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高中數(shù)學(xué)人教版選修2-2導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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高中數(shù)學(xué)人教版選修2-2導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)必記

1.函數(shù)的平均變化率為

f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1:其中x是自變量的改變量,可正,可負(fù),可零。

注2:函數(shù)的平均變化率可以看作是物體運(yùn)動(dòng)的平均速度。

2、導(dǎo)函數(shù)的概念:函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率是

f(x0x)f(x0)y,則稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),并把這個(gè)極限叫l(wèi)imx0xx0xlim做

yf(x)在

x0處的導(dǎo)數(shù),記作

f"(x0)或

y"|xx0,即

f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.函數(shù)的平均變化率的幾何意義是割線的斜率;函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的

斜率。

4導(dǎo)數(shù)的背景(1)切線的斜率;(2)瞬時(shí)速度;(3)邊際成本。5、常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)和積分公式函數(shù)導(dǎo)函數(shù)不定積分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxxxedxeyexylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinxdxcosxycosxy"sinx6、常見的導(dǎo)數(shù)和定積分運(yùn)算公式:若fx,gx均可導(dǎo)(可積),則有:和差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算特別地:Cfx"Cf"x商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特別地:"2gxgx復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)yxyuux微積分基本定理fxdxab(其中F"xfx)和差的積分運(yùn)算[f(x)f(x)]dxa12bbaf1(x)dxf2(x)dxabab特別地:積分的區(qū)間可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))cbacbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)6.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:①求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f"(x)②令f"(x)>0,解不等式,得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令f"(x)9.求曲邊梯形的思想和步驟:分割近似代替求和取極限(“以直代曲”的思想)10.定積分的性質(zhì)

根據(jù)定積分的定義,不難得出定積分的如下性質(zhì):性質(zhì)1

1dxba

ab性質(zhì)5若f(x)0,xa,b,則f(x)dx0

ab①推廣:[f1(x)f2(x)fm(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)

aaaabbbb②推廣:f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx

aac1ckbc1c2b11定積分的取值情況:定積分的值可能取正值,也可能取負(fù)值,還可能是0.

(l)當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x軸上方時(shí),定積分的值取正值,且等于x軸上方的圖形面積;(2)當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x軸下方時(shí),定積分的值取負(fù)值,且等于x軸上方圖形面積的相反數(shù);

(3)當(dāng)位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于x軸下方的曲邊梯形面積時(shí),定積分的值為0,且等于x軸上方圖形的面積減去下方的圖形的面積.

12.物理中常用的微積分知識(shí)(1)位移的導(dǎo)數(shù)為速度,速度的導(dǎo)數(shù)為加速度。(2)力的積分為功。

推理與證明知識(shí)點(diǎn)

13.歸納推理的定義:從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性的.......結(jié)論,像這樣的推理通常稱為歸納推理。歸納推理是由部分到整體,由個(gè)別到一般的推理。....14.歸納推理的思維過程大致如圖:

實(shí)驗(yàn)、觀察概括、推廣猜測(cè)一般性結(jié)論15.歸納推理的特點(diǎn):①歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象,歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象。②由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì),結(jié)論是否真實(shí),還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn),因此,它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具。③歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理,通過歸納推理的猜想,可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn),幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。

16.類比推理的定義:根據(jù)兩個(gè)(或兩類)對(duì)象之間在某些方面的相似或相同,推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤,這樣的推理稱為類比推理。類比推理是由特殊到特殊的推理。....17.類比推理的思維過程

觀察、比較聯(lián)想、類推推測(cè)新的結(jié)論18.演繹推理的定義:演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理等)按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程。演繹推理是由一般到..特殊的推理。..19.演繹推理的主要形式:三段論

20.“三段論”可以表示為:①大前題:M是P②小前提:S是M③結(jié)論:S是P。其中①是大前提,它提供了一個(gè)一般性的原理;②是小前提,它指出了一個(gè)特殊對(duì)象;③是結(jié)論,它是根據(jù)一般性原理,對(duì)特殊情況做出的判斷。

21.直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā),根據(jù)已知的定義、公理、定理,直接推證結(jié)論的真實(shí)性。直接證明包括綜合法和分析法。

22.綜合法就是“由因?qū)Ч,從已知條件出發(fā),不斷用必要條件代替前面的條件,直至推出要證的結(jié)論。

23.分析法就是從所要證明的結(jié)論出發(fā),不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的式子,可稱為“由果索因”。要注意敘述的形式:要證A,只要證B,B應(yīng)是A成立的充分條件.分析法和綜合法常結(jié)合使用,不要將它們割裂開。24反證法:是指從否定的結(jié)論出發(fā),經(jīng)過邏輯推理,導(dǎo)出矛盾,證實(shí)結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的,從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法。

25.反證法的一般步驟(1)假設(shè)命題結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論的反面成立;(2)從假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理論證,得出矛盾;(3)從矛盾判定假設(shè)不正確,即所求...證命題正確。

26常見的“結(jié)論詞”與“反義詞”原結(jié)論詞反義詞至少有一個(gè)至多有一個(gè)至少有n個(gè)至多有n個(gè)一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)至多有n-1個(gè)至少有n+1個(gè)原結(jié)論詞對(duì)任意x不成立p或qp且q反義詞存在x使成立對(duì)所有的x都成立存在x使不成立p且qp或q27.反證法的思維方法:正難則反....

28.歸繆矛盾(1)與已知條件矛盾:(2)與已有公理、定理、定義矛盾;(3)..............自相矛盾...29.?dāng)?shù)學(xué)歸納法(只能證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題)的步驟(1)證明:當(dāng)n。*nnN第一個(gè)值時(shí)命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N,且k≥n0)時(shí)命題成立,00....證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.由(1),(2)可知,命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n.....都正確[注]:常用于證明不完全歸納法推測(cè)所得命題的正確性的證明。

數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念知識(shí)點(diǎn)30.復(fù)數(shù)的概念:形如a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中i叫虛數(shù)單位,a叫實(shí)部,b叫....虛部,數(shù)集Cabi|a,bR叫做復(fù)數(shù)集。

規(guī)定:abicdia=c且,強(qiáng)調(diào):兩復(fù)數(shù)不能比較大小,只有相等或不相....b=d...等。

實(shí)數(shù)(b0)31.?dāng)?shù)集的關(guān)系:復(fù)數(shù)Z一般虛數(shù)(a0)

虛數(shù)(b0)純虛數(shù)(a0)32.復(fù)數(shù)的幾何意義:復(fù)數(shù)與平面內(nèi)的點(diǎn)或有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)。

33.復(fù)平面:根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義,任何一個(gè)復(fù)數(shù)zabi,都可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)唯一確定。由于有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),因此復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)。這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,x軸叫做實(shí)軸,y軸叫做虛軸。實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù),除了原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。

34.求復(fù)數(shù)的模(絕對(duì)值)與復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)zabi的模(也叫絕對(duì)值)記作z或abi。由模的定義可知:zabia2b235.復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算及幾何意義①復(fù)數(shù)的加、減法法則:z1abi與z2cdi,則z1z2ac(bd)i。注:復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算也可以按向量的加、減法來進(jìn)..行。

②復(fù)數(shù)的乘法法則:(abi)(cdi)acbdadbci。③復(fù)數(shù)的除法法則:因子

36.共軛復(fù)數(shù):兩復(fù)數(shù)abi與abi互為共軛復(fù)數(shù),當(dāng)b0時(shí),它們叫做共軛虛數(shù)。

常見的運(yùn)算規(guī)律

abi(abi)(cdi)acbdbcad22i其中cdi叫做實(shí)數(shù)化22cdi(cdi)(cdi)cdcd(1)zz;2(2)zz2a,zz2bi;

2(3)zzzza2b2;(4)zz;(5)zzzR

(6)i4n1i,i24n21,i4n3i,i4n41;

2(7)1i1i1i1ii;(8)i,i,i1i1i213i23n1,3n2,3n31是1的立方虛根,則10,2(9)設(shè)

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數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)必記

1.函數(shù)的平均變化率是什么?答:平均變化率為

f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1:其中x是自變量的改變量,可正,可負(fù),可零。

注2:函數(shù)的平均變化率可以看作是物體運(yùn)動(dòng)的平均速度。2、導(dǎo)函數(shù)的概念是什么?

答:函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率是limf(x0x)f(x0)y,則稱limx0xx0x函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),并把這個(gè)極限叫做yf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù),記作f"(x0)或y"|xx0,即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.平均變化率和導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么?

答:函數(shù)的平均變化率的幾何意義是割線的斜率;函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率。

4導(dǎo)數(shù)的背景是什么?

答:(1)切線的斜率;(2)瞬時(shí)速度;(3)邊際成本。5、常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)和積分公式有哪些?函數(shù)導(dǎo)函數(shù)不定積分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxyexedxexxylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinxdxcosxycosxy"sinx6、常見的導(dǎo)數(shù)和定積分運(yùn)算公式有哪些?答:若fx,gx均可導(dǎo)(可積),則有:和差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算特別地:Cfx"Cf"x商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特別地:"2gxgx復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)yxyuux微積分基本定理fxdxab(其中F"xfx)和差的積分運(yùn)算ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特別地:積分的區(qū)間可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb6.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是什么?答:①求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f"(x)

②令f"(x)>0,解不等式,得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令f"(x)8.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的步驟是什么?

答:求f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟如下:⑴求f(x)在a,b上的極值;

⑵將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值。

注:實(shí)際問題的開區(qū)間唯一極值點(diǎn)就是所求的最值點(diǎn);9.求曲邊梯形的思想和步驟是什么?

答:分割近似代替求和取極限(“以直代曲”的思想)10.定積分的性質(zhì)有哪些?

根據(jù)定積分的定義,不難得出定積分的如下性質(zhì):性質(zhì)1

1dxba

ababbbbb性質(zhì)5若f(x)0,xa,b,則f(x)dx0

①推廣:[f1(x)f2(x)fm(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)

aaaa②推廣:f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx

aac1ckbc1c2b11定積分的取值情況有哪幾種?

答:定積分的值可能取正值,也可能取負(fù)值,還可能是0.

(l)當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x軸上方時(shí),定積分的值取正值,且等于x軸上方的圖形面積;

(2)當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x軸下方時(shí),定積分的值取負(fù)值,且等于x軸上方圖形面積的相反數(shù);

(3)當(dāng)位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于x軸下方的曲邊梯形面積時(shí),定積分的值為0,且等于x軸上方圖形的面積減去下方的圖形的面積.

12.物理中常用的微積分知識(shí)有哪些?答:(1)位移的導(dǎo)數(shù)為速度,速度的導(dǎo)數(shù)為加速度。(2)力的積分為功。

數(shù)學(xué)選修2-2推理與證明知識(shí)點(diǎn)必記

13.歸納推理的定義是什么?答:從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論,像這樣的推理通常稱為歸納推理。.......歸納推理是由部分到整體,由個(gè)別到一般的推理。....14.歸納推理的思維過程是什么?答:大致如圖:

實(shí)驗(yàn)、觀察概括、推廣猜測(cè)一般性結(jié)論15.歸納推理的特點(diǎn)有哪些?

答:①歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象,歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象。

②由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì),結(jié)論是否真實(shí),還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn),因此,它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具。③歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理,通過歸納推理的猜想,可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn),幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。16.類比推理的定義是什么?

答:根據(jù)兩個(gè)(或兩類)對(duì)象之間在某些方面的相似或相同,推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤@樣的推理稱為類比推理。類比推理是由特殊到特殊的推理。....17.類比推理的思維過程是什么?答:

觀察、比較聯(lián)想、類推推測(cè)新的結(jié)論18.演繹推理的定義是什么?

答:演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理等)按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程。演繹推理是由一般到特殊的推理。....19.演繹推理的主要形式是什么?答:三段論20.“三段論”可以表示為什么?

答:①大前題:M是P②小前提:S是M③結(jié)論:S是P。

其中①是大前提,它提供了一個(gè)一般性的原理;②是小前提,它指出了一個(gè)特殊對(duì)象;③是結(jié)論,它是根據(jù)一般性原理,對(duì)特殊情況做出的判斷。21.什么是直接證明?它包括哪幾種證明方法?

答:直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā),根據(jù)已知的定義、公理、定理,直接推證結(jié)論的真實(shí)性。直接證明包括綜合法和分析法。22.什么是綜合法?

答:綜合法就是“由因?qū)Ч保瑥囊阎獥l件出發(fā),不斷用必要條件代替前面的條件,直至推出要證的結(jié)論。23.什么是分析法?答:分析法就是從所要證明的結(jié)論出發(fā),不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的式子,可稱為“由果索因”。

要注意敘述的形式:要證A,只要證B,B應(yīng)是A成立的充分條件.分析法和綜合法常結(jié)合使用,不要將它們割裂開。24什么是間接證明?

答:即反證法:是指從否定的結(jié)論出發(fā),經(jīng)過邏輯推理,導(dǎo)出矛盾,證實(shí)結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的,從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法。25.反證法的一般步驟是什么?

答:(1)假設(shè)命題結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論的反面成立;

(2)從假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理論證,得出矛盾;(3)從矛盾判定假設(shè)不正確,即所求證命題正確。...26常見的“結(jié)論詞”與“反義詞”有哪些?原結(jié)論詞反義詞原結(jié)論詞至少有一個(gè)至多有一個(gè)至少有n個(gè)至多有n個(gè)一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)至多有n-1個(gè)至少有n+1個(gè)對(duì)任意x不成立p或qp且q反義詞存在x使成立p且qp或q對(duì)所有的x都成立存在x使不成立27.反證法的思維方法是什么?答:正難則反....

28.如何歸繆矛盾?

答:(1)與已知條件矛盾;(2)與已有公理、定理、定義矛盾;(3)自相矛................盾.

29.?dāng)?shù)學(xué)歸納法(只能證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題)的步驟是什么?...nnN答:(1)證明:當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立;00....(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,且k≥n0)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立......由(1),(2)可知,命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確注:常用于證明不完全歸納法推測(cè)所得命題的正確性的證明。

數(shù)學(xué)選修2-2數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念知識(shí)點(diǎn)必記

30.復(fù)數(shù)的概念是什么?答:形如a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中i叫虛數(shù)單位,a叫實(shí)部,b叫虛部,數(shù)集....

Cabi|a,bR叫做復(fù)數(shù)集。

規(guī)定:abicdia=c且,強(qiáng)調(diào):兩復(fù)數(shù)不能比較大小,只有相等或不相....b=d...等。

實(shí)數(shù)(b0)31.?dāng)?shù)集的關(guān)系有哪些?答:復(fù)數(shù)Z一般虛數(shù)(a0)

虛數(shù)(b0)純虛數(shù)(a0)32.復(fù)數(shù)的幾何意義是什么?答:復(fù)數(shù)與平面內(nèi)的點(diǎn)或有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)。

33.什么是復(fù)平面?

答:根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義,任何一個(gè)復(fù)數(shù)zabi,都可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)

(a,b)唯一確定。由于有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),因此

復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)。這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,x軸叫做實(shí)軸,y軸叫做虛軸。實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù),除了原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。34.如何求復(fù)數(shù)的模(絕對(duì)值)?答:與復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)zabi的模(也叫絕對(duì)值)記作

z或abi。由模的定義可知:zabia2b2

35.復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算及幾何意義是什么?

答:①復(fù)數(shù)的加、減法法則:z1abi與z2cdi,則z1z2ac(bd)i。

注:復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算也可以按向量的加、減法來進(jìn)行。..②復(fù)數(shù)的乘法法則:(abi)(cdi)acbdadbci。③復(fù)數(shù)的除法法則:

abi(abi)(cdi)acbdbcadicdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2其中cdi叫做實(shí)數(shù)化因子36.什么是共軛復(fù)數(shù)?

答:兩復(fù)數(shù)abi與abi互為共軛復(fù)數(shù),當(dāng)b0時(shí),它們叫做共軛虛數(shù)。

常見的運(yùn)算規(guī)律

(1)zz;2(2)zz2a,zz2bi;

2(3)zzzza2b2;(4)zz;(5)zzzR

(6)i4n1i,i24n21,i4n3i,i4n41;

2(7)1i1i1i1ii;(8)i,i,i1i1i213i23n1,3n2,3n31是1的立方虛根,則10,2(9)設(shè)

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