北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)知識(shí)總結(jié)

九年級(jí)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)北師大版

【同步教育信息】

一.本周教學(xué)內(nèi)容：期末復(fù)習(xí)

從今天開始我們將進(jìn)入期末復(fù)習(xí)，分二部分，今天復(fù)習(xí)第一、二、三、四章，下次復(fù)習(xí)剩下的內(nèi)容。首先來看一下各章的知識(shí)體系總結(jié)。

由于第一章和第三章知識(shí)有一定的聯(lián)系，所以將第一、三章的知識(shí)體系放在一起。

證明（二）（三），這兩章一共可分為五大部分：第一部分：通過探索、猜測、計(jì)算和證明得到定理。（1）與等腰三角形、等邊三角形有關(guān)結(jié)論。（2）與直角三角形有關(guān)的結(jié)論。（3）與一般三角形有關(guān)的結(jié)論。（4）與平行四邊形有關(guān)的結(jié)論。（5）特殊平行四邊形有關(guān)的結(jié)論。第二部分：命題的逆命題及其真假。第三部分：尺規(guī)作圖線段的垂直平分線角的平分線第四部分我們?cè)賮砜匆幌缕叫兴倪呅闻c幾種特殊平行四邊形的關(guān)系是邊形四行的平等邊相鄰一組菱形一個(gè)角是直角的菱形平行四邊形對(duì)角線垂直、相等的平行四邊形是是矩形的相等邊鄰一組正方形有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形最后我們?cè)僖黄鸹貞浺话闼倪呅魏推叫兴倪呅渭疤厥馄叫兴倪呅蔚年P(guān)系：順次連結(jié)任意四邊形中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形。順次連結(jié)對(duì)角線相互垂直的四邊形的四邊中點(diǎn)得矩形。順次連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)得菱形。順次連結(jié)對(duì)角線相互垂直平分且相等的四邊形的四邊中點(diǎn)得正方形。下面再來看一下第二章：對(duì)于一元二次方程的解法，本章介紹了配方法、公式法和分解因式法。一般來說，公式法對(duì)于解任何一元二次方程都適用，是解一元二次方程的通法，但在解題時(shí)，應(yīng)具體分析選擇適當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>

對(duì)于利用方程解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是找到其中的等量關(guān)系，解出一元二次方程的根之后，要根據(jù)實(shí)際情況合理的解釋其實(shí)際意義，可列出如下的知識(shí)體系：近似解法配方法引入豐富的問題情境一元二次方程精確解法公式法分解因式法應(yīng)用（注意驗(yàn)證解的合理性）第四章，本章知識(shí)分兩大部分：視圖和投影

先看視圖，對(duì)于圓柱、圓錐和球的視圖，復(fù)習(xí)時(shí)要分析它們?nèi)�視圖的異同；對(duì)于直立棱柱和直四棱柱的視圖。要明確各棱之間的位置關(guān)系，并注意三種視圖中虛線的意義。

再看投影，平行投影和中心投影要以回想實(shí)例為主，可從舞臺(tái)的燈光、臺(tái)燈、手電筒、探照燈、皮影、手影、日晷等實(shí)例中，體會(huì)其中包含的數(shù)學(xué)知識(shí)。本章的知識(shí)體系如下：

視圖簡單的幾何體視圖：圓柱、圓錐、球、直立棱柱、直四棱柱等。豐富的實(shí)例平行投影投影燈光與影子中心投影視線和盲區(qū)【例題分析】

例1.在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，已知AB＝10，AC＝16，求MN。ANBMDC分析：在本題中出現(xiàn)了角平分線、中點(diǎn)，于是我們應(yīng)該聯(lián)想到三角形中位線和角平分線性質(zhì)定理，利用角平分線的性質(zhì)，可考慮延長BN交AC于D，由AN⊥BN，AN平分∠BAD可得BN＝DN，AB＝AD，再由M、N分別是BC和BD中點(diǎn)得出MN是△BCD的中位線，最后不難得出結(jié)論。解：延長BN交AC于D∠1∠2，ANBDABAD且BNDN

又M是BC的中點(diǎn)，BMMCMN是BCD中位線MN1111DCACADACAB1610322即MN＝3

例2.命題“在直角三角形中如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°”是真命題嗎？如果是，請(qǐng)證明它。

分析：此題是讓我們證明命題，證明命題應(yīng)注意分以下幾步：（1）根據(jù)條件和結(jié)論畫出圖形；（2）根據(jù)條件并結(jié)合圖形寫出已知，根據(jù)結(jié)論寫出求證；（3）分析題意并寫出證明過程。

此題告訴我們是在Rt△中且結(jié)論中有一個(gè)角為30°，所以我們想到另一個(gè)角為60°，于是我們就想到能否利用等邊三角形解決這個(gè)問題，所以我們就把已畫出的Rt△補(bǔ)成了一個(gè)等邊三角形，再利用等邊三角形三邊相等和三角都等于60°來解決此題。解：已知RtABC中，C90，BC1AB，求證：CAB302ADCB證明：延長BC到D使CD＝BC，連結(jié)ADBCCD，BC12BD又BC12AB，BDAB又在RtACB和RtACD中，

ACACACBACD90

DCBCACDACBADAB

ABD為等邊三角形ABC60CAB30即原命題得證。

例3.如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，EF∥AC。求證：BE＝FCAE123DBFC分析：要證明BE＝FC，但由于BE和FC既不是一個(gè)三角形中的兩邊，也不是同一個(gè)四邊形中的邊，所以應(yīng)設(shè)法找另一線段來過渡，觀察圖很容易看出四邊形EFCD是平行四邊形，那么FC＝ED，所以ED即為所找的過渡邊，然后由角平分線定義和平行線的性質(zhì)，可得到ED＝BE，問題就很輕松解決了。證：∵ED∥FC，EF∥CD∴四邊形EFCD為平行四邊形∴FC＝ED

又∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2又∵ED∥BC，∴∠3＝∠2

∴∠1＝∠3，∴BD＝ED，∴BE＝FC例4.正方形ABCD中M是BC上一點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)，且AM＝DC＋CM。求證：AN平分∠DAMA1DN2BMCE分析：已知AM＝DC＋CM，于是可以把MC延長，同時(shí)把AN延長，兩者交于E。利用正方形邊相等和三角形全等證明AM＝ME，從而證明△AME為等腰三角形，得到兩底角相等，進(jìn)而證明AN平分∠DAM。證：延長MC交AN延長線于E∵N是DC中點(diǎn)，∴DN＝CN又∵四邊形ABCD為正方形∴AD＝CD，∠D＝∠NCE＝90°∵AD∥CB，∴∠1＝∠2∴在△ADN與△ECN中，

DNCN∠DAN∠E

∠D∠NCEADNECN(AAS)CEADCD又∵AM＝CM＋CD∴AM＝CM＋CE＝ME∴△AME為等腰三角形∴∠E＝∠EAM又∵∠E＝∠DAN

∴∠DAN＝∠NAM，即AN平分∠DAM

（說明：此題也可以利用補(bǔ)長AD，利用等腰三角形頂角角平分線與底邊中線重合，證之。）例5.用配方法解一元二次方程3x2＋8x－3＝0。

分析：配方法解一元二次方程是解一元二次方程的三種方法中難度最大的一種，其要點(diǎn)是：（1）化成一元二次方程的一般形式；（2）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊；（3）把二次項(xiàng)系數(shù)化為1；（4）等號(hào)兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程化成xpq(q0)的形式；（5）兩邊同時(shí)開方，化二次方程為一次方程；（6）解一次方程。解：移項(xiàng)得：3x28x3兩邊同時(shí)除以3得：x2228x13281625442兩邊同時(shí)加上得：xx133399425配方得：x394545或x33331解一元二次方程得：x1，x23

3兩邊同時(shí)開方得：x

例6.將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元出售時(shí)，每月能賣500個(gè)，已知該商品每漲價(jià)1元，每月銷售量就減少10個(gè)，為了每月賺8000元利潤，售價(jià)應(yīng)定為多少元，這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？分析：本題的主要等量關(guān)系是：每件商品的利潤×平均每月銷售該商品的數(shù)量＝8000

如果設(shè)售價(jià)為x元，那么每件商品漲了（x－50）元，每件該商品的利潤即為（x－40）元，平均每月銷售的數(shù)量為［500－10（x－50）］個(gè)，這樣就可以列出一個(gè)方程，進(jìn)而解決問題了。解：設(shè)售價(jià)為x元，根據(jù)題意，得：x4050010x508000解這個(gè)方程得：x180，x260

2x5080501050010201*1x5060501050010400當(dāng)x260時(shí)，50011當(dāng)x180時(shí)，500答：當(dāng)售價(jià)為80元時(shí)應(yīng)進(jìn)貨200個(gè)；當(dāng)售價(jià)為60元時(shí)應(yīng)進(jìn)貨400個(gè)。

例7.畫出如圖所示立體圖形的三視圖（相當(dāng)于在平放著的一塊磚的中間靠后又立放著一塊磚）分析：從正面看是一個(gè)橫放的較窄長方形，上面中間處貼放著一個(gè)豎放的稍寬一點(diǎn)的小長方形，從左面看一個(gè)橫放的窄長方形最左邊的上方貼放著一個(gè)豎放的窄長方形，從上往下看，外圍是一個(gè)橫放的較寬的長方形，在此長方形的最上邊靠中間位置處又放著一個(gè)橫放的小長方形，由此我們可以畫出這個(gè)幾何體的三視圖。解：

主視圖左視圖俯視圖例8.下列兩幅圖形中，左圖表示北方某地中心廣場一角，中間有一路燈，周圍有護(hù)欄，請(qǐng)判斷右圖是左圖在上午、下午，還是晚上的景象？北西東南分析：此題可用排除法解決。若是上午該護(hù)欄的影子應(yīng)在西方，而右圖中影子是北偏東方向，所以不可能是上午。若是晚上，護(hù)欄的影子應(yīng)與路燈的底部和該護(hù)欄的底部在同一條直線上，而此圖不滿足此要求。所以答案只能是下午。解：是下午的景象。

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二次根式

知識(shí)點(diǎn)1．式子a（a≥0）叫做二次根式．1、下列各式①－

m21②38③x1

④5⑤π是二次根式的是

2、x為怎么樣的值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義3x4x5x1x23xx25(x6)2x77x2x6x1知識(shí)點(diǎn)2．最簡二次根式

同時(shí)滿足：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不含根號(hào)）；②被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)或因式．這樣的二次根式叫做最簡二次根式．1、下列式子中是最簡的二次根式的是：

42①

8y2②x21③a④

1.7⑤

3⑥73

2、（1）18n是整數(shù),求自然數(shù)n的值是(2)24n整數(shù)，求正整數(shù)n的最小值是知識(shí)點(diǎn)3．同類二次根式

幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類二次根式．1、若a43b1與a4是同類二次根式，則

ab2、若3x1與x3是同類二次根式，則x=知識(shí)點(diǎn)4．二次根式的性質(zhì)

①（a）2

=a（a≥0）；a0(a0)

②a2=│a│=a(a0)0(a0)；

a(a0)1、化簡x11x=______．2、若a0）．1、(4641238)222、(322)2

3、23022313254、12(13112)

一元二次方程

知識(shí)點(diǎn)1．一元二次方程的判斷標(biāo)準(zhǔn)：（1）方程是整式方程

（2）只有一個(gè)未知數(shù)（一元）

（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）三個(gè)條件同時(shí)滿足的方程就是一元二次方程

1、下面關(guān)于x的方程中：①ax2+bx+c=0；②3x2

-2x=1；③x+3=

1x；④x2-y=0；④（x+1）2=x2

-1．一元二次方程的個(gè)數(shù)是.

2、若方程kx2+x=3x2

+1是一元二次方程，則k的取值范圍是_________．

3、若關(guān)于x的方程xk22k1x50是一元二

1、直接開方解法方程

次方程，則k的取值范圍是_________．

|m|+1

4、若方程（m-1）x-2x=4是一元二次方程，則m=______．

知識(shí)點(diǎn)2．一元二次方程一般形式及有關(guān)概念

一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，1(x6)230(x3)22

22、用配方法解方程

x22x10x24x30

都能化成一元二次方程的一般形式

ax2bxc0(a0)，

ax2是二次項(xiàng)，a為二次項(xiàng)系數(shù)，bx是一次項(xiàng)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。注意:二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都包括前面的符號(hào)1、將一元二次方程3x(x1)5(x2)化成一般形式為_____________，其中二次項(xiàng)系數(shù)a=________，一次項(xiàng)系數(shù)b=__________，常數(shù)項(xiàng)c=__________知識(shí)點(diǎn)3．完全平方式

1、說明代數(shù)式2x24x1總大于x22x4

2、已知a1a10,求a1a的值.

3、若x2

+mx+9是一個(gè)完全平方式，則m=，

若x2+6x+m2

是一個(gè)完全平方式，則m的值是。若4x2kx9是完全平方式，則k=。知識(shí)點(diǎn)4．整體運(yùn)算

1、已知x2+3x+5的值為11，則代數(shù)式3x2

+9x+12的值為

2、已知實(shí)數(shù)x滿足x2x10則代數(shù)式3x23x7的值為____________知識(shí)點(diǎn)5．方程的解

1、已知關(guān)于x的方程x2+3x+k2

=0的一個(gè)根是x=-1，則k=___．

2、求以x11，x23為兩根的關(guān)于x的一元二次方程。

知識(shí)點(diǎn)6．方程的解法⑴方法：①直接開方法；

②因式分解法；③配方法；④公式法；⑤十字相乘法；⑵關(guān)鍵點(diǎn)：降次

3、用公式法解方程

2x27x30x2x10

4、用因式分解法解方程

3x(x2)2x4(2x4)2(x5)2

5、用十字相乘法解方程

x2x9002x2x100

知識(shí)點(diǎn)7．一元二次方程根的判別式：b24ac1、關(guān)于x的一元二次方程x2(m2)x2m10.

求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

2、若關(guān)于x的方程x22kx10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是。

3、關(guān)于x的方程m1x22mxm0有實(shí)數(shù)根，

則m的取值范圍是知識(shí)點(diǎn)8．韋達(dá)定理

xxbca,x2

121x2a(a≠0,Δ=b-4ac≥0)使用的前提：（1）不是一般式的要先化成一般式；（2）定理成立的條件0

1、已知方程5x2mx6=0的一個(gè)根為x=3,求它

的另一個(gè)根及m的值。

2、已知2x24x30的兩根是x1,x2，利用根于

系數(shù)的關(guān)系求下列各式的值

1x1xx2221x2(x11)(x21)(x1x2)12

3、已知關(guān)于x的一元二次方程x2

－（m+2）x+

14m2

－2=0．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，這個(gè)方程有兩個(gè)的實(shí)數(shù)根．（2）如果這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x2

2

1，x2滿足x1+x2=18，求m的值．

知識(shí)點(diǎn)9．一元二次方程與實(shí)際問題1、病毒傳播問題2、樹干問題

3、握手問題（單循環(huán)問題）4、賀卡問題（雙循環(huán)問題）5、圍欄問題

6、幾何圖形（道路、做水箱）7、增長率、折舊、降價(jià)率問題

8、利潤問題（注意減少庫存、讓顧客受惠等字樣）9、數(shù)字問題10、折扣問題

旋轉(zhuǎn)

知識(shí)點(diǎn)1．旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度

1、如圖，D是等腰Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BC是斜邊，如果將△ABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△ACD′的位置，回答下列問題：（1）旋轉(zhuǎn)中心為，旋轉(zhuǎn)角度為度（2）△ADD′的形狀是。

2、16:50的時(shí)候，時(shí)針和分針的夾角是度

知識(shí)點(diǎn)2．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：1、圖形中的每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度；2、每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；3、每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的夾角為旋轉(zhuǎn)角；4、旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等；

1、如圖，AOB90°，B30°，△AOB可以看作是由△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得到的．若點(diǎn)A在AB上。（1）求旋轉(zhuǎn)角大�。�

（2）判斷OB與AB的位置關(guān)系，并說明理由。

B

ABAO

2、將直角邊長為5cm的等腰直角△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15后得到△ABC，則圖中陰影部分的面積

是多少？

AB

CCB

3、如圖，在△ABC中,CAB70.在同一平面內(nèi),將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB/C/的位置,使得

CC///AB,求BAB/的度數(shù)。

4、如圖6，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點(diǎn)E、

F分別在邊AB和BC上，

DCM是由ADE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的圖形。

（1）旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)__________；

（2）旋轉(zhuǎn)角是________度，EDM=_________度；（2）若EDF45，求證EDF≌MDF.并求此時(shí)BEF的周長.圖6

5、△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后能與△ACQ重合，AP＝3.（1）求△APQ的面積；（2）判斷BQ與CQ的位置關(guān)系，并說明理由。

6、如圖，將正方形ABCD中的△ABD繞對(duì)稱中心O旋轉(zhuǎn)至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．請(qǐng)猜想BM與FN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

7、如圖，在Rt△ABC中，ABAC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，得到△AFB，連接EF，證明①△AED≌△AEF②BE2DC2DE2

8、如圖（1），點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC．（1）求∠AEB的大小；（2）如圖（2），ΔOAB固定不動(dòng)，保持ΔOCD的形狀和大小不變，將ΔOCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（ΔOAB和ΔOCD不能重疊)，求∠AEB的大小.

知識(shí)點(diǎn)3．旋轉(zhuǎn)對(duì)稱：一個(gè)平面圖形繞著某一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度(小于周角)后能與自身重合，這樣的圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心。

1、如圖，五角星的頂點(diǎn)是一個(gè)正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)．這個(gè)五角星可以由一個(gè)基本圖形（圖中的陰影部分）繞中心O至少經(jīng)過____________次旋轉(zhuǎn)而得到，每一次旋轉(zhuǎn)_______度．

2、如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，問此正六邊形繞正六邊形的中心O旋轉(zhuǎn)______度能與自身重合。

3、如圖的圖形旋轉(zhuǎn)一定角度后能與自身重合,則旋轉(zhuǎn)的角度可能是__

知識(shí)點(diǎn)4．中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形

1、如圖，下列4個(gè)數(shù)字有（）個(gè)是中心對(duì)稱圖形．

A．1B．2C．3D．4

2.下列圖形中不是中心對(duì)稱圖形的是（）A、①③B、②④C、②③D、①④

知識(shí)點(diǎn)5．作圖

1、網(wǎng)格旋轉(zhuǎn)90°（注意旋轉(zhuǎn)的方向），中心對(duì)稱，關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱。結(jié)合直角坐標(biāo)系寫出對(duì)稱后坐標(biāo)

2、找出旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心（兩條對(duì)應(yīng)線段垂直平分線的交

點(diǎn)），中心對(duì)稱中心（兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)）

1、已知A（-1，-1），B（-4，-3）C（-4，-1）(1)作△A1B1C1，使它與△ABC關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱；寫出A1，B1，C1點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)將△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后得到△A3B3C3，畫出△A3B3C3，并寫出A3，B3，C3的坐標(biāo)

2、如圖，網(wǎng)格中有一個(gè)四邊形和兩個(gè)三角形．

（1）請(qǐng)你畫出三個(gè)圖形關(guān)于點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形；（2）將（1）中畫出的圖形與原圖形看成一個(gè)整體圖形，請(qǐng)寫出這個(gè)整體圖形的對(duì)稱軸有條；這個(gè)整體圖形至少旋轉(zhuǎn)度與自身重合

知識(shí)點(diǎn)6．旋轉(zhuǎn)割補(bǔ)法如圖,四邊形ABCD中，∠BAD=∠C=90，AB=AD，AE⊥BC于E，若線段AE=5，求S四邊形ABCD（提示：將四邊形ABCD割補(bǔ)為正方形）A

DBEC

知識(shí)點(diǎn)7．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

填空：⑴點(diǎn)A（－2，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′（，）；⑵點(diǎn)B（1，－3）與點(diǎn)B（1，3）關(guān)

于的對(duì)稱。⑶C（－4，－2）關(guān)于y軸的對(duì)稱

點(diǎn)為C（′，）；⑷點(diǎn)D（5，0）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)

稱點(diǎn)為D′（，）。

圓

【考點(diǎn)1】和圓有關(guān)的概念

（1）等弦對(duì)等圓心角（）

（2）在同圓或等圓中，等弦對(duì)等圓心角（）

（3）等弧對(duì)等弦()（4）等弦對(duì)等�。ǎ�

（5）等弧對(duì)等圓心角（）(6)直徑是圓的對(duì)稱軸（）

【考點(diǎn)2】垂徑定理及其推論

如果一條直線滿足

(1)過圓心（2）垂直弦（3）平分弦(4)平分弧（優(yōu)

弧和劣�。�（5）平分圓心角

知之其中兩個(gè)條件可以推出三個(gè)（知二求三）特別：當(dāng)選擇過圓心和平分弦時(shí)，必須強(qiáng)調(diào)該弦不是直徑。(1)平分弦的直徑垂直于弦.（）(2)垂直于弦的直徑平分弦.（）

1、如圖，⊙O直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD長．

DBEOAC

2、如圖，⊙O中，OE⊥弦AB于E，OF⊥弦CD于F，OE=OF，(1)求證：AB＝CD(2)如果AB>CD，則OEOF

3．如圖所示，污水水面寬度為60cm，水面至管道頂部距離為10cm，問修理人員應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑多大的管道?

4、已知△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4，以C為圓心，CA為半徑畫圓交AB于點(diǎn)D，求AD的長

【考點(diǎn)3】弧、弦、圓心角、圓周角之間的關(guān)系：（舉一反三）在同圓和等圓中，等弧對(duì)等弦對(duì)等角（包括圓心角和圓周角）1.如圖，在⊙O中，C、D是直徑AB上兩點(diǎn)，且AC=BD，

MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．求證：AM=BN（連接MO,NO,利用全等求證∠MOC=∠NOD,等角等

�。㎝NABCOD

2、如圖15，AB、CD是⊙O的直徑，DE、BF是弦，且DE=BF,求證：∠D=∠B。

ACEFO

D圖15B

3．如圖，⊙O中，AB為直徑，弦CD交AB于P，且OP=PC，求證：AD⌒=3CB⌒(連接OC、OD，外角，圓心角證弧)

4．AB是⊙O的直徑，C是弧BD的中點(diǎn)，CE⊥AB，垂足為E，BD交CE于點(diǎn)F．（1）求證：CFBF；（2）若AD2，⊙O的半徑為3，求BC的長．

【考點(diǎn)4】：直徑所對(duì)的圓90°

1.已知△ABC中，AB=AC，AB為⊙O的直徑，BC交⊙O于D，求證：點(diǎn)D為BC中點(diǎn)

【考點(diǎn)5】知識(shí)點(diǎn)(4)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)1、如圖，AB、AC與⊙O相切于點(diǎn)B、C，∠A=40，

點(diǎn)P是圓上異的一動(dòng)點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是【考點(diǎn)6】外接圓與內(nèi)切圓相關(guān)概念

三角形的外心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；

三角形的內(nèi)心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等

1、邊長為6的正三角形的內(nèi)切圓半徑是______，外接圓半徑是

2、如圖，已知⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為D、E、F，∠C=90°，AC=3，BC=4，求該內(nèi)切圓的半徑。

3、如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)為D、E、F，若∠B=50°,∠C=60°，連接OE、OF、DE、DF，則∠EDF等于

【考點(diǎn)6】與圓有關(guān)的位置關(guān)系畫圓與圓位置關(guān)系的數(shù)軸

【考點(diǎn)7】切線的性質(zhì)

切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑4、如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上的一點(diǎn)，AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D，求證：AC平分∠DAB。

【考點(diǎn)8】切線的證明（兩種方法）

1、已知圓上一點(diǎn)“連半徑，證垂直”2、沒告訴圓與直線有交點(diǎn)“作垂直，證半徑”。1、如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O過BC的中點(diǎn)D，DE⊥AC于E，求證：DE是⊙O的切線。

2、如圖，AB=AC，OB=OC，AB切⊙O于D，證明⊙O與AC相切

【考點(diǎn)9】切線長定理

切線長相等，平分切線所成的夾角。

1、如圖5，PA、PB是⊙O的切線，點(diǎn)A、B為切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，BAC30，（1）求P的度數(shù)；

A（2）若BC2cm，求PB的長。OPC

B

圖5

3、如圖，AB是⊙O的直徑，BC是一條弦，連結(jié)OC并延長OC至P點(diǎn)，并使PC=BC，

∠BOC=60o(1)求證：PB是⊙O的切線。

(2)若⊙O的半徑長為1，且AB、PB的長是一元二次方程x2+bx+c=0的兩個(gè)根，求b、c的值。

4、如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別和⊙O相切于點(diǎn)A、B，是點(diǎn)C劣弧AB上任一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線，分別交PA、PB于點(diǎn)D、E若PA=10，求△PDE的周長

1、如圖，正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)都在⊙O上，P是CD上一點(diǎn)，

則∠BPC=____________

2、如圖，小明在操場上從點(diǎn)O出發(fā)，沿直線前進(jìn)5米后向左轉(zhuǎn)45，再沿直線前進(jìn)5米后，又向左轉(zhuǎn)

0450，……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地O點(diǎn)

時(shí)，一共走了_____米。

3、求半徑為6的正六邊形的中心角度數(shù).周長和面積。

35、如圖（1）所示，直線yx3與x軸相交于

4點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C（m，n）是第二象限內(nèi)任意一點(diǎn)，以點(diǎn)C為圓心的圓與x軸相切于點(diǎn)E，與直線AB相切于點(diǎn)F。所示，若⊙C與y軸相切于點(diǎn)D，求⊙C的半徑r。

【考點(diǎn)10】正多邊形的計(jì)算

(n2)18001、正n邊形的每內(nèi)角=

n2、正n邊形的中心角=

360n04已知⊙O1，⊙O2，⊙O3，尺規(guī)作圖:(1)作出⊙O1的內(nèi)接正三角形;(2)作出⊙O2的內(nèi)接正四邊形;(3)作出⊙O3的內(nèi)接正六邊形

36003、正n邊形的外角=

n4、邊心距r、半徑R、邊長a之間的關(guān)系：

aR2r2()2

25、正n邊形的周長C=na6、正n邊形的面積S=nCr/2

友情提示：本文中關(guān)于《北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)知識(shí)總結(jié)》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)知識(shí)總結(jié)：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

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