高考文科數(shù)學公式匯總(精簡版)

高中數(shù)學公式匯總（文科）

一、復數(shù)

1、復數(shù)的除法運算

abicdi(abi)(cdi)(cdi)(cdi)(acbd)(bcad)ic2d2.

2、復數(shù)zabi的模|z|=|abi|=a2b2.

二、三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量

3、同角三角函數(shù)的基本關系式

sincos1，tan=

22sincos.

4、正弦、余弦的誘導公式

k的正弦、余弦，等于的同名函數(shù)，前面加上把看成銳角時該函數(shù)的符號；

k2的正弦、余弦，等于的余名函數(shù)，前面加上把看成銳角時該函數(shù)的符號。

5、和角與差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;tan()tantan1tantan.

6、二倍角公式

sin2sincos.

cos2cossin2cos112sin.

2222tan22tan1tan2cos22.

1cos2,cos1cos2,sin221cos221cos22;;公式變形：

2sin2

7、三角函數(shù)的周期

函數(shù)ysin(x)，x∈R及函數(shù)ycos(x)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期

T2；函數(shù)ytan(x)，xk2,kZ(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T.

8、函數(shù)ysin(x)的周期、最值、單調(diào)區(qū)間、圖象變換

9、輔助角公式

yasinxbcosxa2b2sin(x)其中tanba

10、正弦定理

asinAbsinBcsinC2R.

11、余弦定理

第1頁（共6頁）abc222bc2bccosA;ca2cacosB;ab2abcosC.

22222212、三角形面積公式

S12absinC12bcsinA12casinB.

13、三角形內(nèi)角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)14、a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)

ab|a||b|cos

15、平面向量的坐標運算

(1)設A(x1,y1)，B(x2,y2),則ABOBOA(x2x1,y2y1).

(2)設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則ab=x1x2y1y2.(3)設a=(x,y)，則a

16、兩向量的夾角公式

設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，則

cosabab2x2y2

x1x2y1y2x1y12x22y22

17、向量的平行與垂直

a//bbax1y2x2y10.

ab(a0)ab0x1x2y1y20.

三、函數(shù)、導數(shù)

18、函數(shù)的單調(diào)性

(1)設x1、x2[a,b],x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函數(shù)；

f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是減函數(shù).

(2)設函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，若f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；若f(x)0，則f(x)為減函數(shù).

19、函數(shù)的奇偶性

對于定義域內(nèi)任意的x，都有f(x)f(x)，則f(x)是偶函數(shù)；對于定義域內(nèi)任意的x，都有f(x)f(x)，則f(x)是奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱。

20、函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義

函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)是曲線yf(x)在P(x0,f(x0))處的切線的斜率f(x0)，相應的切線方程是yy0f(x0)(xx0).

第2頁（共6頁）21、幾種常見函數(shù)的導數(shù)

"①C0；②(x)nxn"n1"；③(sinx)cosx；④(cosx)sinx；

"x"x⑤(a)alna；⑥(e)e；⑦(logx"xax)"1xlnau；⑧(lnx)"1x

22、導數(shù)的運算法則

（1）(uv)uv.（2）(uv)uvuv.（3）()v"""""""uvuvv2""(v0).

23、會用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值、最值

24、求函數(shù)yfx的極值的方法是：解方程fx0．當fx00時：(1)如果在x0附近的左側fx0，右側fx0，那么fx0是極大值；(2)如果在x0附近的左側fx0，右側fx0，那么fx0是極小值．

四、不等式

25、已知x,y都是正數(shù)，則有

xy2xy，當xy時等號成立。

（1）若積xy是定值p，則當xy時和xy有最小值2（2）若和xy是定值s，則當xy時積xy有最大值

142p；

s.

五、數(shù)列

26、數(shù)列的通項公式與前n項的和的關系

n1s1,an(數(shù)列{an}的前n項的和為sna1a2an).

snsn1,n227、等差數(shù)列的通項公式

ana1(n1)ddna1d(nN)*；

28、等差數(shù)列其前n項和公式為

snn(a1an)2a1qnna1n(n1)2dd2n(a1212d)n.

29、等比數(shù)列的通項公式

ana1qn1q(nN)；

n*30、等比數(shù)列前n項的和公式為

a1(1q)a1anq,q1,q1sn1q或sn1q.

na,q11na1,q1

第3頁（共6頁）

六、解析幾何

31、直線的五種方程

（1）點斜式y(tǒng)y1k(xx1)(直線l過點P1(x1,y1)，且斜率為k)．（2）斜截式y(tǒng)kxb(b為直線l在y軸上的截距).（3）兩點式(4)截距式

yy1y2y1xx1x2x1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).

xayb1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b0)

（5）一般式AxByC0(其中A、B不同時為0).32、兩條直線的平行和垂直

若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2

①l1||l2k1k2,b1b2②l1l2k1k21.33、平面兩點間的距離公式

dA,B;

(x2x1)(y2y1)22(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

34、點到直線的距離

d|Ax0By0C|AB22(點P(x0,y0),直線l：AxByC0).

35、圓的三種方程

（1）圓的標準方程(xa)(yb)r.

22（2）圓的一般方程xyDxEyF0(DE4F＞0).

22222（3）圓的參數(shù)方程xarcosybrsin2.

36、直線與圓的位置關系

直線AxByC0與圓(xa)(yb)r的位置關系有三種:

dr相離0;

22dr相切dr相交0;0.弦長=2r2d2

其中dAaBbCA2B2.

37、橢圓、雙曲線、拋物線的圖形、定義、標準方程、幾何性質(zhì)

橢圓：

xa22xa22yb221(ab0)，ayb222c2b，離心率e2xacos1，參數(shù)方程是.aybsincca1，漸近線方程是ybax雙曲線：

1(a>0,b>0)，c2a2b，離心率e2.

拋物線：y22px，焦點(p2,0),準線xp2。拋物線上的點到焦點距離等于它到準線的距離.

38、雙曲線的方程與漸近線方程的關系

第4頁（共6頁）(1）若雙曲線方程為(2)若漸近線方程為y(3)若雙曲線與

39、拋物線y2xa22bayb221漸近線方程：

xa22yb220yxa22bax.

xxayb0雙曲線可設為

xa22yb22.

xa22yb221有公共漸近線，可設為

yb22（0，焦點在x軸上，0，

焦點在y軸上）.

22px的焦半徑公式

拋物線y2px(p0)焦半徑|PF|x040、過拋物線焦點的弦長ABx1p2x2p2.（拋物線上的點到焦點距離等于它到準線的距離。）

x1x2p.

p2

七、參數(shù)方程、極坐標化成直角坐標

xycosx41、y(x0)sinytanx222

八、立體幾何

42、證明直線與直線平行的方法

（1）三角形中位線（2）平行四邊形（一組對邊平行且相等）43、證明直線與平面平行的方法

（1）直線與平面平行的判定定理（證平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行）（2）先證面面平行

44、證明平面與平面平行的方法

平面與平面平行的判定定理（一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行）．．．．45、證明直線與直線垂直的方法轉化為證明直線與平面垂直46、證明直線與平面垂直的方法

（1）直線與平面垂直的判定定理（直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直）．．．．

（2）平面與平面垂直的性質(zhì)定理（兩個平面垂直，一個平面內(nèi)垂直交線的直線垂直另一個平面）47、證明平面與平面垂直的方法

平面與平面垂直的判定定理（一個平面內(nèi)有一條直線與另一個平面垂直）48、柱體、椎體、球體的側面積、表面積、體積計算公式圓柱側面積=2rl，表面積=2rl2r圓椎側面積=rl，表面積=rlr

V柱體V錐體1313Sh（S是柱體的底面積、h是柱體的高）.Sh（S是錐體的底面積、h是錐體的高）.

4322球的半徑是R，則其體積VR,其表面積S4R．

3249、異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的平面角的定義及計算50、點到平面距離的計算（定義法、等體積法）

51、直棱柱、正棱柱、長方體、正方體的性質(zhì)：側棱平行且相等，與底面垂直。

第5頁（共6頁）正棱錐的性質(zhì)：側棱相等，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心。

九、概率統(tǒng)計

52、平均數(shù)、方差、標準差的計算

平均數(shù):x標準差:sx1x2xnn1n[(x1x)2方差:s221n[(x1x)22(x2x)2(xnx)]

2(x2x)(xnx)]

53、回歸直線方程

xixyiybi1n2yabx，其中xxii1aybxnni1nxiyinxyxinx22i1.

54、獨立性檢驗K2n(acbd)2(ab)(cd)(ac)(bd)

55、古典概型的計算（必須要用列舉法、列表法、樹狀圖的方法把所有基本事件表示出來，不重復、不遺．．．．．．．．．漏）

第6頁（共6頁）

擴展閱讀：高考文科數(shù)學常用公式及結論

高考文科數(shù)學常用公式及結論1.元素與集合的關系

xAxCUAxCUAxA,.

2.德摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

3.包含關系

ABAABBABCUBCUAACUBCUABR

4.容斥原理

card(AB)cardAcardBcard(AB)

.

ncard(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC)5．集合

{a1,a2,,an}n的子集個數(shù)共有2個；真子集有21個；非空子集有21個；

nn非空的真子集有22個.6.二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式(3)零點式

f(x)axbxc(a0)2;(2)頂點式

.

f(x)a(xh)k(a0)2;

f(x)a(xx1)(xx2)(a0)7.解連不等式Nf(x)M常有以下轉化形式

Nf(x)M[f(x)M][f(x)N]0

MN2MN2|f(x)|f(x)N10Mf(x)f(x)N1MN.

8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一個實根,與f(k1)f(k2)0不等價,前者是后者的一個必要而不是充分條件.特別地,方程

ax2bxc0(a0)k1b2a有且只有一個實根在(k1,k2)k1k22內(nèi),等價于f(k1)f(k2)0,或f(k1)0且

k1k22b2ak2,或f(k2)0且

.

9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)f(x)axbxc(a0)在閉區(qū)間p,q上的最值只能在

2xb2a處及區(qū)間的兩端點處取得，具體如下：

xb2ap,q(1)當a>0時，若

xb2ap,q，則

f(x)minf(b2a),f(x)maxmaxf(p),f(q)；

，

f(x)maxmaxf(p),f(q)，

f(x)minminf(p),f(q).

b2ap,q(2)當a(3)

f(x)ax4bx2a0a0b02c0b4ac0c0恒成立的充要條件是或.

12.真值表ｐｑ非ｐ真真假真假假假真真假假真13.常見結論的否定形式

原結論是都是大于小于對所有x，成立對任何x，不成立

14.四種命題的相互關系

原命題互逆若ｐ則ｑ互互為否逆否否命題若非ｐ則非ｑ互逆

15.充要條件

反設詞不是不都是不大于不小于存在某x，不成立存在某x，成立原結論至少有一個至多有一個至少有n個至多有n個ppｐ或ｑ真真真假ｐ且ｑ真假假假反設詞一個也沒有至少有兩個至多有（n1）個至少有（n1）個pp或q且q且q或q逆命題若ｑ則ｐ互為互否逆否逆否命題若非ｑ則非ｐ（1）充分條件：若pq，則p是q充分條件.（2）必要條件：若qp，則p是q必要條件.（3）充要條件：若pq，且qp，則p是q充要條件.注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.16.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)x1x2f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a,b上是增函數(shù)；

0f(x)在a,b(x1x2)f(x1)f(x2)0上是減函數(shù).

(2)設函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f(x)0，

則f(x)為減函數(shù).

17.如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)f(x)g(x)也是減函數(shù);如果函數(shù)yf(u)和ug(x)在其對應的定義域上都是減函數(shù),則復合函數(shù)yf[g(x)]是增函數(shù).

18．奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)．

19.若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa).

20.對于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,則函數(shù)f(x)的對稱軸是函數(shù)

xab2xab2a2;兩個函數(shù)yf(xa)與yf(bx)的圖象關于直線

對稱.

21.若

f(x)f(xa),則函數(shù)

yf(x)(,0)的圖象關于點對稱;若

f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)為周期為2a的周期函數(shù).

nn122．多項式函數(shù)

P(x)anxan1xa0的奇偶性

多項式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.多項式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.23.函數(shù)yf(x)的圖象的對稱性

(1)函數(shù)yf(x)的圖象關于直線xa對稱f(ax)f(ax)xab2f(2ax)f(x).

(2)函數(shù)yf(x)的圖象關于直線

f(abmx)f(mx)對稱f(amx)f(bmx)

.

24.兩個函數(shù)圖象的對稱性

(1)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關于直線x0(即y軸)對稱.

xab2m對稱.

(2)函數(shù)yf(mxa)與函數(shù)yf(bmx)的圖象關于直線(3)函數(shù)

yf(x)和

yf1(x)的圖象關于直線y=x對稱.

25.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個單位，得到函數(shù)yf(xa)b的圖象；若將曲線f(x,y)0的圖象右移a、上移b個單位，得到曲線f(xa,yb)0的圖象.26．互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關系

f(a)bf1(b)a.

y1k[f127.若函數(shù)

yf(kxb)(x)b]存在反函數(shù),則其反函數(shù)為

y1k[f(x)b],并不是

y[f1(kxb),而函數(shù)

y[f1(kxb)是的反函數(shù).

28.幾個常見的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.(2)指數(shù)函數(shù)(3)對數(shù)函數(shù)(4)冪函數(shù)

f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

"f(x)logaxf(x)x,

f(xy)f(x)f(y),f(1).

(5)余弦函數(shù)f(x)cosx,正弦函數(shù)g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

f(0)1,limx0g(x)x1.

29.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)（1）f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=a；

f(xa)1f(x)(f(x)0)f(xa)1f(x)(f(x)0)（2）f(x)f(xa)0，或

，或

,

(3)f(x)關于x=m,x=n對稱，則f(x)的周期T=2a；

f(x)f(x)關于（m,0）,(n,0)對稱,則f(x)的周期T=2a;關于x=m,(n,0)對稱，則f(x)的周期T=4a；

(4)f(ax)f(bx),則f(x)的周期是T=|b-a|30.分數(shù)指數(shù)冪

man1n(1)

amnam（

a0,m,nN，且n1）.

1m(2)

nan（

a0,m,nN，且n1）.

31．根式的性質(zhì)（1）

(a)an.

n（2）當n為奇數(shù)時，nanana；當n為偶數(shù)時，

a,a0|a|a,a0.

32．有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)(3)

aaa(rrrrsrsa0,r,s.(2).

Q)(a)a(a0,r,sQ)rsrs.

(ab)ab(a0,b0,rQ)注：若a＞0，p是一個無理數(shù)，則ap表示一個確定的實數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，

對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式

logaNbaN(a0,a1,N0)b.

34.對數(shù)的換底公式

logaNlogmNlogma(a0,且a1,m0,且m1,N0).

nmlogab推論

logambn(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

35．對數(shù)的四則運算法則若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則

loga(MN)logaMlogaNlogaMn(1)(3)

;(2)

logaMNlogaMlogaN;

nlogaM(nR)f(x)log(ax2.

2,記b4ac.若f(x)的定義域為R,則

36.設函數(shù)

mbxc)(a0)a0，且0;若f(x)的值域為R,則a0，且0.對于a0的情形,需要單獨檢驗.

37.對數(shù)換底不等式及其推廣

x1a,則函數(shù)ylogax(bx)1若a0,b0,x0,

(0,1)(1)當ab時,在

a和a1(,)上

1,)ylogax(bx)為增函數(shù).

，(2)當ab時,在

(0,a和a)(上

ylogax(bx)為減函數(shù).

推論:設nm1，p0，a0，且a1，則

logamloganloga2mn2（1）

logmp(np)logmn.（2）.

38.平均增長率的問題

如果原來產(chǎn)值的基礎數(shù)為N，平均增長率為39.數(shù)列的同項公式與前n項的和的關系

n1s1,ansnsn1,n2(數(shù)列{an}的前n項的和為sna1a2an).

pxyyN(1p)x，則對于時間的總產(chǎn)值，有.

40.等差數(shù)列的通項公式

ana1(n1)ddna1d(nN)*；

其前n項和公式為

snn(a1an)2na1n(n1)2dd2n(a1212d)n.

41.等比數(shù)列的通項公式

ana1qn1a1qq(nN)n*；a1(1q)a1anq,q1,q1sn1qsn1qna,q1na,q111其前n項的和公式為或..

n43．常見三角不等式

x(0,（1）若

2，則sinxxtanx.(2)若

)x(0,2，則1sinxcosx)2.(3)|sinx||cosx|1.44.同角三角函數(shù)的基本關系式

sinsincos1，tan=cos，tancot1.

2245.正弦、余弦的誘導公式

2n(1)sin,sin()n122(1)cos,

n(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))

2n(1)cos,cos()n122sin,(1)

n46.和角與差角公式

)sin(tan()sincoscoscos();

coscossin;

tantan1tantan2.

2sin()sin()sinsin22(平方正弦公式);.

(輔助角所在象限由點(a,b)的象限決

cos()cos()cossinasinbcos=

absin()22tanba).

定,

47.二倍角公式

sin2sincos.cos2cossin2cos112sin.tan22tan1tan.

22248.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)ysin(x)，x∈R及函數(shù)ycos(x)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞

T2xk20)的周期

；函數(shù)ytan(x)，

,kZ(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，

T.

ω＞0)的周期49.正弦定理

asinAbsinBcsinC2R.

50.余弦定理

abc2bccosA;bca2222222ccaos;Bcab2abcosC.

22251.面積定理

S121212aha12bhb12chc（1）

S（

ha、hb、hc12分別表示a、b、c邊上的高）.

absinC12bcsinAcasinB（2）

SOAB.

22(|OA||OB|)(OAOB)(3).52.三角形內(nèi)角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)

C22AB22C22(AB).

A>BsinA>sinB

53.簡單的三角方程的通解

sinsink(1)(kZ)k.

2kk(Zcoscos.tantank(kZ).

54.實數(shù)與向量的積的運算律

設λ、μ為實數(shù)，那么(1)結合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.55.向量的數(shù)量積的運算律：(1)ab=ba（交換律）;(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;

(3)（a+b）c=ac+bc.56.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．57．向量平行的坐標表示設a=

(x1,y1),b=

(x2,y2)，且b0，則ab(b0)

x1y2x2y10.

58.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)ab=|a||b|cosθ．

59.ab的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．

60.平面向量的坐標運算(1)設a=(2)設a=

(x1,y1)(x1,y1),b=,b=

(x2,y2)(x2,y2)，則a+b=，則a-b=

,則

(x1x2,y1y2)..

.

(x1x2,y1y2)(3)設A

(x1,y1)，B

(x2,y2)ABOBOA(x2x1,y2y1)(4)設a=(x,y),R，則a=(x,y).(5)設a=

(x1,y1),b=

(x2,y2)，則ab=

(x1x2y1y2).

61.兩向量的夾角公式

cosx1x2y1y2x1y12222x2y2(a=

(x1,y1),b=

(x2,y2)).

62.平面兩點間的距離公式

dA,B|AB|=

ABAB(x2x1)(y2y1)22(A

(x1,y1)，B

(x2,y2)).

63.向量的平行與垂直設a=

(x1,y1),b=

(x2,y2)，且b0，則

..

A||bb=λa

x1y2x2y10ab(a0)ab=0

x1x2y1y20→→

64.設OA、OB不共線，點P、A、B共線的充要條件是：→→→

OP＝λOA＋μOB且λ＋μ＝1，λ，μ∈R.66.三角形的重心坐標公式△ABC三個頂點的坐標分別為

A(x1,y1)、

B(x2,y2)、

C(x3,y3),則△ABC的重心的坐標是G(x1x2x33,y1y2y33).

67.點的平移公式

xxhxxh""""yykyykOPOPPP.

""注:圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形F上的對應點為

(h,k)"P(x,y)""""，且PP的坐標為

.

68.“按向量平移”的幾個結論（1）點

P(x,y)按向量a=

(h,k)平移后得到點

P(xh,yk)".

""(2)函數(shù)yf(x)的圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,則C的函數(shù)解析式為

yf(xh)k.

""(3)圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,若C的解析式y(tǒng)f(x),則C的函數(shù)解析式

為yf(xh)k.

""(4)曲線C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,則C的方程為

f(xh,yk)0.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然為m=(x,y).69.三角形各“心”向量形式

設O為ABC所在平面上一點，角A,B,C所對邊長分別為a,b,c，則

222（1）O為ABC的外心OAOBOC.

（2）O為ABC的重心OAOBOC0.

（3）O為ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.

三角形各“線”向量形式

→→

→→ABAC

⑴若OP＝OA＋λ(→＋→)(λ>0)．則點P的軌跡為角分線

|AB||AC|⑵ABAC2ADD是BC的中點⑶ABADACAD0ADBC70.常用不等式：

22（1）a,bRab2ab(當且僅當a＝b時取“=”號)．

ab（2）（3）

a,bR3332ab(當且僅當a＝b時取“=”號)．

2abc3abc(a0,b0,c0).2222（4）柯西不等式：（5）

(ab)(cd)(acbd),a,b,c,dR.

ababab.

71.極值定理

已知x,y都是正數(shù)，則有

2（1）若積xy是定值p，則當xy時和xy有最小值

1s2p；

（2）若和xy是定值s，則當xy時積xy有最大值4推廣已知

x,yR.

，則有

(xy)2(xy)2xy2

（1）若積xy是定值,則當|xy|最大時,|xy|最大；當|xy|最小時,|xy|最小.

（2）若和|xy|是定值,則當|xy|最大時,|xy|最��；當|xy|最小時,|xy|最大.72.一元二次不等式

2axbxc0(或0)(a0,b4ac0)222，如果a與

axbxc同號，則其解集在兩根之外；如果a與axbxc異號，則其解集在兩根之

間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；

.

xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)73.含有絕對值的不等式當a>0時，有xaxa222axa.

xaxaxa2或xa.

74.無理不等式

f(x)0g(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)（1）

.

（2）

f(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]2.

（3）

.

75.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式(1)當a1時,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

logaf(x)0f(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x).

(2)當0a1時,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

logaf(x)0f(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)

76.斜率公式

ky2y1x2x1（

P1(x1,y1)、

P2(x2,y2)）.

77.直線的五種方程（1）點斜式

yy1k(xx1)(直線l過點

P1(x1,y1)，且斜率為k)．

（2）斜截式y(tǒng)kxb(b為直線l在y軸上的截距).yy1（3）兩點式

xy2y1ybxx1x2x1(

y1y2)(

P1(x1,y1)、

P2(x2,y2)(

x1x2)).

(4)截距式a1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b0)

（5）一般式AxByC0(其中A、B不同時為0).78.兩條直線的平行和垂直(1)若①

l1:yk1xb1，

l2:yk2xb2

.

l1||l2k1k2,b1b2;②,

l1l2k1k21(2)若

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20A1A2B1B2C1C2,且A1、A2、B1、B2都不為零,

l1||l2①；②

l1l2A1A2B1B20；

79．四種常用直線系方程(1)定點直線系方程：經(jīng)過定點

P0(x0,y0)的直線系方程為

yy0k(xx0)(除直線

xx0),

其中k是待定的系數(shù);經(jīng)過定點

A,BP0(x0,y0)的直線系方程為

A(xx0)B(yy0)0,其中

是待定的系數(shù)．

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20(2)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線線系方程為

,

的交點的直

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除2)，其中λ是待定的系數(shù)．

l(3)平行直線系方程：直線ykxb中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBy0(0)，λ是參變量．(4)垂直直線系方程：與直線AxByC0(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是

BxAy0,λ是參變量．

80.點到直線的距離

d|Ax0By0C|AB22(點

P(x0,y0),直線l：AxByC0).

81.AxByC0或0所表示的平面區(qū)域

設直線l:AxByC0，則AxByC0或0所表示的平面區(qū)域是：若B0，當B與AxByC同號時，表示直線l的上方的區(qū)域；當B與AxByC異號時，表示直線l的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下.

若B0，當A與AxByC同號時，表示直線l的右方的區(qū)域；當A與AxByC異號時，表示直線l的左方的區(qū)域.簡言之,同號在右,異號在左.82.

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面區(qū)域

（

A1A2B1B20設曲線

C:(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0），則

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面區(qū)域是：所表示的平面區(qū)域上下兩部分；所表示的平面區(qū)域上下兩部分.

83.圓的四種方程（1）圓的標準方程

(xa)(yb)r22222.

22（2）圓的一般方程xyDxEyF0(DE4F＞0).

xarcosybrsin（3）圓的參數(shù)方程.

（4）圓的直徑式方程

B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圓的直徑的端點是

A(x1,y1)、

).

84.圓系方程

(1)過直線l:AxByC0與圓C:xyDxEyF0的交點的圓系方程是

xyDxEyF(AxByC)02222,λ是待定的系數(shù)．

C2xyD2xE2yF2022(2)過圓

C1xyD1xE1yF1022:

與圓

2:

的交點的圓

系方程是

xyD1xE1yF1(xyD2xE2yF2)0222,λ是待定的系數(shù)．

85.點與圓的位置關系點若

P(x0,y0)與圓

2(xa)(yb)222r2的位置關系有三種

d(ax0)(by0)，則dr點P在圓外;dr點P在圓上;dr點P在圓內(nèi).

86.直線與圓的位置關系直線

AxByC0與圓

(xa)(yb)22r2的位置關系有三種:

dr相離0AaBbCA2;dr相切0;dr相交0.

d其中

B2.

87.兩圓位置關系的判定方法

設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，

dr1r2外離4條公切線dr1r2外切3條公切線O1O2d

;;;

r1r2dr1r2相交2條公切線dr1r2內(nèi)切1條公切線;.

0dr1r2內(nèi)含無公切線88.圓的切線方程(1)已知圓

xyDxEyF022．

①若已知切點

x0xy0y(x0,y0)在圓上，則切線只有一條，其方程是

E(y0y)2F0D(x0x)2.

D(x0x)2E(y0y)2F0當

(x0,y0)圓外時,

x0xy0y表示過兩個切點的切點弦方

程．

②過圓外一點的切線方程可設為

yy0k(xx0)，再利用相切條件求k，這時必有兩條切

線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．

③斜率為k的切線方程可設為ykxb，再利用相切條件求b，必有兩條切線．(2)已知圓

xyr222．

點的切線方程為

x0xy0yr2①過圓上的

P0(x0,y0);②斜率為k的圓的切線方程為ykxr1kx222.

89.橢圓ayb22xacos1(ab0)ybsin的參數(shù)方程是.

90．橢圓的的內(nèi)外部

x22（1）點

P(x0,y0)在橢圓axybyb221(ab0)x0a22y0b2的內(nèi)部

1(ab0)21.

12222（2）點

P(x0,y0)在橢圓ax0a22y0b2的外部

2.

91.（1）直線與橢圓位置關系判斷y＝kx＋m

聯(lián)立x2y2

＋＝1a2b2

得：(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0該一元二次方程的判別式為△.

△>0有2交點相交；△＝0有1交點相切；△0，焦點在y軸上）.

94.求雙曲線的標準方程的方法：(橢圓類比)

(1)定義法：由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，由雙曲線定義，確定2a、2b或2c，從而求出a2、b2，寫出雙曲線方程．

(2)待定系數(shù)法：先確定焦點在x軸還是y軸，設出標準方程，再由條件確定a2、b2的值，x2y2

即“先定型，再定量”，如果焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設為m2－n2＝λ(λ≠0)，再根據(jù)條件求λ的值．

注意：①雙曲線與橢圓標準方程均可記為mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中m>0且n>0，且m≠n時表示橢圓；mn0)；

95.拋物線

y22px的焦半徑公式

CFx0p2.

2p拋物線y2px(p0)焦半徑

CDx1p22過焦點弦長

x2p2x1x2p=sin2.是傾斜角，

=90時，為通經(jīng)2p

96.拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A(x1，y1)、B(x2，y2)是過F的直線與拋物線的兩個交點，p2且直線AB的傾斜角為θ，則(1)y1y2＝－p2，x1x2＝4；p2

⑵S△AOB＝2sinθ.112

⑶|AF|＋|BF|＝p(定值)．

⑷以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切．

(y297.拋物線

y2px2y22px上的動點可設為P

2p,y)或

P(2pt,2pt)或2P

(x,y)，其中

.

yaxbxca(x2b2a)24acb4a298.二次函數(shù)

(b2a,4acb4a2(a0)的圖象是拋物線：

b2a,4acb14a2)()（1）頂點坐標為；（2）焦點的坐標為；y4acb14a2（3）準線方程是99.拋物線的內(nèi)外部(1)點點

P(x0,y0).

在拋物線

2y2px(p0)2的內(nèi)部

y2px(p0)22.

P(x0,y0)在拋物線

y2px(p0)2的外部

y2px(p0)2.

.

(2)點點

P(x0,y0)在拋物線

2y2px(p0)的內(nèi)部

y2px(p0)2P(x0,y0)在拋物線

y2px(p0)2的外部

y2px(p0)x2py(p0)22..

(3)點點

P(x0,y0)在拋物線

2x2py(p0)的內(nèi)部

P(x0,y0)在拋物線

x2py(p0)2的外部

x2py(p0)2.

.

(4)點點

P(x0,y0)在拋物線

2x2py(p0)的內(nèi)部

x2py(p0)2P(x0,y0)在拋物線x2py(p0)的外部x2py(p0).

AB2100.直線與圓錐曲線相交的弦長公式

AB(1k)(x2x1)22(x1x2)(y1y2)22或

2|x1x2|1tan|y1y2|1cot（弦端點

ykxbF(x,y)0(x1,y1),B(x2,y2)A，由方程消去y得到axAB的傾斜角，k為直線的斜率）.

2bxc0，0,為直線

101.光線反射問題、角平分線問題、折疊問題都是對稱問題.關于對稱問題，有如下規(guī)律：對稱關于點對稱關于x軸對稱關于y軸對稱關于直線y=x對稱對稱關于直線y=-x對稱解決辦法用中點坐標公式x不變，y換成-yy不變，x換成-xx換成y，y換成x解決辦法x換成-y，y換成-x關于直線y=x+1對稱關于直線y=-x+1對稱軸對稱x換成y-1，y換成x+1x換成1-y，y換成1-x斜率之積等于-1，中點在對稱軸上102．證明直線與直線的平行的思考途徑

（1）轉化為判定共面二直線無交點；（2）轉化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉化為線面平行；（4）轉化為線面垂直；（5）轉化為面面平行.103．證明直線與平面的平行的思考途徑

（1）轉化為直線與平面無公共點；（2）轉化為線線平行；（3）轉化為面面平行.104．證明平面與平面平行的思考途徑

（1）轉化為判定二平面無公共點；（2）轉化為線面平行；（3）轉化為線面垂直.105．證明直線與直線的垂直的思考途徑

（1）轉化為相交垂直；（2）轉化為線面垂直；

（3）轉化為線與另一線的射影垂直；（4）轉化為線與形成射影的斜線垂直.106．證明直線與平面垂直的思考途徑

（1）轉化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉化為該直線垂直于另一個平行平面；（5）轉化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.107．證明平面與平面的垂直的思考途徑

（1）轉化為判斷二面角是直二面角；（2）轉化為線面垂直.108.空間向量的加法與數(shù)乘向量運算的運算律

(1)加法交換律：a＋b=b＋a．(2)加法結合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

109.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量.110.共線向量定理

對空間任意兩個向量a、b(b≠0)，a∥b存在實數(shù)λ使a=λb．

P、A、B三點共線AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.

AB||CDAB、CD共線且AB、CD不共線ABtCD且AB、CD不共線.

111.共面向量定理

向量p與兩個不共線的向量a、b共面的存在實數(shù)對x,y,使paxby．.

112.射影公式

"已知向量AB=a和軸l，e是l上與l同方向的單位向量.作A點在l上的射影A，作B點在l上的射影B，則

"AB|AB|cos""〈a，e〉=ae

113.三視圖的正視圖、側視圖、俯視圖“正俯一樣長、正側一樣高、俯側一樣寬”114.斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的側棱長是l,側面積和體積分別是分別是①

c1S斜棱柱側和

V斜棱柱,它的直截面的周長和面積

和

S1,則.②

V斜棱柱S1lS斜棱柱側c1l.

115.若圓柱、圓錐的底面半徑為r，母線長l，則其表面積為S柱＝、S錐＝.若圓臺的上下底面半徑為r1、r2，母線長為l，則圓臺的表面積為S＝.116．棱錐的平行截面的性質(zhì)

如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應角相等，對應邊對應成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應邊的比的平方）；相應小棱錐與小棱錐的側面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比．117.幾何體的體積(1)V柱體＝.(2)V錐體＝.

1

(3)V臺體＝3(S′＋SS′＋S)h，V圓臺＝___，118.球的半徑是R，則

V43R3其體積

,其表面積S4R．

2119.球的組合體

(1)球與長方體的組合體:

長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.(2)球與正方體的組合體:

正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.(3)球與正四面體的組合體:

6a6a棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為12120．柱體、錐體的體積

V柱體1313Sh,外接球的半徑為4.

（S是柱體的底面積、h是柱體的高）.

V錐體Sh（S是錐體的底面積、h是錐體的高）.121.等可能性事件的概率：

P(A)mn.

122.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．123.n個互斥事件分別發(fā)生的概率的和

P(A1＋A2＋＋An)=P(A1)＋P(A2)＋＋P(An)．

124.獨立事件A，B同時發(fā)生的概率：P(AB)=P(A)P(B).

125.n個獨立事件同時發(fā)生的概率：P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)．.126.回歸直線方程

xixyiybi1n2xixi1yabx，其中aybxnni1nxiyinxyxinx22i1.

x127.f(x)在0處的導數(shù)（或變化率或微商）

f(x0)yxx0limx0yxlimx0f(x0x)f(x0)x.

s(tt)s(t)tv(tt)v(t)ts(t)limstlimt0128.瞬時速度：

t0.

129.瞬時加速度：

av(t)limt0vtlimt0.

130.f(x)在(a,b)的導數(shù)

f(x)ydydxdfdxlimx0yxlimx0f(xx)f(x)x.

x131.函數(shù)yf(x)在點0處的導數(shù)的幾何意義

P(x0,f(x0))xf(x0)函數(shù)yf(x)在點0處的導數(shù)是曲線yf(x)在處的切線的斜率，

相應的切線方程是

yy0f(x0)(xx0).

132.幾種常見函數(shù)的導數(shù)

(x)nx(1)C0（C為常數(shù)）.(2)n(lnx)1x"n1(nQ).(3)(sinx)cosx.

1xlogea(4)(cosx)sinx.(5)

(loga)x；

.

(6)

(e)exx;

(a)alnaxx.

133.導數(shù)的運算法則

(uv)uv"""（1）

.（2）

(uv)uvuv"""().（3）vu"uvuvv2""(v0).134.復合函數(shù)的求導法則設函數(shù)

"u(x)"u(x)在點x處有導數(shù)x，函數(shù)yf(u)在點x處的對應點U處有導數(shù)

yf((x))yyuux在點x處有導數(shù)，且x，或?qū)懽?/p>

"""""yuf(u)"，則復合函數(shù)

""fx((x))f(u)(x).

135.判別

f(x0)x0x0x是極大（�。┲档姆椒ǎ寒敽瘮�(shù)f(x)在點0處連續(xù)時，f(x0)附近的左側f(x)0，右側f(x)0，則是極大值；f(x0)附近的左側f(x)0，右側f(x)0，則是極小值.

（1）如果在（2）如果在

136.復數(shù)的相等：abicdiac,bd.（a,b,c,dR）

22137.復數(shù)zabi的模（或絕對值）：|z|=|abi|=ab.138.復數(shù)的四則運算法則

(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;(2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;

(abi)(cdi)acbdcd22(3)

(abi)(cdi)(acbd)(bcad)ibcadcd22i(cdi0);(4).

139.復數(shù)的乘法的運算律對于任何結合律:

z1,z2,z3C，有：交換律:

z1z2z2z1.

.

(z1z2)z3z1(z2z3).分配律:

z1(z2z3)z1z2z1z3140.復平面上的兩點間的距離公式

d|z1z2|(x2x1)(y2y1)22（z1x1y1i，

z2x2y2i）.

141.向量的垂直非零復數(shù)

z1abi，

z2cdi對應的向量分別是

OZ1，

OZ2，則

z2222OZ1OZ2z1z2|z1z2||z1||z2|z1的實部為零為純虛數(shù)

222|z1z2||z1||z2||z1z2||z1z2|acbd0z1iz2(λ為非零實

數(shù)).

142.實系數(shù)一元二次方程的解：實系數(shù)一元二次方程axbxc0，

x1,2bb4ac2a22①若b4ac0,則

2;②若b4ac0,則

22x1x2b2a;

③若b4ac0，它在實數(shù)集R內(nèi)沒有實數(shù)根；在復數(shù)集C內(nèi)有且僅有兩個共軛復數(shù)

b(b4ac)i2a22x(b4ac0)根

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