數(shù)學(xué)新課程數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)必修4知識點(diǎn)總結(jié)

第一章三角函數(shù)(約16課時)1.任意角、弧度

了角任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化。2.三角函數(shù)

（1）借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；（2）借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（

2,的正弦、余

弦、正切），能畫出的圖象ysinx,ycosx,ytanx，了解三角函數(shù)的周期性；

（3）借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2]，正切函數(shù)在(性質(zhì)（即單調(diào)性、最大和最小值、圖象與軸交點(diǎn)）

（4）理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:

,)上的22sin2xcos2x1,sinxtanxcosx（5）結(jié)合具體實(shí)例，了解yAsin(x)的實(shí)際意義；能借助計(jì)算器或計(jì)

算機(jī)畫出yAsin(x)的圖象，觀察參數(shù)A,,對函數(shù)變化的影

響；

（6）會用三角函數(shù)解決一些簡單實(shí)際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)

象的重要函數(shù)模型。

第二章平面向量（約12課時）1．平面向量的實(shí)際背景及基本概念

通過力和力的分析等實(shí)例，了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何意義。2．向量的線性運(yùn)算

（1）通過實(shí)例，掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；

（2）通過實(shí)例，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共

線的含義；

（3）了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義；3．平面向量的基本定理及其幾何意義

（1）了解平面向量的基本定理及其意義；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；（3）會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算；（4）理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。

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4．平面向量的數(shù)量積

（1）通過物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；、（2）體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；

（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；

（4）能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂

直關(guān)系。

5．向量的應(yīng)用

經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力。

第三章三角恒等變換（約8課時）

1．經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角關(guān)匠余弦公式的過程，進(jìn)一步體會向量方法

的作用；

2．能從兩角差的余弦公式化導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角

的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；

3．能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換（包括引導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積、

半角公式，但不要求記憶）參考例題

例1海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮，一般地早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋。下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關(guān)系表：時刻0:003:006:00水深/米5.07.55.0時刻9:0012:0015:00水深/米2.55.07.5時刻18:0021:0024:00水深/米5.02.55.0（1）選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，給出

整點(diǎn)時的水深的近似數(shù)值；

（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少

要有1.5米的安全間隙（船底與洋底的距離），該船何時能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？

（3）若某船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2：00開始卸貨，

吃水深度以每小時0.3米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？

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數(shù)學(xué)必修4知識小結(jié)

第一章《三角函數(shù)》

一，任意角與弧度制

1，角的定義：一條射線繞著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。逆時針方向旋轉(zhuǎn)為正角，順時針方向旋轉(zhuǎn)為負(fù)角，不作任何旋轉(zhuǎn)形成零角。2，角的象限：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，則角的終邊落在哪一個象限，這個角就稱為哪一象限的角。第一象限的角2k,2k,kZ，第二象限的角2k,2k,kZ，22332k,kZ，第四象限的角2k,22k,kZ，22第三象限的角2k,3，所有與角終邊相同的角的集合：S|2k,kZ

4，弧度制：如果半徑為r的圓的圓心角所對的弧長為l，那么角的弧度數(shù)的絕對值是弧度與角度的互化：180radlr1180rad121801rad

12r其中,r,l分別為扇形的圓心角弧25，弧長公式：lr扇形的面積公式：S扇形＝rl度、半徑、弧長

強(qiáng)化訓(xùn)練：

1，已知角是第二象限角，試確定角2，

的終邊所在的位置22，（1）若角與角的終邊關(guān)于x軸對稱，則與的關(guān)系是_____________________

（2）若角與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱，則與的關(guān)系是_____________________

3，如圖所示，試分別表示終邊落在陰影區(qū)域的角

4，若角是第四象限角，則是第_______象限角

5，在扇形中，已知半徑為8，弧長為12，則圓心角是_________弧度，扇形面積是__________6，已知一扇形的周長為40cm，當(dāng)它的半徑和圓心角各取多少時，才能使扇形的面積最大？最大面

積為多少？

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12－數(shù)學(xué)必修4知識小結(jié)

二，任意角的三角函數(shù)1，三角函數(shù)的第一定義：設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)Px,y則siny，cosx，tanyx2，三角函數(shù)的第二定義：設(shè)是一個任意角，在角的終邊上任取一點(diǎn)P(x,y)，令OPr則sinyxy，cos，tanrrx113，三角函數(shù)線：有向線段MP，OM，AT分別為角的正弦線，余弦線，正切線，合稱三角函數(shù)線。

4，同角三角函數(shù)關(guān)系平方關(guān)系：sincos1商數(shù)關(guān)系：22PPTMOAT2OM4A264-1-1sintan(k,kZ)cos25，sina與cos，sina與cos的大小關(guān)系

角的終邊在陰影部分內(nèi)，則sincos

角的終邊在陰影部分外，則sincos

角的終邊在陰影部分內(nèi)，則sincos

角的終邊在陰影部分外，則sincos

強(qiáng)化訓(xùn)練

1，已知角的終邊上有一點(diǎn)P3a,4a，分別求sin,cos,tan的值2，已知cos0,tan0，試判斷角所在的象限

3，在0,2內(nèi)，使sincos成立的的取值范圍是_____________4，化簡：12sin5cos5_____________5，已知sin1，且角為鈍角，求cos,tan的值36，已知tan2，求sin,cos的值

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12－數(shù)學(xué)必修4知識小結(jié)

7，已知tan2，求下列各式的值

1）

sin2cos222）sin3cossin2cos

3cos4sin8，已知sincos7,0，求1）sincos2）sincos3）tan54

三，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

公式一：sin2ksin,cos2kcos,tan2ktan公式二：sin＋－sin,cos＋－cos,tan＋tan公式三：sinsin,coscos,tantan公式四：sinsin,coscos,tantan公式五：sincos,cossin

22公式六：sin＋cos,cos＋－sin

22誘導(dǎo)公式的規(guī)律：奇變偶不變，符號看象限。

k,kZ的三角函數(shù)值可化為角的三角函數(shù)值。（當(dāng)k為奇數(shù)時，函數(shù)名改變;當(dāng)k2k,kZ所在象為偶數(shù)時，函數(shù)名不變。角的函數(shù)值前面加上視為銳角時，原函數(shù)值在2意思是：限內(nèi)的符號。）

強(qiáng)化訓(xùn)練：

1，求下列各三角函數(shù)的值（1）sin(945)（2）tan35331（3）3sin1200coscos585tan346的值2，（1）已知sin15，求sin233（2）已知cos3，已知

4m，求sin的值631tan322，求cos2sincos2sin2的值

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12－數(shù)學(xué)必修4知識小結(jié)

四，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

1，正弦函數(shù)：ysinx的性質(zhì)

１）定義域?yàn)镽，值域?yàn)?,12）最小正周期為23）單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間4）奇偶性奇函數(shù)

5）對稱性對稱軸：直線x2，余弦函數(shù)：ycosx的性質(zhì)

１）定義域?yàn)镽，值域?yàn)?,12）最小正周期為2

3）單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間2k,2k,kZ，單調(diào)減區(qū)間2k,2k,kZ4）奇偶性偶函數(shù)

5）對稱性對稱軸：直線xk,kZ，對稱中心：點(diǎn)3，正切函數(shù)：ytanx,x１）定義域?yàn)閤|xR,x32k,2k,kZ，單調(diào)減區(qū)間2k,2k,kZ

22222k,kZ，對稱中心：點(diǎn)k,0,kZ

k,0,kZ22k,kZ的性質(zhì)

k,kZ，值域?yàn)镽2）最小正周期為23）單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間4）奇偶性奇函數(shù)

k,k,kZ，

22k,0,kZ215）對稱性對稱中心：點(diǎn)4，三角函數(shù)的圖像變換三種基本變換：

1）周期變換：ysinysinx0，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/p>。

2）相位變換：ysinysin(x)，向左0或向右0平移個單位�！凹幼鬁p右”3）振幅變換：ysinyAsinxA0，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍。

ysinyAsin(x)0,A0，三個參數(shù)不同，所以要經(jīng)過三個基本變換，每一個基

本變換改變一個參數(shù)。變換的步驟一般是先進(jìn)行相位變換，再進(jìn)行周期變換，最后進(jìn)行振幅變換。

5，已知三角函數(shù)圖像求三角函數(shù)yAsin(x)，A0,0解析式

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12－數(shù)學(xué)必修4知識小結(jié)

由最大（最�。┲登蟪鯝，由周期求出，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出。（注意，取零點(diǎn)時要注意是第一零點(diǎn)還是第二零點(diǎn)。）

相鄰的兩個最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的間距為一個周期；相鄰的兩個最值點(diǎn)的間距為半個周期；相鄰的兩個對稱中心的間距為半個周期；最高點(diǎn)和與之相鄰的對稱中心的間距為四分之一個周期

強(qiáng)化訓(xùn)練：

1，函數(shù)y2sin(1x)的周期，振幅，初相分別是_______,________,_______242，函數(shù)ycos(2xA．x2)的圖象的一條對稱軸方程是（）

2B.x4C.x8D.x

3，要得到函數(shù)y=sin(2x-

)的圖象，只要將函數(shù)y=sin2x的圖象（）3A.向左平行移動個單位B.向左平行移動個單位

36C.向右平行移動個單位D.向右平行移動個單位

365,，則值域是（）664，若函數(shù)ycos2x2sinx的定義域?yàn)閤A.,2B.2,2C.5，函數(shù)ycos(6，函數(shù)y177,D.2,444x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_______________________234-2o-4y4x2lg12sinx的定義域?yàn)開_________________7，如圖是函數(shù)yAsin(x)(A0,0,2)的圖象的

6x一部分。則函數(shù)的解析式是___________

18，函數(shù)y2sin(x)由y=sinx（xR）的圖象怎樣變換得到的？

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第二章《平面向量》

一，向量的基本概念

1，向量的定義：既有大小又有方向的量，叫做向量。2，向量的表示：

1）字母表示：a，AB

2）幾何表示：可以用有向線段表示向量，但有向線段不是向量。3，向量的基本概念

1）模：向量的大小，也就是向量的長度，也稱為模，記作a

2）零向量：長度為0的向量3）單位向量：長度為1的向量

4）共線向量：方向相同或相反的非零向量為共線向量，也稱平行向量，記作a//b。

5）相等向量：長度相等且方向相同的向量稱為相等向量。6）相反向量：長度相等且方向相反的向量稱為相反向量。

強(qiáng)化訓(xùn)練

1，下列說法正確的是（）

（A）長度相等的向量就是相等向量（B）共線向量就是在一條直線上的向量（C）零向量的長度是0（D）方向相同或相反的向量是平行向量

A2，如圖，三角形ABC的三邊均不相等，E，F(xiàn)，D分別為AC，AB，BC的中點(diǎn)

1）寫出EF與共線的向量2）寫出所有與EF模相等的向量

FEBD二，平面的線性運(yùn)算1，向量的加法1）加法法則

（1）平行四邊形法則：共起點(diǎn)（2）三角形法則：首尾相連

CCD

BABACABACADABBCAC

2）相關(guān)結(jié)論

（1）ababab（2）abba（3）abcabc

2，向量的減法

減法法則三角形法則：共起點(diǎn)。

CABACCB

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12－6

AB數(shù)學(xué)必修4知識小結(jié)

3，數(shù)乘運(yùn)算

1）定義：規(guī)定實(shí)數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記做a。

長度與方向規(guī)定如下：（1）aa（2）當(dāng)0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時，a的方向與a的方向相反

2）相關(guān)結(jié)論：

（1）aa（2）aaa（3）abab

（4）00

3）向量共線定理：a為非零向量，則a//bba（為唯一確定的實(shí)數(shù)）

4）三點(diǎn)共線問題：若A、B、C三點(diǎn)共線AB//AC或AB//BC

推論：若OAmOBnOC，則A、B、C三點(diǎn)共線mn1

強(qiáng)化訓(xùn)練：

1，在平行四邊形ABCD中OAa,OBb,OCc,ODd,則下列運(yùn)算正確的是()

(A)abcd0(B)abcd0(C)abcd0(D)abcd0

2，化簡下列各式，結(jié)果為零向量的個數(shù)為________個

1）ABBCCA2）ABACBDCD3）OAODAD4）NQQPMNMP

DFCEA3，如圖，已知平行四邊形ABCD的邊BC，CD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，且AEa,AFb，試用a,b表示BC,CD

B4，設(shè)P是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，BCBA2BP，則（）

(A)PAPB0(B)PBPC0(C)PCPA0(D)PAPBPC0

15，在三角形ABC中，已知D是AB邊上的一點(diǎn)，若AD2DB，CDCACB，則_____

36，已知兩非零向量a,b，設(shè)OAab，OBa2b，OCa3b，判斷A，B，C的位置關(guān)系

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12－數(shù)學(xué)必修4知識小結(jié)

三，平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1，平面向量基本定理

1）平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意

向量a，有且只有一對實(shí)數(shù),，使ae1e2

2）基底：不共線的兩個向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。

兩個向量成為基底的唯一限制是不共線。任意兩個不共線的向量都可以作為平面的基底。3）向量共線定理的推論：

若a1e11e2，b2e12e2，則a//b1221（交叉相乘，積相等）4）向量的夾角：作OAa,OBb，則AOB叫做向量a與b的夾角。

顯然0,180，當(dāng)0時，a，b同向；當(dāng)180時，a，b反向，當(dāng)90時，稱a，

b垂直，記作ab。

2，平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

1）正交分解：把一個向量分解成兩個相互垂直的兩個向量，叫做平面向量的正交分解。

2）坐標(biāo)表示：取分別與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向

量a，則axiyj。我們將有序數(shù)對x,y叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝x,y。

3）向量的坐標(biāo)運(yùn)算

若a＝x1,y1，b＝x2,y2，則

abx1x2,y1y2，abx1x2,y1y2，ax1,y1

4）向量平行的坐標(biāo)表示

若a＝x1,y1，b＝x2,y2，則a//bx1y2x2y10

強(qiáng)化訓(xùn)練

1，設(shè)e1,e2為兩個不共線的向量,若ae1e2與b(2e13e2)共線，則_____

2，在三角形ABC中，設(shè)ABa，ACb，點(diǎn)D在線段BC上，且BD3DC，則把AD用a,b表示為。

3，ABCD的3個頂點(diǎn)為A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，則它的第4個頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是____________4，已知ΔABC的三個頂點(diǎn)A、B、C及所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足PAPBPCAB，則點(diǎn)P與ΔABC的關(guān)系是：（）

A、P在ΔABC內(nèi)部B、P在ΔABC外部

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12－數(shù)學(xué)必修4知識小結(jié)

C、P在直線AB上D、P在ΔABC的AC邊的一個三等分點(diǎn)上5，兩點(diǎn)P(4,-9),Q(-2,3),y軸與直線PQ交于M且PMMQ則為___________

6,如圖，直線PQ經(jīng)過ΔABC的重心G，分別與AB，AC交于P,Q兩點(diǎn)，A11設(shè)APmAB，AQnAC，則_____

mn7，如圖，ΔABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，試用

PQGBCAAB,AC表示CE

B8，若向量a(1,2)，b(x,1)，，當(dāng)a2b與2ab平行時，則x=______

DEC9，如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，DC的

中點(diǎn)，G為BF，DE的交點(diǎn)，若ABa,ADb，試以DFCa,b表示DE,BF,CG

四，平面向量的數(shù)量積

AGEBb，1，數(shù)量積的定義：兩個非零向量a，b，我們把數(shù)量abcos叫做向量a與b的數(shù)量積，記作a其中是向量a，b的夾角。特別地，我們把a(bǔ)cos叫做a在b方向上的投影。

b等于a的長度a與b在a的方向上的投影bcos的乘積。2，數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a3，運(yùn)算律：

b＝ab3）abc＝acbcb＝ba2）ab＝a1）a4，相關(guān)結(jié)論：

22a02）abab03）aa4）abab1）05）ab22222a2abb6）ababab

5，數(shù)量積的坐標(biāo)表示：

若a＝x1,y1，b＝x2,y2，則abx1x2y1y2

6，坐標(biāo)運(yùn)算的相關(guān)結(jié)論

221）若a＝x,y，則axy2）若a＝x1,y1，b＝x2,y2，則abx1x2y1y20

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12－數(shù)學(xué)必修4知識小結(jié)

ab3）cosabx1x2y1y2xy2121x2y222

7，向量與三角形的“四心”

已知點(diǎn)P是三角形所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，

1）若PAPBPC0，則點(diǎn)P是三角形ABC的重心；

2）若PAPBPBPCPCPA，則點(diǎn)P是三角形ABC的垂心；

2223）若PAPBPC，則點(diǎn)P是三角形ABC的外心；；

4）令A(yù)Bc,BCa,CAb,若aPAbPBcPC0，則點(diǎn)P是三角形ABC的內(nèi)心。

強(qiáng)化訓(xùn)練

121，若等邊三角形ABC的邊長是23，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足CMCBCA，則MAMB_____。

63，b2，ab7，則a與b的夾角的余弦值為_________________2，若a13，a(2,1),b(3,4),則向量a在向量b方向上的投影為___________________4，若向量a(1,2)，b(x,1)，當(dāng)a2b與2ab垂直時，求x.5，已知ab2,8，ab8,16，求ab及a與b的夾角的余弦。

6，已知｜｜a4,|b|3，(2a－3b)(2ab)61,

(1)求ab的值；（2）求a與b的夾角；（3）求ab的值．

7，設(shè)a、b是兩個不共線的單位向量，且a與b夾角為120，那么實(shí)數(shù)x為何值時|axb|的值最

��？

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第三章三角恒等變換

一，兩角和與差的公式

和角公式：sinsincoscossin

coscoscossinsin

tantantan

1tantan差角公式：sinsincoscossin

coscoscossinsin

tantantan

1tantana2b2sinx（tanb,且的象限由a,b的符號確定）aasinxbcosx輔助角公式：

二，二倍角的正弦、余弦、正切公式

二倍角公式：sin22sincos

cos2cos2sin22cos2112sin2

2tan

1tan21cos21cos222降冪公式：sin，cos

22tan2

強(qiáng)化訓(xùn)練

1，若cos(1),,，則cos________33362，化簡：1sin6___________

11，sincos，則sin()________323123,sin，則cos2＝___________4，已知，且cos241353，已知cossin5，在三角形ABC中，A6，已知cos4,cosB10，則sinC_________10113,cos,且0，（1）求tan2的值；（2）求7142武漢市第十五中學(xué)高一數(shù)學(xué)組

12－數(shù)學(xué)必修4知識小結(jié)

7，已知向量acosx3,sinx,bcosx,sinx3，fxa求函數(shù)fx的b,x2,3，

單調(diào)增區(qū)間。8，已知函數(shù)fx131cos2xsinxcosx,xR，該函數(shù)的圖象可由ysinxxR的圖224象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？

9，求函數(shù)fx2sinxcosxsinxcosx2的最大（最�。┲�.

武漢市第十五中學(xué)高一數(shù)學(xué)組

12－

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