第一次月考總結(jié)平面向量和解三角形

向量知識(shí)點(diǎn)

一．向量有關(guān)概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。2．零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：0，注意零向量的方向是任意的；

AB3．單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(與AB共線的單位向量是)；

|AB|4．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；

5．平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作：a∥b，規(guī)定零向

量和任何向量平行。提醒：

①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；

②兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；

③平行向量無傳遞性�。ㄒ�?yàn)橛?)；

AC共線；④三點(diǎn)A、B、C共線AB、abb6．相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。如下列命題：（1）若

，則a。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。（3）

。（5）若abb,c若ABDC，則A是平行四邊形。（4）若A是平行四邊形，則ABDCBCDBCD（6）若a//b,b//c，則a//c。其中正確的是_______

，則ac。

（答：（4）（5））

二．向量的表示方法：

1．幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2．符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如a，b，c等；

3．坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j為基底，則平

面內(nèi)的任一向量a可表示為axiyjx,y，稱x,y為向量a的坐標(biāo)，a＝x,y叫做向量a的坐標(biāo)

表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。

三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有

且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使a=1e1＋2e2。如

（1）若a(1,1),b(1,1),c(1,2)，則c______

（答：

13ab22）；

（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是

A.e1(0,0),e2(1,2)B.e1(1,2),e2(5,7)C.

e1(3,5),e2(6,10)D.

13e1(2,3),e2(,)

24（3）已知AD,BE分別是ABC的邊

BC,AC上的中線,且ADa,BEb,則BC可用向量a,b表示為

24ab33（答：B）；

_____

（答：

）；

四．實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：

1aa,2當(dāng)>0時(shí)，a的方向與a的方向相同，當(dāng)2．平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量a，b，它們的夾角為，我們把數(shù)量|a||b|cos叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：ab，即ab＝abcos。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，

b垂直。

注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。如

（1）△ABC中，|AB|3，|AC|4，|BC|5，則ABBC_________

（答：－9）；

11（2）已知a(1,),b(0,),cakb,dab22，c與d的夾角為

4，則k等于____

（答：1）；

（3）已知

a2,b5,ab3，則

ab等于____

（答：23（4）已知a,b是兩個(gè)非零向量，且abab，則a與ab的夾角為____3．b在a上的投影為|b|cos，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。如

）；

（答：30）

已知|a|3，|b|5，且ab12，則向量a在向量b上的投影為______

（答：

4．a(chǎn)b的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的模|a|與b在a上的投影的積。

125）

5．向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，其夾角為，則：

①abab0；

222aaaa,aa；b同向時(shí)，ab＝ab，ab＝－ab；②當(dāng)a，特別地，當(dāng)a與b反向時(shí)，

b不同向，ab0是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，ab＜當(dāng)為銳角時(shí)，ab＞0，且a、b不反向，ab0是為鈍角的必要非充分條件；0，且a、ab③非零向量a，b夾角的計(jì)算公式：cos；④|ab||a||b|。如

ab（1）已知a(,2)，b(3,2)，如果a與b的夾角為銳角，則的取值范圍是______

（答：43或0且13）；

（2）已知OFQ的面積為S，且OFFQ1，若_________

12S32，則OF,FQ夾角的取值范圍是

4（答：(,3)）；

（3）已知a(cosx,sinx),b(cosy,siny),a與b之間有關(guān)系式kab3akb,其中k0，①用k表示ab；②求ab的最小值，并求此時(shí)a與b的夾角的大小

21k1(k0)；②最小值為，60）（答：①ab4k2六．向量的運(yùn)算：

1．幾何運(yùn)算：

①向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，

,BCb那么向量AC叫做a與b的和，即向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)ABa，

abABBCAC；

②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)ABa,ACb,那么abABACCA，由減向量的終點(diǎn)指

向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如（1）化簡(jiǎn)：①ABBCCD（答：①AD；②CB；③0）；

（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，ABa,BCb,ACc，則|abc|＝_____

___；②ABADDC____；③(ABCD)(ACBD)_____

（答：22）；

（3）若O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足OBOCOBOC2OA，則ABC的形狀為____

（4）若D為ABC的邊BC的中點(diǎn)，ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足PABPCP0，設(shè)

（答：直角三角形）；

|AP|，則的值為___|PD|（5）若點(diǎn)O是△ABC的外心，且OAOBCO0（答：2）；

，則△ABC的內(nèi)角C為____

（答：120）；

2．坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2)，則：

①向量的加減法運(yùn)算：ab(x1x2，y1y2)。如

（1）已知點(diǎn)限的角平分線上

A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若APABAC(R)，則當(dāng)＝____時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象

（答：）；

211（2）已知A(2,3),B(1,4),且AB(sinx,cosy)，x,y(,)222，則xy（答：

6或2）；

F(3,4),F(2,5),F(3,1)（3）已知作用在點(diǎn)A(1,1)的三個(gè)力123FFFF，則合力123②實(shí)數(shù)與向量的積：ax1,y1x1,y1。

③若A(x1,y1),B(x2,y2)，則ABx2x1y,2y1，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的

的終點(diǎn)坐標(biāo)是（答：（9,1））

終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如

設(shè)

1A(2,3),B(1,5)，且ACAB3，AD3AB，則C、D的坐標(biāo)分別是__________

（答：(1,113),(7,9)）；

④平面向量數(shù)量積：abx1x2y1y2。如

已知向量a＝（sinx，cosx）,b＝（sinx，sinx）,c＝（－1，0）。（1）若x＝（2）若x∈[38,3，求向量a、c的夾角；

4]，函數(shù)f(x)ab的最大值為

12，求的值

（答：(1)150;(2)12或21）；

222⑤向量的模：|a|xy,a|a|2x2y2。如

60|a3b|＝_____a,b已知均為單位向量，它們的夾角為，那么

（答：13）；

⑥兩點(diǎn)間的距離：若Ax1,y1,Bx2,y2，則|AB|x2x1y2y1。如

22斜坐標(biāo)是這樣定義的：若OPxe1ye2，其中e1,e2分別為與x軸、y軸

如圖，在平面斜坐標(biāo)系xOy中，xOy60，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的同方向的P到O的距

單位向量，則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為(x,y)。（1）若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為（2，－2），求離｜PO｜；（2）求以O(shè)為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系xOy中的方程。（答：（1）2；（2）x2y2xy10）；

七．向量的運(yùn)算律：

1．交換律：abba，aa，abba；

2．結(jié)合律：abcabc,abcabc，ababab；

3．分配律：aaa,abab，abcacbc。

如

下列命題中：①a(bc)abac；②a(bc)(ab)c；③(ab)|a|2

22|a||b||b|；④若ab0，則a0或b0；⑤若abcb,則ac；⑥a222a222222⑧(ab)ab；⑨(ab)a2abbabb；⑦2aa；

。其中正確的是______

（答：①⑥⑨）

提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即a(bc)(ab)c，為什么？八．向量平行(共線)的充要條件：a//b22ab(ab)(|a||b|)x1y2y1x2(1)若向量a(x,1),b(4,x)，當(dāng)x＝_____時(shí)a與b共線且方向相同

（2）已知a(1,1),b(4,x)，ua2b，v2ab＝0。如

（答：2）；

，且u//v，則x＝______

（答：4）；

（3）設(shè)PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k)，則k＝_____時(shí)，A,B,C共線

（答：－2或11）

x1x2y1y20九．向量垂直的充要條件

A(ABBAC()ACABAC。)如ABAC：abab0|ab||ab|.特別地

(1)已知OA(1,2),OB(3,m)，若OAOB，則m

（答：

32）；

（2）以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，B（3）已知n(a,b),向量nm90，且

nm，則m，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是________

（答：(1,3)或（3，－1））；

（答：(b,a)或(b,a)）

的坐標(biāo)是________

b同向或有0（2）||a||b|||ab||a||b|，特別地，當(dāng)a、b反向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；當(dāng)a、||a|這些和實(shí)數(shù)比較類似).b|||a|b|a|(|b12、向量中一些常用的結(jié)論：

（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；

|ab||a||b|

b|||a|b；

|a|b不共線當(dāng)a、（3）在ABC中，①若Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，則其重心的坐標(biāo)為

xx2x3y1y2y3G1,。如

33若ABC的三邊的中點(diǎn)分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則ABC的重心的坐標(biāo)為_______

（答：(24,)）；331②PG(PAPBPC)G為ABC的重心，特別地PAPBPC0P為ABC的重心；3③PAPBPBPCPCPAP為ABC的垂心；AC)(0)所在直線過ABC的內(nèi)心(是BAC的角平分線所在直線)；AC||PA|CA|PB0PABC的內(nèi)心；

（3）若P分有向線段P1P2所成的比為，點(diǎn)M為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則MPMP1MP2，特別地P為P1P2AB④向量(|AB||⑤|AB|PC|BC的中點(diǎn)2（4）向量PA、PB、PCMPMP1MP21；

中三終點(diǎn)A、B、C共線存在實(shí)數(shù)、使得PAPBPC且1.

如

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1),B(1,3),若點(diǎn)C滿足OC1OA2OB,其中

1,2R且121,則點(diǎn)C的軌跡是_______

（答：直線AB）

解三角形知識(shí)點(diǎn)：

1．正弦定理:

asinAbsinBcsinC2R或變形：a:b:csinA:sinB:sinC.

222bcacosA2222bcabc2bccosA2222acb222．余弦定理：bac2accosB或cosB.

2ac222222cba2bacosCbaccosC2ab3．（1）兩類正弦定理解三角形的問題：1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.2、已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角.（2）兩類余弦定理解三角形的問題：1、已知三邊求三角.

2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.

00（1）三角形內(nèi)角和等于180，即ABC180,靈活變形，如A1800(BC)等

（2）大邊對(duì)大角,即若abc，則ABC

2.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即：

asinAbsinBcsinC2R（R為三角形外接圓半徑）

變形：(1)a:b:csinA:sinB:sinC(2)sinAa2R,sinBb2R,sinCc2R（角化邊）

(3)a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC（邊化角）

3.余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即：

a2bc2bccosA；b222a2c22accosB；c2a2b2abcosC

變形：cosA條件適用定理b2c2a22bc；cosBa2c2b22ac；cosC邊邊邊a2b2c22ab

角角邊正弦定理邊邊角邊角邊余弦定理正弦定理（注意解的個(gè)數(shù)）余弦定理余弦定理4.三角形的面積公式

S12absinC，S12acsinB，S12bcsinA

擴(kuò)展閱讀：C++類模板實(shí)現(xiàn)

1.題目：

第一題：類向量模板Myvector

模仿C++中的向量模板（vector），設(shè)計(jì)一個(gè)自己的向量模板類MyVector，能夠處理不同類型的數(shù)據(jù)，要求至少能夠?qū)崿F(xiàn)如下功能：1）初始化：

(1)MyVector向量名(長(zhǎng)度);//缺省初值為0(2)MyVector向量名(長(zhǎng)度,初值);(3)MyVector向量名1(向量2);

(4)MyVector向量名1(向量2元素地址1,向量2元素地址2);

2）向量元素的訪問：

(1)at函數(shù)格式：向量.at(下標(biāo))(2)[]運(yùn)算符格式：向量[下標(biāo)]作用：返回下標(biāo)所對(duì)應(yīng)的元素。3）可以進(jìn)行的操作：(1)begin格式：向量.begin()

作用：得到向量第一個(gè)元素的地址。(2)back

格式：向量.back()

作用：得到向量的最后一個(gè)元素的值。(3)capacity格式：向量.capacity()

作用：得到向量所能容納元素的總個(gè)數(shù)。(4)clear格式：向量.clear()

作用：刪除向量中的所有元素，使向量成為空向量。(5)empty格式：向量.empty()

作用：判斷向量是否為空，若為空則返回true，否則返回false。(6)end格式：向量.end()

作用：返回向量最后一個(gè)元素的后繼地址。(7)erase

格式：向量.erase(元素地址);或向量.erase(元素地址1,元素地址2);

作用：刪除指定地址的元素或指定地址范圍[元素地址1,元素地址2)內(nèi)的元素。注意指定刪除的地址不能越界。(8)front

格式：向量.front()

作用：得到向量第一個(gè)元素的值。(9)insert

格式：向量.insert(元素地址,待插入數(shù)據(jù))

或向量1.insert(元素地址,向量2的元素地址1,向量2的元素地址2)作用：在向量指定地址之前插入一個(gè)數(shù)據(jù)或插入另一個(gè)向量中指定地址范圍[元素地址1,元素地址2)的元素,返回新插入的第一個(gè)元素的地址。若被插入向量空間不夠，則需要增加空間。(10)pop_back格式：向量.pop_back()

作用：刪除向量的最后一個(gè)元素。(11)push_back

格式：向量.push_back(數(shù)據(jù))作用：在向量最后增加一個(gè)元素。(12)size格式：向量.size()

作用：得到向量中實(shí)際存儲(chǔ)元素的數(shù)目。(13)swap

格式：向量1.swap(向量2)

作用：交互向量1和向量2的元素。(14)=

格式：向量1=向量2

作用：將向量2的元素賦值給向量1。(15)sort格式：向量.sort()

作用：將向量中的元素由小到大排序。2.類設(shè)計(jì)：#includeusingnamespacestd;templateclassMyvector{

private:

intlength;//向量實(shí)際長(zhǎng)度intreal;//向量容量T*data;public:

Myvector(int);Myvector(int,Tb);

Myvector(constMyvector&);Myvector(T*m,T*n);

T&at(inta);//向量元素訪問

T&operator[](inta);//[]運(yùn)算符重載

T*begin();//得到向量第一個(gè)元素的地址Tback();//得到向量最后一個(gè)元素的值

intcapacity();//得到向量所能容納元素的個(gè)數(shù)

voidclear();//刪除向量中的所有元素，使向量成為空向量boolempty();//判斷向量是否為空

T*end();//返回向量最后一個(gè)元素的后續(xù)地址voiderase(T*p);//刪除指定地址的元素

voiderase(T*p1,T*p2);//刪除指定地址范圍的元素Tfront();//得到向量最后一個(gè)元素的值

voidinsert(T*p1,inta);//在向量指定地址之前插入一個(gè)數(shù)據(jù)

voidinsert(T*p,T*P1,T*P2);//在向量指定地址之前插入另一個(gè)向量指定地址范圍的元素

voidpop_back();//刪除向量最后一個(gè)元素

voidpush_back(inta);//在向量最后增加一個(gè)元素intsize();//得到向量實(shí)際儲(chǔ)存元素的數(shù)目

voidswap(Myvector&);//交互向量1和2的元素

Myvector&operator=(constMyvector&);//“=”運(yùn)算符重載將向量2的元素賦值給向量1

voidsort();//將向量中的元素由小到大排列};

3.程序清單：

1）：頭文件：

#include

usingnamespacestd;templateclassMyvector{private:

intlength;intreal;

T*data;public:

Myvector(int);Myvector(int,Tb);

Myvector(constMyvector&);Myvector(T*m,T*n);T&at(inta);

T&operator[](inta);T*begin();Tback();intcapacity();voidclear();boolempty();T*end();voiderase(T*p);

voiderase(T*p1,T*p2);Tfront();

voidinsert(T*p1,inta);

voidinsert(T*p,T*P1,T*P2);voidpop_back();

voidpush_back(inta);intsize();

voidswap(Myvector&);

Myvector&operator=(constMyvector&);voidsort();};

template

Myvector::Myvector(inta){

length=a;real=a;

data=newT[length];

for(inti=0;ifor(inti=0;ireturn*(data+length-1);}

template

intMyvector::capacity(){

returnreal;}

template

voidMyvector::clear(){

real=length=0;data=NULL;}

template

boolMyvector::empty(){

if(length==0)returntrue;elsereturnfalse;}

template

T*Myvector::end(){

return(data+length);}

template

voidMyvector::erase(T*p){

if(p>=data&&p}else

coutT*j=data;inta=p-data;intb=p2-p1;Myvectorv1(real+b);data=v1.begin();for(inti=0;ivoidMyvector::swap(Myvector&V1){

inta=V1.length;intb=V1.real;T*c=newT[b];

for(inti=0;i

}}

data[j]=p;

源文件：

#include"Myvector.h"usingnamespacestd;intmain(){Myvectorv1(10,1);coutv3.insert(v3.begin(),666);v3.insert(v3.end(),888);cout

友情提示：本文中關(guān)于《第一次月考總結(jié)平面向量和解三角形》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，第一次月考總結(jié)平面向量和解三角形：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

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