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二次函數(shù)知識點總結(jié)及相關(guān)典型題目(教師用)

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二次函數(shù)知識點總結(jié)及相關(guān)典型題目(教師用)

用專業(yè)的心,做專業(yè)的教育

二次函數(shù)

主講:陳老師

一、定義:一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù),a0),那么y叫做x的二次函數(shù).例:已知關(guān)于x的函數(shù)yax2bxc(a,b,c是常數(shù))當(dāng)a,b,c滿足什么條件時(1)是一次函數(shù)(2)是正比例函數(shù)(3)是二次函數(shù)二、二次函數(shù)yax2bxc(a,b,c是常數(shù),a0)的性質(zhì)(1)①當(dāng)a0時拋物線開口向上頂點為其最低點;②當(dāng)a0時拋物線開口向下頂點為其最高點.③|a|越大,開口越小。

Ox

ybb4acb2(,)(2)頂點是,對稱軸是直線x

2a2a4a(3)①當(dāng)a0時,在對稱軸左邊,y隨x的增大而減小;在在對稱軸右邊,y隨x的增大而增大;

②當(dāng)a0時,在對稱軸左邊,y隨x的增大而增大;在在對稱軸右邊,y隨x的增大而減小。(4)y軸與拋物線yax2bxc得交點為(0,c)

2

c0,拋物線與y軸的交點在x軸上方,c0,拋物線與y軸的交點在x軸下方則下列結(jié)論中正確的是(D)

例:1、(201*四川重慶,7,4分)已知拋物線y=ax+bx+c(a≠0)在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,

A.a(chǎn)>0B.b<0C.c<0D.a(chǎn)+b+c>0

2山東威海題圖

練習(xí):1、(201*山東威海,7,3分)二次函數(shù)yx2x3的圖象如圖所示.當(dāng)y<0時,自變量x的

取值范圍是(A).A.-1<x<3

B.x<-1

C.x>3

D.x<-1或x>3

2、(201*湖北孝感,12,3分)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交,其頂點坐標(biāo)為1,1,下列結(jié)論:①ac<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;21

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④a+b+c<0.其中正確的個數(shù)是(C)A.1B.2C.3D.4

三、求拋物線的頂點、對稱軸的方法

bb4acb2(,)(1)公式法:yaxbxc,頂點是,對稱軸是直線x.

2a2a4a2(2)配方法:yaxhk的頂點為(h,k),對稱軸是直線xh.

2(3)利用交點式求對稱軸及頂點:yaxx1xx2,對稱軸為x例1、求下列各拋物線的頂點和對稱軸:(1)yxx122

x23x5(2)y2(x1)7(3)y3(x7)(x9)

2

2例2、201*江蘇淮安,14,3分)拋物線y=x-2x-3的頂點坐標(biāo)是.(1,-4)四、拋物線的平移

方法1:計算機(jī)兩條拋物線的頂點,由頂點判定平移情況方法2:將函數(shù)換成頂點式,用口決“(x)左加右減,上加下減”...例1、拋物線yx22x3經(jīng)過怎樣平移得到y(tǒng)x24x1答案:向右平移3,再向下移5個單位得到;

例2、(201*四川樂山5,3分)將拋物線yx向左平移2個單位后,得到的拋物線的解析式是(A)A.y(x2)B.yx2C.y(x2)D.yx2

例3、(201*重慶江津,18,4分)將拋物線y=x-2x向上平移3個單位,再向右平移4個單位等到的拋

物線是_______.(y=(x-5)+2或y=x-10x+27)練習(xí):

1、拋物線y2x2x3經(jīng)過怎樣平移得到y(tǒng)2x4x1

2、拋物線yx2x3向左平移2個單位,再向上移3個單位得到y(tǒng)xbxc,求b和c。

23、(201*山東濱州,7,3分)拋物線yx23可以由拋物線yx平移得到,則下列平移過程正確

2222

222222222的是(B)

A.先向左平移2個單位,再向上平移3個單位

2

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B.先向左平移2個單位,再向下平移3個單位C.先向右平移2個單位,再向下平移3個單位D.先向右平移2個單位,再向上平移3個單位五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)一般式:yax2bxc.已知圖像上三點或三對x、y的值,通常選擇一般式.(2)頂點式:yaxhk.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點式.

2(3)交點式:已知圖像與x軸的交點坐標(biāo)x1、x2,通常選用交點式:yaxx1xx2.(4)一般式與頂點式的變換

例:1、根據(jù)已知條件確定下列函數(shù)的解析式:

(-3,0),(0,-3),(5,0)(1)已知拋物線過

(2)已知拋物線的頂點在x軸上,且過點(1,0)、(-2,4);(3)已知拋物線的頂點坐標(biāo)為(-2,0),過點(1,4)例2、將yx26x2和y2x2x4換成頂點式(y(x37,y2(x)221)229)2練習(xí):1、將yx24x-5和y3x7x4換成頂點式

22、(201*山東濟(jì)寧,12,3分)將二次函數(shù)yx24x5化為y(xh)2k的形式,則y2y(x2)1)(

七、yax2bxc(a0)與一元二次方程ax2bxc0(a0)的關(guān)系

b4ac>0方程有兩個不相等的實數(shù)根2=0方程有兩個相等的實數(shù)根用專業(yè)的心,做專業(yè)的教育

bc,x1x2ax1x2a(二者都可以用)例1、(201*臺灣臺北,32)如圖(十四),將二次函數(shù)y=31x2-999x+892的圖形畫在坐標(biāo)平面上,判

韋達(dá)定理:89=0的兩根,下列敘述何者正確?(A)斷方程式31x-999x+22

A.兩根相異,且均為正根B.兩根相異,且只有一個正根C.兩根相同,且為正根D.兩根相同,且為負(fù)根

例2、.拋物線yx22x3與x軸分別交于A、B兩點,與y軸交于點C,則AB的長為4,三角形

ABC的面積是6。

練習(xí):1.已知二次函數(shù)y=ax2-2的圖象經(jīng)過點(1,-1).求這個二次函數(shù)的解析式,并判斷該函數(shù)圖

象與x軸的交點的個數(shù).(y=x22,兩個交點)

2.(201*湖北襄陽,12,3分)已知函數(shù)y(k3)x22x1的圖象與x軸有交點,則k的取值范圍是(B)A.k4

B.k4

C.k4且k3

D.k4且k3

3、(201*廣東東莞,15,6分)已知拋物線y(1)求c的取值范圍;

12xxc與x軸有交點.2(2)試確定直線y=cx+l經(jīng)過的象限,并說明理由.

八、二次函數(shù)的應(yīng)用

21、求yaxbxc(a,b,c是常數(shù),a0)最大值或最小值

①a0,函數(shù)有最小值為頂點的縱坐標(biāo),此時x等于頂點的橫坐標(biāo);②a0,函數(shù)有最大值為頂點的縱坐標(biāo),此時x等于頂點的橫坐標(biāo)。2、面積問題,主要利用各種圖形的面積公式,如三角形面積=底高3、利潤問題:利潤=銷量(售價-進(jìn)價)-其他4、拱橋問題

4

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1用專業(yè)的心,做專業(yè)的教育

例1、(201*廣東肇慶,10,3分)二次函數(shù)yx22x5有(D)

A.最大值5

B.最小值5

C.最大值6

D.最小值6

例2、一塊矩形耕地大小尺寸如圖所示(單位:m),要在這塊土地上沿東

西方向挖一條水渠,沿南北方向挖兩條水渠,水渠的寬為x(m),余

下的可耕地面積為y(

m2)。

(1)請你寫出y與x之間的解析式;

(2)根據(jù)你寫出的函數(shù)解析式,當(dāng)水渠的寬度為1m時,余下的可

耕地面積為多少?(3)若余下的耕地面積為4408

m2,求此時水渠的寬度。

例3、某商場以每件30元的價格購進(jìn)一種商品,試銷中發(fā)現(xiàn),這種商品每天的銷量m(件)與每件的銷售

價x(元)滿足一次函數(shù):m=162-3x.

(1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件的銷售價x間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)如果商場要想每天獲得最大銷售利潤,每件商品的定價為多少最合適?最大銷售利潤為多

少?

練習(xí):1、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品。據(jù)市場分析,若按每千克50元銷售,一個

月能售出500千克;銷售單價每漲1元,月銷售量就減少10千克,針對這種水產(chǎn)品的銷售情況,請解答下列問題:

(1)當(dāng)銷售單價定為每千克55元時,計算月銷售量和月銷售利潤;

(2)設(shè)銷售單價為每千克X元,月銷售利潤為Y元,求Y與X的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出X的取值范圍);

(3)商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下,使得月銷售利潤達(dá)到8000元,銷售單

價應(yīng)定為多少?

2、盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分.在大橋截面1∶11000的比例圖上,跨度AB=5cm,

拱高OC=0.9cm,線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長,DE∥AB,如圖(1).在比例圖上,以直線AB為x軸,拋物線的對稱軸為y軸,以1cm作為數(shù)軸的單位長度,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖(2).

(1)求出圖(2)上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式,寫出函數(shù)定義域;

y=-182955x+(x)12510225

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(2)如果DE與AB的距離OM=0.45cm,求盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長(備用數(shù)據(jù):21.4,計算結(jié)果

精確到1米).

52110000.01=275238523、.如圖6,一單杠高2.2m,兩立柱之間的距離為1.6m,將一根繩子的兩端拴于立柱與橫杠結(jié)合處,

繩子自然下垂呈拋物線形狀,一身高0.7m的小孩站在離左邊立柱0.4m處,其頭部剛好觸到繩子,求繩子最低點到地面的距離。(答案:0.2m)

圖6

附表.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)yax2yax2k2yaxhx0(y軸)當(dāng)a0時開口向上當(dāng)a0時x0(y軸)xhxhyaxhk2開口向下yaxbxc2bx2a

b4acb2,()2a4a

6

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二次函數(shù)

一、定義:一般地,如果yax例:已知關(guān)于x的函數(shù)yax22bxc(a,b,c是常數(shù),a0),那么y叫做x的二次函數(shù).

bxc(a,b,c是常數(shù))當(dāng)a,b,c滿足什么條件時

(1)是一次函數(shù)(2)是正比例函數(shù)(3)是二次函數(shù)二、二次函數(shù)yax2bxc(a,b,c是常數(shù),a0)的性質(zhì)y(1)①當(dāng)a0時拋物線開口向上頂點為其最低點;②當(dāng)a0時拋物線開口向下頂點為其最高點.③|a|越大,開口越小。

4acbb(,),對稱軸是直線x(2)頂點是

2a4a2ab2x

O(3)①當(dāng)a0時,在對稱軸左邊,y隨x的增大而減;在在對稱軸右邊,y隨x的增大而增大;

②當(dāng)a0時,在對稱軸左邊,y隨x的增大而增大;在在對稱軸右邊,y隨x的增大而減小。(4)y軸與拋物線yax

2

2bxc得交點為(0,c)

c0,拋物線與c0,拋物線與y軸的交點在y軸的交點在x軸上方,x軸下方

例:1、(201*四川重慶,7,4分)已知拋物線y=ax+bx+c(a≠0)在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,則下列結(jié)論中正確的是(D)

A.a(chǎn)>0B.b<0C.c<0D.a(chǎn)+b+c>0

2山東威海題圖

練習(xí):1、(201*山東威海,7,3分)二次函數(shù)yx2x3的圖象如圖所示.當(dāng)y<0時,自變量x的取值范圍是(A).

A.-1<x<3

B.x<-1

C.x>3

D.x<-1或x>3

2、(201*湖北孝感,12,3分)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸交,其頂點坐標(biāo)為12

,1,下列結(jié)論:①ac<0;②a+b=0;③4ac-b=4a;④2a+b+c<0.其中正確的個數(shù)是(C)A.1B.2C.3D.4

三、求拋物線的頂點、對稱軸的方法

1

(1)公式法:yax24acbb(,),對稱軸是直線xbxc,頂點是.

2a4a2a2b2(2)配方法:yaxhk的頂點為(h,k),對稱軸是直線xh.

(3)利用交點式求對稱軸及頂點:yaxx1xx2,對稱軸為x例1、求下列各拋物線的頂點和對稱軸:(1)yx12x2

x23x5(2)y2(x1)7(3)y3(x7)(x9)

2

2例2、201*江蘇淮安,14,3分)拋物線y=x-2x-3的頂點坐標(biāo)是.(1,-4)四、拋物線的平移

方法1:計算機(jī)兩條拋物線的頂點,由頂點判定平移情況方法2:將函數(shù)換成頂點式,用口決“(x)左加右減,上加下減”...例1、拋物線yx2x3經(jīng)過怎樣平移得到y(tǒng)x4x1答案:向右平移3,再向下移5個單位得到;

例2、(201*四川樂山5,3分)將拋物線yx向左平移2個單位后,得到的拋物線的解析式是(A)A.y(x2)B.yx2C.y(x2)D.yx2

例3、(201*重慶江津,18,4分)將拋物線y=x-2x向上平移3個單位,再向右平移4個單位等到的拋物線是_______.

(y=(x-5)+2或y=x-10x+27)練習(xí):

1、拋物線y2x2x3經(jīng)過怎樣平移得到y(tǒng)2x4x1

2、拋物線yx2x3向左平移2個單位,再向上移3個單位得到y(tǒng)xbxc,求b和c。

23、(201*山東濱州,7,3分)拋物線yx23可以由拋物線yx平移得到,則下列平移過程正確的是(B)

222222222

22

2222A.先向左平移2個單位,再向上平移3個單位B.先向左平移2個單位,再向下平移3個單位C.先向右平移2個單位,再向下平移3個單位D.先向右平移2個單位,再向上平移3個單位五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1)一般式:yax2bxc.已知圖像上三點或三對x、y的值,通常選擇一般式.

2(2)頂點式:yaxhk.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點式.

2

(3)交點式:已知圖像與x軸的交點坐標(biāo)x1、x2,通常選用交點式:yaxx1xx2.(4)一般式與頂點式的變換

例:1、根據(jù)已知條件確定下列函數(shù)的解析式:

(-3,0),(0,-3),(5,0)(1)已知拋物線過

(2)已知拋物線的頂點在x軸上,且過點(1,0)、(-2,4);(3)已知拋物線的頂點坐標(biāo)為(-2,0),過點(1,4)例2、將yx26x2和y2x22x4換成頂點式(y(x3)7,y2(x2122)92)

練習(xí):1、將yx24x-5和y3x27x4換成頂點式2

222、(201*山東濟(jì)寧,12,3分)將二次函數(shù)yx4x5化為y(xh)k的形式,則y(y(x2)1)七、yaxax22bxc(a0)與一元二次方程ax2bxc0(a0)的關(guān)系

b24ac>0=0練習(xí):1.已知二次函數(shù)y=ax-2的圖象經(jīng)過點(1,-1).求這個二次函數(shù)的解析式,并判斷該函數(shù)圖象與x軸的交

點的個數(shù).(y=x2,兩個交點)2.(201*湖北襄陽,12,3分)已知函數(shù)yA.k4

(k3)x2222x1的圖象與x軸有交點,則k的取值范圍是(B)

且k3B.k4C.k4且k3D.k4

3、(201*廣東東莞,15,6分)已知拋物線y(1)求c的取值范圍;

12xxc2與x軸有交點.

(2)試確定直線y=cx+l經(jīng)過的象限,并說明理由.

八、二次函數(shù)的應(yīng)用1、求yax2bxc(a,b,c是常數(shù),a0)最大值或最小值

①a0,函數(shù)有最小值為頂點的縱坐標(biāo),此時x等于頂點的橫坐標(biāo);②a0,函數(shù)有最大值為頂點的縱坐標(biāo),此時x等于頂點的橫坐標(biāo)。2、面積問題,主要利用各種圖形的面積公式,如三角形面積=底高3、利潤問題:利潤=銷量(售價-進(jìn)價)-其他4、拱橋問題

例1、(201*廣東肇慶,10,3分)二次函數(shù)yx2x5有(D)

A.最大值5

B.最小值5

C.最大值6

D.最小值6

212

例2、一塊矩形耕地大小尺寸如圖所示(單位:m),要在這塊土地上沿東

西方向挖一條水渠,沿南北方向挖兩條水渠,水渠的寬為x(m),余

下的可耕地面積為y(m)。

(1)請你寫出y與x之間的解析式;

(2)根據(jù)你寫出的函數(shù)解析式,當(dāng)水渠的寬度為1m時,余下的可

耕地面積為多少?(3)若余下的耕地面積為4408m,求此時水渠的寬度。

例3、某商場以每件30元的價格購進(jìn)一種商品,試銷中發(fā)現(xiàn),這種商品每天的銷量m(件)與每件的銷售價x(元)滿足

一次函數(shù):m=162-3x.

(1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件的銷售價x間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)如果商場要想每天獲得最大銷售利潤,每件商品的定價為多少最合適?最大銷售利潤為多少?

練習(xí):1、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品。據(jù)市場分析,若按每千克50元銷售,一個月能售出500

千克;銷售單價每漲1元,月銷售量就減少10千克,針對這種水產(chǎn)品的銷售情況,請解答下列問題:(1)當(dāng)銷售單價定為每千克55元時,計算月銷售量和月銷售利潤;

(2)設(shè)銷售單價為每千克X元,月銷售利潤為Y元,求Y與X的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出X的取值范圍);(3)商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下,使得月銷售利潤達(dá)到8000元,銷售單價應(yīng)定為多少?

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2、盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分.在大橋截面1∶11000的比例圖上,跨度AB=5cm,拱高OC=

0.9cm,線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長,DE∥AB,如圖(1).在比例圖上,以直線AB為x軸,拋物線的對稱軸為y軸,以1cm作為數(shù)軸的單位長度,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖(2).

(1)求出圖(2)上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式,寫出函數(shù)定義域;y=-18125x+2

910(52x52)

(2)如果DE與AB的距離OM=0.45cm,求盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長(備用數(shù)據(jù):21.4,計算結(jié)果精確到1

522米).

110000.01=2752385

3、.如圖6,一單杠高2.2m,兩立柱之間的距離為1.6m,將一根繩子的兩端拴于立柱與橫杠結(jié)合處,繩子自然下垂呈拋物線形狀,一身高0.7m的小孩站在離左邊立柱0.4m處,其頭部剛好觸到繩子,求繩子最低點到地面的距離。(答案:0.2m)

圖6

附表.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:

函數(shù)解析式y(tǒng)axyax22開口方向?qū)ΨQ軸x0(y軸)x0(y軸)頂點坐標(biāo)(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)4acb,(2a4ab2當(dāng)a0時開口向上當(dāng)a0時k2yaxhyaxhk2xhxh開口向下xb2ayax2bxc)

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