九年級二次函數(shù)知識點總結與經典習題

人教版九年級下冊二次函數(shù)知識點總結與經典習題

1、定義：一般地，如果yaxbxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù)。自變量的取值范圍是全體實數(shù)。2、二次函數(shù)yax的性質：

（1）拋物線yax的頂點是坐標原點，對稱軸是y軸；（2）函數(shù)yax的圖像與a的符號關系：

①當a0時拋物線開口向上頂點為其最低點；

②當a0時拋物線開口向下頂點為其最高點。

（3）頂點是坐標原點，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為yax（a0）。（P21-12）3、二次函數(shù)yaxbxc的圖像是對稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線。4、二次函數(shù)yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，

22222222b4acb2其中h。，k2a4a5、二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc。

6、拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點。

22222①a的符號決定拋物線的開口方向：當a0時，開口向上；當a0時，開口向下；a相等，拋物線的開口大小、形狀相同。

②平行于y軸（或重合）的直線記作xh.特別地，y軸記作直線x0。（P23-9,10）7、頂點決定拋物線的位置。幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同。8、求拋物線的頂點、對稱軸的方法

b4acb2b4acb22（，）（1）公式法：yaxbxcax，∴頂點是，對稱2a4a2a4ab軸是直線x。（P26-9）

2a2（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為yaxhk的形式，得到頂點為(h,k)，對稱軸是直線xh。

（3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點。

注意：用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失。題11：拋物線y＝x2＋6x＋4的頂點坐標是()A．(3，-5)B．(-3，-5)C．(3，5)D．(-3，5)9、拋物線yaxbxc中，a,b,c的作用（P29-例2,1,10）（1）a決定開口方向及開口大小，這與yax中的a完全一樣。

（2）b和a共同決定拋物線對稱軸的位置。由于拋物線yaxbxc的對稱軸是直線。

2222bb，故：①b0時，對稱軸為y軸；②0（即a、b同號）時，對稱軸在y軸2aab左側；③0（即a、b異號）時，對稱軸在y軸右側。

a2（3）c的大小決定拋物線yaxbxc與y軸交點的位置。

2當x0時，yc，∴拋物線yaxbxc與y軸有且只有一個交點（0，c）：

x①c0，拋物線經過原點；②c0,與y軸交于正半軸；③c0,與y軸交于負半軸。以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側，則10、幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式開口方向b0。ayax2yax2kyaxh2對稱軸x0（y軸）頂點坐標（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)yaxhk2當a0時開口向上當a0時開口向下x0（y軸）xhxhbx2ayaxbxc2b4acb2()，2a4a

11、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16）（1）一般式：yaxbxc。已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式。（2）頂點式：yaxhk.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式。

22（3）交點式：已知圖像與x軸的交點坐標x1、x2，通常選用交點式：yaxx1xx2。題12：已知關于x的一元二次方程x-2(m-1)x＋(m-1)＝0，有兩個實數(shù)根x1、x2，且x1＋x2＝4．求m的值。

2222

x25x63211題13：先化簡，再求值：，其中x＝32x1x33x3x

題14：在平面直角坐標系中，B(3＋1，0)，點A在第一象限內，且∠AOB＝60°，∠ABO＝45°。(1)求點A的坐標；

(2)求過A、O、B三點的拋物線解析式；

(3)動點P從O點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿OA運動到點A止，①若△POB的面積為S，寫出S與時間t(秒)的函數(shù)關系；②是否存在t，使△POB的外心在x軸上，若不存在，請你說明理由；若存在，請求出t的值。

圖4

12、直線與拋物線的交點（P47-5、P48-10,14）（1）y軸與拋物線yaxbxc得交點為(0,c)。

（2）與y軸平行的直線xh與拋物線yaxbxc有且只有一個交點(h,ahbhc)。（3）拋物線與x軸的交點。

二次函數(shù)yaxbxc的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2，是對應一元二次方程

2

22拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式ax2bxc0的兩個實數(shù)根。

判定：

①有兩個交點0拋物線與x軸相交；

②有一個交點（頂點在x軸上）0拋物線與x軸相切；③沒有交點0拋物線與x軸相離。（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點：

同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點。當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，

設縱坐標為k，則橫坐標是axbxck的兩個實數(shù)根。

（5）一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yaxbxca0的圖像G的交點，

22yax2bxc①方程組有兩組不同的解時l與G有兩個交點；②方程組只有一組解時l與G只有一個交點；③方程組無解時l與G沒有交點。（6）拋物線與x軸兩交點之間的距離：

2若拋物線yaxbxc與x軸兩交點為Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的兩個根，故：

bcx1x2,x1x2aaABx1x2

由方程組ykxn的解的數(shù)目來確定：

x1x22x1x22b24acb4c4x1x2

aaaa

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第26章二次函數(shù)復習題

一。選擇題：

1、下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的有()

C、a0,y1y2D、a0,y1y2

10、函數(shù)y=ax＋1與y=ax2＋bx＋1（a≠0）的圖象可能是（）

yyyy號考線：名姓封：級班密：校學一①y12x2②y1x2③yx(1x)④y(12x)(12x)1111A、1個B、2個C、3個D、4個

oxoxoxox2、若二次函數(shù)y(m1)x2m22m3的圖象經過原點，則m的值必為()A．B．C．D．

3、A、-1或3B、-1C、3D、無法確定

二。填空題

3、二次函數(shù)yx22(m1)x4m的圖象與x軸（）

11、拋物線yax2經過點（3，-1），則拋物線的函數(shù)關系式為．A、沒有交點B、只有一個交點C、只有兩個交點D、至少有一個交點12、拋物線y(k1)x2k29，開口向下，且經過原點，則k=．4、二次函數(shù)yx22x2有（）A、最大值1B、最大值2C、最小值1D、最小值213、把函數(shù)y16x2的圖象向左平移2個單位，再向下平移3個單位，所得新圖象的函數(shù)5、已知二次函數(shù)yax2bxc（a0）的圖象如圖4所示，有下列四個結論：

關系式為．

①b0②c0③b24ac0④abc0，其中正確的個數(shù)有（）

14、二次函數(shù)yx22x3的圖象在x軸上截得的兩交點之間的距離為．y15、有一長方形條幅，長為am，寬為bm，四周鑲上寬度相等的花邊，求剩余面積S（m2）與花邊寬度x（m）之間的函數(shù)關系式為，自變量x的取值范圍為。

3O1x16、拋物線yx2xc與x軸的兩個交點坐標分別為(x221,0)，(x2,0)，若x1x23，那么c值為，拋物線的對稱軸為．

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

圖4

三。解答題

6、二次函數(shù)y117．根據下列條件，求二次函數(shù)的關系式：2(x1)22的圖象可由y12x2的圖象()

（1）拋物線經過點（0，3）、（1，0）、（3，0）；A．向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到

B．向左平移1個單位，再向上平移2個單位得到C．向右平移1個單位，再向下平移2個單位得到D．向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到

7、若拋物線yax2bxc的所有點都在x軸下方，則必有()

A、a0,b24ac0B、a0,b24ac0（2）已知二次函數(shù)，當x=2時，y有最大值5，且其圖象經過點（8，-31），求此二次函數(shù)C、a0,b24ac0D、a0,b24ac0的函數(shù)關系式．8、已知反比例函數(shù)yax(a0)，當x＜0時，y隨x的增大而減小，則函數(shù)yax2a的圖象經過的象限是()

A、第三、四象限B、第一、二象限C、第二、三、四象限D、第一、二、三象限9、二次函數(shù)yax2bxc(a0)，當x=1時，函數(shù)y有最大值，設(x1,y1)，（x2,y2)是這個函數(shù)圖象上的兩點，且1x

1x2，則（）A、a0,y19、把拋物線yx2mxn的圖象向左平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象1y2B、a0,y1y2

的解析式是yx22x2，求m、n．

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20、已知二次函數(shù)yx2bx1的圖象經過點（3，2）。

（1）求這個二次函數(shù)的關系式；

24、某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷售量m（件）（2）畫出它的圖象，并指出圖象的頂點坐標；與每件的銷售價x（元）滿足一次函數(shù)：m=162-3x．

（3）當x＞0時，求使y≥2的x的取值范圍。（1）寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件的銷售價x間的函數(shù)關系式；

（2）如果商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售

利潤為多少？

21、已知拋物線yax24axt與x軸的一個交點為A（-1，0）。（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；

（2）D是拋物線與y軸的交點，C是拋物線上的一點，且以AB為一底的梯形ABCD的面積

25、某水產品養(yǎng)殖企業(yè)為指導該企業(yè)某種水產品的養(yǎng)殖和銷售，對歷年市場行情和水產品養(yǎng)為9，求此拋物線的函數(shù)關系式。殖情況進行了調查．調查發(fā)現(xiàn)這種水產品的每千克售價y1（元）與銷售月份x（月）滿足關系式y(tǒng)38x36，而其每千克成本y2（元）與銷售月份x（月）滿足的函數(shù)關系如圖所示．

（1）試確定b、c的值；

（2）求出這種水產品每千克的利潤y（元）與銷售月份x（月）之間的函數(shù)關系式；

22、已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（-2，0），B（3，0）兩點，且函數(shù)有最大值2．（3）“五一”之前，幾月份出售這種水產品每千克的利潤最大？最大利潤是多少？（1）求二次函數(shù)的函數(shù)關系式；

（2）設此二次函數(shù)圖象的頂點為P，求ABP的面積．

y2（元）．y12x2bxc

82524

O123456789101112x（月）第2題圖

23、如圖，已知二次函數(shù)yx2mxn，當x=3時，

26、已知開口向下的拋物線yax2bxc與x軸交于兩點A（x1，0）B（x2，0），其中

有最大值4．x221＜x2，P為頂點，∠APB=90°，若x1、x2是方程的兩個根，且x1x226．

（1）求m、n的值；

（1）求A、B兩點的坐標；（2）設這個二次函數(shù)的圖象與x軸的交點是A、B，

（2）求拋物線的函數(shù)關系式．

求A、B點的坐標；

（3）當y＜0時，求x的取值范圍；

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