八年級數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)總結(jié)(第十一章)

八年級數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)總結(jié)

八年級數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)總結(jié)

第十一章三角形

編者：肖瀟

11.1與三角形有關(guān)的線段

第1課時三角形的邊

1.三角形的概念

由不在同一條直線上的三條線段首尾依次相接所組成的圖形叫做三角形。2.三角形按邊分類

三角形

等腰三角形（至少兩邊相等）等邊三角形（三邊都相等）不等腰三角形底邊和腰不等的等腰三角形3.三角形三邊的關(guān)系（重點(diǎn)）

三角形的任意兩邊之和大于第三邊。

三角形的任意兩邊之差小于第三邊。（這兩個條件滿足其中一個即可）

用數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)就是：記三角形三邊長分別是a，b，c，則a＋b＞c或c－b＜a。已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a－b|＜c＜a＋b要求會的題型：①數(shù)三角形的個數(shù)

方法：分類，不要重復(fù)或者多余。Page2題1

1

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②給出三條線段的長度或者三條線段的比值，要求判斷這三條線段能否組成三角形方法：最小邊＋較小邊＞最大邊不用比較三遍，只需比較一遍即可Page2題4

③給出多條線段的長度，要求從中選擇三條線段能夠組成三角形

方法：從所給線段的最大邊入手，依次尋找較小邊和最小邊；直到找完為止，注意不要找重，也不要漏掉。Page2題11

④已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍方法：第三邊長度的范圍：|a－b|＜c＜a＋bPage2題5，9，10

⑤給出等腰三角形的兩邊長度，要求等腰三角形的底邊和腰的長

方法：因?yàn)椴恢�道這兩邊哪條邊是底邊，哪條邊是腰，所以要分類討論，討論完后要寫“綜上”，將上面討論的結(jié)果做個總結(jié)。Page3題14，15

第2課時三角形的高、中線與角平分線

1.三角形的高

從△ABC的頂點(diǎn)向它的對邊BC所在的直線畫垂線，垂足為D，那么線段AD叫做△ABC的邊BC上的高。

三角形的三條高的交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做“三角形的垂心”。2.三角形的中線

連接△ABC的頂點(diǎn)A和它所對的對邊BC的中點(diǎn)D，所得的線段AD叫做△ABC的邊BC上的中線。

三角形三條中線的交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做“三角形的重心”。三角形的中線可以將三角形分為面積相等的兩個小三角形。3.三角形的角平分線

2

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∠A的平分線與對邊BC交于點(diǎn)D，那么線段AD叫做三角形的角平分線。要區(qū)分三角形的“角平分線”與“角的平分線”，其區(qū)別是：三角形的角平分線是條線段；角的平分線是條射線。

三角形三條角平分線的交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做“三角形的內(nèi)心”。要求會的題型：

①已知三角形中兩條高和其所對的底邊中的三個長度，求其中未知的高或者底邊的長度方法：利用“等積法”，將三角形的面積用兩種方式表達(dá)，求出未知量。Page4題9

重點(diǎn)題page4題7，8

第2課時三角形的穩(wěn)定性

1.三角形具有穩(wěn)定性2.四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性

要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了。

11.2與三角形有關(guān)的角

第1課時三角形的內(nèi)角

1.三角形的內(nèi)角和定理

三角形的內(nèi)角和為180°，與三角形的形狀無關(guān)。2.直角三角形兩個銳角的關(guān)系

直角三角形的兩個銳角互余（相加為90°）。有兩個角互余的三角形是直角三角形。

第2課時三角形的外角

1.三角形外角的意義

三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角。

3

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2.三角形外角的性質(zhì)

三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角。3.五個基本圖形（1）

3412∠1＋∠2＝∠3＋∠4（2）

BOCA∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C

第（3）（4）（5）基本圖形見《原創(chuàng)新課堂》page9題17

第一課時及第二課時復(fù)習(xí)重點(diǎn)題page7題：18；page8題6，7，9，13，15

11.3多邊形及其內(nèi)角和

第1課時多邊形

1.多邊形的概念

在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形，多邊形中相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。多邊形的邊與它鄰邊的延長線組成的角叫做外角。

連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線。

一個n邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)為（n－3）條，其所有的對角線條數(shù)為

1(2

3).

4

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2.凸多邊形

畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果多邊形的其它邊都在這條直線的同側(cè)，那么這個多邊形就是凸多邊形。3.正多邊形

各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形。（兩個條件缺一不可，除了三角形以外，因?yàn)槿羧�角形的三�?nèi)角相等，則必有三邊相等，反過來也成立）要求會的題型：

①告訴多邊形的邊數(shù)，求多邊形過一個頂點(diǎn)的對角線條數(shù)或求多邊形全部對角線的條數(shù)方法：一個n邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)為（n－3）條，其所有的對角線條數(shù)為2(3).將邊數(shù)帶入公式即可。重點(diǎn)題：page10題8，9，11

1

第2課時多邊形的內(nèi)角和

1.n邊形的內(nèi)角和定理

n邊形的內(nèi)角和為(2)180°2.n邊形的外角和定理

多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān)。

重點(diǎn)題：page11題11，15，16，17；page12題19，20；page13題24，25，27

單元考前可以做一下page14題2,3,8,9,10,11,12；page15題15,2,5做完后可以自己對照答案看一下，答案如下：

2.B3.B8.①④⑤9.二十二，3600，20910.75°11.60°12.2201*15.底邊長為12.38cm5.另兩邊長為7cm和7cm祝大家考試順利�。�！

5

擴(kuò)展閱讀：八年級上第十一章至第十五章知識點(diǎn)及練習(xí)匯總

第十一章全等三角形知識點(diǎn)梳理

一、基本知識點(diǎn)1、全等三角形：

⑴全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫全等形。⑵全等三角形的有關(guān)概念：能夠完全重合的兩個三角形角叫全等三角形；兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對應(yīng)點(diǎn)，重合的邊叫對應(yīng)邊，重合的角叫對應(yīng)角。⑶全等三角形的性質(zhì)：全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。2.三角形全等的條件：

全等三角形的識別：SAS，ASA，AAS，SSS，HL（直角三角形）3．角平分線的性質(zhì)：

⑴角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。⑵角平分線的判定：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。⑶三角形三個內(nèi)角平分線的性質(zhì)：三角形三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等。二、經(jīng)驗(yàn)與提示

1．尋找全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角的規(guī)律：

①全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊．②全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩個對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角．③有公共邊的，公共邊一定是對應(yīng)邊．④有公共角的，公共角一定是對應(yīng)角．⑤有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角．

⑥全等三角形中的最大邊(角)是對應(yīng)邊(角)，最小邊(角)是對應(yīng)邊(角)2．找全等三角形的方法

（1）可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；

（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等；（3）從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。3．角的平分線是射線，三角形的角平分線是線段。4．證明線段相等的方法：（1）中點(diǎn)定義；（2）等式的性質(zhì)；

（3）全等三角形的對應(yīng)邊相等；

（4）借助中間線段（即要證a=b,只需證a=c,c=b即可）。隨著知識深化，今后還有其它方法。

5．證明角相等的方法：（1）對頂角相等；

（2）同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等；（3）兩直線平行，同位角、內(nèi)錯角相等；（4）角的平分線定義；（5）等式的性質(zhì)；（6）垂直的定義；

（7）全等三角形的對應(yīng)角相等；

（8）三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和。隨著知識的深化，今后還有其它的方法。

6．證垂直的常用方法

（1）證明兩直線的夾角等于90°；（2）證明鄰補(bǔ)角相等；

（3）若三角形的兩銳角互余，則第三個角是直角；

（4）垂直于兩條平行線中的一條直線，也必須垂直另一條。（5）證明此角所在的三角形與已知直角三角形全等；（6）鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。7．全等三角形中幾個重要結(jié)論

（1）全等三角形對應(yīng)角的平分線相等；（2）全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等；（3）全等三角形對應(yīng)邊上的高相等。

第十一章全等三角形復(fù)習(xí)題

一、填空題：1、已知三角形的兩條邊長分別為9cm，17cm，則第三邊長為。2、ABC中，A∶B∶C=2∶3∶4，則A=度，B=度，C=度。3、直角三角形兩銳角平分線所夾的鈍角的度數(shù)是。4、已知等腰三角形一邊等于5，一邊等于6，則它的周長為______。5、如果等腰三角形的周長是25cm，一腰上的中線把三角形分成兩個三角形周長的差是4cm，那么這個等腰三角形的腰長等于，底邊長等于。6、在ABC中，AB=AC，BD平分ABC交AC于D，DE垂直平分AB，垂足為E，則C=。7、如圖，A+B+C+D+E+F=。

8、ABC中，ACB=90，CD⊥AB于D，BC=

1AB，2BC=2cm，則AB=cm，AC=cm。

9、ABC中，C=90，AC=4，AB=8，CD是AB邊上中線，則ACD是三角形。10、等邊三角形是對稱圖形；對稱軸有條。二、選擇題：1、以兩條邊長為10和3及另一條邊組成邊長都是整數(shù)的三角形一共有。A．3個B．4個C．5個D．無數(shù)多個2、若一個三角形的一個角等于其它兩個角的差，則這個三角形一定是A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．以上都有可能3、具備下列條件的兩個三角形，全等的是

A．兩個角分別相等，且有一邊相等B．一邊相等，且這邊上的高也相等

C．兩邊分別相等，且第三邊上的中線也相等D．兩邊且其中一條對應(yīng)邊的對角對應(yīng)相等4、等腰三角形中有一個角是50，它的一條腰上的高與底邊的夾角是A．25B．40C．25或40D．大小無法確定

5、一個三角形的一邊為2，這邊的中線為1，另兩邊之和為31，那么這個三角形

的面積為

A．1

B．

32C．3D．不能確定

三、已知：如圖，ABC中，AB=AC，AD=BD，AC=DC求：B的度數(shù)

四、已知：RtABC中，BAC=90，AD是BC邊上的高，BF平分ABC，交AD于E。求證：AEF是等腰三角形五、已知：如圖AB=CD，AC和BD的垂直平分線相交于O點(diǎn)。求證：ABO=CDO

六、已知：如圖ABC中，BC邊中垂線DE交BAC的平分線于D，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。求證BM=CN

七、已知：如圖，ABC中，ACB=90，M為AB的中點(diǎn)，DM⊥AB于M，CD平分ACB，交AB于E求證：MD=AM

第十二章軸對稱知識點(diǎn)總結(jié)

1、軸對稱圖形：

一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合。這條直線叫做對稱軸�；ハ嘀睾系狞c(diǎn)叫做對應(yīng)點(diǎn)。2、軸對稱：

兩個圖形沿一條直線對折，其中一個圖形能夠與另一個圖形完全重合。這條直線叫做對稱軸�；ハ嘀睾系狞c(diǎn)叫做對應(yīng)點(diǎn)。3、軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系：（1）區(qū)別。軸對稱圖形討論的是“一個圖形與一條直線的對稱關(guān)系”；軸對稱討論的是“兩個圖形與一條直線的對稱關(guān)系”。

（2）聯(lián)系。把軸對稱圖形中“對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形”便是軸對稱；把軸對稱的“兩個圖形看作一個整體”便是軸對稱圖形。4、軸對稱的性質(zhì)：A"H（1）成軸對稱的兩個圖形全等。

（2）對稱軸與連結(jié)“對應(yīng)點(diǎn)的線段”垂直。

I（3）對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距離相等。DD"（4）對應(yīng)點(diǎn)的連線互相平行。B"J5、線段的垂直平分線：KC"（1）定義。經(jīng)過線段的中點(diǎn)且與線段垂直的直線，叫做線段的垂直平分線。m如圖2，圖1∵CA=CB，

直線m⊥AB于C，

∴直線m是線段AB的垂直平分線。ABC性質(zhì)。線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)的距離相等。如圖3，圖2∵CA=CB，

m直線m⊥AB于C，P點(diǎn)P是直線m上的點(diǎn)�！郟A=PB。ABC（2）判定。

圖3與線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。

如圖3，∵PA=PB，

直線m是線段AB的垂直平分線，

頂∴點(diǎn)P在直線m上。

角腰6、等腰三角形：腰（1）定義。有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形。相等的兩條邊叫做腰。

底角底角底邊第三條邊叫做底。

兩腰的夾角叫做頂角。腰與底的夾角叫做底角。說明：頂角=180°-2底角底角=

圖4

180頂角190-頂角

22可見，底角只能是銳角。

（2）性質(zhì)。

等腰三角形是軸對稱圖形，其對稱軸是“底邊的垂直平分線”，只有一條。等邊對等角。

如圖5，在△ABC中A∵AB=AC

∴∠B=∠C。三線合一。

（3）判定。

有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。

BC如圖5，在△ABC中，D∵AB=AC

圖5∴△ABC是等腰三角形。

有兩個角相等的三角形是等腰三角形。如圖5，在△ABC中∵∠B=∠C

∴△ABC是等腰三角形。7、等邊三角形：

（1）定義。三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形。

說明：等邊三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等邊三角形是特殊的等腰三角形。（2）性質(zhì)。

等邊三角形是軸對稱圖形，其對稱軸是“三邊的垂直平分線”，有三條。三條邊上的中線、高線及三個內(nèi)角平分線都相交于一點(diǎn)。等邊三角形的三個內(nèi)角都等于60°。A如圖6，在△ABC中∵AB=AC=BC

∴∠A=∠B=∠C=60°。（3）判定。BC三條邊都相等的三角形是等邊三角形。圖6如圖6，在△ABC中∵AB=AC=BC

∴△ABC是等邊三角形。

三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形。如圖6，在△ABC中∵∠A=∠B=∠C

∴△ABC是等邊三角形。

有一個內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。如圖6，在△ABC中

∵AB=AC（或AB=BC,AC=BC）

∠A=60°（∠B=60°，∠C=60°）∴△ABC是等邊三角形。

（4）重要結(jié)論。在Rt△中，30°角所對直角邊等于斜邊的一半。如圖7，

∵在Rt△ABC中，

∠C=90°，∠A=30°∴BC=

1AB2或AB=2BC

8、平面直角坐標(biāo)系中的軸對稱：(1)(a,b)圖7

關(guān)于x軸對稱(a,b)

橫不變，縱反向關(guān)于y軸對稱(a,b)

橫反向，縱不變(2)(a,b)說明：要作出一個圖形關(guān)于坐標(biāo)軸（或直線）成軸對稱的圖形，只需根據(jù)作出各頂點(diǎn)的對稱點(diǎn)，再順次連結(jié)各對稱點(diǎn)。對稱點(diǎn)的作法見11（1）。9、對稱軸的畫法：

在一個軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形中，連結(jié)其中一對對應(yīng)點(diǎn)并作出所得線段的垂直平分線。

注意：有的軸對稱圖形只有一條對稱軸，有的不止一條，要畫出所有的對稱軸。成軸對稱的兩個圖形只有一條對稱軸。10、常見的軸對稱圖形：（1）英文字母。

ABDEHIKMOTUVWXY

（2）中文。日，目，木，土，十，士，中，一，二，三，六，米，山，甲，由，田，天，又，只，支，圭，凹，凸，出，蘭，合，全，仝，人，關(guān)，甘，等等。

（3）數(shù)字。038（4）圖形。

說明：圓有無數(shù)條對稱軸。正n邊形有n條對稱軸。11、掌握幾個作圖：

（1）作出點(diǎn)A關(guān)于直線m對稱的點(diǎn)A/。作法：如圖

以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫圓弧。使圓弧與直線MN交于兩點(diǎn)C、D。分別以點(diǎn)C,D為圓心，大于

1CD的長為半徑畫圓弧，設(shè)兩條圓弧交于點(diǎn)E。2作射線AE，設(shè)交直線mn于點(diǎn)F。

//

4在射線AE上截取FA=FA，點(diǎn)A即為所求�！�

（2）課本34頁例題。（3）課本37頁9、10題。（4）課本42頁12.2-8圖2

第十二章軸對稱復(fù)習(xí)練習(xí)題

0

1．已知等腰三角形的一個角為42，則它的底角度數(shù)_______．

2．下列10個漢字：林上下目王田天王顯呂，其中不是軸對稱圖形的是_______；有一條對稱軸的是________；有兩條對稱軸的是_______；有四條對稱軸的是________．3.如圖，鏡子中號碼的實(shí)際號碼是___________．

4．等腰三角形的兩邊長分別是3和7，則其周長為______．

5．已知等腰△ABC的周長為10，若設(shè)腰長為x，則x的取值范圍是．6.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（－2，1）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．，點(diǎn)P（－2，1）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為是．

7．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°，則∠B等于_____________度．

08．如圖，AB=AC，BAC120，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，那么ADC。

9、如圖，△ABC的周長為32，且ABAC，ADBC于D，△ACD的周長為24，那么AD的長為．

10．如圖，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，則∠FEM的度數(shù)為________．

11.如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將這個等腰三角形周長分成15和6兩部分，則這個三角形的腰長及底邊長為________________________．

AMEC

N

ADBFBC

D

二、選擇題

學(xué)科網(wǎng)1．下列圖形是軸對稱圖形的是（）

A．B．C．Ｄ．2.到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是這個三角形的（）

A．三條中線的交點(diǎn)B．三條高的交點(diǎn)

C．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)D．三條角平分線的交點(diǎn)3．在下列說法中，正確的是（）

A．如果兩個三角形全等，則它們必是關(guān)于直線成軸對稱的圖形;B．如果兩個三角形關(guān)于某直線成軸對稱，那么它們是全等三角形;C．等腰三角形是關(guān)于底邊中線成軸對稱的圖形;

D．一條線段是關(guān)于經(jīng)過該線段中點(diǎn)的直線成軸對稱的圖形

4．直角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)位于（）

A.三角形內(nèi)B.三角形外C.斜邊的中點(diǎn)D.不能確實(shí)

5．如圖3，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分別是角平分線，且MN∥BA，分別交AC于N、BC于M，則△CMN的周長為（）

A．12

B．24C．36

D．不確定

6．如圖4所示,Rt△ABC中，∠C=90°,AB的垂直平分線DE交BC于D，交AB于點(diǎn)E．當(dāng)∠B=30°時，圖中不一定相等的線段有（）

A．AC=AE=BEB．AD=BDC．CD=DED．AC=BD

7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠A等于（）A．30oB．40oC．45oD．36o

8．如圖，等腰△ABC的周長為21，底邊BC＝5，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則△BEC的周長為（）

A．13B．14C．15

AANOBM圖3

C

CEBA

D．16

DE

D圖4BC

9．如圖，AB＝AC,BD＝BC，若∠A＝40°，則∠ABD的度數(shù)是（）A．20

B．30

C．35

D．40

10、如圖，在Rt△ABC中，B90，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知BAE10，則C的度數(shù)為（）A．30B．40C．50D．60

11．如圖，已知直線AB∥CD，∠DCF110，且AEAF，則∠A等于（）

E30B．40C．50A．D．70

ABABDFBECDC

CAD

12．王明是班上公認(rèn)的“小馬虎”在做作業(yè)時，將點(diǎn)A的縱橫坐標(biāo)次序顛倒，寫成A（a，b）,小華也不細(xì)心，將點(diǎn)B的坐標(biāo)寫成關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，寫成B（－b，－a），則A、B兩點(diǎn)原來的位置關(guān)系是（）

A．關(guān)于y軸對稱B．關(guān)于x軸對稱C．A和B重合D．以上都不對13.在直角坐標(biāo)系中，已知A（-3，3），在y軸上確定一點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（）.

A．2個B．3個C．4個D．5個

15．平面內(nèi)點(diǎn)A（-1，2）和點(diǎn)B（-1，6）的對稱軸是（）

A．x軸B．y軸C．直線y=4D．直線x=-116．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，EDE∥AC，DE交AB于點(diǎn)E，M為BE的中點(diǎn)，連結(jié)DM．在不添加任何輔助線和字母的情況下，圖中的等腰三角形是．（寫出一個即可）

MA

BDC17．如下圖所示，直線ι1，ι2，ι3表示三條相互交叉公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址共有（）處．

A．1B．4C．6D．7

三、解答題

1．為了美化環(huán)境，在一塊正方形空地上分別種植四種不同的花草.現(xiàn)將這塊空地按下列要求分成四塊：⑴分割后的整個圖形必須是軸對稱圖形；⑵四塊圖形形狀相同；⑶四塊圖形面積相等.現(xiàn)已有兩種不同的分法：⑴分別作兩條對角線（如圖7－16中的圖1）；⑵過一條邊的四等分點(diǎn)作這邊的垂線段（圖2）（圖2中兩個圖形的分割看作同一方法）．請你按照上述三個要求，分別在下面兩個正方形中給出另外兩種不同的分割方法．（正確畫圖，不．．．．．．．．．．．．寫畫法）

圖（2）圖（1）圖（3）圖（4）

2．如圖所示，每個小方格都是邊長為1的正方形，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.畫出四邊形OABC關(guān)于y軸對稱的四邊形OA1B1C1，并寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)是.

3.如圖，在方格紙上建立平面直角坐標(biāo)系，線段AB的兩個端點(diǎn)都在格點(diǎn)上，直線MN經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。

（1）寫出點(diǎn)A的坐標(biāo),B的坐標(biāo).

（2）利用尺規(guī)作出線段AB關(guān)于直線MN的對稱圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）。

4．如圖，A、B兩村在一條小河的的同一側(cè)，要在河邊建一水廠向兩村供水．（1）若要使自來水廠到兩村的距離相等，廠址應(yīng)選在哪個位置？（2）若要使自來水廠到兩村的輸水管用料最省，廠址應(yīng)選在哪個位置？

請將上述兩種情況下的自來水廠廠址標(biāo)出，并保留作圖痕跡．

BA

5．開放與探究：（1）觀察圖中①－④中陰影部分所構(gòu)成的圖案，請寫出這四個圖案都具有的兩個特征；（2）借助圖中⑤的網(wǎng)格，請你設(shè)計(jì)一個新圖案，使該圖案同時具有你解答（1）中所寫的兩個共同的特征．

②③①④⑤

6．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，且BDAE，AD與CE交于點(diǎn)F．（1）求證：ADCE；（2）求∠DFC的度數(shù)．

7．如圖所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，點(diǎn)O是AD、BC的交點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．試判斷OE和AB的位置關(guān)系,并給出證明．

..

8、如圖,△ABC中,D、E分別是AC、AB上的點(diǎn),BD與CE交于點(diǎn)O.給出下列三個條件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.

⑴上述三個條件中,哪兩個條件可判定△ABC是等腰三角形(用序．．．．

號寫出所有情形)；

⑵選擇第⑴小題中的一種情形,證明△ABC是等腰三角形.

9.如圖所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，CD是斜邊AB上的高，CE是中線，求DE長。

C

BADE

10.已知：如圖所示，在△ABC和△ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE，且點(diǎn)B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點(diǎn)．求證：①BECD；②△AMN是等腰三角形．C

NE

MDBA

11、如圖，在ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，過O點(diǎn)作EF∥BC，交AB

于E，交AC于F，BE=5cm，CF=3cm，求EF的長．

BC

AEOF第十三章實(shí)數(shù)知識點(diǎn)匯總

1．有理數(shù)，無理數(shù)概念：

有理數(shù)：任何有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。2．平方根和算術(shù)平方根的概念及其性質(zhì)：

（1）概念：如果x2a，那么x是a的平方根，記作：a；其中a叫做a的算術(shù)平方根。

（2）性質(zhì)：①當(dāng)a≥0時，a≥0；當(dāng)a＜０時，a無意義；

2②a＝a；③a2a。

（3）開平方：求一個數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方，期中a叫做被開方數(shù)。

3．立方根的概念及其性質(zhì)：

（1）概念：若x3a，那么x是a的立方根，記作：3a；

3333（2）性質(zhì)：①aa；②aa；③3a＝3a

（3）開立方：求一個數(shù)a的立方根的運(yùn)算，叫做開立方，期中a叫做被開方數(shù)。

4．實(shí)數(shù)的概念及其分類：

（1）概念：實(shí)數(shù)是有理數(shù)和無理數(shù)的統(tǒng)稱；（2）分類：a按定義分

正整數(shù)正有理數(shù)正分?jǐn)?shù)有理數(shù)零數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小實(shí)數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)正無理數(shù)無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)負(fù)無理數(shù)

b按大小分:

實(shí)數(shù)

正實(shí)數(shù)零負(fù)實(shí)數(shù)

在數(shù)軸上表示的兩個實(shí)數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

5．與實(shí)數(shù)有關(guān)的概念：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)，倒數(shù)，絕對值的意義與有理數(shù)范圍內(nèi)的意義完全一致；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律同樣成立。每一個實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點(diǎn)都表示一個實(shí)數(shù)，即實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的。因此，數(shù)軸正好可以被實(shí)數(shù)填滿。

第十三章實(shí)數(shù)單元練習(xí)

1.計(jì)算4的結(jié)果是（）．

Ａ.2Ｂ．±2Ｃ．-2Ｄ．4．

2.在-1.732，2，π，3.14，2+3，3.212212221，3.14這些數(shù)中，無理數(shù)的個數(shù)

為().

A.5B.2C.3D.4

3.已知下列結(jié)論：①在數(shù)軸上只能表示無理數(shù)2；②任何一個無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；③實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)；④有理數(shù)有無限個，無理數(shù)有有限個.其中正確的結(jié)論是().

A.①②B.②③C.③④D.②③④4.下列各式中，正確的是().

3(13)213553.60.6A.B.C.D.36635.下列說法中，不正確的是（）．

22(3)(3)A3是的算術(shù)平方根B±3是的平方根23(3)(3)C－3是的算術(shù)平方根D.－3是的立方根

6.下列說法中，正確的是（）．

A.不帶根號的數(shù)不是無理數(shù)B.8的立方根是±2

C.絕對值是3的實(shí)數(shù)是3D.每個實(shí)數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上一個點(diǎn)7.若

(a3)2a-3，則a的取值范圍是().

A.a＞3B.a≥3C.a＜3D.a≤3

5x23x有意義的x的范圍是().8.能使

A.x＞-2且x≠3B.x≤3C.-2≤x＜3D.-2≤x≤3

9.如果一個實(shí)數(shù)的平方根與它的立方根相等，則這個數(shù)是（）A.0B.正整數(shù)C.0和1D.110.下列說法錯誤的是（）

A.a與（a）相等B.

22

a2與

(a)2互為相反數(shù)

33aaC.a與a是互為相反數(shù)D.與互為相反數(shù)

11、若規(guī)定誤差小于1，那么60的估算值為（）

A、3B、7C、8D、7或8

212．若a25，b3，則ab（）

A．8B．±8C．±2D．±8或±213．若

2b15和3a1都是5的立方根，則a=，b=

114．若x的立方根是－4，則x＝。

15．平方根等于它本身的數(shù)是。

16．一個實(shí)數(shù)的平方根大于2小于3，那么它的整數(shù)位上可能取到的數(shù)值為。

2201*17．已知(2a1)b1=0，則-ab=。

2y18．若y=14x4x14，則x=。

19．如果2a180，那么a的算術(shù)平方根是。20．實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，請化簡：

aa2b2。

21．一個正數(shù)a的平方根是2x—3與5—x，則x是多少？

22.(本題6分)若x、y都是實(shí)數(shù)，且y=x3+3x+8，求x+3y的立方根.

23．(本題6分)如圖:A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2,3),(3,0)

(1)將OAB向下平移3個單位求所得的三角形的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)(2)求OAB的面積

O14

yA11xB

24、化簡（每小題5分，共15分）①

③|32|+|32|-|21|

2+3252②6(

1-6)6第十四章一次函數(shù)知識點(diǎn)匯總

14.1變量與函數(shù)

1、變量與常量的意義

在一個變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量（variable）。數(shù)值始終不變的量為常量。

友情提醒：在某一個變化過程中，變量、常量都可能有多個。常量可以是一個實(shí)數(shù)，也可以是一個代數(shù)式（數(shù)值始終保持不變）。

例1、寫出下列各問題中所滿足的關(guān)系式，并指出各個關(guān)系式中，哪些量是變量，哪些量是常量？

1、在一根彈簧的下端懸掛中重物，改變并記錄重物的質(zhì)量，觀察并記錄彈簧長度的變化規(guī)律，如果彈簧原長10cm，每1kg重物使彈簧伸長0.5cm，怎樣用含重物質(zhì)量m(單位：kg)的式子表示受力后彈簧長度L（單位：cm）？

2、用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，求矩形的面積S（m2）與一邊長x(m)之間的關(guān)系式；

3、某種活期儲蓄的月利率為0.16%,存入10000元本金，按國家規(guī)定，取款時，應(yīng)繳納利息部分的20%的利息稅，求這種活期儲蓄扣除利息稅后實(shí)得的本息和y(元)與所存月數(shù)x之間的關(guān)系式.

4、如圖，每個圖中是由若干個盆花組成的圖案，每條邊（包括兩個頂點(diǎn)）有n盆花，每個圖案的花盆總數(shù)是S，求S與n之間的關(guān)系式.

2、函數(shù)的概念

一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有惟一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。如果當(dāng)x=a時，y=b，那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時的函數(shù)值。

注意：1、對函數(shù)概念的理解，主要應(yīng)該抓住以下三點(diǎn)：⑴有兩個變量；⑵一個變量的數(shù)值隨著另一個變量的數(shù)值變化而變化；⑶自變量每確定一個值，函數(shù)有一個并且只有一個值與之對應(yīng)。2、函數(shù)不是數(shù),它是指某一變化過程中兩個變量之間的關(guān)系。3、自身先改

變的是自變量,隨之而變的是函數(shù)。

例1、判斷下列變量之間是不是函數(shù)關(guān)系：（1）長方形的寬一定時，其長與面積；（2）等腰三角形的底邊長與面積；（3）某人的年齡與身高。

例2、一輛汽車的油箱中現(xiàn)有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛里程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1L/km。（1）寫出表示y與x的函數(shù)關(guān)系式。（2）指出自變量x的取值范圍。（3）汽車行駛200km時，油箱中還有多少汽油？

解：（1）y=50-0.1x（2）0≤x≤500（3）x=200,y=30

3、函數(shù)的表示方法

函數(shù)的表示方法為解析法、列表法和圖形法，這三種方法在解決問題時是可以相互轉(zhuǎn)化的。

①解析法：把兩個變量的函數(shù)關(guān)系用一個等式來表示，該等式簡稱解析式優(yōu)點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系清楚，容易由自變量的值，求出對應(yīng)的函數(shù)值（反之也可），便于利用解析式來研究函數(shù)的性質(zhì)。

②列表法：列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系。如：銀行的利息表，三角函數(shù)表，平方根表。

優(yōu)點(diǎn)：不用計(jì)算，就可求出函數(shù)值。

③圖像法：用圖像表示兩變量之間的關(guān)系如：醫(yī)務(wù)室的身高圖，氣象臺的氣溫變化圖。我國人口出生率變化的曲線圖。

優(yōu)點(diǎn)：形象直觀地表示出函數(shù)的變化情況。

例1一水庫的水位在最近5消耗司內(nèi)持續(xù)上漲，下表記錄了這5個小時水位高度.①由記錄表推出這5個小時中水位高度y(單位米)隨時間t（單位：時）變化的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖象；

②據(jù)估計(jì)這種上漲的情況還會持續(xù)2個小時，預(yù)測再過2個小時水位高度將達(dá)到多少米？

解：（1）y=0.05t+10(0≤t≤7)

（2）當(dāng)t=5+2=7時，y=0.05t+10=10.35預(yù)計(jì)2小時后水位將達(dá)到10.35米。

4、函數(shù)圖象的意義

一般地，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象。

例1下面的圖象反映的過程是小明從家去菜地澆水，有去玉米地鋤草，然后回家。其

中x表示時間，y表示小名離家的距離。

根據(jù)圖象回答問題：

⑴菜地離小明家多遠(yuǎn)？小明走到菜地用了多少時間？；⑵小明給菜地澆水用了多少時間？⑶菜地離玉米地多遠(yuǎn)？小明從菜地到玉米地用了多少時間？⑷小明給玉米鋤草用了多少時間？⑸玉米地離小名家多遠(yuǎn)？小明從玉米地走回家的平均速度是多少？

5、畫函數(shù)圖像的一般步驟

1、列表:2、描點(diǎn):3、連線:。

6、函數(shù)自變量的取值范圍：【三招確定“函數(shù)自變量取值范圍”】

一個函數(shù)關(guān)系式的自變量取值是有一定范圍的，自變量取值范圍必須使關(guān)系式或題中條件有意義。那么如何才能準(zhǔn)確地確定自變量的取值范圍呢?下面介紹三種方法:

第一招:必須使含自變量的代數(shù)式有意義.

⑴解析式是整式時,自變量取值范圍是全體實(shí)數(shù).

2

例如:指出下列各函數(shù)的自變量取值范圍:①y=x-1；②y=3x-2；③y=-5x.解:這三個函數(shù)式中,右邊的式子都是含自變量x的整式，所以它們的自變量取值范圍是全體實(shí)數(shù)。

⑵解析式是分式時,自變量的取值范圍是使分母不為0的實(shí)數(shù).

例如:確定下列函數(shù)的自變量取值范圍:①y=221；②y=；③y=2xx1x1

解：這三個函數(shù)式中，右邊的式子都是含自變量x的分式，所以分母不為零時，函數(shù)有

意義。

所以①中的x≠0；②中的x≠-1；③中的x≠1且x≠-1

⑶解析式是偶次根式,自變量的取值范圍是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).例如：確定下列函數(shù)的自變量取值范圍:

①y=x2；②y=3x1；③y=1；④y=x21x1解：①x≥2；②全體實(shí)數(shù)；③x0即x≥0且x≠1；④全體實(shí)數(shù)

x10⑷含有零指數(shù)、負(fù)整指數(shù)冪的函數(shù),自變量的取值范圍是使底數(shù)不為零的實(shí)數(shù).

例如：確定下列函數(shù)的自變量取值范圍:

①y=x2；②y=解：①x-2≠0，x≠2;②第二招:必須使實(shí)際問題有意義.

0x113

x10即x≥-1且x≠0

x110例如：一輛汽車的油箱中有汽油40升，該車每千米油耗為0.4升，請寫出油箱剩余油量Q（升）與行駛路程s（千米）之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量取值范圍。

解：Q=40-0.4s∵40Q040400.4s0∴∴0≤s≤10

s0s0∴自變量取值范圍為0≤s≤10

第三招:必須使圖形存在.

例1：A、B、C、D四個人做游戲A、B、C三人站在三個不同的點(diǎn)上構(gòu)成一個三角形且∠BAC=40°，

D在△ABC內(nèi)部移動，但不能超越△ABC。則D與B、C構(gòu)成一個三角形，則∠BDC的度數(shù)的取值范圍是__________________.解:40°＜∠BDC＜180°

例2:已知等腰三角形的周長為20cm，請寫出底邊長y（cm）與腰長x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍。BQP解：y=20-2x∵xxy2x202x∴∴5＜x＜10

202x0xyxNCAM

例3：已知等腰直角△ABC的直角邊長與正方形MNPQ的邊長均為20厘米,AC與MN在同一直線上,開始時點(diǎn)A與點(diǎn)N重合.讓△ABC以每秒2厘米的速度向左運(yùn)動,最終點(diǎn)A與點(diǎn)M重合,

2

則重疊三角形部分的面積y(cm)與時間t(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式為______________.自變量t的取值范圍是________________.

分析:在移動的過程中,重合部分的三角形也為等腰直角三角形AN=2t,則

MA=20-2t,所以解析式可求.由0＜MA≤20可確定自變量取值范圍解:y=自變量t的取值范圍是0≤t＜10

12202t,214.2一次函數(shù)1、正比例函數(shù)

一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)．

例1、寫出下列函數(shù)的關(guān)系式。

（１）圓的周長L隨半徑r的大小變化而變化。（２）鐵的密度為7．8g/cm3．鐵塊的質(zhì)量m（g）隨它的體積V（cm3）的大小變化而變化。（３）每個練習(xí)本的厚度為0．5cm．一些練習(xí)本摞在一些的總厚度h（cm）隨這些練習(xí)本的本數(shù)n的變化而變化。（４）冷凍一個0℃的物體，使它每分鐘下降2℃．物體的溫度Ｔ（℃）隨冷凍時間t（分）的變化而變化。

2、正比例函數(shù)解析式與圖象特征之間的規(guī)律：

正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線，我們稱它為直線y=kx．當(dāng)K>0時，圖象經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當(dāng)k汽車用幾小時可到達(dá)北京？速度是多少？

２．汽車行駛１小時，離開天津有多遠(yuǎn)？３．當(dāng)汽車距北京20千米時，汽車出發(fā)了多長時間？解法一：用圖象解答：從圖上可以看出4個小時可到達(dá)．

120速度＝4=30（千米／時）．

行駛１小時離開天津約為30千米．

當(dāng)汽車距北京20千米時汽車出發(fā)了約3．3個小時．解法二：用解析式來解答：

由圖象可知：Ｓ與t是正比例關(guān)系，設(shè)S=kt，當(dāng)t=4時S=120即120=k4k=30∴S=30t．

當(dāng)t=1時S=301=30（千米）．

10當(dāng)S=100時100=30tt=3（小時）．

以上兩種方法比較，用圖象法解題直觀，用解析式解題準(zhǔn)確，各有優(yōu)特點(diǎn)．

3、一次函數(shù)的意義

一般地，形如y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)．當(dāng)b=0時，y=kx+b即y=kx．所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)．

例１、下列函數(shù)中哪些是一次函數(shù)，哪些又是正比例函數(shù)？

8（1）y=-8x．（2）y=x．（3）y=5x2+6．（4）y=-0．5x-1．

例２、一個小球由靜止開始在一個斜坡向下滾動，其速度每秒增加２米．（1）一個小球速度v隨時間t變化的函數(shù)關(guān)系．它是一次函數(shù)嗎？（2）求第2．5秒時小球的速度．

例３、汽車油箱中原有油50升，如果行駛中每小時用油5升，求油箱中的油量y（升）隨行駛時間x（時）變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．y是x的一次函數(shù)嗎？

解答：１．（1）（4）是一次函數(shù)；（1）又是正比例函數(shù)．２．（1）v=2t，它是一次函數(shù)．（2）當(dāng)t=2．5時，v＝22．5=5

所以第2．5秒時小球速度為5米／秒．３．函數(shù)解析式：y=50-5x

自變量取值范圍：0≤x≤10y是x的一次函數(shù)．

4、一次函數(shù)的性質(zhì)

一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線，我們稱它為直線y=kx+b，它可以看作由直線y=kx平移b的絕對值個單位長度而得到（當(dāng)b＞0時，向上平移；當(dāng)b＜0時，向下平移）。

規(guī)律：當(dāng)k>0時，直線y=kx+b由左至右上升；當(dāng)k0時，y隨x增大而增大．當(dāng)k0時，交點(diǎn)在原點(diǎn)上方．當(dāng)b=0時，交點(diǎn)即原點(diǎn)．當(dāng)b0b>0（2）k>0b0k<0經(jīng)過一、三象限經(jīng)過二、四象限經(jīng)過一、二、三象限經(jīng)過一、二、四象限經(jīng)過一、三、四象限經(jīng)過二、三、四象限y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小5、確定一次函數(shù)的解析式待定系數(shù)法先設(shè)待求函數(shù)關(guān)系式（其中含有未知常數(shù)系數(shù)），再根據(jù)條件列出方程或方程組，求出未知系數(shù)，從而得到所求結(jié)果的方法，叫做待定系數(shù)法。

例1、已知一次函數(shù)圖象過點(diǎn)（3，5）與（-4，-9），求這個一次函數(shù)的解析式．分析：求一次函數(shù)解析式，關(guān)鍵是求出k、b值．因?yàn)閳D象經(jīng)過兩個點(diǎn)，所以這兩點(diǎn)坐標(biāo)必適合解析式．由此可列出關(guān)于k、b的二元一次方程組，解之可得．

設(shè)這個一次函數(shù)解析式為y=kx+b．因?yàn)閥=k+b的圖象過點(diǎn)（3，5）與（-4，-9），所以

3kb5k24kb9解之，得b1

故這個一次函數(shù)解析式為y=2x-1。結(jié)論：

函數(shù)解析式選取滿足條件的兩定點(diǎn)畫出一次函數(shù)的圖象y=kx+b解出（x1，y1）與（x1，y2）選取直線L

用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)y=kx+b的解析式的一般步驟是：(l)設(shè)所求函數(shù)解析式的一般式.(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于k、b的方程或方程組.(3)解所建立的方程及方程組(4)將所求出的k、b代人一般式，求出解析式.

例1.已知一次函數(shù)y=3x-b的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(1,1),則該函數(shù)圖象必經(jīng)過點(diǎn)()A.(-1,1)B.(2,2)C.(-2,2)D.(2,-2)

2.若一次函數(shù)y=2x+b的圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是9，求b的值．3．點(diǎn)M（-2，k）在直線y=2x+1上，求點(diǎn)M到x軸的距離d為多少?

一次函數(shù)(三)

例1小芳以200米／分的速度起跑后，先勻加速跑5分鐘，每分提高速度20米／分，又勻速跑10分鐘．試寫出這段時間里她跑步速度y（米／分）隨跑步時間x（分）變化的函數(shù)關(guān)系式，并畫出圖象．

分析：本題y隨x變化的規(guī)律分成兩段：前5分鐘與后10分鐘．寫y隨x變化函數(shù)關(guān)系式時要分成兩部分．畫圖象時也要分成兩段來畫，且要注意各自變量的取值范圍．

20x201*00解：y=(0x5)(5x15)

我們把這種函數(shù)叫做分段函數(shù)．在解決分析函數(shù)問題時，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要符合實(shí)際．

例2Ａ城有肥料200噸，Ｂ城有肥料300噸，現(xiàn)要把這些肥料全部運(yùn)往Ｃ、Ｄ兩鄉(xiāng)．從Ａ城往Ｃ、Ｄ兩鄉(xiāng)運(yùn)肥料費(fèi)用分別為每噸20元和25元；從Ｂ城往Ｃ、Ｄ兩鄉(xiāng)運(yùn)肥料費(fèi)用分別為每噸15元和24元．現(xiàn)Ｃ鄉(xiāng)需要肥料240噸，Ｄ鄉(xiāng)需要肥料260噸．怎樣調(diào)運(yùn)總運(yùn)費(fèi)最少？

通過分析思考，可以發(fā)現(xiàn)：Ａ──Ｃ，Ａ──Ｄ，Ｂ──Ｃ，Ｂ──Ｄ運(yùn)肥料共涉及4個變量．它們都是影響總運(yùn)費(fèi)的變量．然而它們之間又有一定的必然聯(lián)系，只要確定其中一個量，其余三個量也就隨之確定．這樣我們就可以設(shè)其中一個變量為x，把其他變量用含x的代數(shù)式表示出來：

若設(shè)Ａ──Ｃx噸，則：由于Ａ城有肥料200噸：Ａ─Ｄ，200─x噸．由于Ｃ鄉(xiāng)需要240噸：Ｂ─Ｃ，240─x噸．由于Ｄ鄉(xiāng)需要260噸：Ｂ─Ｄ，260─200+x噸．

那么，各運(yùn)輸費(fèi)用為：Ａ──Ｃ20xＡ──Ｄ25（200-x）Ｂ──Ｃ15

（240-x）

Ｂ──Ｄ24（60+x）

若總運(yùn)輸費(fèi)用為y的話，y與x關(guān)系為：y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x）．化簡得：y=40x+10040（0≤x≤200）．

由解析式或圖象都可看出，當(dāng)x=0時，y值最小，為10040．

因此，從Ａ城運(yùn)往Ｃ鄉(xiāng)0噸，運(yùn)往Ｄ鄉(xiāng)200噸；從Ｂ城運(yùn)往Ｃ鄉(xiāng)240噸，運(yùn)往Ｄ鄉(xiāng)60噸．此時總運(yùn)費(fèi)最少，為10040元．

若Ａ城有肥料300噸，Ｂ城200噸，其他條件不變，又該怎樣調(diào)運(yùn)呢？

解題方法與思路不變，只是過程有所不同：Ａ──Ｃx噸Ａ──Ｄ300-x噸Ｂ──Ｃ240-x噸Ｂ──Ｄx-40噸

反映總運(yùn)費(fèi)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=20x+25（300-x）+15（240-x）+24（x-40）．化簡：y=4x+10140（40≤x≤300）．

由解析式可知：當(dāng)x=40時y值最小為：y=440+10140=10300因此從Ａ城運(yùn)往Ｃ鄉(xiāng)40噸，運(yùn)往Ｄ鄉(xiāng)260噸；從Ｂ城運(yùn)往Ｃ鄉(xiāng)200噸，運(yùn)往Ｄ鄉(xiāng)0噸．此時總運(yùn)費(fèi)最小值為10300噸．

如何確定自變量x的取值范圍是40≤x≤300的呢？

由于Ｂ城運(yùn)往Ｄ鄉(xiāng)代數(shù)式為x-40噸，實(shí)際運(yùn)費(fèi)中不可能是負(fù)數(shù)，而且Ａ城中只有300噸肥料，也不可能超過300噸，所以x取值應(yīng)在40噸到300噸之間．

總結(jié):

解決含有多個變量的問題時，可以分析這些變量間的關(guān)系，選取其中某個變量作為自變量，然后根據(jù)問題條件尋求可以反映實(shí)際問題的函數(shù)．這樣就可以利用函數(shù)知識來解決了．

14.3用函數(shù)觀點(diǎn)方程（組）與不等式

1、一次函數(shù)與一元一次方程

由于任何一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為kx+b=0（k、b為常數(shù)，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)一次函數(shù)值為0時，求相應(yīng)的自變量的值從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值．

2、一次函數(shù)與一元一次不等式

由于任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數(shù)a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)一次函數(shù)值大（�。┯�0時，求自變量相應(yīng)的取值范圍。

1、由于一次函數(shù)圖象是一條直線，它與x軸相交，在x軸上方的圖象對應(yīng)的函數(shù)值y大于0，則圖象對應(yīng)的自變量x為相應(yīng)的自變量取值范圍；在x軸下方的圖象對應(yīng)的函數(shù)值y小于0，則圖象對應(yīng)的自變量x為相應(yīng)的自變量取值范圍。也是相應(yīng)的不等式的解集。

2、還可以看成比較兩個一次函數(shù)在同一個自變量x所對應(yīng)的值的大�。徊⒄业较鄳�(yīng)的取值范圍。

3、學(xué)會利用函數(shù)圖象的信息解決實(shí)際問題。

例1、對于一次函數(shù)y=(m-4)x+2m--1，若y隨x的增大而增大，且它的圖象與y軸的交

點(diǎn)在x軸下方，那么m的取值范圍是___________.

3、一次函數(shù)與二元一次方程（組）

以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在相應(yīng)的函數(shù)圖象上.反過來,一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合相應(yīng)的二元一次方程.

即:二元一次方程(數(shù))對應(yīng)相應(yīng)的一次函數(shù)的圖象(形)從函數(shù)的觀點(diǎn)看解二元一次方程組

從“形”的角度看：解方程組相當(dāng)于確定兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)。

從“數(shù)”的角度看：解方程組相當(dāng)于考慮當(dāng)自變量為何值時,兩個函數(shù)值相等以及這個函數(shù)值是何值。

第十四章《一次函數(shù)》測試題

一、選擇題（每小題3分，共24分）題號答案12345678y1、下列函數(shù)中，一次函數(shù)的個數(shù)是①y=x②y=-2+5x③y=-

④y=(2x-1)2+2⑤y=x-2⑥y=2πxA、5個B、4個C、3個D、1個2、下列語句不正確的是

-40xA、所有的正比例函數(shù)都是一次函數(shù)B、一次函數(shù)的一般形式是y=kx+bC、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象都是直線D、正比例函數(shù)的圖象是一條過原點(diǎn)的直線3、若y=(m-2)x+(m2-4)是正比例函數(shù)，則m的取值是

A、2B、-2C、±2D、任意實(shí)數(shù)C34、若直線y=kx+b中，k＜0，b＞0，則直線不經(jīng)過

C2C1345t(月)C(件)A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限0125、如圖，直線y=kx+b與x軸交于點(diǎn)（-4，0），則當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是A、x＞-4B、x＞0C、x＜-4D、x＜06、關(guān)于直線y=－2x+1，下列結(jié)論正確的是

A、圖象必過點(diǎn)（-2，1）B、圖象經(jīng)過第一、二、三象限C、當(dāng)x＞

時，y＜0D、y隨x的增大而增大

7、某村辦工廠，今年前五個月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總量C（件）與時間t（月）的函數(shù)圖象如圖所示，則該廠對這種產(chǎn)品來說

A、1月至3月每月生產(chǎn)量逐月增加，4、5兩月生產(chǎn)量逐月減小B、1月至3月每月生產(chǎn)量逐月增加，4、5兩月生產(chǎn)量與3月持平C、1月至3月每月生產(chǎn)量逐月增加，4、5兩月均停止生產(chǎn)

D、1月至3月每月生產(chǎn)量不變，4、5兩月均停止生產(chǎn)

8、均勻地向一個容器里注水，最后把容器注滿，在注水過程中，水面高度h隨時間t的變化規(guī)律如圖所示，則這個容器

A、是一個上下一樣粗的容器B、是一個上粗下細(xì)的容器C、是一個上細(xì)下粗的容器D、是一個圓錐形的容器二、填空題（每小題3分，共24分）

9、已知正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-3，4），則該函數(shù)的表達(dá)式為。10、在函數(shù)y=

中，自變量x的取值范圍是。

11、當(dāng)時，一次函數(shù)y=(m+1)x+6的函數(shù)值隨x的增大而減小。12、直線y=(m+1)x+m2+1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3），且直線經(jīng)過第一、二、四象限，則k=。

值范圍是。

14、將直線y=-2x+1沿y軸方向向上平移3個單位長，得到的直線解析式為。15、直線y=3x-2經(jīng)過第象限，y隨x的增大而。y13、直線y=kx+b上有兩點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2），且x1＞x2，y1＜y2，則常數(shù)k的取016、已知一次函數(shù)y=(m+2)x+(3-2m)的圖象不經(jīng)過第四象限，則m的范圍是x。

三、解答題（共52分）

17、（本題8分）在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=-3x+4的圖象，利用圖象分析（1）函數(shù)的圖象經(jīng)過第象限，y隨x的增大而。（2）圖象與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)。（3）函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為。（4）當(dāng)時，y＞0；當(dāng)時，-2＜y＜118、（本題6分）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-4，9）和（6，3）。（1）求這個一次函數(shù)的關(guān)系式。

（2）試判斷點(diǎn)（1，6）是否在這個函數(shù)的圖象上。

19、（本題6分）在解方程組時，想必你曾碰到過方程組無解的情況，如

0h。t學(xué)過“一次函數(shù)與方程組”后，你能用一次函數(shù)的圖象來解釋這種情況嗎？請用上面的例子畫圖說明。

20、（本題7分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+4與x軸正半軸交于一點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，已知△OAB的面積為10，求這條直線的解析式。

21、（本題8分）某車間現(xiàn)有20名工人，生產(chǎn)甲乙兩種工藝品，每名工人每天可生產(chǎn)6個甲種工藝品或8個乙種工藝品，一個甲種工藝品可獲利10元，一個乙種工藝品可獲利5元。廠方規(guī)定乙種工藝品的數(shù)量不得少于甲種工藝品的三分之一。

（1）若安排x人生產(chǎn)甲種工藝品，其余工人生產(chǎn)乙種工藝品，車間每天的利潤為y元，請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量的取值范圍。（2）如何安排可使車間每天的利潤最高，最高利潤是多少？

PBCBBCCPP22、（本題9分）某市為節(jié)約用水。制定了分段收費(fèi)的政策，下圖是一個月水費(fèi)y（元）和

用水量x（噸）的函數(shù)關(guān)系的圖象。ADADAD（1）請寫出這個函數(shù)關(guān)系的解析式及自變量x的取值范圍。（2）小明家與小敏家長期共用一只水表，五月份共用水30噸，應(yīng)該付水費(fèi)多少元？（3）從六月份開始，兩家各用一只水表，在兩家總用水量不變（共用水30噸，兩家用水量

都超過了10噸）的情況下，六月份共付的水費(fèi)比五月份多些還是少些？請說明理由。

23、（本題8分）如圖，長方形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)P從A出發(fā)沿A→B→C→D

的路線移動，設(shè)點(diǎn)P移動的路線為x，△PAD的面積為y。

（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并在坐標(biāo)系中畫出這個函數(shù)的圖象。（2）求當(dāng)x=4和x=18時的函數(shù)值。

（3）當(dāng)x取何值時，y=20，并說明此時點(diǎn)P在長方形的哪條邊上。

21y

1201*15x第十五章整式乘除與因式分解知識點(diǎn)匯總

同底數(shù)冪的乘法法則：

同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即ａmａn＝ａm+n（ｍ、ｎ都是正整數(shù)）。冪的乘方法則：

冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（ａm）n＝ａmn（ｍ、ｎ都是正整數(shù)）。積的乘方法則：

積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積，即（ａｂ）n＝ａnｂn（ｎ為正整數(shù)）。單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配率用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.m(a+b+c)=ma+mb+mc多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。平方差公式：

兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ－ｂ完全平方公式：

兩數(shù)和的平方，等于它們的平方和，加上它們積的２倍。兩數(shù)差的平方，等于它們的平方和，減去它們積的２倍。（ａ＋ｂ）＝ａ＋ｂ＋２ａｂ；（ａ－ｂ）＝ａ＋ｂ－２ａｂ。

（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ａ＋ｂ＋ｃ＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ同底數(shù)冪的除法法則：

同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即ａm÷ａn＝ａm-n（ａ≠０，ｍ、ｎ為正整數(shù)，且ｍ＞n）

任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于１，即ａn＝１（ａ≠０）。單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法則：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法則：

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個單項(xiàng)式，再把所得的商相加。

因式分解:

把一個多項(xiàng)式化為幾個整式積的形式，這種變形叫做把這個多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個多項(xiàng)式分解因式.因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算因式分解的方法：

(1)提公因式法：

(2)公式法：①平方差公式：ａ－ｂ＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）。

②完全平方公式：ａ＋ｂ＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）；

ａ＋ｂ－２ａｂ＝（ａ－ｂ）。

③十字相乘法：x+（a+b）x+ab=（x+a）(x+b)

添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項(xiàng)都不變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項(xiàng)都改變符號。

第十五章《整式的乘除與因式分解》測試題

一、選擇題（每題3分，共15分）

(1)下列式子中，正確的是..............................()

A.3x+5y=8xyB.3y2-y2=3C.15ab-15ab=0D.29x3-28x3=x

(2)當(dāng)a=-1時，代數(shù)式(a+1)2+a(a+3)的值等于()

A.-4B.4C.-2D.2

2mn

(3)若-4xy和-2xy是同類項(xiàng)，則m，n的值分別是()A.m=2,n=1B.m=2,n=0C.m=4,n=1D.m=4，n=0

(4)化簡(-x)3(-x)2的結(jié)果正確的是()

A.-x6B.x6C.x5D.-x5

(5)若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，則m的值等于()

A.3B.-5C.7.D.7或-1二、填空（每題3分，共15分）

(1)化簡：a3a2b=.(2)計(jì)算：4x2+4x2=

(3)計(jì)算：4x2(-2xy)=.(4)分解因式：a2-25=

(5)按圖15－4所示的程序計(jì)算，若開始輸入的x值為3，則最后輸出的結(jié)果是.

三、解答題（共70分）

1．計(jì)算（直接寫出結(jié)果，共10分）

aman=，(am)n=，(ab)n=①aa3=②(m+n)2(m+n)3=③(103)5=④(b3)4=

⑤(2b)3=⑥(2a3)2=⑦(-3x)4=

2．計(jì)算與化簡.（共18分）

(1)3x2y(-2xy3)；(2)2a2(3a2-5b)；

(3)(-2a2)(3ab2-5ab3).(4)(5x+2y)(3x-2y).

1(5)(3y+2)(y-4)-3(y-2)(y-3)；（6）(-3)201*()201*

3

3．先化簡，再求值（7分）

(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)，其中a=2，b=-1

4．把下列各式分解因式.（共18分）

(1)xy+ay-by；(2)3x(a-b)-2y(b-a)；

(3)m2-6m+9；(4)4x2-9y2

(5)x4-1；(6)x2-7x+10；

5．解下列方程與不等式(每題5分,共10分)

(1)3x(7-x)=18-x(3x-15)；（2）(x+3)(x-7)+8＞(x+5)(x-1).

6.已知x-y=1,xy=3，求x3y-2x2y2+xy3的值.(7分)

附加題(共20分)

一、填空(2+2+3+3=10分)

(1)若x2n=4，x6n=，(2)已知am=2，an=3，則am+n=.(3)若x2+3x-1=0，則x3+5x2+5x+8=；

(4)比較3555，4444，5333的大小.>>

二、解答題:當(dāng)a，b為何值時，多項(xiàng)式a2+b2-4a+6b+18有最小值？并求出這個最小值.(10分)

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