人教版數(shù)學(xué)必修四1.4.1~1.5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)+例題

Ch1三角函數(shù)

1.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像

1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域與值域

正弦函數(shù)：y=sinx定義域：R值域：[-1，1]余弦函數(shù)：y=cosx定義域：R值域：[-1，1]例1、求下列函數(shù)的定義域：

1）y12cosx;2sinx3;1tanx2)y3)ylogsin2x[12cos(x)]2

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性

sin(x2k)sinx(kZ)

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)具有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律,這可以從正弦線、余弦線、函數(shù)的圖象的變化規(guī)律及誘導(dǎo)公式中得到反映。

即自變量x的值增加2π的整數(shù)倍時(shí),函數(shù)的值重復(fù)出現(xiàn),數(shù)學(xué)上用周期性，這個(gè)概念來(lái)定量地刻畫(huà)這種“周而復(fù)始”的變化規(guī)律.

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。注意事項(xiàng)：

(1)定義是對(duì)定義域中的每一個(gè)x的值來(lái)說(shuō)的，如果只有個(gè)別的x值滿足f(xT)f(x)，那么不能說(shuō)T是f(x)的周期.例如：sin(42)sin4,但是sin(32)sinT(2)從等式f(xT)f(x)來(lái)看：自變量x本身加的常數(shù)才是周期；如：f(2xT)f(2x)的周期不是T，應(yīng)該寫成f(2(x))f(2x)2T其周期應(yīng)為。2(3)如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期，今后提到的三角函數(shù)的周期，如無(wú)特別說(shuō)明，就是最小正周期.(4)并不是所有的周期函數(shù)都存在最小正周期。,不是sinx的周期.32(5)周期函數(shù)的周期不止一個(gè)。(6)正弦函數(shù)ysinx,xR,與余弦函數(shù)ycosx,xR都是周期函數(shù)，2k為周期，最小正周期是2結(jié)論：

2一般地，函數(shù)yAsin(x),xR或yAcos(x),xR(A、、為常數(shù)，且A0，0)的周期是：

例1、求下列函數(shù)的周期：1)y3)y3sinx,xR;2)ysin2x,xR;2sin(2x),xR;6

x4)ycos(),xR.231/6

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性

正弦函數(shù)的圖象

y132P5232P2O2322523x13113xx5,k,kZ對(duì)稱軸：,,,

222222(,0),(0,0),(,0),(2,0)(k,0)kZ對(duì)稱中心：

余弦函數(shù)的圖像

y1PP3235222O2322523x1

kx,0,,2x,kZ對(duì)稱軸：35對(duì)稱中心：(結(jié)論：

2,0),(,0),(,0),(,0)222(2k,0)kZ1、由ysinx圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)。正弦函數(shù)對(duì)稱中心坐標(biāo)為（k,0);對(duì)稱軸方程為xk,kZ2

2、由ycosx圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，所以為偶函數(shù)。余弦函數(shù)對(duì)稱中心坐標(biāo)為（k

2,0);對(duì)稱軸方程為xk,kZ正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性

正弦函數(shù)的單調(diào)性

ysinx(xR)

增區(qū)間為[-2k,2k],kZ，其值從1增至122

3減區(qū)間為[22k,22k],kZ，其值從1減至-1余弦函數(shù)的單調(diào)性

ycosx(xR)

增區(qū)間為[-2k,2k],kZ，其值從1增至1減區(qū)間為[2k,2k],kZ，其值從1減至-1

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結(jié)論：

1、正弦函數(shù)在每個(gè)閉區(qū)間[2k](kZ)上都是增函數(shù),其值從-1增大到1;223在每一個(gè)閉區(qū)間[2k,2k]上都是減函數(shù),其值從1減小到1.223當(dāng)x2k時(shí)，ymax1,當(dāng)x2k時(shí)，ymin1222、余弦函數(shù)在每個(gè)閉區(qū)間[2k,2k2](kZ)上都是增函數(shù),其值從-1增大到1;在每一個(gè)閉區(qū)間[2k,2k]上都是減函數(shù),其值從1減小到1.

,2k當(dāng)x2k時(shí)，ymax1,當(dāng)x2k時(shí)，ymin1綜合應(yīng)用

比較大小

1)sin(sin33),sin(cos);882)cos1,cos1,cos,cos;

453253)sin,cos,sin,cos54512單調(diào)區(qū)間探求

1)y2sin(2x)493)y(tan)sin2x8綜合應(yīng)用

x2)ylog2[cos()]34

1、定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x),且在[3，2]上是減函數(shù)，，是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則（A）A.f(sin)f(cos)C.f(sin)f(sin)B.f(sin)f(cos)D.f(cos)f(cos)2、已知函數(shù)f(x)logacos(2x),其中a0,a13求：（1）定義域；（2）單調(diào)區(qū)間；

（3）判斷奇偶性；（4）判斷周期性，若是求最小正周期。3、求下列函數(shù)的值域：1）y32sin2xcosx2)y2cosx13sinx13)y3sinx2

74、（1）求函數(shù)ysin2x4sinx的值域；4（2）求函數(shù)ycos2xsinx,x[,]的值域。4413（3）當(dāng)函數(shù)ysin2xacosxa的最大值為1，求a的值。225、函數(shù)f(x)2sinx，對(duì)于任意的xR，都有f(x1)f(x)f(x2)，則x1x2的最小值為_(kāi)____.

6、函數(shù)f(x)sinx0，f()f()，且f(x)在區(qū)間(，)上有最小值，無(wú)最大值，則____.363633/6

37、已知函數(shù)f(x)2a[sin(2x)1]b,x[,],是否存在常數(shù)a,bQ，使得f(x)的值域?yàn)閇3，31]？644若存在，求出對(duì)應(yīng)的a,b，若不存在，說(shuō)明理由。8、已知函數(shù)f(x)sin(xA.12B.1C.326)，(0)的圖像相鄰兩對(duì)稱軸的距離為2，則f(201*)()

D.0sinxa(0x)，下列結(jié)論正確的是sinx

(B).有最小值無(wú)最大值(D).無(wú)最大值無(wú)最小值9、設(shè)a0，對(duì)于函數(shù)f(x)(A).有最大值無(wú)最小值(C).有最大值有最小值10、已知函數(shù)f(x)x2bxc，對(duì)任意，R都有f(sin)0且f(2cos)0.(1)求f(1)的值；(2)求證：c0；(3)若f(sin)的最大值是10，求f(x)的表達(dá)式.

1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像

周期性：Ttan(x)tanx,xR,xk,kZ2yAtan(x)T

奇偶性：tan(x)tanx,xR,xk,kZ2正切函數(shù)是奇函數(shù)

正切函數(shù)的性質(zhì)

1.定義域：xxk,kZ23.周期性：T=2.值域：R4.奇偶性：奇函數(shù)k6.對(duì)稱性：對(duì)稱中心(，；不是軸對(duì)稱圖形0)25.在開(kāi)區(qū)間k,kkZ內(nèi)遞增22例1、求函數(shù)ytanx的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間,對(duì)稱中心，對(duì)稱軸。3213例2、比較tan317與tan4的大小?1例3、若x,,求函數(shù)y2tanx1的最值及相應(yīng)的x的值.234cosx

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1.5函數(shù)y=Asin(x)的圖像

對(duì)ysin(x)，xR的圖像的影響

函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象可以看作是把y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左(當(dāng)φ>0時(shí))或向右(當(dāng)φ1時(shí))或伸長(zhǎng)(當(dāng)0

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量

在物理中，yAsinxBA0,0振幅：A;相位：x;初相：；周期：T21頻率：f.T

；(1)在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，自變量x表示時(shí)間，它是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)；(2)y表示相對(duì)與平衡位置的位移；

(3)振幅A表示離開(kāi)平衡位置的最大距離:

(4)周期T表示物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需要的時(shí)間；(5)頻率f表示物體在單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)。

yAsin(x),xR的圖象及其性質(zhì)的綜合應(yīng)用

yf(x)與yg(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱的充要條件f(ax)g(ax)即g(x)f(2ax)關(guān)于直線yb對(duì)稱的充要條件f(x)g(x)2b即g(x)2bf(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱的充要條件f(ax)g(ax)2b即g(x)2bf(2ax)如圖是函數(shù)yAsin(x)2的圖象(A0，0，)的一部分，則它的振幅，周期、初相分別是()

根據(jù)yAsinx的圖象確定參數(shù)值的方法：1、由最值求A；2、由周期求；3、由特殊點(diǎn)求。

例題

例1.函數(shù)f(x)2sin(AT.6，x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0，，則該函數(shù)的最小正周期和初相1)為(323C.T6，)

6B.T6，6B.T6，3例2.將最小正周期為的函數(shù)f(x)sin(x)0，2的圖象向左平移單位后，得到偶函數(shù)圖像，244則的一個(gè)可能的值為_(kāi)_________.

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高一數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)

正角:按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負(fù)角:按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

第一象限角的集合為k360k36090,k；第二象限角的集合為k36090k360180,k；第三象限角的集合為k360180k360270,k；第四象限角的集合為k360270k360360,k；

終邊在x軸上的角的集合為k180,k；終邊在y軸上的角的集合為k18090,k；終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k90,k

3、與角終邊相同的角的集合為k360,k4、已知是第幾象限角，確定

nn所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再?gòu)膞軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上

*一、二、三、四，則原來(lái)是第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為5、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度．

n終邊所落在的區(qū)域．

6、半徑為r的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為l，則角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是lr．

1807、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．

1808、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長(zhǎng)為l，周長(zhǎng)為C，面積為S，則lr，C2rl，S12lr12r．

yr，

29、設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是x,y，它與原點(diǎn)的距離是rr22xy0，則sincosxr，tanyxx0．

10、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．11、三角函數(shù)線：sin，cos，tan．12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：1sin2cos1sin1cos,cos1sin；22222yPTvOMAx2sintansintancos,cos．

costansin13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

1sin2ksin2sinsin3sinsin，cos2k，coscos，tan2ktank．

．

cos，tantan．

，coscos，tantan4sinsin，coscos，tantan．

口訣：函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限．5sincos，cossin．6sincos，cossin．2222口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限．

14、函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的

1倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖

象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的

1倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱

坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．函數(shù)ysinx0,0的性質(zhì)：①振幅：；②周期：⑤初相：．

函數(shù)ysinx，當(dāng)xx1時(shí)，取得最小值為ymin；當(dāng)xx2時(shí)，取得最大值為ymax，則2；③頻率：f12；④相位：x；

12ymaxymin，

12ymaxymin，

2x2x1x1x2．

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

16、向量：既有大小，又有方向的量．?dāng)?shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量．有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．零向量：長(zhǎng)度為0的向量．單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．

平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．17、向量加法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連．⑵平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷運(yùn)算性質(zhì)：①交換律：abba；②結(jié)合律：abcabc；③a00aa．

⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

18、向量減法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量．

Ca⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1,y1，x2,y2，則x1x2,y1y2．

19、向量數(shù)乘運(yùn)算：

abCC⑴實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作a．

①aa；②當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0．

⑵運(yùn)算律：①aa；②aaa；③abab．

⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax,y，則ax,yx,y．

20、向量共線定理：向量aa0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba．

設(shè)ax1,y1，bx2,y2，其中b0，則當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí)，向量a、bb0共線．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使a1e12e2．（不共線的向量e1、e2作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）

22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)是線段12上的一點(diǎn)，1、2的坐標(biāo)分別是x1,y1，x2,y2，當(dāng)12時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是

x1x2y1y2,．

1123、平面向量的數(shù)量積：⑴ababcosa0,b0,0180．零向量與任一向量的數(shù)量積為0．

⑵性質(zhì)：設(shè)a和b都是非零向量，則①abab0．②當(dāng)a與b同向時(shí)，abab；當(dāng)a與b反向時(shí)，abab；22aaaa或aaa．③abab．

⑶運(yùn)算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y2．

若ax,y，則a2xy，或a22xy；設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y20；

22ab設(shè)a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a與b的夾角，則cosab24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：⑴cos⑶sinx1x2y1y2xy2121xy2222．

coscossinsin；⑵coscoscossinsin；sincoscossin；⑷sinsincoscossin；tantan1tantantantan1tantan（tantan⑸tantan1tantan）；

⑹tan（tantantan1tantan）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．

⑵cos2cossin2cos112sin（cos22222cos212．

，sin21cos22）．⑶tan22tan1tan2．

26、sincossin，其中tan

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