高中數(shù)學函數(shù)公式知識點總結(jié)

高中數(shù)學函數(shù)知識點總結(jié)

（1）高中函數(shù)公式的變量：因變量，自變量。在用圖象表示變量之間的關(guān)系時，通常用水平方向的數(shù)軸上的點自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點表示因變量。

（2）一次函數(shù)：①若兩個變量,間的關(guān)系式可以表示成等于0）的形式，則稱

是的一次函數(shù)。②當=0時，稱

（為常數(shù)，不

是的正比例函數(shù)。

（3）高中函數(shù)的一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)①把一個函數(shù)的自變量與對應(yīng)的因變量

的值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在直角坐

標系內(nèi)描出它的對應(yīng)點，所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。②正比例函數(shù)

=的圖象是經(jīng)過原點的一條直線。

③在一次函數(shù)中，當0，O，則經(jīng)2、3、4象限；當0，0時，則經(jīng)1、2、4象限；當0，0時，則經(jīng)1、3、4象限；當0，0時，則經(jīng)1、2、3象限。

④當0時，的值隨值的增大而增大，當0時，的值隨值的增大而減少。（4）高中函數(shù)的二次函數(shù)：

①一般式：()，對稱軸是

頂點是②頂點式：③交點式：

；((

)，對稱軸是)，其中（

頂點是），（

；

）是拋物線與x軸的交

點

（5）高中函數(shù)的二次函數(shù)的性質(zhì)

①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。

②時，在對稱軸（）左側(cè)，值隨值的增大而減少；在對稱軸（）

右側(cè)；的值隨值的增大而增大。當時，取得最小值③時，在對稱軸（）左側(cè)，值隨值的增大而增大；在對稱軸（）

右側(cè)；的值隨值的增大而減少。當時，取得最大值

9高中函數(shù)的圖形的對稱

（1）軸對稱圖形：①如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那

么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。②軸對稱圖形上關(guān)于對稱軸對稱的兩點確定的線段被對稱軸垂直平分。

（2）中心對稱圖形：①在平面內(nèi)，一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應(yīng)點所連成的線段都被對稱中心平分。

擴展閱讀：高中數(shù)學知識點總結(jié)及公式大全

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高中數(shù)學知識點總結(jié)

1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C中元素各表示什么？

2.進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集的特殊情況。注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合Ax|x2x30，Bx|ax1

2若BA，則實數(shù)a的值構(gòu)成的集合為

（答：1，0，）3.注意下列性質(zhì)：

（1）集合a1，a2，，an的所有子集的個數(shù)是2；（2）若ABABA，ABB；（3）德摩根定律：

13nCUABCUACUB，CUABCUACUB

ax50的解集為M，若3M且5M，求實數(shù)a2xa4.你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）如：已知關(guān)于x的不等式的取值范圍。

（∵3M，∴

a35023aa55052a5a1，9，25）

3∵5M，∴5.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”()，“且”()和

“非”().

若pq為真，當且僅當p、q均為真

若pq為真，當且僅當p、q至少有一個為真若p為真，當且僅當p為假

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6.命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？（互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。）

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

7.對映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？

（一對一，多對一，允許B中有元素無原象。）

8.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？（定義域、對應(yīng)法則、值域）

9.求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？例：函數(shù)yx4xlgx32的定義域是

（答：0，22，33，4）10.如何求復合函數(shù)的定義域？

如：函數(shù)f(x)的定義域是a，b，ba0，則函數(shù)F(x)f(x)f(x)的定義域是_____________。（答：a，a）

11.求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？如：f令t2x1exx，求f(x).

x1，則t0

∴xt1∴f(t)et21t21x21x0

∴f(x)ex2112.反函數(shù)存在的條件是什么？（一一對應(yīng)函數(shù)）

求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？

（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）

1x如：求函數(shù)f(x)2x1x0的反函數(shù)

x0x1x1（答：f(x)）xx013.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱；②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；

③設(shè)yf(x)的定義域為A，值域為C，aA，bC，則f(a)=bf(b)a

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f1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b

14.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？（取值、作差、判正負）如何判斷復合函數(shù)的單調(diào)性？

（yf(u)，u(x)，則yf(x)（外層）（內(nèi)層）

當內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時f(x)為增函數(shù)，否則f(x)為減函數(shù)。）如：求ylog1x2x的單調(diào)區(qū)間

22（設(shè)ux2x，由u0則0x2且log1u，ux11，如圖：

222uO12x

當x(0，1]時，u，又log1u，∴y

2當x[1，2)時，u，又log1u，∴y

2∴）

15.如何利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

在區(qū)間a，b內(nèi)，若總有f"(x)0則f(x)為增函數(shù)。（在個別點上導數(shù)等于

零，不影響函數(shù)的單調(diào)性），反之也對，若f"(x)0呢？

如：已知a0，函數(shù)f(x)xax在1，上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是（）A.0

B.1

23C.2D.3

f"(x)3xa3x（令aax033則xa或x3a3中國教育開發(fā)網(wǎng)中國特級教師高考復習方法指導〈數(shù)學復習版〉

由已知f(x)在[1，)上為增函數(shù)，則a1，即a33∴a的最大值為3）

16.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（f(x)定義域關(guān)于原點對稱）

若f(x)f(x)總成立f(x)為奇函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱若f(x)f(x)總成立f(x)為偶函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

注意如下結(jié)論：

（1）在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

（2）若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點，則f(0)0。

a2xa2為奇函數(shù)，則實數(shù)a如：若f(x)x21（∵f(x)為奇函數(shù)，xR，又0R，∴f(0)0

a20a20，∴a1）即0212x，又如：f(x)為定義在(1，1)上的奇函數(shù)，當x(0，1)時，f(x)x41求f(x)在1，1上的解析式。

2x（令x1，0，則x0，1，f(x)x

412x2x又f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)x

4114x2xx41又f(0)0，∴f(x)x24x117.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

（若存在實數(shù)T（T0），在定義域內(nèi)總有fxTf(x)，則f(x)為周期函數(shù)，T是一個周期。）

如：若fxaf(x)，則

x(1，0)x0x0，1）

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（答：f(x)是周期函數(shù)，T2a為f(x)的一個周期）又如：若f(x)圖象有兩條對稱軸xa，xb即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)則f(x)是周期函數(shù)，2ab為一個周期如：

18.你掌握常用的圖象變換了嗎？f(x)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱f(x)與f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱f(x)與f(x)的圖象關(guān)于原點對稱f(x)與f1(x)的圖象關(guān)于直線yx對稱

f(x)與f(2ax)的圖象關(guān)于直線xa對稱f(x)與f(2ax)的圖象關(guān)于點(a，0)對稱

左移a(a0)個單位yf(xa)將yf(x)圖象

yf(xa)右移a(a0)個單位注意如下“翻折”變換：

上移b(b0)個單位下移b(b0)個單位yf(xa)byf(xa)b

f(x)f(x)f(x)f(|x|)

如：f(x)log2x1

作出ylog2x1及ylog2x1的圖象

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yy=log2xO1x

19.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？

(k0)y=bO’(a,b)Oxx=a

（1）一次函數(shù)：ykxbk0（2）反比例函數(shù)：y的雙曲線。

kkk0推廣為ybk0是中心O"(a，b)xxa2b4acb2圖象為拋物線（3）二次函數(shù)yaxbxca0ax2a4a2b4acb2b，頂點坐標為，對稱軸x

4a2a2a開口方向：a0，向上，函數(shù)ymin4acb2

4aa0，向下，ymax4acb2

4a應(yīng)用：①“三個二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系二次方程

ax2bxc0，0時，兩根x1、x2為二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸的兩個交點，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端點值。

②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。

③求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。

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0b2k如：二次方程axbxc0的兩根都大于k2af(k)0y(a>0)Okx1x2x

一根大于k，一根小于kf(k)0（4）指數(shù)函數(shù)：yaxa0，a1（5）對數(shù)函數(shù)ylogaxa0，a1由圖象記性質(zhì)�。ㄗ⒁獾讛�(shù)的限定�。�

yy=ax(a>1)(0中國特級教師高考復習方法指導〈數(shù)學復習版〉

指數(shù)運算：a01(a0)，apamn1(a0)paanm(a0)，amn1nam(a0)

對數(shù)運算：logaMNlogaMlogaNM0，N0logaM1nlogMlogN，logMlogaaaaMNnlogax對數(shù)恒等式：ax

對數(shù)換底公式：logab21.如何解抽象函數(shù)問題？

（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）

logcbnlogambnlogab

logcam如：（1）xR，f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，證明f(x)為奇函數(shù)。（先令xy0f(0)0再令yx，）

（2）xR，f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，證明f(x)是偶函數(shù)。（先令xytf(t)(t)f(tt)∴f(t)f(t)f(t)f(t)∴f(t)f(t)）

（3）證明單調(diào)性：f(x2)fx2x1x2

22.掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？

（二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導數(shù)法等。）

如求下列函數(shù)的最值：（1）y2x3134x（2）y2x4x3

2x2（3）x3，y

x3（4）yx49x2設(shè)x3cos，0，

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（5）y4x9，x(0，1]x11lRR2）22R1弧度OR23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎？（lR，S扇

24.熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義sinMP，cosOM，tanAT

yTBSPαOMAx

如：若0，則sin，cos，tan的大小順序是812cosx的定義域和值域。2

數(shù)又如：求函y（∵12cosx）12sinx02∴sinx2，如圖：2中國教育開發(fā)網(wǎng)中國特級教師高考復習方法指導〈數(shù)學復習版〉

∴2k5x2kkZ，0y124425.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對稱點、對稱軸嗎？

x1，cosx1sinyytgxxO22

對稱點為k

，0，kZ2，2k2kZ23x的增區(qū)間為2kysin減區(qū)間為2k，2kkZ22圖象的對稱點為k，0，對稱軸為xkkZ2中國教育開發(fā)網(wǎng)中國特級教師高考復習方法指導〈數(shù)學復習版〉

x的增區(qū)間為2k，2kycoskZ

kZ

減區(qū)間為2k，2k2圖象的對稱點為k，0，對稱軸為xkkZ

2ytanx的增區(qū)間為k，kkZ2226.正弦型函數(shù)y=Asinx+的圖象和性質(zhì)要熟記�；騳Acosx（1）振幅|A|，周期T2||若fx0A，則xx0為對稱軸。

若fx00，則x0，0為對稱點，反之也對。（2）五點作圖：令x依次為0，（x，y）作圖象。

（3）根據(jù)圖象求解析式。（求A、、值）

3，，，2，求出x與y，依點22

(x1)0如圖列出

(x2)2解條件組求、值

正切型函數(shù)yAtanx，T||27.在三角函數(shù)中求一個角時要注意兩個方面先求出某一個三角函數(shù)值，再判定角的范圍。如：cosx23，x，，求x值。622中國教育開發(fā)網(wǎng)中國特級教師高考復習方法指導〈數(shù)學復習版〉

（∵x375513，∴x，∴x，∴x）26636412

28.在解含有正、余弦函數(shù)的問題時，你注意（到）運用函數(shù)的有界性了嗎？如：函數(shù)ysinxsin|x|的值域是（x0時，y2sinx2，2，x0時，y0，∴y2，2）29.熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？

（平移變換、伸縮變換）平移公式：

x"xha(h，k)P"（x"，y"），則（1）點P（x，y）

y"yk平移至f(x，y)0沿向量a(h，k)平移后的方程f為(xh，yk)0（2）曲線如：函數(shù)y2sin2x圖象？

（y2sin2x1的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到y(tǒng)sinx的41橫坐標伸長到原來的2倍1y2sin2x14241個單位42sinx1y2sinx1上平移y2sinx4左平移個單位12ysinx）縱坐標縮短到原來的倍30.熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導公式了嗎？

如：1sincossectantancotcossectan22224cos0稱為1的代換。2“k”化為的三角函數(shù)“奇變，偶不變，符號看象限”，

2sin“奇”、“偶”指k取奇、偶數(shù)。如：cos97tansin2164

又如：函數(shù)yA.正值或負值

sintan，則y的值為coscot

B.負值

C.非負值

D.正值

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sinsin2cos1cos（y0，∵0）

coscos2sin1cossinsin31.熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應(yīng)用了嗎？理解公式之間的聯(lián)系：

sincoscossinsin22sincossin令令coscoscossinsincos2cos2sin2tantantan222cos112sin1tantantan2

2tan21tan1cos221cos22sin2co2s

asinbcossincosa2b2sin，tanba2sin

43sin3cos2sin應(yīng)用以上公式對三角函數(shù)式化簡。（化簡要求：項數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分母中不含三角函數(shù)，能求值，盡可能求值。）具體方法：

（1）角的變換：如，222（2）名的變換：化弦或化切

（3）次數(shù)的變換：升、降冪公式

（4）形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運用代數(shù)運算。

sincos21，tan，求tan2的值。

1cos23sincoscos1（由已知得：1，∴tan2sin22sin22又tan

321tantan1∴tan32）2tan1tan1218tan32如：已知中國教育開發(fā)網(wǎng)中國特級教師高考復習方法指導〈數(shù)學復習版〉

32.正、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎？如何實現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三角形？

b2c2a2余弦定理：abc2bccosAcosA

2bc222（應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）

a2RsinAabc2Rb2RsinB正弦定理：sinAsinBsinCc2RsinCS1absinC2∵ABC，∴ABC∴sinC，sinABsin如ABC中，2sin（1）求角C；

2ABCcos22ABcos2C12c2，求cos2Acos2B的值。（2）若ab222（（1）由已知式得：1cosAB2cosC11

2又ABC，∴2cosCcosC10

21或cosC1（舍）2又0C，∴C

31222（2）由正弦定理及abc得：

2322222sinA2sinBsinCsin3431cos2A1cos2B

43∴cos2Acos2B）

4∴cosC33.用反三角函數(shù)表示角時要注意角的范圍。反正弦：arcsinx，，x1，122反余弦：arccosx0，，x1，1

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反正切：arctanx，，xR2234.不等式的性質(zhì)有哪些？（1）ab，c0acbcc0acbc

（2）ab，cdacbd（3）ab0，cd0acbd（4）ab01111，ab0ababnnn（5）ab0ab，nab

（6）|x|aa0axa，|x|axa或xa如：若2110，則下列結(jié)論不正確的是（ab2）

A.abB.abb2

C.|a||b||ab|答案：C

35.利用均值不等式：

D.ab2baabab2aba，bR；ab2ab；ab求最值時，你是否注

2222意到“a，bR”且“等號成立”時的條件，積(ab)或和(ab)其中之一為定

值？（一正、二定、三相等）注意如下結(jié)論：

a2b2ab2ababa，bR22ab當且僅當ab時等號成立。abcabbccaa，bR當且僅當abc時取等號。ab0，m0，n0，則

222bbmana1aambnb中國教育開發(fā)網(wǎng)中國特級教師高考復習方法指導〈數(shù)學復習版〉

如：若x0，23x（設(shè)y23x4的最大值為x

42212243x當且僅當3x423，又x0，∴x時，ymax243）x3xy又如：x2y1，則24的最小值為（∵22x2y

22x2y221，∴最小值為22）

36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎？

（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學歸納法等）并注意簡單放縮法的應(yīng)用。如：證明1（111122232n21111111

1223n1n2232n211

11111223n1n122）n

37.解分式不等式f(x)aa0的一般步驟是什么？g(x)（移項通分，分子分母因式分解，x的系數(shù)變?yōu)?，穿軸法解得結(jié)果。）38.用“穿軸法”解高次不等式“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始

如：x1x1x20

39.解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論如：對數(shù)或指數(shù)的底分a1或0a1討論

40.對含有兩個絕對值的不等式如何去解？

（找零點，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。）例如：解不等式|x3|x11

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（解集為x|x1）241.會用不等式|a||b||ab||a||b|證明較簡單的不等問題如：設(shè)f(x)xx13，實數(shù)a滿足|xa|1求證：f(x)f(a)2(|a|1)

證明：|f(x)f(a)||(xx13)(aa13)|

222|(xa)(xa1)|(|xa|1)|xa||xa1||xa1|

|x||a|1又|x||a||xa|1，∴|x||a|1∴f(x)f(a)2|a|22|a|1

（按不等號方向放縮）

42.不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？（可轉(zhuǎn)化為最值問題，或“△”問題）如：af(x)恒成立af(x)的最小值af(x)恒成立af(x)的最大值af(x)能成立af(x)的最小值

例如：對于一切實數(shù)x，若x3x2a恒成立，則a的取值范圍是（設(shè)ux3x2，它表示數(shù)軸上到兩定點2和3距離之和umin325，∴5a，即a5

或者：x3x2x3x25，∴a5）43.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：an1and(d為常數(shù))，ana1n1d等差中項：x，A，y成等差數(shù)列2Axy

前n項和Sna1annna21nn12d

性質(zhì)：an是等差數(shù)列

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（1）若mnpq，則amanapaq；

（2）數(shù)列a2n1，a2n，kanb仍為等差數(shù)列；Sn，S2nSn，S3nS2n仍為等差數(shù)列；

（3）若三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為ad，a，ad；（4）若an，bn是等差數(shù)列Sn，Tn為前n項和，則2amS2m1；bmT2m1（5）an為等差數(shù)列Snanbn（a，b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù)）

Sn的最值可求二次函數(shù)Snanbn的最值；或者求出an中的正、負分界

2項，即：

an0當a0，d0，解不等式組可得Sn達到最大值時的n值。1an10當a10，d0，由an0可得Sn達到最小值時的n值。

a0n1

如：等差數(shù)列an，Sn18，anan1an23，S31，則n（由anan1an233an13，∴an11又S3a1a333a221，∴a21311na1anna2an1n3∴Sn18

222n27）

44.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：an1q（q為常數(shù)，q0），ana1qn1an2等比中項：x、G、y成等比數(shù)列Gxy，或Gxy

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na1(q1)前n項和：Sna11qn（要注意!）

(q1)1q性質(zhì)：an是等比數(shù)列

（1）若mnpq，則amanapaq（2）Sn，S2nSn，S3nS2n仍為等比數(shù)列45.由Sn求an時應(yīng)注意什么？

（n1時，a1S1，n2時，anSnSn1）46.你熟悉求數(shù)列通項公式的常用方法嗎？例如：（1）求差（商）法

111a12a2nan2n52221解：n1時，a1215，∴a114

2111n2時，a12a2n1an12n15222112得：nan2

2如：an滿足∴an2n11

2

14(n1)∴ann1

(n2)2［練習］

數(shù)列an滿足SnSn15an1，a14，求an3Sn14Snn（注意到an1Sn1Sn代入得：又S14，∴Sn是等比數(shù)列，Sn4n2時，anSnSn134（2）疊乘法

例如：數(shù)列an中，a13，n1

an1n，求anann1解：

a2aaa12n113n，∴na1a2an123na1n中國教育開發(fā)網(wǎng)中國特級教師高考復習方法指導〈數(shù)學復習版〉

又a13，∴an3n（3）等差型遞推公式

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法

n2時，a2a1f(2)a3a2f(3)兩邊相加，得：

anan1f(n)ana1f(2)f(3)f(n)∴ana0f(2)f(3)f(n)［練習］

數(shù)列an，a11，an3（ann1an1n2，求an

1n31）2（4）等比型遞推公式

ancan1dc、d為常數(shù)，c0，c1，d0可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)anxcan1xancan1c1x令(c1)xd，∴x∴andc1dd，c為公比的等比數(shù)列是首項為a1c1c1∴anddn1a1cc1c1dn1dcc1c1∴ana1［練習］

數(shù)列an滿足a19，3an1an4，求an

4（an83（5）倒數(shù)法

n11）

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例如：a11，an12an，求an

an2由已知得：1an1an2112an2an∴1an111an21111，公差為為等差數(shù)列，a12an1111n1n1an22∴an2n147.你熟悉求數(shù)列前n項和的常用方法嗎？

例如：（1）裂項法：把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項。如：an是公差為d的等差數(shù)列，求1aak1kk1n11111解：由d0

akak1akakddakak1n1111∴

ak1k1akak1k1dakn

1111111da1a2a2a3anan1111da1an1

［練習］求和：111112123123n（an，Sn2（2）錯位相減法：

1）n1若an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，求數(shù)列anbn（差比數(shù)列）前n項

和，可由SnqSn求Sn，其中q為bn的公比。

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如：Sn12x3x4xnx23423n11

n1xSnx2x3x4xn1x12：1xSn1xxx2n1nxn2

nxn

x1時，Sn1xnxnn1x21x

x1時，Sn123nnn12

（3）倒序相加法：把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加。

Sna1a2an1an相加

Snanan1a2a12Sna1ana2an1a1an［練習］

x2111，則f(1)f(2)ff(3)ff(4)f已知f(x)24231x1x2

x1（由f(x)fx1x22x2112221x1x11x1314∴原式f(1)f(2)ff(3)ff(4)f

12111113）2248.你知道儲蓄、貸款問題嗎？

△零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：

若每期存入本金p元，每期利率為r，n期后，本利和為：

nn1r等差問題Snp1rp12rp1nrpn2△若按復利，如貸款問題按揭貸款的每期還款計算模型（按揭貸款分期等額歸還本息的借款

種類）

若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r（按復利），那么每期應(yīng)還x元，滿足p(1r)x1rnn1x1rn2x1rx

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n11rn1r1xxr11r∴xpr1rn1rn1

p貸款數(shù)，r利率，n還款期數(shù)

49.解排列、組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。（1）分類計數(shù)原理：Nm1m2mn（mi為各類辦法中的方法數(shù)）分步計數(shù)原理：Nm1m2mn（mi為各步驟中的方法數(shù)）

（2）排列：從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一

列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所有排列的個數(shù)記為Amn.

Annn1n2nm1mn!mn

nm!規(guī)定：0!1

（3）組合：從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素并組成一組，叫做從n個不

同元素中取出m個元素的一個組合，所有組合個數(shù)記為Cmn.nn1nm1Amn!nCm

m!m!nm!Ammn規(guī)定：Cn1（4）組合數(shù)性質(zhì)：CnCnmnmm101nn，CmCmnCnn1，CnCnCn2

050.解排列與組合問題的規(guī)律是：

相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至少問題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時可以逐一排出結(jié)果。如：學號為1，2，3，4的四名學生的考試成績

xi89，90，91，92，93，(i1，2，3，4)且滿足x1x2x3x4，

則這四位同學考試成績的所有可能情況是（）A.24B.15解析：可分成兩類：

C.12

D.10

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（1）中間兩個分數(shù)不相等，

有C55（種）

4

","p":{"h":17中國特級教師高考復習方法指導〈數(shù)學復習版〉

a0a1a0a2a0a3a0a201*（令x0，得：a01

令x1，得：a0a2a201*1

（用數(shù)字作答）

∴原式201*a0a0a1a201*201*11201*）52.你對隨機事件之間的關(guān)系熟悉嗎？

（1）必然事件，P)1，不可能事件，P()0

（2）包含關(guān)系：AB，“A發(fā)生必導致B發(fā)生”稱B包含A。

AB

（3）事件的和（并）：AB或AB“A與B至少有一個發(fā)生”叫做A與B的和（并）。

（4）事件的積（交）：AB或AB“A與B同時發(fā)生”叫做A與B的積。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A與B不能同時發(fā)生”叫做A、B互斥。AB

（6）對立事件（互逆事件）：

“A不發(fā)生”叫做A發(fā)生的對立（逆）事件，AAA，AA

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（7）獨立事件：A發(fā)生與否對B發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。A與B獨立，A與B，A與B，A與B也相互獨立。

53.對某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列組合的方法，即P(A)A包含的等可能結(jié)果m

一次試驗的等可能結(jié)果的總數(shù)n（2）若A、B互斥，則PABP(A)P(B)

A、B相互獨立，P則ABPAPB（3）若（4）P(A)1P(A)

（5）如果在一次試驗中A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中A恰好發(fā)生

kk次的概率：Pn(k)Cknp1pnk

如：設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。（1）從中任取2件都是次品；

C22P124

C1015（2）從中任取5件恰有2件次品；

3C2C1046P2521C10（3）從中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103

而至少有2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品”∴mC3464

23C2443464∴P3

1251032213（4）從中依次取5件恰有2件次品。

解析：∵一件一件抽取（有順序）∴nA10，mC4A5A6

5223中國教育開發(fā)網(wǎng)中國特級教師高考復習方法指導〈數(shù)學復習版〉

23C2104A5A6∴P4521A10分清（1）、（2）是組合問題，（3）是可重復排列問題，（4）是無重復排列問題。

54.抽樣方法主要有：簡單隨機抽樣（抽簽法、隨機數(shù)表法）常常用于總體個數(shù)較少時，它的特征是從總體中逐個抽取；系統(tǒng)抽樣，常用于總體個數(shù)較多時，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。

55.對總體分布的估計用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估計總體的期望和方差。

要熟悉樣本頻率直方圖的作法：（1）算數(shù)據(jù)極差xmaxxmin；（2）決定組距和組數(shù)；（3）決定分點；（4）列頻率分布表；（5）畫頻率直方圖。

其中，頻率小長方形的面積組距×樣本平均值：x頻率組距1x1x2xnn12樣本方差：Sx1x2x2x2xnx2

n如：從10名女生與5名男生中選6名學生參加比賽，如果按性別分層隨機抽樣，則組成此參賽隊的概率為____________。

42C10C5）（6C1556.你對向量的有關(guān)概念清楚嗎？

（1）向量既有大小又有方向的量。

（2）向量的模有向線段的長度，|a|

（3）單位向量|a0|1，a0a|a|0，|0|0（4）零向量長度相等ab（5）相等的向量方向相同

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在此規(guī)定下向量可以在平面（或空間）平行移動而不改變。（6）并線向量（平行向量）方向相同或相反的向量。規(guī)定零向量與任意向量平行。

b∥a(b0)存在唯一實數(shù)，使ba（7）向量的加、減法如圖：

OAOBOCOAOBBA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

e1，e2是平面內(nèi)的兩個不共線向量，a為該平面任一向量，則存在唯一

實數(shù)對1、2，使得a1e12e2，e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量

的一組基底。

（9）向量的坐標表示

i，j是一對互相垂直的單位向量，則有且只有一對實數(shù)x，y，使得

axiyj，稱(x，y)為向量a的坐標，記作：ax，y，即為向量的坐標

表示。

設(shè)ax1，y1，bx2，y2

則abx1，y1y1，y2x1y1，x2y2ax1，y1x1，y1若Ax1，y1，Bx2，y2

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則ABx2x1，y2y1|AB|x2x12y2y12，A、B兩點間距離公式

57.平面向量的數(shù)量積

（1）ab|a||b|cos叫做向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）。為向量a與b的夾角，0，

BbOaDA數(shù)量積的幾何意義：

ab等于|a|與b在a的方向上的射影|b|cos的乘積。（2）數(shù)量積的運算法則①abba

②(ab)cacbc

③abx1，y1x2，y2x1x2y1y2

注意：數(shù)量積不滿足合結(jié)律(ab)ca(bc)（3）重要性質(zhì)：設(shè)ax1，y1，bx2，y2①a⊥bab0x1x2y1y20②a∥bab|a||b|或ab|a||b|ab（b0，惟一確定）x1y2x2y10

2③a|a|2x2y2，|ab||a||11b|

④cosab1x2y1y2|ax||b|x2y2x22

112y2［練習］

（1）已知正方形ABCD，邊長為1，ABa，BCb，|abc|

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ACc，則

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答案：22

（2）若向量ax，1，b4，x，當x答案：2

（3）已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a3b|答案：1358.線段的定比分點

設(shè)P1x1，y1，P2x2，y2，分點Px，y，設(shè)P1、P2是直線l上兩點，P點在

o時a與b共線且方向相同

l上且不同于P1、P2，若存在一實數(shù)，使P1PPP2，則叫做P分有向線段P1P2所成的比（0，P在線段P1P2內(nèi)，0，P在P1P2外），且

x1x2x1x2xx12，P為P1P2中點時，

yy1y2yy1y212如：ABC，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3則ABC重心G的坐標是yy2y3x1x2x3，1

33※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎？

59.立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

線∥線線∥面面∥面線⊥面面⊥面線⊥線線∥線線⊥面面∥面線面平行的判定：

a∥b，b面，aa∥面

判定性質(zhì)ab線面平行的性質(zhì)：

∥面，面，ba∥b

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三垂線定理（及逆定理）：

PA⊥面，AO為PO在內(nèi)射影，a面，則a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

線面垂直：

POa

a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

aOαbc

面面垂直：

a⊥面，a面⊥

面⊥面，l，a，a⊥la⊥

αalβ

a⊥面，b⊥面a∥b面⊥a，面⊥a∥

ab

60.三類角的定義及求法

（1）異面直線所成的角θ，0°＜θ≤90°

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（2）直線與平面所成的角θ，0°≤θ≤90°＝0時，b∥或b

o

（3）二面角：二面角l的平面角，0180

oo

（三垂線定理法：A∈α作或證AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，連AO，則AO⊥棱l，∴∠AOB為所求。）

三類角的求法：

①找出或作出有關(guān)的角。

②證明其符合定義，并指出所求作的角。

③計算大�。ń庵苯侨�角形，或用余弦定理）。［練習］

（1）如圖，OA為α的斜線OB為其在α內(nèi)射影，OC為α內(nèi)過O點任一直線。證明：coscoscos

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AθOβBCDα

（為線面成角，∠AOC=，∠BOC=）

（2）如圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中對角線BD1＝8，BD1與側(cè)面B1BCC1所成的為30°。①求BD1和底面ABCD所成的角；②求異面直線BD1和AD所成的角；③求二面角C1BD1B1的大小。

D1C1A1B1HGDCAB

（①arcsin36；②60o；③arcsin）43（3）如圖ABCD為菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB與面PCD所成的

銳二面角的大小。

PFDCAEB

（∵AB∥DC，P為面PAB與面PCD的公共點，作PF∥AB，則PF為面PCD與面PAB的交線）61.空間有幾種距離？如何求距離？

點與點，點與線，點與面，線與線，線與面，面與面間距離。

將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點的距離，構(gòu)造三角形，解三角形求線段的長（如：三垂線定理法，或者用等積轉(zhuǎn)化法）。

如：正方形ABCDA1B1C1D1中，棱長為a，則：（1）點C到面AB1C1的距離為___________；

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（2）點B到面ACB1的距離為____________；

（3）直線A1D1到面AB1C1的距離為____________；（4）面AB1C與面A1DC1的距離為____________；（5）點B到直線A1C1的距離為_____________。

DCABD1C1A1B1

62.你是否準確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質(zhì)？正棱柱底面為正多邊形的直棱柱

正棱錐底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面的中心。

正棱錐的計算集中在四個直角三角形中：RtSOB，RtSOE，RtBOE和RtSBE它們各包含哪些元素？S正棱錐側(cè)V錐1Ch"（C底面周長，h"為斜高）21底面積×高3R2d2

63.球有哪些性質(zhì)？

（1）球心和截面圓心的連線垂直于截面r（2）球面上兩點的距離是經(jīng)過這兩點的大圓的劣弧長。為此，要找球心角�。�3）如圖，θ為緯度角，它是線面成角；α為經(jīng)度角，它是面面成角。

（4）S球4R，V球24R33中國教育開發(fā)網(wǎng)中國特級教師高考復習方法指導〈數(shù)學復習版〉

（5）球內(nèi)接長方體的對角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r＝3：1。

如：一正四面體的棱長均為2，四個頂點都在同一球面上，則此球的表面積為（）A.3B.4C.33D.6

答案：A

64.熟記下列公式了嗎？

（1）l直線的傾斜角0，，ktany2y1，x1x2x2x12P1x1，y1，P2x2，y2是l上兩點，直線l的方向向量a1，k（2）直線方程：

點斜式：yy0kxx0（k存在）斜截式：ykxb截距式：xy1ab一般式：AxByC0（A、B不同時為零）（3）點Px0，y0到直線l：AxByC0的距離dAx0By0CAB22

（4）l1到l2的到角公式：tank2k1

1k1k2l1與l2的夾角公式：tank2k1

1k1k265.如何判斷兩直線平行、垂直？

A1B2A2B1l1∥l2

A1C2A2C1k1k2l1∥l2（反之不一定成立）A1A2B1B20l1⊥l2k1k21l1⊥l2

66.怎樣判斷直線l與圓C的位置關(guān)系？圓心到直線的距離與圓的半徑比較。

直線與圓相交時，注意利用圓的“垂徑定理”。

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67.怎樣判斷直線與圓錐曲線的位置？

聯(lián)立方程組關(guān)于x（或y）的一元二次方程“”0相交；0相切；0相離

68.分清圓錐曲線的定義

橢圓PF1PF22a，2a2cF1F2第一定義雙曲線PF1PF22a，2a2cF1F2

拋物線PFPK第二定義：ePFPKca0e1橢圓；e1雙曲線；e1拋物線

y

bOF1F2axa2xc

x2y2221ab0

ababc222

x2y2221a0，b0

abcab222

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e>1e=1P0中國特級教師高考復習方法指導〈數(shù)學復習版〉

y2pxp0

2通徑是拋物線的所有焦點弦中最短者；以焦點弦為直徑的圓與準線相切。72.有關(guān)中點弦問題可考慮用“代點法”。

如：橢圓mxny1與直線y1x交于M、N兩點，原點與MN中點連

22線的斜率為2m，則的值為2n

答案：

m2n273.如何求解“對稱”問題？

（1）證明曲線C：F（x，y）＝0關(guān)于點M（a，b）成中心對稱，設(shè)A（x，y）為曲線C上任意一點，設(shè)A"（x"，y"）為A關(guān)于點M的對稱點。（由axx"yy"，bx"2ax，y"2by）22只要證明A"2ax，2by也在曲線C上，即f(x")y"（2）點A、A"關(guān)于直線l對稱AA"⊥lAA"中點在l上

kAA"kl1

AA"中點坐標滿足l方程xrcos74.圓x2y2r2的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

yrsinxacosx2y2（為參數(shù)）橢圓221的參數(shù)方程為ybsinab75.求軌跡方程的常用方法有哪些？注意討論范圍。

（直接法、定義法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法）

76.對線性規(guī)劃問題：作出可行域，作出以目標函數(shù)為截距的直線，在可行域內(nèi)平移直線，求出目標函數(shù)的最值。

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高中數(shù)學常用公式及常用結(jié)論

1.元素與集合的關(guān)系

xAxCUA,xCUAxA.2.德摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

3.包含關(guān)系

ABAABBABCUBCUAACUBCUABR

4.容斥原理

card(AB)cardAcardBcard(AB)

card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).

nnn5．集合{a1,a2,,an}的子集個數(shù)共有2個；真子集有21個；非空子集有21

個；非空的真子集有2n2個.

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

(1)一般式f(x)axbxc(a0);(2)頂點式f(x)a(xh)k(a0);(3)零點式f(x)a(xx1)(xx2)(a0).7.解連不等式Nf(x)M常有以下轉(zhuǎn)化形式

22Nf(x)M[f(x)M][f(x)N]0

f(x)NMNMN0||f(x)Mf(x)2211.f(x)NMN8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一個實根,與f(k1)f(k2)0不等價,前者是后

者的一個必要而不是充分條件.特別地,方程axbxc0(a0)有且只有一個實根在

2(k1,k2)內(nèi),等價于f(k1)f(k2)0,或f(k1)0且k1k1k2bk2.22a9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

bk1k2,或f(k2)0且2a2二次函數(shù)f(x)axbxc(a0)在閉區(qū)間p,q上的最值只能在x2b處及區(qū)2a；

間的兩端點處取得，具體如下：

(1)當a>0時，若xbb則fxp,q，()nmf(,)()fxi2a2axmaxma(f,)p()fqbp,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).2ab)iminfp()fq(若)(2)當a中國特級教師高考復習方法指導〈數(shù)學復習版〉

xbp,q，則f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).2a10.一元二次方程的實根分布

依據(jù)：若f(m)f(n)0，則方程f(x)0在區(qū)間(m,n)內(nèi)至少有一個實根.設(shè)f(x)x2pxq，則

p24q0（1）方程f(x)0在區(qū)間(m,)內(nèi)有根的充要條件為f(m)0或p；

m2f(m)0f(n)0（2）方程f(x)0在區(qū)間(m,n)內(nèi)有根的充要條件為f(m)f(n)0或p24q0mpn2f(m)0f(n)0或或；

af(n)0af(m)0p24q0（3）方程f(x)0在區(qū)間(,n)內(nèi)有根的充要條件為f(m)0或p.

m211.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

(1)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間L（形如,，,，,不同）上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x,t)min0(xL).

(2)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x,t)man0(xL).

a0a042(3)f(x)axbxc0恒成立的充要條件是b0或2.

b4ac0c012.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常見結(jié)論的否定形式原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論是不是至少有一個都是不都是至多有一個大于不大于至少有n個小于不小于至多有n個對所有x，存在某x，成立不成立p或q對任何x，不成立

存在某x，成立p且q反設(shè)詞一個也沒有至少有兩個至多有（n1）個至少有（n1）個p且qp或q中國教育開發(fā)網(wǎng)中國特級教師高考復習方法指導〈數(shù)學復習版〉

14.四種命題的相互關(guān)系

原命題互逆逆命題若ｐ則ｑ若ｑ則ｐ互互互為為互否否逆逆否否否命題逆否命題若非ｐ則非ｑ互逆若非ｑ則非ｐ15.充要條件

（1）充分條件：若pq，則p是q充分條件.

（2）必要條件：若qp，則p是q必要條件.

（3）充要條件：若pq，且qp，則p是q充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.16.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函數(shù)；

x1x2f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a,b上是減函數(shù).

x1x2(2)設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f(x)0，則f(x)為減函數(shù).

17.如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)f(x)g(x)也是減函數(shù);如果函數(shù)yf(u)和ug(x)在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復合函數(shù)yf[g(x)]是增函數(shù).

(x1x2)f(x1)f(x2)018．奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)．

19.若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa).

20.對于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,則函數(shù)f(x)的對稱軸是函數(shù)xabab;兩個函數(shù)yf(xa)與yf(bx)的圖象關(guān)于直線x對稱.22a21.若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(,0)對稱;若

2f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)為周期為2a的周期函數(shù).

nn122．多項式函數(shù)P(x)anxan1xa0的奇偶性

多項式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.多項式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.23.函數(shù)yf(x)的圖象的對稱性

(1)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).

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(2)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xab對稱f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).

24.兩個函數(shù)圖象的對稱性

(1)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x0(即y軸)對稱.(2)函數(shù)yf(mxa)與函數(shù)yf(bmx)的圖象關(guān)于直線x1ab對稱.2m(3)函數(shù)yf(x)和yf(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

25.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個單位，得到函數(shù)yf(xa)b的圖象；若將曲線f(x,y)0的圖象右移a、上移b個單位，得到曲線f(xa,yb)0的圖象.

26．互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關(guān)系

f(a)bf1(b)a.

27.若函數(shù)yf(kxb)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y11[f(x)b],并不是k1y[f1(kxb),而函數(shù)y[f1(kxb)是y[f(x)b]的反函數(shù).

k28.幾個常見的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.

(2)指數(shù)函數(shù)f(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)對數(shù)函數(shù)f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).(4)冪函數(shù)f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1).

(5)余弦函數(shù)f(x)cosx,正弦函數(shù)g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

"xf(0)1,limx0g(x)1.x29.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)

（1）f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，

1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0),

f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),則f(x)的周期T=2a；21(3)f(x)1(f(x)0)，則f(x)的周期T=3a；

f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，則

1f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a；

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),則f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=6a.

或f(xa)30.分數(shù)指數(shù)冪

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(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.（a0,m,nN，且n1）.

an31．根式的性質(zhì)（1）(na)a.

（2）當n為奇數(shù)時，aa；當n為偶數(shù)時，a|a|32．有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)aaarsrrsrrrsrsnnnna,a0.

a,a0(a0,r,sQ).

(2)(a)a(a0,r,sQ).

(3)(ab)ab(a0,b0,rQ).

p

注：若a＞0，p是一個無理數(shù)，則a表示一個確定的實數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.

33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式

logaNbabN(a0,a1,N0).

34.對數(shù)的換底公式

logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).

logman推論logambnlogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

mlogaN35．對數(shù)的四則運算法則

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1)loga(MN)logaMlogaN;

MlogaMlogaN;Nn(3)logaMnlogaM(nR).

(2)loga236.設(shè)函數(shù)f(x)logm(axbxc)(a0),記b4ac.若f(x)的定義域為

2R,則a0，且0;若f(x)的值域為R,則a0，且0.對于a0的情形,需要

單獨檢驗.

37.對數(shù)換底不等式及其推廣

1,則函數(shù)ylogax(bx)a11(1)當ab時,在(0,)和(,)上ylogax(bx)為增函數(shù).

aa11，(2)當ab時,在(0,)和(,)上ylogax(bx)為減函數(shù).

aa若a0,b0,x0,x推論:設(shè)nm1，p0，a0，且a1，則（1）logmp(np)logmn.

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（2）logamloganloga2mn.238.平均增長率的問題

如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，則對于時間x的總產(chǎn)值y，有

yN(1p)x.

39.數(shù)列的同項公式與前n項的和的關(guān)系

n1s1,an(數(shù)列{an}的前n項的和為sna1a2an).

snsn1,n240.等差數(shù)列的通項公式

ana1(n1)ddna1d(nN*)；

其前n項和公式為

n(a1an)n(n1)na1d22d1n2(a1d)n.22sn41.等比數(shù)列的通項公式

ana1qn1a1nq(nN*)；q其前n項的和公式為

a1(1qn),q1sn1q

na,q11a1anq,q1或sn1q.

na,q1142.等比差數(shù)列an:an1qand,a1b(q0)的通項公式為

b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d；

,q1q1其前n項和公式為

nbn(n1)d,(q1)sn.d1qnd(b)n,(q1)1qq11q43.分期付款(按揭貸款)

ab(1b)n每次還款x元(貸款a元,n次還清,每期利率為b).n(1b)144．常見三角不等式（1）若x(0,2)，則sinxxtanx.

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)，則1sinxcosx2.2(3)|sinx||cosx|1.

(2)若x(0,45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sin2cos21，tan=

46.正弦、余弦的誘導公式

sin，tancot1.cos(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))nn(1)2sin,sin()n12(1)2cos,

n)cos,n(12cos()n12(1)2sin,47.和角與差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tantan.tan()1tantansin()sin()sin2sin2(平方正弦公式);cos()cos()cos2sin2.

asinbcos=a2b2sin()(輔助角所在象限由點(a,b)的象限決

b定,tan).

a48.二倍角公式

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.

2tan.tan21tan249.三倍角公式

sin33sin4sin34sinsin()sin().

33cos34cos33cos4coscos()cos()333tantan3tan3tantan()tan().

13tan23350.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)ysin(x)，x∈R及函數(shù)ycos(x)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T.

2；函數(shù)ytan(x)，xk2,kZ(A,ω,為常數(shù)，且A

≠0，ω＞0)的周期T.中國教育開發(fā)網(wǎng)中國特級教師高考復習方法指導〈數(shù)學復習版〉

51.正弦定理

abc2R.sinAsinBsinC52.余弦定理

a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.

53.面積定理

111ahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c邊上的高）.222111（2）SabsinCbcsinAcasinB.

222221(3)SOAB(|OA||OB|)(OAOB).2（1）S54.三角形內(nèi)角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)

CAB2C22(AB).222k55.簡單的三角方程的通解

sinxaxk(1)arcsina(kZ,|a|1).cosxax2karccosa(kZ,|a|1).

tanxaxkarctana(kZ,aR).

特別地,有

sinsink(1)k(kZ).

coscos2k(kZ).

tantank(kZ).

56.最簡單的三角不等式及其解集

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.

cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.

tanxa(aR)x(karctana,k2),kZ.

tanxa(aR)x(k2,karctana),kZ.

57.實數(shù)與向量的積的運算律設(shè)λ、μ為實數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的數(shù)量積的運算律：(1)ab=ba（交換律）;

(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;(3)（a+b）c=ac+bc.59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且

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只有一對實數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．60．向量平行的坐標表示

設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，則ab(b0)x1y2x2y10.53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)ab=|a||b|cosθ．61.ab的幾何意義

數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．62.平面向量的坐標運算

(1)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a+b=(x1x2,y1y2).

(3)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),則ABOBOA(x2x1,y2y1).

(4)設(shè)a=(x,y),R，則a=(x,y).

(5)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則ab=(x1x2y1y2).

63.兩向量的夾角公式

(2)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a-b=(x1x2,y1y2).

cosx1x2y1y2xyxy21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

64.平面兩點間的距離公式

dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

65.向量的平行與垂直

設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，則A||bb=λax1y2x2y10.ab(a0)ab=0x1x2y1y20.66.線段的定比分公式

PP2，則設(shè)P112的分點,是實數(shù)，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是線段PPx1x2xOP11OP2OPyy12y111）.OPtOP1(1t)OP2（t167.三角形的重心坐標公式

△ABC三個頂點的坐標分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),則△ABC的重心的坐標是G(x1x2x3y1y2y3,).3368.點的平移公式

"注:圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形F上的對應(yīng)點為P(x,y)，且PP的坐標為(h,k).

"""""x"xhxx"h"OPOPPP.""yykyyk69.“按向量平移”的幾個結(jié)論

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（1）點P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點P(xh,yk).

(2)函數(shù)yf(x)的圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,則C的函數(shù)解析式為yf(xh)k.

(3)圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,若C的解析式y(tǒng)f(x),則C的函數(shù)解析式為yf(xh)k.

(4)曲線C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,則C的方程為f(xh,yk)0.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然為m=(x,y).70.三角形五“心”向量形式的充要條件

設(shè)O為ABC所在平面上一點，角A,B,C所對邊長分別為a,b,c，則

"""""""222（1）O為ABC的外心OAOBOC.

（2）O為ABC的重心OAOBOC0.

（3）O為ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.

（4）O為ABC的內(nèi)心aOAbOBcOC0.

（5）O為ABC的A的旁心aOAbOBcOC.

71.常用不等式：

22（1）a,bRab2ab(當且僅當a＝b時取“=”號)．

abab(當且僅當a＝b時取“=”號)．2333（3）abc3abc(a0,b0,c0).

（2）a,bR（4）柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.

（5）ababab.72.極值定理

已知x,y都是正數(shù)，則有

（1）若積xy是定值p，則當xy時和xy有最小值2p；（2）若和xy是定值s，則當xy時積xy有最大值推廣已知x,yR，則有(xy)(xy)2xy（1）若積xy是定值,則當|xy|最大時,|xy|最大；當|xy|最小時,|xy|最小.

（2）若和|xy|是定值,則當|xy|最大時,|xy|最��；當|xy|最小時,|xy|最大.

73.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0)，如果a與

2212s.422ax2bxc同號，則其解集在兩根之外；如果a與ax2bxc異號，則其解集在兩根之

間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).

74.含有絕對值的不等式當a>0時，有

xax2aaxa.

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xax2a2xa或xa.

75.無理不等式（1）f(x)0f(x)g(x)g(x)0.

f(x)g(x)f(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或.

g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0f(x)g(x)g(x)0.

f(x)[g(x)]2（2）（3）76.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式(1)當a1時,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)(2)當0a1時,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)77.斜率公式

ky2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2x178.直線的五種方程

（1）點斜式y(tǒng)y1k(xx1)(直線l過點P1(x1,y1)，且斜率為k)．（2）斜截式y(tǒng)kxb(b為直線l在y軸上的截距).

yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).

y2y1x2x1xy(4)截距式1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b0)

ab（5）一般式AxByC0(其中A、B不同時為0).

（3）兩點式

79.兩條直線的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.

(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不為零,①l1||l2A1B1C1；A2B2C2中國教育開發(fā)網(wǎng)中國特級教師高考復習方法指導〈數(shù)學復習版〉

②l1l2A1A2B1B20；80.夾角公式

k2k1|.

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

ABA2B1(2)tan|12|.

A1A2B1B2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).

(1)tan|直線l1l2時，直線l1與l2的夾角是81.l1到l2的角公式

.2k2k1.

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

ABA2B1(2)tan12.

A1A2B1B2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).

(1)tan直線l1l2時，直線l1到l2的角是

.282．四種常用直線系方程

(1)定點直線系方程：經(jīng)過定點P0(x0,y0)的直線系方程為yy0k(xx0)(除直線

xx0),其中k是待定的系數(shù);經(jīng)過定點P0(x0,y0)的直線系方程為A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系數(shù)．

(2)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交點的直線系方程為(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中λ是待定的系數(shù)．

(3)平行直線系方程：直線ykxb中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBy0(0)，λ是參變量．

(4)垂直直線系方程：與直線AxByC0(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是

BxAy0,λ是參變量．

83.點到直線的距離

AB84.AxByC0或0所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線l:AxByC0，則AxByC0或0所表示的平面區(qū)域是：若B0，當B與AxByC同號時，表示直線l的上方的區(qū)域；當B與AxByC異號時，表示直線l的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下.

若B0，當A與AxByC同號時，表示直線l的右方的區(qū)域；當A與AxByC異號時，表示直線l的左方的區(qū)域.簡言之,同號在右,異號在左.

85.(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面區(qū)域設(shè)曲線C:(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20），則

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面區(qū)域是：

d|Ax0By0C|22(點P(x0,y0),直線l：AxByC0).

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