導數總結卷(自己的教師版)

高二年級導數總結（教師版）

一、選擇題：1.已知ysin30o,則導數y(D)A.32B.12C.

12D．0

1．f(x)與g(x)是定義在R上的兩個可導函數，若f(x)、g(x)滿足f′(x)＝g′(x)，則()

Af(x)=g(x)Bf(x)－g(x)為常數函數Cf(x)=g(x)=0Df(x)+g(x)為常數函數1．一物體運動方程為s1tt2（s單位米，t單位秒），那么物體在3秒末的瞬時速度是

A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒2.曲線yA

4xx3在點(1,3)處的切線方程是（D）B

y7x2y7x43C

yx4D

yx2

2．曲線f(x)=x+x-2在p0處的切線平行于直線y=4x-1，則p0點的坐標為（A）

A．(1,0)和(1,4)B．(2,8)C．(1,0)D．(2,8)和(1,4)2．若曲線y3x1與y1x23在x3x0處的切線互相垂直，則x0等于（A）．366A．3．函數

366B．xlnx2C．

23D．

23或0

y12的單調減區(qū)間是……（方程難解）……………………()．

A．(0,1)B．(0,1)∪(－∞，－1)C．(－∞，1)D．(－∞，＋∞)4.比較m5.若5.若

10edx與n=xe11xdx的大小關系是（A）A、mnBmnCmnD無法確定

12f(x0)2f(x),則limf(x0k)f(x0)2kxk0(B)A．2B.1C.

2D.無法確定

可導,且limx0f(x02x)f(x0)，則

f(x0)(B)A

12B.-1C.0D.-2

=(B)

5．已知函數y=f(x)在區(qū)間(a，b)內可導，且x0∈(a，b)，則limf(x0h)f(x0h)hh0Af′(x0)B2f′(x0)C－2f′(x0)D0

6．如圖是函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象，則下面判斷正確的是(C)三月考

A．在區(qū)間(－3,1)上y＝f(x)是增函數B．在(1,3)上y＝f(x)是減函數C．在(4,5)上y＝f(x)是增函數

D．在x＝2時y＝f(x)取到極小值

6．設函數f(x)在定義域內可導，y=f(x)的圖象如圖1所示，則導函數y=f(x)可能為（D）

yyyyy

OAxxxxOB

OCOD

O圖1x

6.已知函數yf(x)xf(x)的圖像如下圖所示，其中f(x)是函數

的導函數，函數y＝f(x)的圖象大致是圖中的(C)

6．若函數

f(x)x2

bxc的圖象的頂點在第四象限，則函數

f(x)的圖象是（）

"

6.函數f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b)，導函數f(x)在

(a,b)內的圖象如圖所示，則函數f(x)在開區(qū)間(a,b)內有極小值點（A）

A1個B2個C3個D4個7.已知函數h(x)f(x)g(x)，x0,3,g(x)0yyf(x)baOx，對任意x0,3,f(x)g(x)f(x)g(x)恒成立，則（B）。

A.函數h(x)有最大值也有最小值B.函數h(x)只有最小值

C．函數h(x)只有最大值D.函數h(x)沒有最大值也沒有最小值

12118.定積分(1(x1)2x)dx等于（A）AB1CD

04242

8.定積分11(1xx)dx2等于

二、填空題:(本大題共小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上.)

1.某物體做直線運動，其運動規(guī)律是s=t2+(t的單位是秒，s的單位是米)，則它在4秒末的

t3瞬時速度為

12516

2.過點P（－1，2）且與曲線y=3x2-4x+2在點M（1，1）處的切線平行的直線方程是_2x－y+4=0_________．

2、若函數yf(x)的圖象在x4處的切線方程是y2x9，則f(4)f(4)2]上有最大值3，2]上的最小值3函數f(x)2x36x2m(m為常數）在[2，那么此函數在[2，為-37

3．函數f(x)＝x3－3x+1在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是（B）

A1，－1B3，-17C1，－17D9，－19

3、若函數f(x)xxmx1是R32上的單調函數，則m的取值范圍。3．若函數f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)內單調遞減，則實數a的取值范圍是解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)內單調遞減，∴不等式3x2－2ax－10，則3x2－75>0，解得x>5或x

由表可得：函數g(x)的單調遞增區(qū)間為(-1,0)，(1,+∞)．

x(x4)(xa)2.（二次月考）已知a為實數，f

210（1）求導數fx；（2）若f，求fx在[-2，2]上的最大值和最小值。

2．(12分)已知函數f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.（練習題）

(1)求f(x)的單調遞減區(qū)間；

(2)若f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．19.解(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.

令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，

∴函數f(x)的單調遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，

f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．

于是有22＋a＝20，∴a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.

∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上單調遞增．又由于f(x)在[－2，－1]上單調遞減，

∴f(2)和f(－1)分別是f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最大值和最小值，∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f(x)最小值為－7.

3.（第二次月考試題）函數fx

yfxaxbxcx23,0),32的極小值為-8，其導函數

的圖像經過點(2,0),(的解析式；

f(x)m2如圖所示，

（Ⅰ）求

f(x)（Ⅱ）若對x[3,3]都有14m恒成立，求實數m的取值范圍.21、（14

22b2b2a33af(x)ax分）（1）2cc4a233a

32ax24ax,

3（第三次月考題考過的）

已知函數

f(x)2x3ax3bx8c32

在x=1及x=2時取得極值，其中a,b,c為常數。

（1）試確定a,b的值；（2）若對任意的x[0,3]，都有

f(x)c2恒成立，求c的取值范圍。

3、解：（Ⅰ）f(x)6x26ax3b，

因為函數f(x)在x1及x2取得極值，則有f(1)0，f(2)0．即

66a3b0，2412a3b0．解得a3，b4．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)2xf(x)6x239x12x8c2，

18x126(x1)(x2)．

當x(0，1)時，f(x)0；

當x(1，2)時，f(x)0；可以列表看結果當x(2，3)時，f(x)0．

所以，當x1時，f(x)取得極大值f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98c．

3時，f(x)的最大值為f(3)98c．則當x0，3，有f(x)c恒成立，因為對于任意的x0，

所以

98cc2，解得c1或c9，

因此c的取值范圍為(，1)(9，)．

3（本小題滿分10分）

已知f(x)=x3+ax2+bx+c,在x＝1與x＝－2時，都取得極值。⑴求a，b的值；

⑵若x[－3，2]都有f(x)>16.解：a＝

321c12恒成立，求c的取值范圍。

71c1，b＝－6.由f(x)min＝－+c>-得

223213c0或c3213

4、(本小題滿分12分)已知a為實數，f(x)(x24)(xa)。

⑴求導數f(x)；

⑵若f(1)0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值；

⑶若f(x)在(－∞，－2)和[2，+∞]上都是遞增的，求a的取值范圍。17.解：⑴由原式得f(x)x3ax24x4a,∴f(x)3x22ax4.

⑵由

f(1)0得a12,此時有

43f(x)(x24)(x122),f(x)3xx4.

由又

f(1)0得x或x=-1,

4509f(),f(1),f(2)0,f(2)0,327292,所以f(x)在[－2,2]上的最大值為最小值為5027.

⑶解法一:f(x)3x22ax4的圖象為開口向上且過點(0,－4)的拋物線,由條件得

f(2)0,f(2)0,即

4a8084a0∴－2≤a≤2.

所以a的取值范圍為[－2,2].解法二:令

f(x)0即3x22ax40,由求根公式得:

x1,2aa1232(x1x2)

所以f(x)3x22ax4.在,x1和x2,上非負.由題意可知,當x≤-2或x≥2時,f(x)≥0,從而x1≥-2,x2≤2,

即aa2212a6126a.解不等式組得－2≤a≤2.

∴a的取值范圍是[－2,2].

擴展閱讀：函數與導數問題進階(學生版)自己總結和教師版一套

函數與導數問題進階（學生版）

常見題型及解法1.常見題型

一、小題：1.函數的圖象2.函數的性質(單調性、奇偶性、周期性、對稱性);3.分段函數求函數值；4.函數的定義域、值域（最值）；5.函數的零點；6.抽象函數；7.定積分運算（求面積）

2.在解題中常用的有關結論（需要熟記）：

(1)曲線yf(x)在xx0處的切線的斜率等于f(x0)，且切線方程為二、大題：1.求曲線y=f(x)在某點處的切線的方程；2.求函數的解析式3.討論函數的單調性，求單調區(qū)間；4.求函數的極值點和極值；5.求函數的最值或值域；6.求參數的取值范圍7.證明不等式；8.函數應用問題yf(x0)(xx0)f(x0)。(2)若可導函數yf(x)在xx0處取得極值，則f(x0)0。反之，不成立。(3)對于可導函數f(x)，不等式f(x)0的解集決定函數f(x)的遞增（減）區(qū)間。（0）(4)函數f(x)在區(qū)間I上遞增（減）的充要條件是：xIf(x)0(0)恒成立（f(x)不恒為0）.(5)函數f(x)（非常量函數）在區(qū)間I上不單調等價于f(x)在區(qū)間I上有極值，則可等價轉化為方程f(x)0在區(qū)間I上有實根且為非二重根。（若f(x)為二次函數且I=R，則有0）。(6)f(x)在區(qū)間I上無極值等價于f(x)在區(qū)間在上是單調函數，進而得到f(x)0或f(x)0在I上恒成立(7)若x0I，f(x)0恒成立，則f(x)min0;若xI，f(x)0恒成立，則f(x)max0(8)若x0I，使得f(x0)0，則f(x)max0；若x0I，使得f(x0)0，則f(x)min0.(9)設f(x)與g(x)的定義域的交集為D，若xDf(x)g(x)恒成立，則有f(x)g(x)min0.(10)若對x1I1、x2I2，f(x1)g(x2)恒成立，則f(x)ming(x)max.若對x1I1，x2I2，使得f(x1)g(x2),則f(x)ming(x)min.若對x1I1，x2I2，使得f(x1)g(x2)，則f(x)maxg(x)max.（11）已知f(x)在區(qū)間I1上的值域為A,，g(x)在區(qū)間I2上值域為B，若對x1I1,x2I2，使得f(x1)=g(x2)成立，則AB。x2，且極大值大于0，極小(12)若三次函數f(x)有三個零點，則方程f(x)0有兩個不等實根x1、值小于0.(13)證題中常用的不等式:（x+1）x(x1)①lnxx1(x0)②ln③e1x④x12xex1xx22x⑤lnxx1(x1)⑥lnx11(x0)223.解題方法規(guī)律總結1.關于函數單調性的討論：大多數函數的導函數都可以轉化為一個二次函數，因此，討論函數單調性的問題，又往往轉化為二次函數在所給區(qū)間上的符號問題。要結合函數圖象，考慮判別式、對稱軸、區(qū)間端點函數值的符號等因素。2.已知函數（含參數）在某區(qū)間上單調，求參數的取值范圍，有三種方法：①子區(qū)間法；②分離參數法；③構造函數法。3.注意分離參數法的運用：含參數的不等式恒成立問題，含參數的不等式在某區(qū)間上有解，含參數的方程在某區(qū)間上有實根（包括根的個數）等問題，都可以考慮用分離參數法，前者是求函數的最值，后者是求函數的值域。4.關于不等式的證明：通常是構造函數，考察函數的單調性和最值。有時要借助上一問的有關單調性或所求的最值的結論，對其中的參數或變量適當賦值就可得到所要證的不等式。對于含有正整數n的帶省略號的不定式的證明，先觀察通項，聯(lián)想基本不定式（上述結論中的13），確定要證明的函數不定式（往往與所給的函數及上一問所得到的結論有關），再對自變量x賦值，令x分別等于1、2、…….、n,把這些不定式累加，可得要證的不定式。）5.關于方程的根的個數問題：一般是構造函數，有兩種形式，一是參數含在函數式中，二是參數被分離，無論哪種形式，都需要研究函數在所給區(qū)間上的單調性、極值、最值以及區(qū)間端點的函數值，結合函數圖象，確立所滿足的條件，再求參數或其取值范圍。小題講解：

【例1】（山東高考題）已知定義在R上的奇函數f(x)，滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是

增函數，若方程

f(x)m(m0)在區(qū)間[8,8]上有四個不同的根x1,x2,x3,x4，則

x1x2x3x4_________.

【例2】若x1是方程lgxx3的解，x2是10xx3的解，則x1x2的值為（）

23A．錯誤！未指定書簽。B．

32

【例3】若函數

1C．3D．

3

f(x)axxa(a0且a1)有兩個零點，則實數a的取值范圍是．

1【例4】已知偶函數f(x)在區(qū)間0,)單調遞增，則滿足f(2x1)＜f()的x取值范圍是（）

312121212（A）（，）(B)［，）(C)（，）(D)［，）

33332323

解答題講解一、（單調性，用到二階導數的技巧）

例一、已知函數f(x)lnx⑴若F(x)f(x)a(aR)，求F(x)的極大值；x⑵若G(x)[f(x)]2kx在定義域內單調遞減，求滿足此條件的實數k的取值范圍.

二、交點與根的分布

例二、已知函數f(x)x3x．

（1）求曲線yf(x)在點M(t，f(t))處的切線方程；

（2）設a0，如果過點(a，b)可作曲線yf(x)的三條切線，證明：abf(a)．

例三、已知aR，函數f(x)alnx1,g(x)(lnx1)exx,（其中e2.718）x（I）求函數f(x)在區(qū)間0,e上的最小值；

（II）是否存在實數x00,e，使曲線yg(x)在點xx0處的切線與y軸垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，請說明理由。

三、不等式證明

作差證明不等式

例四、（201*湖南，最值、作差構造函數）已知函數f(x)ln(x1)x．

(1)求函數f(x)的單調遞減區(qū)間；(2)若x1，求證：11≤ln(x1)≤x．x1

例五（201*湖北20，轉換變量，作差構造函數，較容易）

12已知定義在正實數集上的函數f(x)x2ax，g(x)3a2lnxb，其中a0．設兩曲線yf(x)，

2yg(x)有公共點，且在該點處的切線相同．

⑴用a表示b，并求b的最大值；⑵求證：當x0時，f(x)≥g(x)．

變形構造證明不等式例六、已知函數f(x)1alnxxaR，

（Ⅰ）求f(x)的極值

（Ⅱ）若lnxkx0在R上恒成立，求k的取值范圍（Ⅲ）已知x10，x20且x1x2e，求證x1x2x1x2

例七、（201*遼寧文21，構造變形，二次）已知函數f(x)(a1)lnxax21.⑴討論函數f(x)的單調性；

⑵設a≤2，證明：對任意x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)|≥4|x1x2|.

四、不等式恒成立求字母范圍

恒成立之最值的直接應用

例八、已知函數f(x)(xk)2ek。⑴求f(x)的單調區(qū)間；

1⑵若對于任意的x(0,)，都有f(x)≤，求k的取值范圍.

e

例九、（201*天津理20倒數第3大題，最值的直接應用，第3問帶有小的處理技巧）

a已知函數fxxbx0，其中a,bR.

xx⑴若曲線yfx在點P2,f2處切線方程為y3x1,求函數fx的解析式；⑵討論函數fx的單調性；

11⑶若對于任意的a,2，不等式fx10在,1上恒成立，求b的取值范圍.

24

恒成立之分離常數

例十、（201*長春一模，恒成立，分離常數，二階導數）

x2已知函數f(x)eax1,（其中aR,e為自然對數的底數）.

2x(1)當a0時,求曲線yf(x)在(0,f(0))處的切線方程；

(2)當x≥1時,若關于x的不等式f(x)≥0恒成立,求實數a的取值范圍.（改x≥0時，f(x)≥0恒成立.a≤1）

1lnx．x1(a,a)其中a>0，上存在極值，求實數a的取值范圍；（Ⅰ）若函數在區(qū)間

2k（Ⅱ）如果當x1時，不等式f(x)恒成立，求實數k的取值范圍；

x1

恒成立之討論字母范圍

例十二、（201*全國I，利用均值，不常見）

例十一、已知函數f(x)設函數f(x)exex．

⑴證明：f(x)的導數f(x)≥2；

⑵若對所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范圍．

三年新課標導數高考試題

[201*]1、（2）下列函數中，既是偶函數又在單調遞增的函數是（0，+）x（A）yx3(B)yx1（C）yx21(D)y2

2、（9）由曲線yx，直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為

1016（A）（B）4（C）（D）6

333（21）（本小題滿分12分）

alnxb已知函數f(x)，曲線yf(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x2y30。

x1xlnxk（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果當x0，且x1時，f(x)，求k的取值范圍。

x1x

[201*]

14、（12）設點P在曲線y=ex上，點Q在曲線y=ln(2x)上，則|pQ|最小值為

2（A）1-ln2（B）2(1ln2)（C）1+ln2（D）2(1ln2)5、（21）（本小題滿分12分）

1已知函數f（x）滿足f(x)f(1)ex1f(0)xx2

2（1）求f（x）的解析式及單調區(qū)間；

1（2）若f(x)x2axb求（a+1）b的最大值。

2

【201*年】

6、16、若函數f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的圖像關于直線x=－2對稱，則f(x)的最大值是______.

7、（21）（本小題滿分共12分）

已知函數f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線y＝4x+2（Ⅰ）求a，b，c，d的值

（Ⅱ）若x≥－2時,f(x)kg(x)，求k的取值范圍。

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