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二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目

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二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目

用專業(yè)的心,做專業(yè)的教育

二次函數(shù)

一、定義:一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù),a0),那么y叫做x的二次函數(shù).例:已知關(guān)于x的函數(shù)yax2bxc(a,b,c是常數(shù))當(dāng)a,b,c滿足什么條件時(shí)(1)是一次函數(shù)(2)是正比例函數(shù)(3)是二次函數(shù)二、二次函數(shù)yax2bxc(a,b,c是常數(shù),a0)的性質(zhì)(1)①當(dāng)a0時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn);②當(dāng)a0時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).③|a|越大,開口越小。

Ox

ybb4acb2(,)(2)頂點(diǎn)是,對(duì)稱軸是直線x

2a2a4a(3)①當(dāng)a0時(shí),在對(duì)稱軸左邊,y隨x的增大而減。辉谠趯(duì)稱軸右邊,y隨x的增大而增大;

②當(dāng)a0時(shí),在對(duì)稱軸左邊,y隨x的增大而增大;在在對(duì)稱軸右邊,y隨x的增大而減小。(4)y軸與拋物線yax2bxc得交點(diǎn)為(0,c)

2

c0,拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方,c0,拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方則下列結(jié)論中正確的是(D)

例:1、(201*四川重慶,7,4分)已知拋物線y=ax+bx+c(a≠0)在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,

A.a(chǎn)>0B.b<0C.c<0D.a(chǎn)+b+c>0

山東威海題圖

練習(xí):1、(201*山東威海,7,3分)二次函數(shù)yx22x3的圖象如圖所示.當(dāng)y<0時(shí),自變量x的

取值范圍是(A).A.-1<x<3

B.x<-1

C.x>3

D.x<-1或x>3

2、(201*湖北孝感,12,3分)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,1,下列結(jié)論:①ac<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;2④a+b+c<0.其中正確的個(gè)數(shù)是(C)A.1B.2C.3D.4

1

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三、求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法

bb4acb2(,)(1)公式法:yaxbxc,頂點(diǎn)是,對(duì)稱軸是直線x.

2a2a4a2(2)配方法:yaxhk的頂點(diǎn)為(h,k),對(duì)稱軸是直線xh.

2(3)利用交點(diǎn)式求對(duì)稱軸及頂點(diǎn):yaxx1xx2例1、求下列各拋物線的頂點(diǎn)和對(duì)稱軸:(1)yxx,對(duì)稱軸為x122

x23x5(2)y2(x1)7(3)y3(x7)(x9)

2

2例2、201*江蘇淮安,14,3分)拋物線y=x-2x-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.(1,-4)四、拋物線的平移

將函數(shù)換成頂點(diǎn)式,用口決“(x)左加右減,上加下減”...例1、拋物線yx22x3經(jīng)過怎樣平移得到y(tǒng)x24x1答案:向右平移3,再向下移5個(gè)單位得到;

3、(201*山東濱州,7,3分)拋物線yx23可以由拋物線yx2平移得到,則下列平移過程正確的是(B)

A.先向左平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位B.先向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位C.先向右平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位D.先向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)一般式:yax2bxc.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值,通常選擇一般式.(2)頂點(diǎn)式:yaxhk.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點(diǎn)式.

22(3)交點(diǎn)式:已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2,通常選用交點(diǎn)式:yaxx1xx2.(4)一般式與頂點(diǎn)式的變換

例:1、根據(jù)已知條件確定下列函數(shù)的解析式:

(-3,0),(0,-3),(5,0)(1)已知拋物線過

2

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(2)已知拋物線的頂點(diǎn)在x軸上,且過點(diǎn)(1,0)、(-2,4);(3)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),過點(diǎn)(1,4)

(201*山東濟(jì)寧,12,3分)將二次函數(shù)yx24x5化為y(xh)2k的形式,則y2y(x2)1)(

七、yax2bxc(a0)與一元二次方程ax2bxc0(a0)的關(guān)系

b4ac>0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根用專業(yè)的心,做專業(yè)的教育

A.k4

八、二次函數(shù)的應(yīng)用

B.k4C.k4且k3D.k4且k3

1、求yax2bxc(a,b,c是常數(shù),a0)最大值或最小值

①a0,函數(shù)有最小值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),此時(shí)x等于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo);②a0,函數(shù)有最大值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),此時(shí)x等于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)。例1、(201*廣東肇慶,10,3分)二次函數(shù)yx22x5有(D)

A.最大值5

B.最小值5

C.最大值6

D.最小值6

例3、某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品,試銷中發(fā)現(xiàn),這種商品每天的銷量m(件)與每件的銷售價(jià)x(元)滿足一次函數(shù):m=162-3x.

(1)寫出商場(chǎng)賣這種商品每天的銷售利潤(rùn)y與每件的銷售價(jià)x間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)如果商場(chǎng)要想每天獲得最大銷售利潤(rùn),每件商品的定價(jià)為多少最合適?最大銷售利潤(rùn)為多

少?附表.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)yax2yax2k2yaxhx0(y軸)當(dāng)a0時(shí)開口向上當(dāng)a0時(shí)x0(y軸)xhxhyaxhk2開口向下yaxbxc2bx2ab4acb2,()2a4a1、兩點(diǎn)間距離公式(當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時(shí),可用此方法拓展思路,以尋求解題方法)

如圖:點(diǎn)A坐標(biāo)為(x1,y1)點(diǎn)B坐標(biāo)為(x2,y2)則AB間的距離,即線段AB的長(zhǎng)度為

1、二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)函數(shù)x1x22y1y22

yax2bxc(a,b,c是常數(shù),a0)a>0a用專業(yè)的心,做專業(yè)的教育

y0xy0x(1)拋物線開口向下,并向下無限延伸;(1)拋物線開口向上,并向上無限延伸;b(2)對(duì)稱軸是x=2a,頂點(diǎn)坐標(biāo)是((2)對(duì)稱軸是x=b2a,頂點(diǎn)坐標(biāo)是4acbb2a,4a);24acb2b4a(2a,);bb(3)在對(duì)稱軸的左側(cè),即當(dāng)x時(shí),y隨x的增大而增大,簡(jiǎn)記左減右增;時(shí),y隨x的增大而減小,簡(jiǎn)記左增右減;(4)拋物線有最低點(diǎn),當(dāng)x=b2a時(shí),(4)拋物線有最高點(diǎn),當(dāng)x=y有最小值,y最小值4acb24ab2a時(shí),y有最大值,y最大值4acb24a5

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二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目

第一部分基礎(chǔ)知識(shí)

1.定義:一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù),a0),那么y叫做x的二次函數(shù).2.二次函數(shù)yax2的性質(zhì)

(1)拋物線yax2的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸.(2)函數(shù)yax2的圖像與a的符號(hào)關(guān)系.

①當(dāng)a0時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn);

②當(dāng)a0時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).

(a0)(3)頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為yax2.

3.二次函數(shù)yax2bxc的圖像是對(duì)稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.

b4acb2,k4.二次函數(shù)yaxbxc用配方法可化成:yaxhk的形式,其中h.2a4a225.二次函數(shù)由特殊到一般,可分為以下幾種形式:①yax2;②yax2k;③yaxh;④yaxhk;

22⑤yaxbxc.

6.拋物線的三要素:開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).

①a的符號(hào)決定拋物線的開口方向:當(dāng)a0時(shí),開口向上;當(dāng)a0時(shí),開口向下;

2a相等,拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸(或重合)的直線記作xh.特別地,y軸記作直線x0.

7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù),如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同,那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同,只是頂點(diǎn)的位置不同.

8.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法

bb4acb2b4acb22(,)(1)公式法:yaxbxcax,∴頂點(diǎn)是,對(duì)稱軸是直線x.2a2a4a2a4a(2)配方法:運(yùn)用配方的方法,將拋物線的解析式化為yaxhk的形式,得到頂點(diǎn)為(h,k),對(duì)稱軸是直線

22xh.

(3)運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性:由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形,所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)

稱軸,對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).

用配方法求得的頂點(diǎn),再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證,才能做到萬無一失.9.拋物線yax2bxc中,a,b,c的作用

(1)a決定開口方向及開口大小,這與yax2中的a完全一樣.

(2)b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線yax2bxc的對(duì)稱軸是直線

xbbb,故:①b0時(shí),對(duì)稱軸為y軸;②0(即a、b同號(hào))時(shí),對(duì)稱軸在y軸左側(cè);③0(即a、2aab異號(hào))時(shí),對(duì)稱軸在y軸右側(cè).

(3)c的大小決定拋物線yax2bxc與y軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)x0時(shí),yc,∴拋物線yax2bxc與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0,c):①c0,拋物線經(jīng)過原點(diǎn);②c0,與y軸交于正半軸;③c0,與y軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中,當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí),仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè),則ba0.10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)yax2x0(y軸)(0,0)yax2kx0(y軸)(0,k)yaxh2當(dāng)a0時(shí)xh(h,0)yaxh2k開口向上xh(h,k)當(dāng)a0時(shí)yax2bxcb開口向下x2a(b4acb22a,4a)11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)一般式:yax2bxc.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值,通常選擇一般式.(2)頂點(diǎn)式:yaxh2k.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點(diǎn)式.

(3)交點(diǎn)式:已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2,通常選用交點(diǎn)式:yaxx1xx2.12.直線與拋物線的交點(diǎn)

(1)y軸與拋物線yax2bxc得交點(diǎn)為(0,c).

-2-

a2(2)與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h,ahbhc).

(3)拋物線與x軸的交點(diǎn)

二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2,是對(duì)應(yīng)一元二次方程axbxc0的兩

個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定:①有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與x軸相交;

②有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)0拋物線與x軸相切;③沒有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離.(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同(3)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí),兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱坐標(biāo)為k,則橫

坐標(biāo)是axbxck的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(5)一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像G的交點(diǎn),由方程組

22ykxnyaxbxc2的解的數(shù)目來確定:①方程組有兩組不同的解時(shí)l與G有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)

l與G只有一個(gè)交點(diǎn);③方程組無解時(shí)l與G沒有交點(diǎn).

(6)拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離:若拋物線yax2bxc與x軸兩交點(diǎn)為Ax1,0,Bx2,0,由于x1、x2是

方程axbxc0的兩個(gè)根,故

2bcx1x2,x1x2aaABx1x2x1x22x1x22b24acb4c4x1x2

aaaa2第二部分典型習(xí)題

1.拋物線y=x+2x-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(D)

A.(2,-2)B.(1,-2)C.(1,-3)D.(-1,-3)2.已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(C)

A.a(chǎn)b>0,c>0B.a(chǎn)b>0,c<0C.a(chǎn)b<0,c>0D.a(chǎn)b<0,c<0

AEFDC2

B

第2,3題圖第4題圖

3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(D)A.a(chǎn)>0,b<0,c>0B.a(chǎn)<0,b<0,c>0C.a(chǎn)<0,b>0,c<0D.a(chǎn)<0,b>0,c>0

4.如圖,已知ABC中,BC=8,BC上的高h(yuǎn)4,D為BC上一點(diǎn),EF//BC,交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F(EF不過A、B),設(shè)E到BC的距離為x,則DEF的面積y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致為(D)

4y444O2A4xO2B4O2C4O2D4

EF4xEF82x,yx24x845.拋物線yx22x3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn),則AB的長(zhǎng)為4.

6.已知二次函數(shù)y=kx2+(2k-,則對(duì)于下列結(jié)論:①當(dāng)x=-2時(shí),y1)x-1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1、x2(x1<x2)=1;②當(dāng)x>x2時(shí),y>0;③方程kx2+(2k-1;⑤1)x1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2;④x1<1,x2>-1+4k2,其中所有正確的結(jié)論是①③④(只需填寫序號(hào)).x2-x1=k7.已知直線y2xbb0與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B;一拋物線的解析式為yxb10xc.

2(1)若該拋物線過點(diǎn)B,且它的頂點(diǎn)P在直線y2xb上,試確定這條拋物線的解析式;

(2)過點(diǎn)B作直線BC⊥AB交x軸交于點(diǎn)C,若拋物線的對(duì)稱軸恰好過C點(diǎn),試確定直線y2xb的解析式.解:(1)yx10或yx4x6

22b10b216b100b10b216b100,),b(0,b)代入,將得cb.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(由題意得2,2424解得b110,b26.(2)y2x2

8.有一個(gè)運(yùn)算裝置,當(dāng)輸入值為x時(shí),其輸出值為y,且y是x的二次函數(shù),已知輸入值為2,0,1時(shí),相應(yīng)的輸出值分別為5,3,4.

(1)求此二次函數(shù)的解析式;

(2)在所給的坐標(biāo)系中畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫出當(dāng)輸出值y為正數(shù)時(shí)輸入值x的取值范圍.解:(1)設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為yax2bxc,

a(2)2b(2)c5a1c3則a02b0c3,即2ab4,解得b2abc4c3ab1故所求的解析式為:yx22x3.(2)函數(shù)圖象如圖所示.

由圖象可得,當(dāng)輸出值y為正數(shù)時(shí),輸入值x的取值范圍是x1或x3.

9.某生物興趣小組在四天的實(shí)驗(yàn)研究中發(fā)現(xiàn):駱駝的體溫會(huì)隨外部環(huán)境溫度的變化而變化,而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同.他們將一頭駱駝前兩晝圖.請(qǐng)根據(jù)圖象回答:

⑴第一天中,在什么時(shí)間范圍內(nèi)這頭駱駝從最低上升到最高需要多少時(shí)間?⑵第三天12時(shí)這頭駱駝的體溫是多少?⑶興趣小組又在研究中發(fā)現(xiàn),圖中10時(shí)到22時(shí)的曲線是拋物線,求該拋物線的解析式.

解:⑴第一天中,從4時(shí)到16時(shí)這頭駱駝的

體溫是上升的

它的體溫從最低上升到最高需要12小時(shí)⑵第三天12時(shí)這頭駱駝的體溫是39℃

第9題

夜的體溫變化情況繪制成下

的體溫是上升的?它的體溫

12x2x2410x22164210.已知拋物線yax(3a)x4與x軸交于A、

3⑶yB兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.是否存在實(shí)數(shù)a,使得△ABC為直角三角形.若存在,請(qǐng)求出a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

解:依題意,得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4).

設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,0),(x2,0),

由ax(3a)x40,解得x13,x2∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-3,0),(∴AB|2434.3a4,0).3a43|,ACAO2OC25,3aBCBO2OC2|∴AB|242|42.3a41641683|2223929,3a9a3a9aa162216.AC25,BC29a〈〉當(dāng)ABACBC時(shí),∠ACB=90°.由ABACBC,

22222216816925(16).9a2a9a21解得a.

4116625400222∴當(dāng)a時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,0),AB,AC25,BC.

4399得

于是ABACBC.∴當(dāng)a22221時(shí),△ABC為直角三角形.422〈〉當(dāng)ACABBC時(shí),∠ABC=90°.由ACABBC,得25(解得a222168169)(16).9a2a9a24.9444當(dāng)a時(shí),3,點(diǎn)B(-3,0)與點(diǎn)A重合,不合題意.

493a39〈〉當(dāng)BCACAB時(shí),∠BAC=90°.由BCACAB,得解得a222222161681625(9).22a9a9a4.不合題意.91時(shí),△ABC為直角三角形.4綜合〈〉、〈〉、〈〉,當(dāng)a11.已知拋物線y=-x2+mx-m+2.

(1)若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩側(cè),并且AB=5,試求m的值;

(2)設(shè)C為拋物線與y軸的交點(diǎn),若拋物線上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)M、N,并且△MNC的面積等于27,試求m的值.解:(1)A(x1,0),B(x2,0).則x1,x2是方程x2-mx+m-2=0的兩根.∵x1+x2=m,x1x2=m-2<0即m<2;

2又AB=x1x2=(x1+x2)4x1x25,∴m2-4m+3=0.

解得:m=1或m=3(舍去),∴m的值為1.(2)M(a,b),則N(-a,-b).∵M(jìn)、N是拋物線上的兩點(diǎn),

∴yCamam2b,①

2amam2b.②2MOxN①+②得:-2a2-2m+4=0.∴a2=-m+2.∴當(dāng)m<2時(shí),才存在滿足條件中的兩點(diǎn)M、N.∴a2m.

這時(shí)M、N到y(tǒng)軸的距離均為2m,又點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,2-m),而S△MNC=27,∴2

1(2-m)2m=27.2∴解得m=-7.

12.已知:拋物線y=ax+4ax+t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0).(1)求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo);

(2)D是拋物線與y軸的交點(diǎn),C是拋物線上的一點(diǎn),且以AB為求此拋物線的解析式;

(3)E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5∶2的點(diǎn),如果且它與點(diǎn)A在此拋物線對(duì)稱軸的同側(cè),問:在拋物線的對(duì)稱軸上長(zhǎng)最小?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.解法一:

(1)依題意,拋物線的對(duì)稱軸為x=-2.∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0),

∴由拋物線的對(duì)稱性,可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,0).

(2)∵拋物線y=ax+4ax+t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0),

-7-

22一底的梯形ABCD的面積為9,

點(diǎn)E在(2)中的拋物線上,是否存在點(diǎn)P,使△APE的周∴a(-1)2+4a(-1)+t=0.∴t=3a.∴y=ax2+4ax+3a.

∴D(0,3a).∴梯形ABCD中,AB∥CD,且點(diǎn)C在拋物線y=ax2+4ax+3a上,∵C(-4,3a).∴AB=2,CD=4.∵梯形ABCD的面積為9,∴∴a±1.

∴所求拋物線的解析式為y=x2+4x+3或y=x24ax3.(3)設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(x0,y0).依題意,x0<0,y0<0,且

11(ABCD)OD=9.∴(2+4)3a=9.

2255=.∴y0=-x0.

2x02y0①設(shè)點(diǎn)E在拋物線y=x2+4x+3上,

2∴y0=x0+4x0+3.

15x=,x0=6,0y0=-x0,2解方程組得2y=15;50y=.y=x2+4x+300004∵點(diǎn)E與點(diǎn)A在對(duì)稱軸x=-2的同側(cè),∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(15,).24設(shè)在拋物線的對(duì)稱軸x=-2上存在一點(diǎn)P,使△APE的周長(zhǎng)最。逜E長(zhǎng)為定值,∴要使△APE的周長(zhǎng)最小,只須PA+PE最。帱c(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=-2的對(duì)稱點(diǎn)是B(-3,0),∴由幾何知識(shí)可知,P是直線BE與對(duì)稱軸x=-2的交點(diǎn).設(shè)過點(diǎn)E、B的直線的解析式為y=mx+n,

15m=,1m+n=,2∴24解得3n=.-3m+n=0.2∴直線BE的解析式為y=∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(-2,

131x+.∴把x=-2代入上式,得y=.2221).222②設(shè)點(diǎn)E在拋物線y=x4x3上,∴y0=x04x03.

5y0=-x0,32解方程組消去y0,得x02x0+3=0.

2y=x24x3.000∴△<0.∴此方程無實(shí)數(shù)根.綜上,在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P(-2,解法二:

(1)∵拋物線y=ax2+4ax+t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0),∴a(-1)2+4a(-1)+t=0.∴t=3a.∴y=ax2+4ax+3a.令y=0,即ax+4ax+3a=0.解得x1=-1,x2=-3.∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,0).

(2)由y=ax2+4ax+3a,得D(0,3a).∵梯形ABCD中,AB∥CD,且點(diǎn)C在拋物線

21),使△APE的周長(zhǎng)最。2y=ax2+4ax+3a上,

∴C(-4,3a).∴AB=2,CD=4.∵梯形ABCD的面積為9,∴∴3a=3.∴a±1.

∴所求拋物線的解析式為y=x+4x+3或y=-x-4x-3.

(3)同解法一得,P是直線BE與對(duì)稱軸x=-2的交點(diǎn).∴如圖,過點(diǎn)E作EQ⊥x軸于點(diǎn)Q.設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交

點(diǎn)為F.

221(AB+CD)OD=9.解得OD=3.21BFPF1PF=.∴=.∴PF=.

552BQEQ241∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(-2,).

2由PF∥EQ,可得以下同解法一.

13.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示.

(1)求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo).

(2)若點(diǎn)N為線段BM上的一點(diǎn),過點(diǎn)N作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)N在線段BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)N不與點(diǎn)B,點(diǎn)M

重合),設(shè)NQ的長(zhǎng)為l,四邊形NQAC的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍;

(3)在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△PAC為直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;

(4)將△OAC補(bǔ)成矩形,使△OAC的兩個(gè)頂點(diǎn)成為矩形一邊的兩個(gè)頂形這一邊的對(duì)邊上,試直接寫出矩形的未知的頂點(diǎn)坐標(biāo)(不需要計(jì)算過解:(1)設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)a(x1)(x2),

∴2a1(2).∴a1.∴yx2x2.其頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是,點(diǎn),第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩程).

129.4(2)設(shè)線段BM所在的直線的解析式為ykxb,點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(t,h),

02kb,3∴91.解得k,b3.

2kb.423x3.231112321∴ht3,其中t2.∴s12(2t3)ttt1.

22223423211∴s與t間的函數(shù)關(guān)系式是Stt1,自變量t的取值范圍是t2.

422∴線段BM所在的直線的解析式為y(3)存在符合條件的點(diǎn)P,且坐標(biāo)是P1,,P2,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(m,n),則nmm2.

25724325.4PA2(m1)2n2,PC2m2(n2)2,AC25.

分以下幾種情況討論:

i)若∠PAC=90°,則PCPAAC.

2nmm2,∴

2222m(n2)(m1)n5.222解得:m1557,m21(舍去).∴點(diǎn)P1,.224222ii)若∠PCA=90°,則PAPCAC.

2nmm2,∴

2222(m1)nm(n2)5.解得:m3353,m40(舍去).∴點(diǎn)P2,-.242iii)由圖象觀察得,當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí),PAAC,所以邊AC的對(duì)角∠APC不可能是直角.

(4)以點(diǎn)O,點(diǎn)A(或點(diǎn)O,點(diǎn)C)為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn),第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這邊OA(或邊OC)的對(duì)邊上,如圖a,此

時(shí)未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是點(diǎn)D(-1,-2),

以點(diǎn)A,點(diǎn)C為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn),第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊AC的對(duì)邊上,如圖b,此時(shí)未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是E,,

1255F,.

4585

圖a圖b

14.盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分.在大橋截面1∶11000的比例圖上,跨度AB=5cm,拱高OC=0.9cm,線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長(zhǎng),DE∥AB,如圖(1).在比例圖上,以直線AB為x軸,拋物線的對(duì)稱軸為y軸,以1cm作為數(shù)軸的單位長(zhǎng)度,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖(2).

(1)求出圖(2)上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式,寫出函數(shù)定義域;

(2)如果DE與AB的距離OM=0.45cm,求盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長(zhǎng)(備用數(shù)據(jù):21.4,計(jì)算結(jié)果精確到1米).解:(1)由于頂點(diǎn)C在y軸上,所以設(shè)以這部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式為

9.105529185因?yàn)辄c(diǎn)A(,0)(或B(,0))在拋物線上,所以0=a()+,得a=-.

22210125y=ax+2182955x+(x).12510229918295-x+,得x=2.(2)因?yàn)辄c(diǎn)D、E的縱坐標(biāo)為,所以

20201*510459952,2,所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-),點(diǎn)E的坐標(biāo)為().

442020因此所求函數(shù)解析式為y=-所以DE=555252.因此盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長(zhǎng)為.2-(2)=110000.01=2752385(米)

442215.已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),O為坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是x軸正半軸上的兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),如圖.二次函數(shù)

y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C.

(1)a、c的符號(hào)之間有何關(guān)系?

(2)如果線段OC的長(zhǎng)度是線段OA、OB長(zhǎng)度的比例中項(xiàng),試證

a、c互為倒數(shù);

(3)在(2)的條件下,如果b=-4,AB=43,求a、c的值.解:(1)a、c同號(hào).或當(dāng)a>0時(shí),c>0;當(dāng)a<0時(shí),c<0.

(2)證明:設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x2,0),則0<x1<x2.∴OAx1,OBx2,OCc.

2據(jù)題意,x1、x2是方程ax+bx+c0(a0)的兩個(gè)根.∴x1x22由題意,得OAOB=OC,即=c=c.

2c.a(chǎn)ca2所以當(dāng)線段OC長(zhǎng)是線段OA、OB長(zhǎng)的比例中項(xiàng)時(shí),a、c互為倒數(shù).(3)當(dāng)b4時(shí),由(2)知,x1+x2=-=>0,∴a>0.

2解法一:AB=OB-OA=x2-x1=(x1+x2)4x1x2,

ba4a∴AB()-4()4a2ca164ac23.2aa∵AB43,∴

123=43.得a.∴c=2.

2a解法二:由求根公式,x=4164ac416423==,

2a2aa∴x1=2323232-323-=,x2=.∴AB=OB-OA=x2-x1=.a(chǎn)aaaa∵AB=43,∴

123=43,得a=.∴c=2.

2a16.如圖,直線y3x3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B,⊙E經(jīng)過原點(diǎn)O及A、B兩點(diǎn).3(1)C是⊙E上一點(diǎn),連結(jié)BC交OA于點(diǎn)D,若∠COD=∠CBO,求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);(2)求經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式:

(3)若延長(zhǎng)BC到P,使DP=2,連結(jié)AP,試判斷直線PA與⊙E的位置關(guān)系,并說明理由.

解:(1)連結(jié)EC交x軸于點(diǎn)N(如圖).∵A、B是直線y

3x3分別與x軸、y軸的交點(diǎn).∴A(3,0),B(0,3).3又∠COD=∠CBO.∴∠CBO=∠ABC.∴C是∴ON13OB3OA,EN.2222的中點(diǎn).∴EC⊥OA.

連結(jié)OE.∴ECOE3.∴NCECEN333.∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(,).222(2)設(shè)經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式為yaxx3.333332a(3).∴a∵C(,).∴3.222229∴y23223xx為所求.98(3)∵tanBAO3,∴∠BAO=30°,∠ABO=50°.311由(1)知∠OBD=∠ABD.∴OBDABO6030.

22∴OD=OBtan30°-1.∴DA=2.∵∠ADC=∠BDO=60°,PD=AD=2.∴△ADP是等邊三角形.∴∠DAP=60°.

∴∠BAP=∠BAO+∠DAP=30°+60°=90°.即PA⊥AB.即直線PA是⊙E的切線.

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