201*江蘇高二數(shù)學(xué)增效減負(fù)學(xué)案：2(必修3)

數(shù)學(xué)歸納法（1）

常州市第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)備課組

【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)與技能：理解數(shù)學(xué)歸納法的概念，掌握數(shù)學(xué)歸納法的步驟；

過程與方法：經(jīng)歷觀察、思考、分析、抽象、概括出數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟，

初步形成歸納、猜想和發(fā)現(xiàn)的能力；情感態(tài)度價(jià)值觀：通過數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)初步形成嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)的科學(xué)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?/p>

數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與數(shù)學(xué)理性精神。

【教學(xué)重點(diǎn)】理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)意義，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟。【教學(xué)難點(diǎn)】運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推

關(guān)系。

【教后反思】【教學(xué)過程】一．創(chuàng)設(shè)情景1.摸球?qū)嶒?yàn)

已知盒子里面有5個(gè)兵乓球，如何證明盒子里面的球全是橙色？

2.今天，據(jù)觀察第一個(gè)到學(xué)校的是男同學(xué)，第二個(gè)到學(xué)校的也是男同學(xué)，第三個(gè)到學(xué)校的還是男同學(xué)，于是得出：這所學(xué)校里的學(xué)生都是男同學(xué)。

象這種由一系列特殊事例得出一般結(jié)論的方法，我們把它叫做歸納法。（1）是完全歸納法，結(jié)論正確（2）是不完全歸納法，結(jié)論不一定正確。問題：這些問題都與自然數(shù)有關(guān)，自然數(shù)有無限多個(gè)，我們無法對(duì)其一一驗(yàn)證，那么如何證明一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題呢？例如對(duì)于數(shù)列an,已知

a11,an11an,通過對(duì)n=1,2,3,4前4項(xiàng)的歸納，猜想其通項(xiàng)公式為an。

n1an這個(gè)猜想是否正確，如何證明？數(shù)學(xué)中常用數(shù)學(xué)歸納法證明。

二．探索新知

1、了解多米諾骨牌游戲，可得，只要滿足以下兩條件，所有多米諾骨牌就都能倒下：

（1）第一塊骨牌倒下；

（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。思考：條件（1）（2）的作用是什么？2、用多米諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)問題。

思考：你能類比多米諾骨牌游戲解決這個(gè)問題嗎？分析：1多米諾骨牌游戲原理通項(xiàng)公式an的證明方法n（1）第一塊骨牌倒下。（1）當(dāng)n=1時(shí)a11，猜想成立

1（2）若第k塊倒下時(shí)，則相鄰的第k+1（2）若當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即ak，塊也倒下。k1則當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，即ak11k1。根據(jù)（1）和（2），可知不論有多少塊根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任意的正整數(shù)骨牌，都能全部倒下。n，猜想都成立。3、數(shù)學(xué)歸納法的原理一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：

（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立（n0為n取的第一個(gè)值）；

（2）（歸納遞推）假設(shè)nk(kn0,kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立。

只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。注：（1）這兩步步驟缺一不可；

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)第二步必須用到歸納假設(shè)；（3）數(shù)學(xué)歸納法只適用于和正整數(shù)有關(guān)的命題。三．例題講解

例一、已知數(shù)列an,a11,an11an，用數(shù)學(xué)歸納法證明其通項(xiàng)公式為an。

n1an【教學(xué)預(yù)設(shè)】【教學(xué)過程】

【學(xué)生活動(dòng)】

例二、用數(shù)學(xué)歸納法證明：等差數(shù)列{an}中，a1為首項(xiàng)，d為公差，則通項(xiàng)公式為ana1(n1)d。

【教學(xué)預(yù)設(shè)】【教學(xué)過程】【學(xué)生活動(dòng)】

例三、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1427310n(3n1)n(n1)2�！窘虒W(xué)預(yù)設(shè)】【教學(xué)過程】【學(xué)生活動(dòng)】四．課堂小結(jié)

【課后練習(xí)】

一．選擇

1．用數(shù)學(xué)歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應(yīng)驗(yàn)證()

An=1Bn=2Cn=3Dn=4

11112．用數(shù)學(xué)歸納法證明某命題時(shí)，左邊為n從k變到k＋1時(shí)，左邊應(yīng)

23421增添的代數(shù)式是（）

111A．k1B．k＋k1

21212111111C．k＋k＋k1D．k＋k＋……＋k1

2121212122n(2n21)3．用數(shù)學(xué)歸納法證明12(n1)n(n1)2132222222時(shí)，由nk的假設(shè)到證明nk1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是（）

A．(k1)2k

22222B．(k1)kC．(k1)D．(k1)[2(k1)1]

1324．某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)nk(kN)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時(shí)命題也成立．現(xiàn)已知當(dāng)n5時(shí)該命題不成立，那么可推得（）A．當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立B．當(dāng)n=6時(shí)該命題成立C．當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立D．當(dāng)n=4時(shí)該命題成立5．從一樓到二樓的樓梯共有n級(jí)臺(tái)階，每步只能跨上1級(jí)或2級(jí)，走完這n級(jí)臺(tái)階共有f(n)種走法，則下面的猜想正確的是（）

A．f(n)f(n1)f(n2)(n3)B．f(n)2f(n1)C．f(n)2f(n1)1(n2)

(n3)

(n2)D．f(n)f(n1)f(n2)二．用數(shù)學(xué)歸納法證明等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式。三．用數(shù)學(xué)歸納法證明下列等式（nN）。（1）135(2n1)n（2）122334n(n1)（3）(1x)(1xxx（4）123n33332222*21n(n1)(n2)32n1)1xn

n(n1)(2n1)

62（5）123n(123n)

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課題：幾何概型

常州市第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)備課組

教材：蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修三 3.3.1

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能：了解幾何概型的基本特點(diǎn)，會(huì)識(shí)別幾何概型，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何概率計(jì)算．

（2）過程與方法：讓學(xué)生通過具體的實(shí)例親歷幾何概型概念的建構(gòu)過程，體驗(yàn)類比轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法；通過實(shí)際問題的解決，提高學(xué)生的建模意識(shí)及分析問題、解決問題的能力．

（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：創(chuàng)設(shè)生活情境，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、合作探究，感受幾何概型在現(xiàn)實(shí)生活中的作用，在解決問題的過程中增強(qiáng)學(xué)生的規(guī)范意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和合作能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).過程中滲透數(shù)學(xué)史的介紹，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣．2.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：幾何概型的概念和概率計(jì)算公式，幾何概型的簡(jiǎn)單應(yīng)用．

教學(xué)難點(diǎn)：建立合理的模型把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，準(zhǔn)確確定幾何區(qū)域D和與事件A對(duì)應(yīng)的區(qū)域d，并求出它們的測(cè)度．3.教學(xué)方法和教學(xué)手段

設(shè)置問題情境，讓學(xué)生由古典概型的概念延伸到幾何概型的概念，體會(huì)二者的區(qū)別和聯(lián)系，過程中通過設(shè)置問題串讓學(xué)生深入思考幾何概型的特點(diǎn)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)幾何概型中概率的計(jì)算公式，并且在此過程中增強(qiáng)學(xué)生的合作能力和表達(dá)能力．

借助多媒體讓學(xué)生在三個(gè)例題的解決過程中體會(huì)概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用，學(xué)會(huì)在生活中發(fā)現(xiàn)、研究并解決數(shù)學(xué)問題，在回顧反思的環(huán)節(jié)中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力和交流能力．4.教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

問題1：在3米長(zhǎng)的繩子上有四個(gè)點(diǎn)P,Q,R,S，將繩子五等分，從這四個(gè)點(diǎn)中任意一點(diǎn)處將繩子剪斷，如果剪得兩段長(zhǎng)都不小于1米，那灰太狼就可以不去，那么他不去的概率是多少？．

容易求得概率為，并借此問題復(fù)習(xí)古典概型的特點(diǎn)和概率計(jì)算公式。問題2：紅外保護(hù)線長(zhǎng)3米，只有在和兩端距離均不小于1米的點(diǎn)接觸紅外線才不會(huì)報(bào)警，灰太狼能夠安全進(jìn)羊村的概率是多少？

本問題用和問題1類似的背景提出問題，意在凸顯古典概型和幾何概型的異同。學(xué)生可由直觀感受得出概率應(yīng)為線段長(zhǎng)度之比，這時(shí)教師再追問是否古典概型，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生疑問，進(jìn)而注意到本問題中的基本事件對(duì)應(yīng)于線段上的點(diǎn)，有無數(shù)種情形，且等可能發(fā)生，并非古典概型，進(jìn)而將古典概型中基本事件的個(gè)數(shù)

12

轉(zhuǎn)化成基本事件構(gòu)成線段的長(zhǎng)度，求出概率

線段PQ長(zhǎng)度A的基本事件構(gòu)成區(qū)域的長(zhǎng)度1P(A)==

線段MN長(zhǎng)度所有基本事件構(gòu)成區(qū)域的長(zhǎng)度3問題3：羊村是個(gè)面積為10000平方米的矩形，灰太狼在羊村內(nèi)炸出的圓有100平方米，假設(shè)喜羊羊在羊村的每一點(diǎn)都是等可能的，那么，他炸到喜羊羊的概率是多少？

由問題2的解決學(xué)生可以類比解決問題3，得出基本事件也對(duì)應(yīng)于點(diǎn)，這時(shí)應(yīng)用平面圖形的面積來刻畫基本事件的數(shù)量，求出概率

圓的面積A的基本事件構(gòu)成區(qū)域的面積1P(A)==

羊村面積所有基本事件構(gòu)成區(qū)域的面積100

（二）歸納總結(jié)、意義建構(gòu)

思考：?jiǎn)栴}2和3均非古典概型，有什么共同點(diǎn)？

學(xué)生通過剛才的分析可以答出基本事件的無限性和等可能性．進(jìn)一步再思考：基本事件分別是什么？它們有什么共同點(diǎn)？進(jìn)而可以總結(jié)：

基本事件：從區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)，且取到每一點(diǎn)都是等可能的，隨機(jī)事件A的基本事件：從區(qū)域d（d含在D內(nèi)）內(nèi)任取一點(diǎn)，思考：事件A的概率該如何求解？

11在問題2中，P(A)為線段的長(zhǎng)度之比，問題3中P(A)為面積之比，

3100而線段的長(zhǎng)度，平面圖形的面積均為對(duì)幾何區(qū)域大小的一種度量方式，這種度量我們用統(tǒng)一的名字來表示：測(cè)度．

由此引入幾何概型的定義：事件A發(fā)生的概率與d的測(cè)度成正比，我們把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型．

從定義可以總結(jié)出幾何概型的特點(diǎn)是：等可能性，無限性．事件A發(fā)生的概率為P(A)d的測(cè)度，其中測(cè)度：長(zhǎng)度，面積，體積等，主要取決于幾何區(qū)域D

D的測(cè)度和d，并且和區(qū)域d的形狀和位置沒有關(guān)系．

（三）鞏固新知、簡(jiǎn)單應(yīng)用

1.在區(qū)間[0，9]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，恰好取在區(qū)間[0，3]上的概率為多少？分析：我們可以把實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來，由此可以把區(qū)間[0，9]轉(zhuǎn)化為一條長(zhǎng)為9的線段．

解：記“恰好取在區(qū)間[0，3]上”為事件A，

在區(qū)間[0，9]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)為一個(gè)基本事件，有無數(shù)種可能，并且都是等可能發(fā)生的．

區(qū)域D：區(qū)間[0，9]對(duì)應(yīng)的線段區(qū)域d：區(qū)間[0，3]對(duì)應(yīng)的線段，故

P(A)d的測(cè)度31．

D的測(cè)度93

1答：恰好取在區(qū)間[0，3]上的概率為．

3問題背景本身并非幾何問題，需要將數(shù)轉(zhuǎn)化成點(diǎn)，區(qū)間轉(zhuǎn)化成線段，原問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)幾何問題。

思考：這是一個(gè)幾何概型問題，怎樣改變題目的條件，使之變成一個(gè)古典概型問題呢？題目答案并不唯一，可以改成整數(shù)，偶數(shù)，0.1的整數(shù)倍等．由此可以總結(jié)解決概率問題的一般步驟：S1確定基本事件；S2判斷是哪種概型；S3代入公式求解概率．

如果是應(yīng)用題，那么最前面要加上一步“記事件”，最后面要加上一步“作答”．

2.在邊長(zhǎng)為2的正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，豆子落在正方形內(nèi)切圓內(nèi)的概率是多少？分析：在正方形內(nèi)隨機(jī)丟一粒豆子可以看成是在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，為一個(gè)基本事件，有無數(shù)種情況，且均等可能發(fā)生，為幾何概型．解：記“豆子落在正方形內(nèi)切圓內(nèi)”為事件A，

在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)為一個(gè)基本事件，有無數(shù)種可能，并且都等可能發(fā)生．區(qū)域D：正方形區(qū)域d：內(nèi)切圓

故P(A)內(nèi)切圓面積．

正方形面積4．4如果我們向正方形內(nèi)隨機(jī)撒n顆豆子，統(tǒng)計(jì)落在內(nèi)切圓內(nèi)的豆子數(shù)為m，那

m么事件A發(fā)生的頻率為，由概率的統(tǒng)計(jì)定義可知，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)n很大

nmm時(shí)，有P(A)，那么根據(jù)我們這里算出的結(jié)果，就有，將此式變形，

n4n4m有，這個(gè)式子有怎樣的實(shí)際意義呢？我們可以通過大量重復(fù)試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)n

n4m和m的值，由來估計(jì)圓周率的值．

n在我們所學(xué)過的概率的統(tǒng)計(jì)定義中，我們用大量重復(fù)試驗(yàn)下事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率，而這里正是運(yùn)用了頻率和概率的關(guān)系，借助計(jì)算機(jī)模擬進(jìn)行圓周率的估算，研究圓周率的方法歷史上其實(shí)有很多，1777年法國(guó)的科學(xué)家布豐就做了投針試驗(yàn)來估計(jì)圓周率，他和我們這里求圓周率的思想一樣，都是用大量重復(fù)試驗(yàn)中概率和頻率的關(guān)系來估算圓周率，這個(gè)試驗(yàn)被稱為幾何概型的第一次試驗(yàn)。

3.一個(gè)20立方米的海洋球池里混入了一顆水晶球，現(xiàn)從中取出0.5立方米，含有水晶球的概率是多少？

分析:由于球池中球數(shù)很多，故可以將球看成一個(gè)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化成幾何概型問題。答：豆子落在正方形內(nèi)切圓內(nèi)的概率為

解：記“取出的球中含有這個(gè)水晶球”為事件A,水晶球在球池中的分布可以看成是隨機(jī)的，故

0.5P(A)=0.025.

20答：取出的球中含有這個(gè)水晶球的概率為0.025.總結(jié)：這三個(gè)問題都是幾何概型問題，測(cè)度分別為線段的長(zhǎng)度，平面圖形的面積，立體圖形的體積．如果題目所給條件并非幾何問題，要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化．

（四）牛刀小試、查漏補(bǔ)缺

11.在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則△ABP與△ABC的面積比大于0.5的概率是多少？

43.已知地鐵站每隔10分鐘有一班列車到達(dá)，每輛列車在車站停1分鐘,則乘客到

特點(diǎn)公式古典概型有限性等可能性P(A)mn幾何概型無限性等可能性P(A)d的測(cè)度D的測(cè)度1103.在1升高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？0.01

（五）回顧反思、總結(jié)提煉

（六）作業(yè)

1.教材P104習(xí)題3.31,2,3,4；

2.思考題：灰太狼和喜洋洋相約在第二天的早上7點(diǎn)到8點(diǎn)在羊村門口碰面，事

達(dá)站臺(tái)立即乘上車的概率是多少？

先約定先到者等候另一方15分鐘，過時(shí)離去.那么雙方能夠碰面的概率是多少？

教學(xué)設(shè)計(jì)說明：

1．對(duì)教材的研究和認(rèn)識(shí)

幾何概型是繼古典概型之后學(xué)生學(xué)習(xí)的另一類等可能概型，是對(duì)古典概型概念的延伸，同時(shí)，幾何概型中事件的概率計(jì)算公式雖然和古典概型中并不相同，但是本質(zhì)都是比值，幾何概型中點(diǎn)的個(gè)數(shù)雖然無限，但是構(gòu)成點(diǎn)的區(qū)域測(cè)度卻是可比的，故而也可以認(rèn)為古典概型是幾何概型的支撐點(diǎn)，幾何概型是古典概型的生長(zhǎng)點(diǎn)，兩者相輔相成．要讓學(xué)生在比較中提高對(duì)古典概型的理解,進(jìn)一步體會(huì)概率的思想及其豐富內(nèi)涵，同時(shí)學(xué)好本節(jié)內(nèi)容也可以為學(xué)習(xí)選修2-3中隨機(jī)變量及其分布列奠定基礎(chǔ)．盡管本節(jié)內(nèi)容在課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求僅為了解和會(huì)簡(jiǎn)單的計(jì)算，但蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合和數(shù)學(xué)建模的思想凸顯了其重要性．

2.學(xué)情分析

概率的知識(shí)學(xué)生在初中就已經(jīng)接觸過，本章在學(xué)生所學(xué)初步知識(shí)的基礎(chǔ)之上系統(tǒng)地學(xué)習(xí)概率知識(shí)．學(xué)生在初次接觸幾何概型問題時(shí)，基本上都可以依據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)直接得出答案，在此我們要讓學(xué)生從理性的角度思考為什么可以這樣求概率，讓學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)的語言去描述問題，用數(shù)學(xué)的思想和方法去解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維．3.課堂教學(xué)策略的選擇

本節(jié)內(nèi)容大體按六個(gè)環(huán)節(jié)展開：?jiǎn)栴}情境，意義建構(gòu)，簡(jiǎn)單應(yīng)用，課堂自測(cè)，回顧總結(jié)，學(xué)生活動(dòng)穿插在每個(gè)環(huán)節(jié)中．首先從學(xué)生熟悉的故事情節(jié)出發(fā)，使學(xué)生能夠從生活實(shí)例中提取模型，在古典概型向幾何概型的轉(zhuǎn)變中發(fā)現(xiàn)兩者的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，進(jìn)一步深究事件的構(gòu)成情況總結(jié)出幾何概型的定義和概率計(jì)算公式，這個(gè)概念生成的過程由學(xué)生積極思考，教師從旁引導(dǎo)完成．為了使學(xué)生更深刻的理解概念，教師設(shè)置了一系列有梯度的例題，這幾個(gè)問題不僅是為了讓學(xué)生理解測(cè)度的概念，而且也讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何從實(shí)際問題中提煉出數(shù)學(xué)模型，在問題解決的過程中鍛煉他們的合作交流能力．4.任務(wù)后延

本課教師的意圖不僅是讓學(xué)生在這節(jié)課上學(xué)會(huì)知識(shí)，而且在課后也能有同樣的學(xué)習(xí)熱情去鉆研其他問題，故教師在多個(gè)環(huán)節(jié)都給學(xué)生預(yù)留了自主探索的內(nèi)容，這樣不但適應(yīng)了不同層次的學(xué)生的需求，而且也極大的激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣并提高研究問題的能力．

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