF，交AD于點E，BED2C．（1）求證：BF是O的切線；

A（2）若BFFC，AE3，求O的半徑．FE

BOD

15．如圖，為了測量樓AB的高度，小明在點C處測得樓AB的頂端A的仰角為30，又向前走了20米后到達點D，點B、D、C在同一條直線上，并在點D測得樓AB的頂端A的仰角為60，求樓AB的高．

14.（201*眉山中考）海船以5海里/小時的速度向正東方向行駛，在A處看見燈塔B在海船的北偏東60°方向，2小時后船行駛到C處，發(fā)現(xiàn)此時燈塔B在海船的北偏西45方向，求此時燈塔B到C處的距離。

C

15.（201*常德中考）如圖，某人在D處測得山頂C的仰角為30o，向前走200米來到山腳A處，測得山坡AC的坡度為i=1∶0.5，求山的高度（不計測角儀的高度，3≈1.73，結(jié)果保留整數(shù)）．

16.（201*廣安中考）如圖，某幼兒園為了加強安全管理，決定將園內(nèi)的滑滑板的傾角由45

降為30，已知原滑滑板AB的長為5米，點D、B、C在同一水平地面上．

（1）改善后滑滑板會加長多少？（精確到0.01）

（2）若滑滑板的正前方能有3米長的空地就能保證安全，原滑滑板的前方有6米長的空地，像這樣改造是否可行？說明理由。

(參考數(shù)據(jù)：21.414,31.732,62.449)

18.在一次數(shù)學活動課上，海桂學校初三數(shù)學老師帶領(lǐng)學生去測萬泉河河寬，如圖13所示，某學生在河東岸點A處觀測到河對岸水邊有一點C，測得C在A北偏西31的方向上，沿河岸向北前行20米到達B處，測得C在B北偏西45的方向上，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助該同學計算出這條河的寬度．（參考數(shù)值：tan31°≈．

31，sin31°≈）52圖13

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