初三圓的總結(jié)

初三圓的總結(jié)〖圓的相關(guān)量〗

圓周率：圓周長度與圓的直徑長度的比叫做圓周率，值是

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679...，通常用π表示，計(jì)算中常取3.14為它的近似值(但奧數(shù)常取3或3.1416)。圓弧和弦：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。

圓心角和圓周角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。

內(nèi)心和外心：過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。和三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。

扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。這個(gè)扇形的半徑成為圓錐的母線。

〖圓和圓的相關(guān)量字母表示方法〗圓⊙半徑r弧⌒直徑d

扇形弧長／圓錐母線l周長C面積S〖圓和其他圖形的位置關(guān)系〗

圓和點(diǎn)的位置關(guān)系：以點(diǎn)P與圓O的為例（設(shè)P是一點(diǎn)，則PO是點(diǎn)到圓心的距離），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O內(nèi)，PO＜r。

直線與圓有3種位置關(guān)系：無公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。以直線AB與圓O為例（設(shè)OP⊥AB于P，則PO是AB到圓心的距離）：AB與⊙O相離，PO＞r；AB與⊙O相切，PO＝r；AB與⊙O相交，PO＜r。

兩圓之間有5種位置關(guān)系：無公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含；有唯一公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；有兩個(gè)公共點(diǎn)的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為P：外離P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；內(nèi)切P=R-r；內(nèi)含P＜R-r。

【圓的平面幾何性質(zhì)和定理】一有關(guān)圓的基本性質(zhì)與定理

⑴圓的確定：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

圓的對稱性質(zhì)：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的2條弧。逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的2條弧。⑵有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩個(gè)圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。⑶有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理

①一個(gè)三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等；

②內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三角形三邊距離相等。③S三角=1/2*△三角形周長*內(nèi)切圓半徑

④兩相切圓的連心線過切點(diǎn)（連心線：兩個(gè)圓心相連的線段）〖有關(guān)切線的性質(zhì)和定理〗

圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過半徑的一端，并且垂直于這條半徑的直線，是這個(gè)圓的切線。

切線判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

切線的性質(zhì)：（1）經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。（3）圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。

切線長定理：從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線的長相等，那點(diǎn)與圓心的連線平分切線的夾角�！加嘘P(guān)圓的計(jì)算公式〗

1.圓的周長C=2πr=πd2.圓的面積S=πr^2;3.扇形弧長l=nπr/1804.扇形面積S=nπr^2;/360=rl/25.圓錐側(cè)面積S=πrl[編輯本段]【圓的解析幾何性質(zhì)和定理】〖圓的解析幾何方程〗圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圓的一般方程：把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)后，可得圓的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和標(biāo)準(zhǔn)方程對比，其實(shí)D=-2a，E=-2b，F(xiàn)=a^2+b^2。圓的離心率e=0，在圓上任意一點(diǎn)的曲率半徑都是r�！紙A與直線的位置關(guān)系判斷〗

平面內(nèi)，直線Ax+By+C=0與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系判斷一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成為一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程f（x）=0。利用判別式b^2-4ac的符號(hào)可確定圓與直線的位置關(guān)系如下：如果b^2-4ac>0，則圓與直線有2交點(diǎn)，即圓與直線相交。如果b^2-4ac=0，則圓與直線有1交點(diǎn)，即圓與直線相切。如果b^2-4ac

圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)稱為圓冪定理）

切線長定理

垂徑定理

圓周角定理

弦切角定理

四圓定理

3．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等．

4．在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．

5．把整個(gè)圓周等分成360份，每一份弧是1°的�。畧A心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等．

6.圓是中心對稱圖形，即圓繞其對稱中心(圓心)旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原來圖形重合，這一性質(zhì)不難理解．圓和其他中心對稱圖形不同，它還具有旋轉(zhuǎn)不變性，即圍繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，都能夠與原來的圖形重合．

7.垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧

8.（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

9.圓的兩條平行弦所夾的弧相等

10.(1)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

(2)同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等.

(3)半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑.

(4)如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

11.(1)圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸.

(2)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(3)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(4)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弦.

(5)平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

(6)圓的兩條平行弦所夾的弧度數(shù)相等.

12.圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸．

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�

13.平分弦(不是直徑)的直徑垂直與弦,并且平分弦所對的兩條弧.

14.在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦也相等,所對的弦的弦心距也相等.15.在同圓或等圓中,相等的弦所對的弧相等,所對的圓心角相等,所對的弦的弦心距也相等.16.同一個(gè)弧有無數(shù)個(gè)相對的圓周角.17.弧的比等于弧所對的圓心角的比.18.圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)或相等.

19.不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)圓.20.直徑是圓中最長的弦.

21.一條弦把一個(gè)圓分成一個(gè)優(yōu)弧和一個(gè)劣弧.

補(bǔ)充：九點(diǎn)共圓定理

三角形三邊的中點(diǎn)，三條高的垂足，垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)這9點(diǎn)共圓.九點(diǎn)圓是幾何學(xué)史上的一個(gè)著名問題,最早提出九點(diǎn)圓的是英國的培亞敏.俾幾〔BenjaminBeven〕,問題發(fā)表在1804年的一本英國雜志上.第一個(gè)完全證明此定理的是法國數(shù)學(xué)家彭賽列〔1788-1867〕.也有說是1820-1821年間由法國數(shù)學(xué)家熱而工〔1771-1859〕與彭賽列首先發(fā)表的.一位高中教師費(fèi)爾巴哈〔1800-1834〕也曾研究了九點(diǎn)圓,他的證明發(fā)表在1822年的《直邊三角形的一些特殊點(diǎn)的性質(zhì)》一文里,文中費(fèi)爾巴哈還獲得了九點(diǎn)圓的一些重要性質(zhì)〔如下列的性質(zhì)3〕,故有人稱九點(diǎn)圓為費(fèi)爾巴哈圓.

九點(diǎn)圓具有許多有趣的性質(zhì),例如:

1.三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;

2.九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點(diǎn);

3.三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓,三個(gè)旁切圓均相切〔費(fèi)爾巴哈定理〕.

4.九點(diǎn)圓是一個(gè)垂心組共有的九點(diǎn)圓,所以九點(diǎn)圓共與四個(gè)內(nèi)切圓,十二個(gè)旁切圓相切.5.九點(diǎn)圓心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四點(diǎn)共線且OG=2VGVO=2HO九點(diǎn)圓圓心的重心坐標(biāo)的計(jì)算跟垂心、外心一樣麻煩。事先定義的變量與垂心、外心一樣：

d1,d2,d3分別是三角形三個(gè)頂點(diǎn)連向另外兩個(gè)頂點(diǎn)向量的點(diǎn)乘（句子很長^_^）。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐標(biāo)：((2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c)。

擴(kuò)展閱讀：初三《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)201*.11.4

《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

一、圓的概念

集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：

1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓；

（補(bǔ)充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫

中垂線）；

3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；

4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；

5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。

二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1、點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn)C在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上dr點(diǎn)B在圓上；3、點(diǎn)在圓外dr點(diǎn)A在圓外；

三、直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離dr無交點(diǎn)；2、直線與圓相切dr有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交dr有兩個(gè)交點(diǎn)；

ArBdCdOrdd=rrd

《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

四、圓與圓的位置關(guān)系

外離（圖1）無交點(diǎn)dRr；外切（圖2）有一個(gè)交點(diǎn)dRr；相交（圖3）有兩個(gè)交點(diǎn)RrdRr；內(nèi)切（圖4）有一個(gè)交點(diǎn)dRr；內(nèi)含（圖5）無交點(diǎn)dRr；

dR圖1rRdr圖2dR圖3r

d

五、垂徑定理

圖4RrdrR圖5垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條��；

（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共4個(gè)定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即：

①AB是直徑②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD

COABCBADOED《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

六、圓心角定理

圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，

只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④弧BA弧BD

七、圓周角定理

1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：∵AOB和ACB是弧AB所對的圓心角和圓周角∴AOB2ACB2、圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等��；

即：在⊙O中，∵C、D都是所對的圓周角∴CD

推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。

即：在⊙O中，∵AB是直徑或∵C90∴C90∴AB是直徑

推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

注：此推論實(shí)是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。

BOACAODCEFBCBOADCBOACBOA《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

八、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角。即：在⊙O中，

CD∵四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形

∴CBAD180BD180DAEC

九、切線的性質(zhì)與判定定理

（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵M(jìn)NOA且MN過半徑OA外端∴MN是⊙O的切線

OBAE（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：

即：①過圓心；②過切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。

十、切線長定理切線長定理：

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

BMAN即：∵PA、PB是的兩條切線∴PAPB

POPO平分BPA

A《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

十一、圓冪定理

（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于點(diǎn)P，∴PAPBPCPD

（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。

即：在⊙O中，∵直徑ABCD，∴CE2AEBE

（3）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。即：在⊙O中，∵PA是切線，PB是割線∴PAPCPB

（4）割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等（如上圖）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割線∴PCPBPDPE

十二、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的公共弦。

如圖：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)∴O1O2垂直平分AB十三、圓的公切線

兩圓公切線長的計(jì)算公式：

（1）公切線長：RtO1O2C中，AB2CO12O1O22CO22；

CO22BOPCADCBOEDAADPCOBEAO1BO2的

ABO1《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

（2）外公切線長：CO2是半徑之差；內(nèi)公切線長：CO2是半徑之和。十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在RtBOD中進(jìn)行：

OD:BD:OB1:3:2；

BOACD

（2）正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在RtOAE中進(jìn)行，OE:AE:OA1:1:2：

（3）正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在RtOAB中進(jìn)行，AB:OB:OA1:3:2.

BOABODCE

十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形：（1）弧長公式：lnR180AA；

OSl（2）扇形面積公式：SnR360212lR

Bn：圓心角R：扇形多對應(yīng)的圓的半徑l：扇形弧長S：扇形面積

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2、圓柱：

（1）圓柱側(cè)面展開圖

S表S側(cè)2S底=2rh2r2

（2）圓柱的體積：Vr2h

（2）圓錐側(cè)面展開圖

（1）S表S側(cè)S底=Rrr2（2）圓錐的體積：V13r2h

ADD1母線長底面圓周長BCC1B1ORCArB

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