【人教版】初中數(shù)學(xué)九年級(jí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：21二次根式

【人教版】初中數(shù)學(xué)九年級(jí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：21二次根式

【編者按】二次根式是在學(xué)完了八年級(jí)下冊第十七章《反比例正函數(shù)》、第十八章《勾股定理及其應(yīng)用》等內(nèi)容的基礎(chǔ)之上繼續(xù)學(xué)習(xí)的，它也是今后學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。對于本章內(nèi)容，教學(xué)中應(yīng)達(dá)到以下幾方面要求：

1.理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由；2.了解最簡二次根式的概念；3.理解并掌握下列結(jié)論：1）

是非負(fù)數(shù)；（2）

；（3）

；

4.掌握二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡單四則運(yùn)算；5.了解代數(shù)式的概念，進(jìn)一步體會(huì)代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用。

一．知識(shí)框架

二．知識(shí)概念

1.二次根式定義：一般形如√�。╝≥0）的代數(shù)式叫做二次根式。當(dāng)a≥0時(shí)，√ā表示a的算術(shù)平方根；當(dāng)a小于0時(shí)，非二次根式（在一元二次方程中，若根號(hào)下為負(fù)數(shù)，則無實(shí)數(shù)根）

2.二次根式概念：式子√�。╝≥0）叫二次根式�！台。╝≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)。其中，a叫做被開方數(shù)。

3.二次根式√ā的簡單性質(zhì)和幾何意義（1）a≥0;√ā≥0[雙重非負(fù)性]

（2）（√�。�^2=a（a≥0）[任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式]

（3)c=√a^2+b^2表示直角三角形內(nèi)，斜邊等于兩直角邊的平方和的根號(hào)，即勾股定理推論。

4.二次根式的乘法和除法(1)積的算數(shù)平方根的性質(zhì)√ab=√a√b（a≥0，b≥0）(2)乘法法則

√a√b=√ab（a≥0，b≥0）

二次根式的乘法運(yùn)算法則，用語言敘述為：兩個(gè)因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個(gè)因式積的算術(shù)平方根。(3)除法法則

√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）

二次根式的除法運(yùn)算法則，用語言敘述為：兩個(gè)數(shù)的算數(shù)平方根的商，等于這兩個(gè)數(shù)商的算數(shù)平方根。(4)有理化根式。

如果兩個(gè)含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式叫做有理化根式,也稱有理化因式。5.二次根式的加法和減法（1）同類二次根式

一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式。（2）合并同類二次根式

把幾個(gè)同類二次根式合并為一個(gè)二次根式就叫做合并同類二次根式。

（3）二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的進(jìn)行合并。

例如：2√5+√5=3√56.知識(shí)與技能

（1）理解二次根式的概念．

（2）理解a（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，（a）=a（a≥0），a=a（a≥0）．

2

（3）掌握ab＝ab（a≥0，b≥0），ab=ab；

aaaa=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）．

bbbb（4）了解最簡二次根式的概念并靈活運(yùn)用它們對二次根式進(jìn)行加減．7.教學(xué)重點(diǎn)

（1）二次根式a（a≥0）的內(nèi)涵．a(chǎn)（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（a）＝a（a≥0）；a22

=a（a≥0）及其運(yùn)用．

（2）二次根式乘除法的規(guī)定及其運(yùn)用．（3）最簡二次根式的概念．

（4）二次根式的加減運(yùn)算．8.教學(xué)難點(diǎn)

（1）對a（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)的理解；對等式（a）＝a（a≥0）及a=a（a≥0）

2

2的理解及應(yīng)用．

（2）二次根式的乘法、除法的條件限制．

（3）利用最簡二次根式的概念把一個(gè)二次根式化成最簡二次根式．

（參考教材：初中數(shù)學(xué)九年級(jí)人教版）

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【人教版】初中數(shù)學(xué)九年級(jí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：21二次根式

【編者按】二次根式是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性內(nèi)容，也是考試的常考點(diǎn)。這一部分知識(shí)是在學(xué)完了八年級(jí)的反比例函數(shù)、勾股定理及其應(yīng)用等內(nèi)容的基礎(chǔ)之上繼續(xù)學(xué)習(xí)的，它也是今后學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。因此，對于這種基礎(chǔ)性的知識(shí)希望同學(xué)們能夠牢固的掌握。一、目標(biāo)與要求

對于本章內(nèi)容，學(xué)習(xí)后應(yīng)達(dá)到以下幾方面要求：

1.理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由；2.了解最簡二次根式的概念；3.理解并掌握下列結(jié)論：1）

是非負(fù)數(shù)；（2）

；（3）

；

4.掌握二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡單四則運(yùn)算；5.了解代數(shù)式的概念，進(jìn)一步體會(huì)代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用。二、知識(shí)框架

三、重點(diǎn)

1.二次根式a（a≥0）的內(nèi)涵，a（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，（a）2＝a（a≥0），a=a（a≥0）及其運(yùn)用。

2.二次根式乘除法的規(guī)定及其運(yùn)用。

3.ab＝ab（a≥0，b≥0），ab=ab（a≥0，b≥0）及它們的運(yùn)用。

ab24.=ab（a≥0，b>0）和ab=ab（a≥0，b>0）及利用它們進(jìn)行運(yùn)算。

5.最簡二次根式的概念。6.二次根式的加減運(yùn)算的運(yùn)用。

7.二次根式的乘除、乘方等運(yùn)算規(guī)律；四、難點(diǎn)

1.對a（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)的理解，對等式（a）2＝a（a≥0）及a=a（a≥0）的理解及應(yīng)用。

2

2.用分類思想的方法導(dǎo)出a（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，用探究的方法導(dǎo)出（a）=a（a≥0）。

23.二次根式的乘法、除法的條件限制。4.會(huì)判斷這個(gè)二次根式是否是最簡二次根式。

5.利用最簡二次根式的概念把一個(gè)二次根式化成最簡二次根式。五、知識(shí)點(diǎn)、概念總結(jié)

1.二次根式定義：一般形如√�。╝≥0）的代數(shù)式叫做二次根式。當(dāng)a≥0時(shí)，√ā表示a的算術(shù)平方根；當(dāng)a小于0時(shí)，非二次根式（在一元二次方程中，若根號(hào)下為負(fù)數(shù)，則無實(shí)數(shù)根）

2.二次根式概念：式子√�。╝≥0）叫二次根式。√�。╝≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)。其中，a叫做被開方數(shù)。3.二次根式的性質(zhì)（1）(a)2a(a0)

a(a0)（2）a2a

a(a0)

（3）ab（4）

ababab(a0,b0)

(a0,b0)

4.二次根式√ā的幾何意義

（1）a≥0;√ā≥0[雙重非負(fù)性]

（2)c=√a2+b2表示直角三角形內(nèi)，斜邊等于兩直角邊的平方和的根號(hào)，即勾股定理推論。5.最簡二次根式

若二次根式滿足被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式。6.化二次根式為最簡二次根式的方法和步驟：

（1）如果被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）或分式，先利用商的算數(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化進(jìn)行化簡。

（2）如果被開方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把能開得盡方的因數(shù)或因式開出來。7.同類二次根式

幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式。

8.二次根式的乘法和除法(1)積的算數(shù)平方根的性質(zhì)√ab=√a√b（a≥0，b≥0）(2)乘法法則

√a√b=√ab（a≥0，b≥0）

二次根式的乘法運(yùn)算法則，用語言敘述為：兩個(gè)因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個(gè)因式積的算術(shù)平方根。(3)除法法則

√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）

二次根式的除法運(yùn)算法則，用語言敘述為：兩個(gè)數(shù)的算數(shù)平方根的商，等于這兩個(gè)數(shù)商的算數(shù)平方根。(4)有理化根式。

如果兩個(gè)含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式叫做有理化根式,也稱有理化因式。9.二次根式的加法和減法（1）同類二次根式

一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式。（2）合并同類二次根式

把幾個(gè)同類二次根式合并為一個(gè)二次根式就叫做合并同類二次根式。

（3）二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的進(jìn)行合并。10.二次根式混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里的（或先去括號(hào)）。

（參考教材：初中數(shù)學(xué)九年級(jí)人教版）

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