九年級(jí)數(shù)學(xué)二次函數(shù)重點(diǎn)歸納總結(jié)(中考復(fù)習(xí)重要資料)

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、定義與定義表達(dá)式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax2+bx+c（a≠0），則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)。二、二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k（a≠0），此時(shí)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（h，k）

交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）僅用于函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，x1、x2為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以?xún)山稽c(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1，0）和B（x2，0）），對(duì)稱(chēng)軸所在的直線(xiàn)為x=

注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：

x1x22bb4ac-b2-bb2-4ach=-，k=；x1,x2=；x1+x2=-2a2a4a2a三、二次函數(shù)的圖像

從圖像可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線(xiàn)，屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形。四、拋物線(xiàn)的性質(zhì)

1．拋物線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-b，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)2aP。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是y軸（即直線(xiàn)x=0）bb4ac-b24ac-b22．拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P（-，）。當(dāng)x=-時(shí)，y最值=，當(dāng)a>02a2a4a4a時(shí)，函數(shù)y有最小值；當(dāng)a5．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)位置，拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)（0，c）。

6．拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：Δ=b2-4ac＞0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根；Δ=b2-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根。Δ=b2-4ac＜0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。五、二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)（以下稱(chēng)函數(shù)）y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。

函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。（參考四-6）六、常用的計(jì)算方法：

1、求解析式的時(shí)候：

若給定三個(gè)普通點(diǎn)的坐標(biāo)，則設(shè)為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0），分別將三點(diǎn)坐標(biāo)代入組成三元一次方程組，然后解此方程組求出a、b、c，再代回設(shè)的一般式中即可求出解析式；

若給定有頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ(chēng)軸、最值，則設(shè)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k（a≠0），再找一點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a，再代回設(shè)的頂點(diǎn)式即可求出解析式；

若給定有與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，則設(shè)為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)（a≠0），再找一點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a，再代回設(shè)的交點(diǎn)式即可求出解析式。

以上方法特別要注意括號(hào)內(nèi)的正負(fù)號(hào)。

2、若求函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，讓y=0，解一元二次方程所得的根就是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；3、若求函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，用配方的方法或者直接套用頂點(diǎn)坐標(biāo)的公式；

4、若求函數(shù)的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式（同頂點(diǎn)坐標(biāo)）。5、當(dāng)需要判定函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，需判定方程ax2+bx+c=0的Δ0。對(duì)Δ的判定方法仍然是用配方的方法。

一元二次方程

1.一元二次方程：只有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的項(xiàng)的最高系數(shù)為2的方程2.一元二次方程的解法(1）配方法

利用配方，使方程變?yōu)橥耆�平方公式，在用直接開(kāi)平方法去求出解(2)分解因式法

利用提取公因式和十字相乘法把方程化為幾個(gè)乘積的形式去解。(3)公式法

bb24acbb24ac方程的根x1，x2。

2a2a3．韋達(dá)定理x1x2bc,x1x2aa24.一元一次方程根的情況（其中△=b4ac）

I當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；II當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根；III當(dāng)△x210若x3x10，則4的值為＿＿＿＿＿。2xx111211解方程：3(x2)5(x)40

xx12求關(guān)于x的方程(k1)x2k1x10的解的個(gè)數(shù)。

1213m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程x(2k)xk0的兩根是一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角的余弦值。

214關(guān)于x的方程x2(k2)x5k0的兩個(gè)根都大于2，則k的取值范圍為＿＿＿＿＿。

215關(guān)于x的方程x2(k5)x1k0的一根小于0，另一根大于3，則k的取值范圍為＿＿＿＿＿。

16關(guān)于x的方程(k2)x22(k1)xk10且k3，求證：方程總有實(shí)數(shù)根。17關(guān)于x的方程2x2x3m10有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2且滿(mǎn)足圍。

18已知(x2y2)22(x2y2)15，則x2y2=＿＿＿＿＿。

19直角三角形斜邊長(zhǎng)為正整數(shù)，兩直角邊長(zhǎng)是方程9x2（3k1)xk0的兩個(gè)根，則k的值為＿＿＿＿＿。

20已知m、n為有理數(shù)，并且方程xmx+n0有一根是52，那么m+n的值為＿＿＿＿＿。21如果方程(x1)(x22xm)0的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則m的取值范圍為＿＿＿＿＿。

22若方程xpx有兩個(gè)不相等的根，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為＿＿＿＿＿。

22x1x21，求m的取值范

x1x242x2a僅有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為＿＿＿＿＿。23關(guān)于x的方程

x124已知x1、x2為方程x2＋3x＋1＝0的兩實(shí)根，則x12＋8x2＋20＝__________．

25若n（n0）是關(guān)于x的方程xmx2n0的根，則m+n的值為_(kāi)___________．26設(shè)x1、x2是一元二次方程x2+4x－3=0的兩個(gè)根，2x1(x22+5x2－3)+a=2，則a=．

27若關(guān)于x的一元二次方程x22(2k)xk2120有實(shí)數(shù)根、．(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)設(shè)t2k，求t的最小值

2228實(shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足條件a7a20，b7b20，則

2ab的值為_(kāi)___________。ba29若一個(gè)三角形的三邊都是方程x12x320的解，則此三角形的面積為_(kāi)___________。30方程x(x1)(x2)x的解為_(kāi)___________。31若x2x2(x4x3)，則x____________。

2232已知m,n是方程x2x10的兩根，且(7m14ma)(3n6n7)8，則a的值等于____________。

2220

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二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、定義與定義表達(dá)式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax2+bx+c（a≠0），則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)。二、二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k（a≠0），此時(shí)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（h，k）

交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）僅用于函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，x1、x2為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以?xún)山稽c(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1，0）和B（x2，0）），對(duì)稱(chēng)軸所在的直線(xiàn)為x=

注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：

x1x22bb4ac-b2-bb2-4ach=-，k=；x1,x2=；x1+x2=-2a2a4a2a三、二次函數(shù)的圖像

從圖像可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線(xiàn)，屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形。四、拋物線(xiàn)的性質(zhì)

1．拋物線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-b，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)2aP。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是y軸（即直線(xiàn)x=0）bb4ac-b24ac-b22．拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P（-，）。當(dāng)x=-時(shí)，y最值=，當(dāng)a>02a2a4a4a時(shí)，函數(shù)y有最小值；當(dāng)a6．拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：Δ=b2-4ac＞0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根；Δ=b2-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根。Δ=b2-4ac＜0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。五、二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)（以下稱(chēng)函數(shù)）y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。

函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。（參考四-6）六、常用的計(jì)算方法：

1、求解析式的時(shí)候：

若給定三個(gè)普通點(diǎn)的坐標(biāo)，則設(shè)為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0），分別將三點(diǎn)坐標(biāo)代入組成三元一次方程組，然后解此方程組求出a、b、c，再代回設(shè)的一般式中即可求出解析式；

若給定有頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ(chēng)軸、最值，則設(shè)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k（a≠0），再找一點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a，再代回設(shè)的頂點(diǎn)式即可求出解析式；

若給定有與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，則設(shè)為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)（a≠0），再找一點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a，再代回設(shè)的交點(diǎn)式即可求出解析式。

以上方法特別要注意括號(hào)內(nèi)的正負(fù)號(hào)。

2、若求函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，讓y=0，解一元二次方程所得的根就是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；3、若求函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，用配方的方法或者直接套用頂點(diǎn)坐標(biāo)的公式；

4、若求函數(shù)的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式（同頂點(diǎn)坐標(biāo)）。5、當(dāng)需要判定函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，需判定方程ax2+bx+c=0的Δ0。對(duì)Δ的判定方法仍然是用配方的方法。

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