高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)_導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義

導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義

1．f/(x0)limf(x0x)f(x0)xx0叫函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作y|xx0。

/注：①函數(shù)應(yīng)在點(diǎn)x0的附近有定義，否則導(dǎo)數(shù)不存在。②在定義導(dǎo)數(shù)的極限式中，x趨近于0可正、可負(fù)、但不為0，而y可能為0。③

yx是函數(shù)yf(x)對(duì)自變量x在x范圍

內(nèi)的平均變化率，它的幾何意義是過曲線yf(x)上點(diǎn)（x0，f(x0)）及點(diǎn)（x0+x，

/f(x0x0)）的割線斜率。④導(dǎo)數(shù)f(x0)limf(x0x)f(x0)x是函數(shù)yf(x)在

x0點(diǎn)x0的處瞬時(shí)變化率，它反映的函數(shù)yf(x)在x0點(diǎn)處變化的快慢程度，它的幾何意義是

f(x0x)f(x0)x曲線yf(x)上點(diǎn)（x0，f(x0)）處的切線的斜率。⑤若極限lim不

x0存在，則稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。⑥如果函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，則稱函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；此時(shí)對(duì)于每一個(gè)x∈(a,b)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f/(x)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)f/(x)，稱這個(gè)函數(shù)f/(x)為函數(shù)簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)都稱為導(dǎo)數(shù)，這要加以區(qū)分：yf(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，

求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)；求一個(gè)函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)值。

/[舉例1]若f(x0)2，則limf(x0k)f(x0)2k等于：

k0(A)-1(B)-2(C)1(D)1/2

/解析：∵f(x0)2，即limf[x0(k)]f(x0)knk0=2limf(x0k)f(x0)2kn1=-1。

k0[舉例2]已知a0,n為正整數(shù)設(shè)y(xa)，證明y"n(xa)n

解析：本題可以對(duì)y(xa)展開后“逐項(xiàng)”求導(dǎo)證明；這里用導(dǎo)數(shù)的定義證明：

/ylim(xxa)(xa)xn1n1nnx0=

x0lim(xa)Cn(xa)xCn(xa)x2n2(x)Cn(x)(xa)2nnn=x0limn(xa)n1xCn(xa)2n2(x)Cn(x)2nnxn1=

nn1x0lim[n(xa)Cn(xa)2n2xCn(xa)3n3(x)Cn(x)t1t22]=n(xa)n1。

2[鞏固1]一質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，它的位移S與時(shí)間t的關(guān)系為：S定義求t=3時(shí)的速度。

2t，試用導(dǎo)數(shù)的

[鞏固2]設(shè)C是成本，q是產(chǎn)量，成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為C＝C（q），當(dāng)產(chǎn)量為q0時(shí)，產(chǎn)量變化q對(duì)成本的影響可用增量比

CqC(q0q)C(q0)q刻劃.如果q無限趨

近于0時(shí)，

Cq無限趨近于常數(shù)A，經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱A為邊際成本.它表明當(dāng)產(chǎn)量為q0時(shí)，增

加單位產(chǎn)量需付出成本A（這是實(shí)際付出成本的一個(gè)近似值）。設(shè)生產(chǎn)x個(gè)單位產(chǎn)品的總成本函數(shù)是C(x)＝8＋A．2

x28，則生產(chǎn)8個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，邊際成本是：（）B．8

C．10

1xD．16；

/2．常用導(dǎo)數(shù)公式：c"0,(xn)"nxn1,(ex)/ex，(lnx)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：若函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)數(shù)存在，則[f(x)g(x)]"f"(x)g"(x),

[cf(x)]"cf"(x)，[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)；(f(x)g(x))////f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)2//（這個(gè)公式很容易記錯(cuò)，注意和“積的導(dǎo)數(shù)”對(duì)比）；

"""復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：由yf(u)與u=(x)得到復(fù)合函數(shù)yf(x)，則yx=yu.ux。[舉例1]已知f(x)xxf(1)x，則f(2)=。

//2////解析：f(1)是常數(shù)，∴f(x)3x2xf(1)1f(1)=3+2f(1)-1f(1)=-2

32//∴f(x)3x4x1，故f(2)=3。

123n[舉例2]nN，Cn2Cn3CnnCn=。

/2/解析：本題可以用“倒序相加”法，也可以用“通項(xiàng)變化”法（kCn=nCn1）；這里，我

n012233nnkk們觀察(1x)CnCnxCnxCnxCnx①，不難發(fā)現(xiàn)其通項(xiàng)Cnx求

kk1導(dǎo)后的系數(shù)正是所求“項(xiàng)”；故考慮對(duì)①式兩邊同求導(dǎo)數(shù)，得：

n(1x)nCn2Cnx3CnxnCnx1232nn1，令x=1得：Cn2Cn3CnnCn=n2

123nn[鞏固1]已知f(x)x1ln2x2alnx(x0)．令F(x)xf(x)，則F/(x)=。[鞏固2]已知函數(shù)f(x)(x1)(2x1)(3x1)(nx1)，則f/(0)的值為：A．Cn2B．Cn21C．An2D．An21

3．函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f"(x0)的幾何意義：曲線C:yf(x)在其上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率。用導(dǎo)數(shù)研究切線問題，切點(diǎn)是關(guān)鍵（切點(diǎn)在切線上、切點(diǎn)在曲線上、切點(diǎn)橫坐標(biāo)的導(dǎo)函數(shù)值為切線斜率）。

1[舉例1]曲線ye2在點(diǎn)(4，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）Ａ．

92e

12x

xＢ．4e2

122Ｃ．2e2

xＤ．e2（07高考海南理10）

121解析：ye2y/e2，則]曲線在點(diǎn)(4，e)處的切線斜率為：1222e，

22∴切線方程為：yee(x4)，它與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為：（2，0），（0，-e）；

∴切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為：e2，選D。

[舉例2]函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是：yx8，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為5，則f(5)f/(5)=。

解析：本題沒有函數(shù)表達(dá)式，但有切線方程yx8，注意到“切點(diǎn)在切線上”，∴P（5，3）；又“切點(diǎn)在曲線上”，∴f(5)3；而曲線yf(x)在點(diǎn)P處的切線斜率為f/(5)，即f(5)=-1，故f(5)f(5)=2。

[舉例3]已知直線xy10與拋物線yax相切，則a______.

解析：本題固然可以將直線方程帶入拋物線方程中，使得到的一元二次方程的判別式=0，從而求出a的值；但這種做法只限于二次曲線，若將拋物線換成其它的非二次曲線，則此路不通。以下用“導(dǎo)數(shù)”求解：“切點(diǎn)”是關(guān)鍵，記切點(diǎn)P（x0，y0），y2ax，則有：

x0y010（切點(diǎn)在切線上）①；y0ax0（切點(diǎn)在曲線上）②

2//2/2ax0=1（切點(diǎn)橫坐標(biāo)的導(dǎo)函數(shù)值為切線斜率）③；由①②③解得：a14。

12x2，則

[鞏固1]已知函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)M(1，f(1))處的切線方程是y（07高考湖北文13）f(1)f(1)＿＿＿＿．[鞏固2]點(diǎn)P是曲線yx3x23上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P處切線的傾斜角為，則的取值范

圍是A、0,2B、0,333,C、,D、,244243

2

[鞏固3]若直線y=x是曲線y=x-3x+ax的切線，則a=___________

4、注意區(qū)分“求曲線yf(x)上過點(diǎn)M的切線”與“求曲線yf(x)上在點(diǎn)M處的切線”；前者只要求切線過M點(diǎn)，M點(diǎn)未必是切點(diǎn)；而后者則很明確，切點(diǎn)就是M點(diǎn)。[舉例]求函數(shù)y=x3-3x2+x的圖象上過原點(diǎn)的切線方程

解析：易見O（0，0）在函數(shù)y=x-3x+x的圖象上，y=3x－6x+1,但O點(diǎn)未必是切點(diǎn)。設(shè)切點(diǎn)A（x0,y0）∵y=3x－6x+1,∴切線斜率為3x0－6x0+1,又切線過原點(diǎn)，∴kAOy0x0’

2232’2

=3x02－6x0+1即：y0=3x03－6x02+x0①

又∵切點(diǎn)A（x0,y0）y=x3-3x2+x的圖象上∴y0=x03－3x02+x0②由①②得：x0=0或x0=

32，∴切線方程為：y=x或5x+4y=0

點(diǎn)評(píng)：一般地,過三次曲線的對(duì)稱中心（不難證明三次曲線一定是中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心在曲線上）的切線有且僅有一條；而過三次曲線上除對(duì)稱中心外的任一點(diǎn)的切線有二條。

以下給出簡(jiǎn)單證明（不要求學(xué)生掌握）：由于三次曲線都是中心對(duì)稱曲線，因此，將其對(duì)稱中心移至坐標(biāo)原點(diǎn)便可將三次函數(shù)的解析式簡(jiǎn)化為f(x)ax3bx。若M（x1，y1）是三次曲線f(x)ax3bx上的任一點(diǎn)，設(shè)過M的切線與曲線y=f（x）相切于（x0，y0），則切線方程為yy0f(x0)(xx0)，因點(diǎn)M上此切線上，故y1y0f(x0)(x1x0)，又y0ax0bx0,y1ax1bx1，所以ax1bx1(ax0bx0)(3ax0b)(x1x0)，

2整理得：(x0x1)(2x0x1)0，解得，x0x1或x033332x12。當(dāng)點(diǎn)M是對(duì)稱中心即x1=

-

x12=0時(shí)，過點(diǎn)M作曲線的切線切點(diǎn)是惟一的，且為M，故只有一條切線；當(dāng)點(diǎn)M不是對(duì)稱

中心即x10時(shí)，過點(diǎn)M作曲線的切線可產(chǎn)生兩個(gè)不同的切點(diǎn)，故必有兩條切線，其中一條就是以M為切點(diǎn)（亦即曲線在點(diǎn)M處）的切線。

[鞏固]曲線yx2x4x2上過點(diǎn)(1，3)的切線方程是．

答案

1．[鞏固1]

32327，[鞏固2]A，2、[鞏固1]F(x)11342xx2x，x0；[鞏固2]B；

3、[鞏固1]3，[鞏固2]B，[鞏固3]1或；4、[鞏固]5xy20，或21x4y

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導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)

考試要求：

（1）了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（2）理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義（3）掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

（4）理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會(huì)用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值．

（5）會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求某些簡(jiǎn)單實(shí)際問題的最大值和最小值．

知識(shí)要點(diǎn)

導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的極值函數(shù)的最值數(shù)1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線方程為

yy0f(x)(xx0).

"2．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

(uv)uvyf1(x)f2(x)...fn(x)yf1(x)f2(x)...fn(x)"""""""

(uv)vuvu(cv)cvcvcv（c為常數(shù)）

uv""""""""vu"vuv2"(v0)3.函數(shù)單調(diào)性：

⑴函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f"(x)＞0，則yf(x)為增函數(shù)；如果f"(x)＜0，則yf(x)為減函數(shù).⑵常數(shù)的判定方法；

如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f"(x)=0，則yf(x)為常數(shù).

4.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點(diǎn)，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值，極小值同理）當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，

①如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＞0，右側(cè)f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＜0，右側(cè)f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值.

也就是說x0是極值點(diǎn)的充分條件是x0點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，而不是f"(x)=0.此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)②.當(dāng)然，極值是一個(gè)局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值�。ê瘮�(shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同）.

注①：若點(diǎn)x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則f"(x)=0.但反過來不一定成立.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，其一點(diǎn)x0是極值點(diǎn)的必要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù)yf(x)x3，x0使f(x)"①

=0，但x0不是極值點(diǎn).

是函數(shù)的極小值點(diǎn).

②例如：函數(shù)yf(x)|x|，在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，但點(diǎn)x05.極值與最值區(qū)別：極值是在局部對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較.

6.幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：

x)cosxI.C"0（C為常數(shù)）(sin(x)nxn"n1"s)sinx（nR）(cox(loagx)x"""II.(e(lnx)x""1x

x1xxlogae

)e(a)alna

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