導數(shù)及其應(yīng)用知識點歸納

第三章導數(shù)及其應(yīng)用

3.1.2導數(shù)的概念

1.函數(shù)f(x)在xx0處的導數(shù)：函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率稱為yf(x)在xx0處的導數(shù)，記

""f(x0x)f(x0)。y作f(x0)或y|xx0，即f"(x0)limlimx0xx0x3.1.3導數(shù)的幾何意義

1.導數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在xx0處的導數(shù)就是曲線yf(x)在點(x0,f(x0))處切線的斜率，

f(x0x)f(x0)即f"(x0)k；limx0x2.求切線方程的步驟：（注：已知點(x0,y0)在已知曲線上）

①求導函數(shù)f(x)；②求切線的斜率f(x0)；③代入直線的點斜式方程：yy0k(xx0)，并整理。3.求切點坐標的步驟：①設(shè)切點坐標(x0,y0)；②求導函數(shù)f(x)；③求切線的斜率f(x0)；④由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程，解方程求x0；⑤點(x0,y0)在曲線f(x)上，將(x0,y0)代入求y0，得切點坐標。3.2導數(shù)的計算

1.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式：①C"0；②(x)"axx"xx"xaa1""""；③(sinx)"cosx；④(cosx)"sinx；

11(a0,且a1)；⑧(lnx)".xlnax""""""2.導數(shù)運算法則：①[f(x)g(x)]f(x)g(x)；②[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)；

"⑤(a)alna(a0)；⑥(e)e；⑦(logax)f(x)"f"(x)g(x)f(x)g"(x)""][cf(x)]cf(x)③[；④2g(x)[g(x)]3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)

（1）在區(qū)間[a,b]內(nèi)，f(x)>0,f(x)為單調(diào)遞增；f(x)

優(yōu)化問題用函數(shù)表示的數(shù)學問題優(yōu)化問題的答案用導數(shù)解決數(shù)學問題

擴展閱讀：高中數(shù)學人教版選修2-2導數(shù)及其應(yīng)用知識點總結(jié)

數(shù)學選修2-2導數(shù)及其應(yīng)用知識點必記

1．函數(shù)的平均變化率是什么？答：平均變化率為

f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1：其中x是自變量的改變量，可正，可負，可零。

注2：函數(shù)的平均變化率可以看作是物體運動的平均速度。2、導函數(shù)的概念是什么？

答：函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率是limf(x0x)f(x0)y，則稱limx0xx0x函數(shù)yf(x)在點x0處可導，并把這個極限叫做yf(x)在x0處的導數(shù)，記作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.平均變化率和導數(shù)的幾何意義是什么？

答：函數(shù)的平均變化率的幾何意義是割線的斜率；函數(shù)的導數(shù)的幾何意義是切線的斜率。

4導數(shù)的背景是什么？

答：（1）切線的斜率；（2）瞬時速度；（3）邊際成本。5、常見的函數(shù)導數(shù)和積分公式有哪些？函數(shù)導函數(shù)不定積分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxyexedxexxylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinxdxcosxycosxy"sinx6、常見的導數(shù)和定積分運算公式有哪些？答：若fx，gx均可導（可積），則有：和差的導數(shù)運算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)積的導數(shù)運算特別地：Cfx"Cf"x商的導數(shù)運算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特別地："2gxgx復(fù)合函數(shù)的導數(shù)yxyuux微積分基本定理fxdxab（其中F"xfx）和差的積分運算ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特別地：積分的區(qū)間可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb6.用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是什么？答：①求函數(shù)f(x)的導數(shù)f"(x)

②令f"(x)>0,解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令f"(x)8.利用導數(shù)求函數(shù)的最值的步驟是什么？

答：求f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟如下：⑴求f(x)在a,b上的極值；

⑵將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。

注：實際問題的開區(qū)間唯一極值點就是所求的最值點；9．求曲邊梯形的思想和步驟是什么？

答：分割近似代替求和取極限（“以直代曲”的思想）10.定積分的性質(zhì)有哪些？

根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：性質(zhì)1

1dxba

ababbbbb性質(zhì)5若f(x)0,xa,b，則f(x)dx0

①推廣：[f1(x)f2(x)fm(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)

aaaa②推廣:f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx

aac1ckbc1c2b11定積分的取值情況有哪幾種？

答：定積分的值可能取正值，也可能取負值，還可能是0.

(l）當對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸上方時，定積分的值取正值，且等于x軸上方的圖形面積；

（2）當對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸下方時，定積分的值取負值，且等于x軸上方圖形面積的相反數(shù)；

（3）當位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于x軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0，且等于x軸上方圖形的面積減去下方的圖形的面積．

12．物理中常用的微積分知識有哪些？答：（1）位移的導數(shù)為速度，速度的導數(shù)為加速度。（2）力的積分為功。

數(shù)學選修2-2推理與證明知識點必記

13.歸納推理的定義是什么？答：從個別事實中推演出一般性的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。．．．．．．．歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。．．．．14.歸納推理的思維過程是什么？答：大致如圖：

實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論15.歸納推理的特點有哪些？

答：①歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象。

②由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否真實，還需經(jīng)過邏輯證明和實驗檢驗，因此，它不能作為數(shù)學證明的工具。③歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。16.類比推理的定義是什么？

答：根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，這樣的推理稱為類比推理。類比推理是由特殊到特殊的推理。．．．．17.類比推理的思維過程是什么？答：

觀察、比較聯(lián)想、類推推測新的結(jié)論18.演繹推理的定義是什么？

答：演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）按照嚴格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程。演繹推理是由一般到特殊的推理。．．．．19．演繹推理的主要形式是什么？答：三段論20.“三段論”可以表示為什么？

答：①大前題：M是P②小前提：S是M③結(jié)論：S是P。

其中①是大前提，它提供了一個一般性的原理；②是小前提，它指出了一個特殊對象；③是結(jié)論，它是根據(jù)一般性原理，對特殊情況做出的判斷。21.什么是直接證明？它包括哪幾種證明方法？

答：直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實性。直接證明包括綜合法和分析法。22.什么是綜合法？

答：綜合法就是“由因?qū)Ч�”，從已知條件出發(fā)，不斷用必要條件代替前面的條件，直至推出要證的結(jié)論。23.什么是分析法？答：分析法就是從所要證明的結(jié)論出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的式子，可稱為“由果索因”。

要注意敘述的形式：要證A，只要證B，B應(yīng)是A成立的充分條件.分析法和綜合法常結(jié)合使用，不要將它們割裂開。24什么是間接證明？

答：即反證法：是指從否定的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法。25.反證法的一般步驟是什么？

答：（1）假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；

（2）從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；（3）從矛盾判定假設(shè)不正確，即所求證命題正確。．．．26常見的“結(jié)論詞”與“反義詞”有哪些？原結(jié)論詞反義詞原結(jié)論詞至少有一個至多有一個至少有n個至多有n個一個也沒有至少有兩個至多有n-1個至少有n+1個對任意x不成立p或qp且q反義詞存在x使成立p且qp或q對所有的x都成立存在x使不成立27.反證法的思維方法是什么？答：正難則反．．．．

28.如何歸繆矛盾？

答：（1）與已知條件矛盾；（2）與已有公理、定理、定義矛盾；（3）自相矛．．．．．．．．．．．．．．．．盾．

29．數(shù)學歸納法（只能證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題）的步驟是什么？．．．nnN答：(1)證明：當n取第一個值時命題成立；00．．．．(2)假設(shè)當n=k(k∈N*，且k≥n0)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.．．．．．由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確注：常用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明。

數(shù)學選修2-2數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念知識點必記

30.復(fù)數(shù)的概念是什么？答：形如a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫虛數(shù)單位，a叫實部，b叫虛部，數(shù)集．．．．

Cabi|a,bR叫做復(fù)數(shù)集。

規(guī)定：abicdia=c且，強調(diào)：兩復(fù)數(shù)不能比較大小，只有相等或不相．．．．b=d．．．等。

實數(shù)(b0)31．數(shù)集的關(guān)系有哪些？答：復(fù)數(shù)Z一般虛數(shù)(a0)

虛數(shù)(b0)純虛數(shù)(a0)32.復(fù)數(shù)的幾何意義是什么？答：復(fù)數(shù)與平面內(nèi)的點或有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)。

33.什么是復(fù)平面？

答：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，任何一個復(fù)數(shù)zabi，都可以由一個有序?qū)崝?shù)對

(a,b)唯一確定。由于有序?qū)崝?shù)對(a,b)與平面直角坐標系中的點一一對應(yīng)，因此

復(fù)數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應(yīng)。這個建立了直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸。實軸上的點都表示實數(shù)，除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)。34.如何求復(fù)數(shù)的模(絕對值)？答：與復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)zabi的模(也叫絕對值)記作

z或abi。由模的定義可知：zabia2b2

35.復(fù)數(shù)的加、減法運算及幾何意義是什么？

答：①復(fù)數(shù)的加、減法法則：z1abi與z2cdi，則z1z2ac(bd)i。

注：復(fù)數(shù)的加、減法運算也可以按向量的加、減法來進行。．．②復(fù)數(shù)的乘法法則：(abi)(cdi)acbdadbci。③復(fù)數(shù)的除法法則：

abi(abi)(cdi)acbdbcadicdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2其中cdi叫做實數(shù)化因子36.什么是共軛復(fù)數(shù)？

答：兩復(fù)數(shù)abi與abi互為共軛復(fù)數(shù)，當b0時，它們叫做共軛虛數(shù)。

常見的運算規(guī)律

(1)zz;2(2)zz2a,zz2bi;

2(3)zzzza2b2;(4)zz;(5)zzzR

(6)i4n1i,i24n21,i4n3i,i4n41;

2(7)1i1i1i1ii;(8)i,i,i1i1i213i23n1,3n2,3n31是1的立方虛根，則10，2(9)設(shè)

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