初一數(shù)學下寒假預習1平行線的判定

初一數(shù)學寒假培優(yōu)

初一下數(shù)學寒假培優(yōu)訓練一（余角、補角以及三線八角、平行線的判定）

一、考點講解：

1．余角：如果兩個角的和是直角，那么稱這兩個角互為余角．2．補角：如果兩個角的和是平角，那．么稱這兩個角互為補角．

3．對頂角：如果兩個角有公共頂點，并且它們的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角．4．互為余角的有關性質(zhì)：①∠1＋∠2=90°，則∠1、∠2互余．反過來，若∠1，∠2互余．則∠1+∠

2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3=90○，則∠2=∠3．5．互為補角的有關性質(zhì)：①若∠A+∠B=180則∠A、∠B互補，反過來，若∠A、∠B互補，則∠A+∠B＝

180○．②同角或等角的補角相等．如果∠A＋∠C=180○，∠A+∠B=180°，則∠B=∠C．6．對頂角的性質(zhì)：對頂角相等．

二．互為余角、互為補角、對頂角比較項目定義兩個角和等于90（直角）互余角1290○

性質(zhì)同角或等角的余角相等1圖形2同角或等角的補角相等2121兩個角和等于180（平角）互補角12180兩直線相交而成的一個角兩邊對頂角分別是另一角兩邊反向延長線三、經(jīng)典例題題剖析：例1．已知一個角的余角比它的補角的

513對頂角相等12還少4，求這個角。

例2．如圖所示，AOB是一條直線，AOC90,DOE90，問圖中互余的角有哪幾對？哪些角是相等的？

1A

DC23O

E4B

例3.如圖l－2－1，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB于點O，OF平分∠AOE，∠1＝15○30’，則下列結(jié)論中不正確的是（）

A．∠2=45○B(yǎng)．∠1=∠3C．∠AOD與∠1互為補角D．∠1的余角等于75○30′解：D點撥：此題考查了互為余角，互為補角和對頂角之間的綜合運用知識．四、鞏固練習：

1．_______的余角相等，_______的補角相等．

○

2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互補，∠1=63，∠3=__

3．下列說法中正確的是（）A．兩個互補的角中必有一個是鈍角B．一個角的補角一定比這個角大C．互補的兩個角中至少有一個角大于或等于直角D．相等的角一定互余

4．輪船航行到C處測得小島A的方向為北偏東32○，那么從A處觀測到C處的方向為（）A．南偏西32○B(yǎng)．東偏南32○C．南偏西58○D．東偏南58○

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5．若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90則∠1=___，∠2=___．

6．一個角的余角比它的補角的九分之二多1°，求這個角的度數(shù)．7．∠1和∠2互余，∠2和∠3互補，∠3=153，∠l=_8．如果一個角的補角是150○，那么這個角的余角是_________9．一個角的余角（）

A、一定是鈍角B、一定是銳角C、可能是銳角，也可能是鈍角D、以上答案都不對10．若兩個角互補，則（）A、這兩個都是銳角B、這兩個角都是鈍角C、這兩個角一個是銳角，一個是鈍角D、以上結(jié)論都不對

11．一個角等于它的余角的2倍，那么這個角等于它補角的（）A、2倍

B、

12○

○

倍C、5倍D、

15倍

12．下列說法中正確的是（）A、相等的角是對頂角

B、不是對頂角的角不相等C、對頂角必相等D、有公共頂點的角是對頂角

13．三條直線相交于一點，所成對頂角有（）A、3對

B、4對

C、5對

D、6對

14．下列說法正確的是（）A、不相等的角一定不是對頂角C、兩條直線相交所成的角是對頂角

B、互補的兩個角是鄰補角

D、互補且有一條公共邊的兩個角是鄰補角

BD23E

C

41A15．如圖所示，AOE是一條直線，AOBCOD90，則（1）如果130,那么2，3=。

（2）和1互為余角的角有和1相等的角有16．為下面推理填寫理由。

O

（1）,互為余角（已知），90（）A（2）如圖所示，AB、CD相交于點O（已知），12（）（3）12,23（已知），13（）

C1O2DB

（4）AC90，BC90（已知），∴∠A=∠B（）五、關于同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角

1．共同點：都是兩條直線被第三條直線所截得到的不具有共公頂點的兩個角之間的關系，這兩個角有一條邊在同一直線上。

2．不同點：同位角在兩條直線的“同方”，第三條直線的“同側(cè)”，（簡稱：位置相同的角，形狀呈“F”字形）。

內(nèi)錯角的兩條直線“內(nèi)側(cè)”，第三條直線“兩旁”（位置錯開，形狀呈“Z”字形）。同旁內(nèi)角在兩直線之間，第三條直線“同旁”（形狀呈“C”字形）。

另外注意：尋找“三線八角”關鍵是找準截線，截線是公共邊所在的那條直線。六、角位置的確定鞏固練習：

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1．如圖1所示，直線a、b、c兩兩相交，共構成對對頂角。

2．如圖2，能與∠1構成同位角的角有（）A、2個B、3個C、4個D、5個3．如圖2，能與∠1構成同旁內(nèi)角的角有（）A、2個B、3個C、4個D、5個4．如圖3所示，已知四條直線AB，BC，CD，DE。

問：①∠1=∠2是直線______和直線______被直線_____所截而成的____角.

②∠1=∠3是直線_____和直線_____被直線_____所截而成的____角.

③∠4=∠5是直線______和直線______被直線_____所截而成的____角.④∠2=∠5是直線______和直線______被直線_____所截而成的____角.

5．如圖4所示，下列各組判斷錯誤的是（）．

（A）∠2和∠3是同位角（B）∠1和∠3是內(nèi)錯角（C）∠2和∠4是同旁內(nèi)角（D）∠1和∠2是內(nèi)錯角

七、直線平行的條件（又叫平行線的判定）；

B12A3D4C1．同位角相等，兩直線平行；2．內(nèi)錯角相等，兩直線平行；

3．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；4．同時平行于第三條直線的兩條直線也互相平行。例1．如圖所示，1和4是什么角？由哪兩條直線被什么樣的第三條直線所截？2和3呢？2和4呢？1和A呢？A和2呢？

例2．如圖所示，AB、CD兩相交直線與EF、MN兩平行直線與EF、MN兩平行直線相交，試問一共可以得到同旁內(nèi)角多少對？c

31a2b

EACMN1P2QF

BEDMNACFBD

例3(1)如圖所示，直線AB、CD被直線EF所截，如果∠1=∠2，∠CNF=∠BME，那么AB∥CD，MP∥NQ，

A請說明理由。

BD1E

G2FC

a∥b.(2)如圖所示，直線a,b被直線c所截，1的3倍等于2,3是1的余角，求證：

（3）已知：如圖，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，求證：AB∥GF

八、鞏固練習

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1．給下列證明過程填寫理由：

已知：如圖所示，AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，

AE1B3求證：BE∥CF．

證明：∵AB⊥BC于B，CD⊥BC于C,（）∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°（）∴∠1與∠3互余，∠2與∠4互余．（）又∵∠1=∠2，（）∴_______=_______．（）

∴BE∥CF．（）2．如圖，已知∠B+∠C+∠D=360°，則AB∥ED，為什么？

3．如圖所示，已知B25,BCD45,CDE30,E10，試說明，AB與EF有怎樣的位置關系？并說說你判斷的理由。

A

B1A1A2

ACBEDA

42C

B

CFDB2D

BA3EF

4.已知：如圖，∠B1＋∠B2=∠A1＋∠A2＋∠A3（即向左凸出的角的和等于向右凸出的角的和），求證：AA1∥BA3

5．下列說法正確的是（）A、同位角相等

B、同旁內(nèi)角互補

C、若123180，則1,2,3互補D、對頂角相等6．同一平面內(nèi)有三條直線a,b,c，若ab,bc，則a與c（）A、平行

B、垂直

C、相交

D、重合

7．一個人從A點出發(fā)向北偏東60方向走了4m到B點，兩從B點向南偏西15的方向走了3m到C點，那么ABC等于（）A、45B、75C、105D、135

8．如圖所示，根據(jù)下列條件：AAOD,ACBF,BEDB180，可以判定那兩條直線平行，并說明判定的依據(jù)。

BEAADOC

F

BDE2F3C1G9．已知：如圖，F(xiàn)E⊥AB，CD⊥AB，∠1=∠2，求證：∠AGD=∠ACB。

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10．如圖2-11，直線AB、CD相交于O點，∠AOD與∠BOD叫做______角；∠AOD與∠BOC叫______角；若∠AOD=2∠BOD，則∠BOD=______度，∠AOC=______度．

11．如圖2-14，直線AD、BC被CE所截，∠C的同位角是______，同旁內(nèi)角是______；∠1與∠2是_____、____被____所截得的_____角；AB、CD被AD所截，∠A的內(nèi)錯角是______，∠A和∠ADC是______角；AB、CD被BD所截，_______和______是內(nèi)錯角．

12．如圖2-15，∵AO⊥OC，OB⊥OD∴∠1______∠2（）

13．已知：如圖2-17，COD是直線，且∠1=∠3，說明A、O、B三點在一條直線的理由可以寫成：

∵COD是一條直線（）∴∠1+∠2=______（）

∵∠1=∠3（）∵∠______＋∠3=______∴A、O、B在一條直線上．2．已知：如圖2-18，直線AB、CD、EF交于點O，AB⊥CD，∠1=27°．求：∠2，∠FOB的度數(shù)．

解：∵AB⊥CD，（已知）∴∠COB=______（）∵∠1=27°（已知）

∴∠3=______，∵∠3______∠2（）∴∠2=______（）∵∠2+∠FOB=______（）∴∠FOB=______．

擴展閱讀：初一數(shù)學下寒假預習4平行線的判定與性質(zhì)綜合訓練專題

初一數(shù)學培優(yōu)

初一數(shù)學寒假培優(yōu)訓練四（平行線的判定與性質(zhì)綜合訓練專題）

[一]、平行線的判定

一、填空

1．如圖１，若A=3，則∥；若2=E，則∥；若+=180°，則∥．

cd5DAa12Ea5121242143C3bB3b3CAB

圖４圖３圖１圖２

2．若a⊥c，b⊥c，則ab．

3．如圖２，寫出一個能判定直線a∥b的條件：．4．在四邊形ABCD中，∠A+∠B=180°，則∥（）．5．如圖３，若∠1+∠2=180°，則∥。

6．如圖４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，同位角有；內(nèi)錯角有；同旁內(nèi)角有．7．如圖５，填空并在括號中填理由：

（1）由∠ABD=∠CDB得∥（）；（2）由∠CAD=∠ACB得∥（）；

（3）由∠CBA+∠BAD=180°得∥（）AD5ADl121214O5433Bl2CBC

圖７圖５圖６

8．如圖６，盡可能多地寫出直線l1∥l2的條件：．

9．如圖７，盡可能地寫出能判定AB∥CD的條件來：．10．如圖８，推理填空：

AA（1）∵∠A=∠（已知），

∴AC∥ED（）；

FE1（2）∵∠2=∠（已知），EF2

123∴AC∥ED（）；3BDC

（3）∵∠A+∠=180°（已知），

BDC

∴AB∥FD（）；圖８

圖10（4）∵∠2+∠=180°（已知），

∴AC∥ED（）；DE二、解答下列各題CF11．如圖９，∠D=∠A，∠B=∠FCB，求證：ED∥CF．

BA

圖９

12．如圖10，∠1∶∠2∶∠3=2∶3∶4，∠AFE=60°，∠BDE=120°，寫出圖中平行的直線，并說

明理由．

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13．如圖11，直線AB、CD被EF所截，∠1=∠2，∠CNF=∠BME。求證：AB∥CD，MP∥NQ．

E

MA1B

P

NCD2

QF

圖11

[二]、平行線的性質(zhì)一、填空

1．如圖1，已知∠1=100°，AB∥CD，則∠2=，∠3=，∠4=．2．如圖2，直線AB、CD被EF所截，若∠1=∠2，則∠AEF+∠CFE=．CE5FE121ABE4BAEA43123D2CD12CFDF

BCABD

圖1圖2圖4圖3

3．如圖3所示

（1）若EF∥AC，則∠A+∠=180°，∠F+∠=180°（）．（2）若∠2=∠，則AE∥BF．

（3）若∠A+∠=180°，則AE∥BF．

4．如圖4，AB∥CD，∠2=2∠1，則∠2=．

5．如圖5，AB∥CD，EG⊥AB于G，∠1=50°，則∠E=．

AEDC

El1

AD2BHFEABFBG

1l21CD

1FDCCBAG

圖6圖7圖8圖5

6．如圖6，直線l1∥l2，AB⊥l1于O，BC與l2交于E，∠1=43°，則∠2=．7．如圖7，AB∥CD，AC⊥BC，圖中與∠CAB互余的角有．8．如圖8，AB∥EF∥CD，EG∥BD，則圖中與∠1相等的角（不包括∠1）共有個．二、解答下列各題AC1B9．如圖9，已知∠ABE+∠DEB=180°，∠1=∠2，求證：∠F=∠G．F

GE2D

圖9DE10．如圖10，DE∥BC，∠D∶∠DBC=2∶1，∠1=∠2，求∠DEB的度數(shù)．

21BC

圖初一數(shù)學培優(yōu)

11．如圖11，已知AB∥CD，試再添上一個條件，使∠1=∠2成立．（要求給出兩個以上答案，并選擇其中一個加以證明）

AB1E

F2CD

12．如圖12，∠ABD和∠BDC的平分線交于E，BE交CD于點F，∠1+∠2=90°．圖11

BA

求證：（1）AB∥CD；（2）∠2+∠3=90°．

123

DCF

13、如圖，EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°.將求∠AGD的過程填寫完整.解:因為EF∥AD,

所以∠2=____(____________________________)又因為∠1=∠2

所以∠1=∠3(______________)

所以AB∥_____(_____________________________)所以∠BAC+______=180°(___________________________)因為∠BAC=70°

所以∠AGD=_______.

BF2圖12CD13GEA14.如下左圖，已知EF⊥AB，垂足為F，CD⊥AB，垂足為D，∠1=∠2，求證：∠AGD=∠ACB.

GEMCHFNDAB

15.如上中圖，已知：∠B+∠BED+∠D=360°.求證：AB∥CD.

16.在上右圖中，已知直線AB和直線CD被直線GH所截，交點分別為E、F，AEF=EFD.

（1）直線AB和直線CD平行嗎？為什么？

（2）若EM是AEF的平分線，F(xiàn)N是EFD的平分線，則EM與FN平行嗎？為什么？

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17.如圖，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，試說明DG∥AB.

18.如圖，已知AB//CD，

（1）你能找到∠B、∠D和∠BED的關系嗎？

（2）如果∠B=46，∠D=58，則∠E的度數(shù)是多少？

19.如圖，已知AD//BC，且DC⊥AD于D，

（1）DC與BC有怎樣的位置關系？說說你的理由.

（2）你能說明∠1+∠2=180嗎？

20.如下圖,直線AB,CD相交于O點,OM⊥AB.

(1)若∠1=∠2,求∠NOD;

(2)若∠1=

EA2GC1BFDABECDA1D532B4CC1M1∠BOC,求∠AOC與∠MOD.4

AN2ODB21.如圖，已知：AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，請說明：AE⊥CF.

AECBD

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